牛顿法 二阶梯度法

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1、牛顿法牛顿法 二阶梯度法二阶梯度法l设已知一维目标函数 的初始点l过A点作一与原目标函数 相切的二次曲线抛物线 ，求此抛物线的极小点的坐标 ，将 代入原目标函数 求得 值或B点，过B再作与 相切的二次曲线求C直到求出 。l设 只有连续一，二阶偏导数，在l点邻域取 的泰勒二次多项式l求此函数的极小点 可由 l求得l这是一维问题，同理对于n维问题有l上式中l因此上式有：当 时，可求 的极值点，当矩阵为正定时，有极小值。由（1）得l因为（1）式可写为l其中：l因为 是二次函数，故 是线性函数。l令 由（2）式则有l若 为可逆矩阵，上式两边左乘l 则有下式：l得：l当 为二次函数时，X就是 l 是一个

2、常数矩阵l则牛顿法的一般迭代公式是：l迭代方向l该方向为牛顿方向l在迭代公式中没有步长因子，或看作是步长恒等于1。l通过这种迭代，逐次向极小点逼近。l试用牛顿法二、修正牛顿法（阻尼牛顿法）l在上面的牛顿法中，存在一个问题，由于迭代式中没有步长因子，或者说步长l =1，所以有时函数值反而有所增大，即 因而可能造成点列的发l散，而使计算失败。从而要对古典（原始）牛顿法做修正，提出修正牛顿法。l方法：步长改用最优步长因子 ，将迭代式改写为：l 应为l 为l 0l此时初始点无论如何选择，则可得到最优结果。l步骤如下：l（1）任选初始点 ，给定精度l 置k=0l（2）计算 点的梯度和海赛矩阵的逆l 矩阵

3、l（3）检验是否满足精度要求，l若满足停止迭代，否则进行（4）步l（4）令l（5）从 出发沿牛顿方向 进行一l 维搜索l求出最优步长l（6）令l K=K+1 转步骤（2）l使用牛顿法的条件：n（变量较多时）因次较高，海赛矩阵是奇异矩阵，逆矩阵不存在，不能使用牛顿法。l例：用牛顿法求函数l的最优解，初始点DFP变尺度法l由于梯度法和牛顿法具有以上的缺点，能不能找到一种方法能拟补上两种方法的缺点，从而综合上两种方法的各自优点，提出了如下变尺度法的基本思路。l基本思想：在牛顿法中探索方向l设法构造出一个对称正定矩阵 来代替l 在迭代中逐渐逼近l 简化牛顿法的计算，l 且收敛快。l变尺度法是用 来逼近

4、l所以称拟牛顿法，迭代公式为：l -步长由l求出l探索方向l （1）l -n*n阶对称正定矩阵，是变化的，递推形式为 （2）l -校正矩阵，它与 ，l 向量有关。l综上可知：当 是梯度迭代公式l当 是牛顿迭代公式l以上两种方法是变尺度法的特例 l怎样找出 ，先分析 的关系，设 为一般形式的目标函数，并且有连续的一、二阶偏导数，在点 的泰勒近似展开为l梯度为l令 则有l两边左乘 l这样找到了 与 及 l之间的关系，用 来代替l既有l迭代开始，可选择l如果构造出 后，再如果 可表示为（2）式l -校正矩阵，可用统一的公式表示。l经过三个人的修改的校正矩阵 的公式即所谓DFP公式为：l因为 为n*n

5、阶对称正定矩阵，固有l式中l有 后就可按（2）式求出 l有 后就可按（1）求出 新方向探索l最后得出DFP变尺度法的迭代公式归结为l适用条件：容易求出f(x)的梯度n100时此方法最好。l所以又发展了BFGS比DFP更为成功，方法：只是 公式不同，其余完全相同。l两种变尺度法的计算步骤一样为：l（1）任选初始点 ，给定精度l 维数nl（2）置k=0，（单位矩阵）l探索方向为，l（3）进行一维搜索求 ，l（4）计算 ，如果 小于给定精度，则 为极小点，停止迭代，否则转下一步。l（5）检查迭代次数，若k=n维数则l并转第二步，若kn则进行下一步。l（6）构造新的探索方向l为此计算l令k=k+1转向步骤（3）结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！32