复变函数的映射

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1、 从 第 二 章 开 始 ， 利 用 分 析 的 方 法 ， 即 通 过 微 分 、积 分 和 级 数 分 别 探 讨 了 解 析 函 数 的 性 质 和 应 用 . 在这 一 章 中 ， 我 们 将 从 几 何 的 角 度 对 解 析 函 数 的 性 质和 应 用 进 行 讨 论 .第 七 章 共 形 映 射 在 第 一 章 中 已 经 介 绍 过 ， 一 个 复 变 函 数 在 几 何 上 可 以 看 作 把 z 平 面 上 的 一 个 点 集 变 到 w平面 上 的 一 个 点 集 的 映 射 (或 变 换 ). 对 解 析 函 数 来 说 ，由 它 所 构 成 的 变 换 （ 简 称

2、解 析 变 换 ） 还 需 作 进 一 步的 研 究 . )(zfw 共 形 映 射 之 所 以 重 要 ， 原 因 在 于 它 能 把 在 比较 复 杂 区 域 上 所 讨 论 的 问 题 转 到 比 较 简 单 区 域 上进 行 讨 论 . 因 此 ， 在 解 决 诸 如 流 体 力 学 、 弹 性 力学 、 电 磁 学 等 实 际 问 题 中 ， 发 挥 了 重 要 的 作 用 . 在 这 一 章 中 ， 我 们 先 分 析 解 析 函 数 所 构 成 映射 的 特 性 ， 引 出 共 形 映 射 这 一 重 要 概 念 . 然 后 进一 步 研 究 分 式 线 性 函 数 和 几 个

3、初 等 函 数 所 构 成 的共 形 映 射 . 1、 解 析 变 换 的 保 域 性2、 解 析 变 换 的 保 角 性 导 数 的 几 何 意 义3、 单 叶 解 析 变 换 的 共 形 性 1 解 析 变 换 的 特 性 内 解 析在 区 域设 Dzfw )(1.7定 理 ,且 不 恒 为 常 数 .)( 也 是 一 个 区 域的 像则 DfGD 证 ： 是 开 集先 证 G .)( 的 点 都 是 其 内 点即 证 G,0 Dz 设 有 一 点 00)( wzf 使,0 的 内 点为 Gw ,0 充 分 接 近 时与只 须 证 明 ww1、 解 析 变 换 的 保 域 性 要 探 讨

4、解 析 变 换 的 几 何 特 性 ， 首 先 要 弄 清 楚 复平 面 上 的 一 个 点 集 (曲 线 或 区 域 )与 它 的 像 集 之 间 的 对应 关 系 . )(保 域 定 理 ),(DfG 要 证 性 ，由 解 析 函 数 零 点 的 孤 立 为 心 的 某必 有 以 0z,C个 圆 周 ,DCC 的 内 部 全 含 于及 在使 得 0)( wzf 的 内 部上 及 CC )( 0 外除 z .均 不 为 零 上因 而 在 C.0|)(| 0 wzf 内 的 任 意对 在 邻 域 | 0www点 |)(| 0wzf | 0 ww ,0.)( 内 有 解在 Dzfw 为 此 ，

5、考 察 wzf )( )(zf,Gw 也 属 于 即 须 证 明 ， ,0 充 分 接 近 时与当 ww方 程 00 ww ,w有上 的 点及 在 zC 与 0)( wzf ,有 相 同 的 零 点 个 数 )(zfw 于 是，因 此 由 儒 歇 定 理 知 的 内 部在 C wzf )( wwwzf 00)(,内 有 解在 D 0|)(| 00 wwwzf .为 开 集从 而 G其 次 ， 要 证 明 中 任 意 两 点G ),( 11 zfw 2w)( 2zf 均 可 以 用 一 条 完 全 含 于 的 折 线 联 结 起 来 .G由 于 是 区 域 ，D 可 在 内 取 一 条 联 结

6、的 折 线D 21,zz ).)(,)(,()(: 221121 ztzztzttttzzC 于 是 ， 2.7推 论 ，内 单 叶 解 析在 区 域设 Dzfw )( 的 像则 D.)( 也 是 一 个 区 域DfG 因 f(z)不 为 常 数因 此 ， .)( 是 区 域DfG )()(: 21 ttttzfw 就 是 联 结 的 并 且21 ww、完 全 含 于 的 一 条 曲 线 .G 从 而 ， 仿 照 柯 西 积 分 定 理的 古 萨 证 明 的 第 三 步 ， 可 以 找 到 一 条 联 结 ,21 ww、内 接 于 且 完 全 含 于 的 折 线 , G 1 于 是 是 连 通

7、 的 .G 下 面 的 定 理 表 明 ， .性解 析 函 数 具 有 局 部 单 叶3.7定 理 ,)( 0 解 析在 点若 函 数 zzfw ,0)( 0 zf且.)( 0 的 一 个 邻 域 内 单 叶 解 析在则 zzf .但 其 逆 未 必 成 立 平 面在函 数 zezf z)(,例 如zezf )(上 .)( 平 面 不 是 单 叶 的在但 zezf z :11.6在 上 一 章 中 曾 证 明 定 理 在若 函 数 )(zf，内 单 叶 解 析区 域 D .0)( zfD内则 在 符 合 定 理 条 件 的 解 析 函 数 w = f (z)将 z0的 一 个充 分 小 邻 域

8、 变 成 w0 =f (z0)的 一 个 曲 边 邻 域 .内 单 叶 解 析为 一 实 数在 区 域 )(2Im aazaew z ,0 ,)( 内 解 析于 区 域设 Dzfw ,0 Dz 有在 点 0z.0)( 0 zf导 数 线任 意 引 一 条 有 向 光 滑 曲过 0z )(tzz )( 10 ttt :C如 果 规 定 : tpp 正 向 对 应 于割 线 0 , 增 大 的 方 向 ,)()( 00 同 向与 t tzttz y x0 C. )( 0tz .0p p )( 0 ttz ,)( 00 tzz .0)( 0 tz且正 向 : t 增 大 的 方 向 ;那 么2、 解

9、 析 变 换 的 保 角 性 导 数 的 几 何 意 义 在 数 学 分 析 中 我 们 知 道 ， 导 数 用 来 刻 画 因 变 量相 对 于 自 变 量 的 变 化 情 况 ， 且 具 有 相 当 明 显 的 几 何意 义 . 那 么 ， 一 个 复 变 函 数 的 导 数 将 会 刻 画 怎 样 的关 系 呢 ？ 又 有 什 么 样 的 几 何 意 义 呢 ？.增 大 的 方 向 一 致与即 ttz PP0 )()()(lim 0000 tzt tzttzt 当 p , 0 时ppp0 处 切 线上 0pC方 向 与 C 一 致 . C. .0p p)( 0tz )( 0 ttz )(

10、 0tzy x0C沿 ，有 切 线在从 而 0zC )( 0tz，就 是 切 向 量 它 的 倾 角 为.)(arg 0tz C. 0zy x0 )( 0tz )(arg 0tz 正 向 之 间与相 交 于 一 点 的 两 条 曲 线 21 CC 向在 交 点 处 的 两 条 切 线 正与就 是 21 CC ,的 夹 角之 间 的 夹 角 .),(: 11 tzzC ;)(: 22 tzzC ：设 1C2C )(arg)(arg 0102 tztz .0z ).()( 02010 tztzz )(arg 01 tz)(arg 02 tz )( tzfw ,)( 10 ttt : C0z.y x

11、0 z)( 0tz v u0 0w. )(zfw,)(zfw 经 过 变 换 的 参 数 方 程 为曲 线的 像 C w,)( 00 的 邻 域 内 是 光 滑 的在 点由 于 tww 0)()( 0 tttwtw ,0,)( 00 处 也 有 切 线上 点故 zfw )()( 00 tzzf 且 ,)( 0 就 是 切 向 量tw)( 0tw )(arg 0tw其 倾 角 为即 ),(arg 0zf ),(arg)(arg)(arg 000 tztwzf 或 处 切 线 的 倾 角在 0w 处 切 线 的 倾 角在 0zC 的 转 动 角后 在经 变 换原 曲 线定 义 为 0)(: zzf

12、wC ,)(arg)(arg 00 zftz v u0 0w. w)( 0tw )(arg 0tw)()()()( 000 0 tzzftwtw tt 导 数 辐 角 的 几 何 意 义 . 平 面 叠 放 在 一 起 ，平 面 和若 将 wz 与使 点 0z，重 合点 0w ,轴 平 行轴 与 ux 的 切 线 与在 点则 0zC .)(arg 00 zfw 的 切 线 所 夹 的 角 就 是在 点 因 此 可 转着 点的 切 线 通 过 变 换 以 后 绕在以 认 为 曲 线 00 zzC ，动 了 一 个 角 度 )(arg 0zf 0)( zzfw 在它 称 为 变 换 .点 的 旋

13、转 角 .意 义这 就 是 导 数 辐 角 的 几 何 )(arg 0zf由 此 可 知 ， 的 切 线 的在 点像 曲 线 )( 00 zfw 方 向 ， 切 线 正 向 旋 转 一 个 角在 点可 由 原 像 曲 线 0zC.)(arg 0 得 出zf .)()(arg 00 无 关与有 关仅 与 Czzf 2 11C说 明 : 转 动 角 的 大 小 与 方 向 跟 曲 线 C 的 形 状 无 关 .映 射 w = f(z) 具 有 转 动 角 的 不 变 性 .0w映 射经 )(zfw 1C 1 )(arg 0zf2C 2 2C0z. )(arg)(arg)(arg 02020 tzt

14、wzf )(arg)(arg)(arg 000 tztwzf )(arg)(arg 0101 tztw 则 有 )(arg)(arg)(rg)(arg 01020102 tztztwatw 的 夹 角在与 021 w 的 夹 角在与 021 zCC结 论 : )(zfw 的 夹 角 . 2121 之 间 的 夹 角与对 应 的 曲 线与映 射 后 跟 CC方 向 不 变 的 性 质 , 此 性 质 称 为 保 角 性 . 的 大 小 和具 有 保 持 两 曲 线 间 夹 角映 射 )( zfw 之 间与的 任 意 两 条 曲 线相 交 于 点 210 CCz在 其 大 小 和 方 向 上 都

15、等 同 于 经 过 的 几 何 意 义下 面 研 究 )( 0zf 0 00 )()(lim)( 0 zz zfzfzf zz 因 为 ,0 irezz 令 C v u0y x0 s )( 0tz 0Q Q0w w. .)(zfw r0p p0z z. . ,lim 000 zz wwzz .0 ieww wz 000 0)()( zz wwzz zfzf iiree s )( 0zf所 以 )(0lim izz erss ,)( iers 的 伸受 到 变 换 后 在可 看 作 是 曲 线 00 |)(| zCzf.张 系 数 的 每 个 方 向 上 都 是 一这 个 伸 张 系 数 在 过

16、 0z.样 的 ，时当 1|)(| 0 zf 出 发 的 任 意 无 穷 小 距从 0z,离 ;映 射 后 都 被 伸 长 了 ，时当 1|)(| 0 zf 出从 0z,发 的 无 穷 小 距 离 .映 射 以 后 则 被 压 缩 了 ieRzf )( 0设 C v u0y x0 s )( 0tz 0Q Q0w w. .)(zfw r0p p0z z. . wz ,0 irezz 令 .0 ieww .Rszz 0limzw 因 此 : 的后 通 过 点是 经 过 映 射 )( )( 00 zzfwzf , 0的 伸 缩 率在的 任 何 曲 线 zC方 向 无 关 . 的在称 为 曲 线 0z

17、C,可 知从 上 述 导 数 的 几 何 意 义 把映 射 )(zfw 的成 一 个 和 原 来 大 致 一 样附 近 的 一 个 几 何 图 形 变0z .图 形 例 如 ， 把 一 个 半 径 充 分 小 的 圆映 射 )(zfw :周 |:| 00 wwwrzz 平 面 上 的 圆 周近 似 地 变 成.|)(| 0 rzf zwzf z 00 lim|)(| 的 形 状 及它 与 曲 线 C 所 以 这 种 映 射 又 具 有 伸 缩 率 的 不 变 性 . .伸 缩 率 1例 处 的在 点试 求 变 换 izzzzfw 14)( 2,旋 转 角 平 面 的 哪 一 部 分 放 大 ？

18、并 说 明 它 将 z 哪 一?部 分 缩 小解 ,42)( zzf因 izzf 1)(arg,4 ,1 处故 在 iz izz 1)42arg( )1(2arg i旋 转 角 )(zf伸 缩 率 ,1)( zf当 ,)2(2 22 yx iyxz 设 ,21,2 的 圆 内 缩 小半 径 为为 中 心故 在 以 z ,41)2( 22 时即 yx反 之 放 大 . .21,2 的 圆 外 放 大半 径 为为 中 心以 z ,缩 小 42)( zzf 通 过 以 上 分 析 , 有1.7定 义 的 邻 域 内 有 定 义 ，在 点若 函 数 0)( zzfw具 有 ：且 在 0z ；伸 缩 率

19、 不 变 性 下 ，变 换的 任 意 两 曲 线 的 夹 角 在过 )(0 zfwz )1( )2( ,既 保 持 大 小 ,有 保 持 方 向 在 点则 称 函 数 )(zfw )(zfw或 称 .保 角 变 换 内 处在 区 域如 果 Dzfw )( 处 都 是 保 角 的 ， 则 称在或 称 )(zfw .0 处 是 保 角 变 换在 点 z，是 保 角 的0z 内 是 保 角 的 ，在 区 域 Dzfw )( 内 是区 域 D 例 . 所 构 成 的 变 换考 察 zw解 对 于 复 平 面 上 的 任 意 一 点 D， 有| |lim 000 zz wwzz | |lim 000 z

20、z zzzz 1 （ 极 限 存 在 ）; 具 有 伸 缩 率 不 变 性因 此 变 换 zw 定 义 7.1 对 于 定 义 在 D内 的 变 换 w=f(z), 如 果 它 在D内 任 意 一 点 具 有 保 角 性 和 伸 缩 率 不 变 性 ， 则 称w=f(z)是 第 一 类 保 角 变 换 ； 如 果 它 在 D内 任 意 一 点保 持 曲 线 的 交 角 的 大 小 不 变 但 方 向 相 反 和 伸 缩 率 不变 ， 则 称 w=f(z)是 第 二 类 保 角 变 换 . ，是 关 于 实 轴 对 称 的 变 换又 由 于 zw 因 此 它 使 得.方 向 相 反曲 线 的 交

21、 角 大 小 不 变 但 xyo zz根 据 定 义 知 ， 是 第函 数 zw .二 类 保 角 变 换 4.7定 理 内 解 析 ，在 区 域如 果 Dzfw )( 则 它 在 导 数.不 为 零 的 点 处 是 保 角 的5.7推 论 ，内 单 叶 解 析在 区 域若 Dzfw )( )(zfw则.内 是 保 角 的在 D需 要 特 别 指 出 的 是 ， 0)( 0 zf 是 必 要 的 ， 否 则保 角 性 将 不 成 立 . 2例 , 0 213 处 的 导 数 值与在求 函 数 zizzw 并 说.明 其 几 何 意 义解 , )( 3 的在 整 个 复 平 面 上 是 解 析函

22、 数 zzfw 3)( zzfw 其 导 数 为 ,3)( 2zzf )1( , 1 iz 对 3)( if ie3 ,0处 具 有 保 角 性 和 伸 缩 率在因 此 变 换 13 izzw 不 变 性 ， 其 伸 缩 率 为 ，3 旋 转 角 为 .)2( ,0 2 z对 ,0)0( f 处 不 具在变 换 0 23 zzw.有 保 角 性 xyo 1C2C uvo 12 3 3例 试 证 ： 与将 互 相 正 交 的 直 线 族 1CezRew iz 12 tanIm CuvCz 线 族依 次 变 为 互 相 正 交 的 直.2222 Cevu 与 圆 周 族证 ： 正 交 直 线 族

23、1CezR 2Im Cz与在 变 换 izew之 下 ， 有 izewivu 即 有 像 曲 线 族 , 2222 Cevu 与 ,1221 )( iCCiCCi eee 即 ,2222 Cevu ,tan 1Cuv ,arctan 1Cuv 且处 处 解 析平 面 上由 于 在 ,izewz iziedzdw 平 面 上 圆 周 族因 此 在 w 2222 Cevu 与 直 线 族 1tanCuv .也 是 互 相 正 交 的，0 单 叶 且 保 角 的 ，,共 形 的2.7定 义 内 是在 区 域如 果 Dzfw )( 内 是在则 称 此 变 换 Dzfw )( 内也 称 它 为 D的 注

24、 ： ,0)()( 00 zfzzfw 有在 解 析 点若 解 析 函 数连 续 性 知 ，则 由 )(zf ,0)(0 zfz 的 邻 域 内 必 有在 点 ，保 角在 点于 是 0)( zzfw 的 邻 域 内 单 叶因 而 在 0z，保 角 ；共 形局 部的 邻 域 内从 而 在 )(0z D若 在 区 域.共 形 映 射3、 单 叶 解 析 变 换 的 共 形 性 共 形 ，整 体内 )()(zfw )(局 部内 处 处必 然 在 D,共 形 .反 之 则 未 必 成 立4例 的 保 角 性 和为 正 整 数讨 论 解 析 函 数 )(nzw n.共 形 性解 ： )1( 因 为 1

25、nnzdzdw 0 ,)0( z所 以 ， ,0外平 面 上 除 原 点在 zzzw n .处 处 都 是 保 角 的)2( ,原 点的 单 叶 性 区 域 是 顶 点 在由 于 nzw 张 度 .2 的 角 形 区 域不 超 过 n nzw 故 在 此 角 形 区 域 内.是 共 形 的 ,2 的 角 形 区 域 内在 张 度 超 过 n 则 不 是,共 形 的 .是 共 形 的但 在 其 中 各 点 的 邻 域 内6.7定 理 ,)( 内 单 叶 解 析在 区 域设 Dzfw 则)1( .)()( DfGDzfw 共 形 映 射 成 区 域将)2( 内 单 叶 解 析 ，在 区 域反 函

26、数 Gwfz )(1 且)(1)( 001 zfwf ).)(,( 000 GzfwDz 证 ： )2( ,)( 内 单 叶 解 析在由 于 Dzf ,0 Dz 故 .0)( 0 zf ,)( 的 单 叶 满 变 换到是又 因 GDzfw于 是 ， 时 ，当 0ww ,0zz 在即 反 函 数 )(1 wfz .内 单 叶区 域 G 故0 011 )()( ww wfwf .1 00zz ww 内 解 析 ，在 区 域由 于 Dyxivyxuzf ),(),()( :方 程内 满 足故 在 RCD ,yx vu 00ww zz .xy vu yx yx vv uu故 xx xx uv vu 2

27、2 xvux 2| xx ivu 2|)(| zf .0，内即 在 该 邻 域 )( 0wN由 隐 函 数 存 在 定 理 知 ， 存 在 两 个 函 数),(,),( vuyyvuxx .)( 0000 内 连 续及 其 某 一 邻 域在 点 wNivuw ,0 时当 ww 必 有)(1 wfz ),( 010 wfz 故 0 011 )()(lim0 ww wfwfww 000lim 1 zz wwzz .)(1 0zf即 )(1)( 001 zfwf .)(,( 000 GzfwDz ,00 的 任 意 性 知及由 zw Gwfz 在 区 域)(1.内 解 析 证 毕由 此 可 知 ，

28、共 形 映 射 成 区将 区 域若 Dzfw )(,)(DfG 域 共 形将 区 域则 其 反 函 数 Gwfz )(1 .D映 射 成 区 域此 时 ， 变角 形内 的 一 个 无 穷 小 曲 边 三区 域 D .角 形内 的 一 个 无 穷 小 曲 边 三换 成 区 域 Ga bc D z a bc G w)(zfw )(1 wfz ,角 大 小 及 方 向由 于 保 持 了 曲 线 间 的 夹.“ 相 似 ” 与故 .由 来这 就 是 共 形 映 射 名 称 的 ,对 于 共 形 映 射需 要根 据 理 论 和 实 际 问 题 的：题主 要 研 究 两 个 方 面 的 问一 、 D对 于

29、 给 定 的 区 域,)(zfw ,)(DfG 求 像 集 是 否 将并 讨 论 )(zf.GD 共 形 地 映 射 为二 、 ,GD和给 定 两 个 区 域 ，求 一 解 析 函 数 )(zfw.)( GDzf 共 形 地 映 射 为将使 得 形 映 射 的其 中 第 二 个 问 题 称 为 共 ,基 本 问 题,它 更 具 有 实 用 价 值 .但 研 究 起 来 较 为 困 难上 的 解 析 函 数和 定 义 在 D 注 ： .然 是 一 个 共 形 映 射两 个 共 形 映 射 的 复 合 仍 ,)( EDzf 共 形 映 射 成 区 域将 区 域即 若 而,)( GEhw 共 形 映 射 成将 将则 )( zfhw.GD共 形 映 射 成 区 域区 域 基 于 这 一 事 实 ， 形 映可 以 复 合 若 干 基 本 的 共.形 映 射射 而 构 成 较 为 复 杂 的 共