数学建模案例分析

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1、Statistics建 模 大 赛 案 例 分 析 23:04我国经济增长与经济结构、财政收入、居民收入关系之研究 Topic 23:04 我 国 经 济 增 长 与 经 济 结 构 、 财 政 收 入居 民 收 入 关 系 之 研 究 赛 题 要 求论 证 经 济 增 长 、 经 济 结 构 、 与 财 政 收 入 、 居民 收 入 的 匹 配 度 . 分 析 经 济 增 长 、 财 政 收 入 、 经 济 结 构 、 与 居民 收 入 之 间 关 系 变 动 的 数 量 特 征 和 趋 势 . 探 讨 影 响 居 民 收 入 的 各 种 因 素 论 证 所 建 模 型 的 适 用 条 件

2、、 合 理 性 、 和 可 靠性 根 据 所 建 模 型 ， 对 2 0 1 0 年 我 国 经 济 增 长 、 经济 结 构 、 居 民 收 入 、 财 政 收 入 进 行 区 间 预 测 在 建 模 过 程 中 ， 讨 论 近 两 年 金 融 危 机 和 宏 观调 控 对 经 济 增 长 、 经 济 结 构 、 财 政 收 入 、 居民 收 入 之 间 关 系 变 动 的 影 响 . 提 出 相 应 结 论 和 观 点 23:04 案 例 研 究 思 路 经 济 增 长预 测 模 型Party1 ：问 题 提 出 和研 究 现 状Part 2 ： 定 性 分 析 及 匹配 度 分 析 Pa

3、rt 5： 结 论 Part3 ：经 济 增 长 模型 的 建 立 和检 验Part 4 ： 23:04 Part One 引 言 23:04 问题的提出和研究现状.如何对敏感数据的匹配性进行定量分析，科学解释数据之间的匹配关系，如何正确预测重要指标的发展趋势 23:04 Part Two 基 本 统 计 分 析 23:04 一、定性分析l 定性分析思路对命题中四个经济指标的发展现状做描述性分析。l 统计方法统计图、统计表。 23:04 -0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4 0.50.0050,000.00100,000.00150,000.00200,000.00250

4、,000.00300,000.00350,000.00 第 一 产 业 第 二 产 业 第 三 产 业 GDP名 义 增 长 率总体经济发展经济增长和经济结构变动分析 23:04 主要影响指标变动分析财政收入 、居民收入 0.0%5.0%10.0%15.0%20.0%25.0% 30.0%35.0% 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 GDP名 义 增 长 率 财 政 收 入 增 长 率城 镇 人 均 可 支 配 收 入 增 长 率 农 村 居 民 纯 收 入 增 长 率 23:04 区域经济发展分析

5、东、中、西部 1995 2000 2008东 部 中 部 西 部 东 部 中 部 西 部 东 部 中 部 西 部GDP比 重 49.0 37.6 52.8 52.8 33.6 13.6 58.2 27.4 14.4 财 政 收 入 占 比 5.3 4.9 5.5 7.1 5.6 6.6 9.8 6.9 9.2 城 镇 居 民 收 入占 比 1.8 1.6 1.0 1.4 1.2 1.0 1.6 1.3 1.0 农 村 居 民 收 入占 比 2.6 2.0 1.0 2.3 1.8 1.0 2.2 1.7 1.0第 三 产 业 比 重 35.4 31.7 33.3 41.7 37.3 40.0 4

6、1.7 34.6 36.7 23:04 二、匹配度分析l 匹配度分析研究GDP与其他经济指标发展的匹配关系。l 统计方法匹配度的定量计算方法和相关标准参考： 23:04 匹配度的计算步骤：GDP与产业结构匹配度建模思想：利用距离测算我国实际数据与匹配条件下标准数据之间的差异性。 23:04 匹配度的计算步骤：GDP与产业结构匹配度建模步骤：l 参阅国际匹配标准，拟合与我国GDP水平相匹配的产业结构标准值：人 均GDP（ 美 元 ） 200 300 400 600 1000 2000第 一 产 业比 重 36 30.4 26.7 21.8 18.6 16.3 第 二 产 业比 重 19.6 23

7、.1 25.5 29 31.4 33.2第 三 产 业比 重 44.4 46.5 47.8 49.2 50 50.5 23:04 匹配度的计算步骤：GDP与产业结构匹配度建模步骤：l 参阅国际匹配标准，拟合与我国GDP水平相匹配的产业结构标准值：人 均GDP（ 美 元 ） 200 300 400 600 1000 2000第 一 产 业比 重 36 30.4 26.7 21.8 18.6 16.3 第 二 产 业比 重 19.6 23.1 25.5 29 31.4 33.2第 三 产 业比 重 44.4 46.5 47.8 49.2 50 50.5 23:04 匹配度的计算步骤：GDP与产业结

8、构匹配度建模步骤：l 参阅国际匹配标准，拟合与我国GDP水平相匹配的产业结构标准值： 3 2.6ln 31.6y x 1 8.6ln 79.37y x 2 6.0ln 11.0y x 0102030405060 0 500 1000 1500 2000 2500第 一 产 业 比 重 第 二 产 业 比 重 第 三 产 业 比 重 23:04 匹配度的计算步骤：l 参阅国际匹配标准，拟合与我国GDP水平相匹配的产业结构标准值：GDP与产业结构匹配度建模步骤： 标 准 值 实 际 值年 度 人 均GDP（ 美 元 ） 一 产 业 二 产 业 三 产 业 一 产 业 二 产 业 三 产业2007

9、2675 0.1151 0.3636 0.5213 0.129 0.476 0.395 23:04 匹配度的计算步骤：l 计算标准值和实际值之间的欧式距离，并归一化为（0，1）GDP与产业结构匹配度建模步骤：三 维 空 间 两 点 a(x1,y1,z1)与 b(x2,y2,z2)间 的 欧 氏 距 离 ： 该距离的值域范围为0到 2 23:04 匹配度的计算步骤：l 计算标准值和实际值之间的欧式距离，并归一化为（0，1）GDP与产业结构匹配度建模步骤： 标 准 值 实 际 值年 度 人 均GDP（ 美 元 ） 一 产 业 二 产 业 三 产 业 一 产 业 二 产 业 三 产业2007 267

10、5 0.1151 0.3636 0.5213 0.129 0.476 0.395 2 2 2(0.1151 0.129) (0.3636 0.476) (0.5213 0.395) / 2 0.119955 23:04 匹配度的计算步骤：GDP与居民收入、财政收入匹配度建模思想：设匹配度量化取值为（0，1），当相关指标占GDP的比例达到理想标准时，匹配度为0；但相关指标占GDP比例为0时，匹配度为1；并设匹配度随指标比例在（0，1）上非线性变动（二次函数曲线 ）。 2( )y a x b 23:04 匹配度的计算步骤：GDP与居民收入、财政收入匹配度建模步骤：以收入为例查阅文献得到居民收入的理

11、想值为占GDP总量59.5%，得到二点： （0，1） 、（0.595，0）拟合曲线得方程组 2 21 (0 )0 (0.595 )a ba b 22.82466 ( 0.595)y x 2008年城镇居民收入占比为0.263183，带入得到匹配度为0.311034 23:04 三、灰色关联分析l 目的研究GDP与其他经济指标间的关联紧密程度。l 统计方法灰色关联系数 23:04 灰色关联系数的计算步骤l 数据规范化剔除量纲影响原始数据:处理后数据: ( (1), (2), , ( )i i i ix x x x n (1) (2) ( )( , , , )(1) (1) (1) i i ii

12、i i ix x x ny x x x 23:04 灰色关联系数的计算步骤l 计算各时刻关联系数参考数列:比较数列: 0 0 0 0( (1), (2), , ( )y y y y n ( (1), (2), , ( ) i i i iy y y y n 1,2, ,i m 0(1) (1)iy y 0(2) (2)iy y 0( ) ( )iy n y n0maxmax ( ) ( )ii k y k y k 0minmin ( ) ( )ii k y k y k序列差: 23:04 灰色关联系数的计算步骤l 计算各时刻关联系数 0 0 0 0minmin maxmax( ) maxmaxi

13、 ii i iy k y k y k y kk y k y k y k y k 23:04 灰色关联系数的计算步骤l 计算关联度 1 ( )ni iir k 23:04 灰色关联系数的计算步骤案例计算结果：以GDP为参考序列:城镇收入农村收入三产比重财政收入二产比重以财政收入为参考序列:GDP城镇收入农村收入三产比重二产比重 23:04 灰色关联系数的计算步骤案例计算结果：以城镇收入为参考序列:农村收入GDP三产比重二产比重财政收入以农村收入为参考序列:城镇收入三产比重GDP二产比重财政收入 23:04 Part Three经 济 增 长 模 型 的 建 立 和 检 验 23:04 一、模型构

14、建目标及变量选择l目标研究各经济指标对经济增长的影响。l 变量选择被解释变量：GDP解释变量：财政收入、农村居民人均纯收入、城镇居民人均可支配收入、经济结构 23:04 二、模型构建方法l模型一：GDP和收入偏最小二乘回归（Partial Least-Squares Regression）。l 模型二：经济增长和产业结构模型多元回归 23:04 偏最小二乘（PLS）原理介绍u多元线性回归的困惑：l样本容量要求很高： 一般应大于30，或大于自变量个数的5-10倍l当出现严重的多重共线性问题时 23:04 偏最小二乘（PLS）原理介绍u常用解决方法：l逐步回归l主成份回归l岭回归 在克服多重共线对

15、系统回归建模干扰的努力中，1983年，S.Wold和 C.Abalno提出了偏最小二乘分析。 23:04 偏最小二乘（PLS）原理介绍u偏最小二乘的特点：l可用于多变量对多变量建模l能在多重共线情况下进行建模l允许样本量小于自变量个数情形下的建模l最终模型包含所有变量，易于解释和辨识系统信息 23:04 偏最小二乘（PLS）原理介绍u建模原理：偏最小二乘=主成份分析+典型相关+多元回归 23:04 偏最小二乘（PLS）原理介绍u知识链接主成份分析：主成份分析：就是用少数的几个综合指标来代表原来的多项指标，而且几个综合指标之间是独立的。 12pxxx 1 11 1 12 2 12 21 1 22

16、 2 21 1 2 2 p pp pp p p pp py a x a x a xy a x a x a xy a x a x a x 第一主成份第二主成份 . （各成分间独立，且按包含原指标信息量排队） 23:04 偏最小二乘（PLS）原理介绍u知识链接典型相关分析：典型相关分析：找到两组变量间联系，通过一组变量的线性组合与另一组变量线性组合的关联关系来体现。 12pxxx 12qyyy第一对典型变量1U2UKU 1V2V KV 11 1 12 2 1p pa x a x a x 21 1 22 2 2p pa x a x a x 1 1 2 2p p pp pa x a x a x 21

17、1 22 2 2q qb y b y b y 11 1 12 2 1q qb y b y b y 21 1 22 2 2q qb y b y b y 第二对典型变量 第K对典型变量 23:04 偏最小二乘（PLS）原理介绍uPLS建模原理： 自变量集： 因变量集：1 2( , , , )px x x 1 2( , , , )qy y y建模步骤：l 在自变量集中提取第一主成份 ，同时在因变量集中也提取第一主成份 ，要求 和 相关程度达到最大；然后建立因变量与 的回归，并判断精度； 1t 1u1u 1 2, , , qy y y1t 1t 23:04 偏最小二乘（PLS）原理介绍uPLS建模原理

18、： 自变量集： 因变量集：1 2( , , , )px x x 1 2( , , , )qy y yl继续提取第二对主成份，获得 和 ，建立因变量 和 的回归，判断精度，如不满足继续提取。 2t 2u 1 2, , , qy y y 1t 2t 23:04 偏最小二乘（PLS）原理介绍uPLS建模原理： 自变量集： 因变量集：1 2( , , , )px x x 1 2( , , , )qy y yl若最终提取r个主成份 ， 偏最小二乘将通过建立 与 的回归式，然后再表示为 与原自变量的回归方程式，即最终结果。 1 2, , , rt t t 1 2, , , qy y y 1 2, , ,

19、rt t t 1 2, , , qy y y主成份 个数的选择方法交叉有效性检验 23:04 偏最小二乘（PLS）原理介绍u交叉有效性检验 ：留一交叉验证 2( )( ) ( ( )ij i jj iPRESS h y y h 越小越好 2 21 ( )/ ( 1) (1 0.95) 0.0975hQ PRESS h SS h ( 1)SS h 为所有样本拟合h-1各成分时的回归误差平方和 23:04 偏最小二乘（PLS）原理介绍u回归系数显著性检验t检验jackknife方差估计： 211( ) ( )nj iinVar n i 为去掉第i各样本后回归所得系数估计值 23:04 偏最小二乘（

20、PLS）的实现uR中的PLS包的加载将PLS下载到指定目标，运行R程序，并加载PLS包。（注意：无需解压） library(pls)#载 入 程 辑 包 ： pls 23:04 偏最小二乘（PLS）的实现uPLS在R中实现代码Step1： 导 入 数 据 ， 并 进 行 数 据 的 标 准 化#inde.txt 自 变 量 de.txt 解 释 变 量 ， 数 据 事 先 存 储 于 F盘x-read.table(file=f:data1/inde.txt,header=TRUE) #读 入 自 变 量 数 据 ;y-read.table(file=f:data1/de.txt,header=

21、TRUE) #读 入 因 变 量 数 据 ; normy-scale(y) #数 据 标 准 化normx-scale(x) #数 据 标 准 化normy #显 示 数 据normx #显 示 数 据 23:04 进 行 pls回 归 ， 并 进 行 交 叉 验 证 ， 选 择 成 分 数偏最小二乘（PLS）的实现uPLS在R中实现代码Step2： 进 行 pls回 归 ， 并 进 行 交 叉 验 证 ， 选 择 成 分 数pls1-plsr(normynormx,validation=LOO,jackknife=TRUE)#进 行 PLS估 计summary(pls1) #显 示 回 归

22、结 果 (包 括 PRESS， 与 解 释 变 异 度 )其 中 ， validation=“LOO”表 示 使 用 留 一 交 叉 验 证 计 算 PRESS,jackknife=TRUE表 示 使 用 jackknife方 法 计 算 回 归系 数 方 差 ， （ 为 做 回 归 系 数 显 著 性 检 验 ） ； 没 给 定 主 成 份 个 数 ， 默 认 使 用 所 有 成 分 回归 ， 以 备 选 择 。 validationplot(pls1)#函 数 validationplot（ ） 显 示 不 同 成 分 数 下 留 一 交 叉 验 证 的 预 测误 差 平 方 根 23:0

23、4 偏最小二乘（PLS）的实现uPLS在R中实现代码Step3： 根 据 选 择 成 分 数 ， 重 新 建 立 模 型pls2 library(e1071)#载 入 程 辑 包 ： e1071 23:04 二、支持向量回归R语言实现 23:04 #数据预处理后提前存储于F盘下四个文本文档中：try.txt 训练集数据test.txt 检测集数据 23:04 二、支持向量回归R语言实现 23:04 Step1： 导 入 数 据try-read.table(file=“f:data2/try.txt”,header=TRUE) #读 入 训 练 集 数 据 ;test-read.table(fi

24、le=“f:data2/test.txt”,header=TRUE) #读 入 检 测 集 数 据 ;try-as.matrix(try) # 数 据 转 换 矩 阵 形 式test-as.matrix(test) # 数 据 转 换 矩 阵 形 式 23:04 二、支持向量回归R语言实现 23:04 Step2： 采 用 几 种 常 见 核 函 数 建 模 并 比 较svm1-svm(y.,try,kernel=linear) #使 用 线 性 核 函 数 建 模 ;svm2-svm(y.,try,kernel=sigmoid) #使 用 sigmoid核 函 数 建 模 ; svm3-sv

25、m(y.,try,kernel=radial)#使 用 高 斯 核 函 数 建 模 ; svm4-svm(y.,try,kernel=polynomial) #使 用 多 项 式 核 函 数 建 模 ;fy1-predict(svm1,test)fy2-predict(svm2,test) fy3-predict(svm3,test)fy4-predict(svm4,test) 23:04 二、支持向量回归R语言实现 23:04 Step2： 采 用 几 种 常 见 核 函 数 建 模 并 比 较e1-mean(fy1-ty)/ty)2)e3-mean(fy3-ty)/ty)2)e2-mean

26、(fy2-ty)/ty)2)e4-mean(fy4-ty)/ty)2) 23:04 二、支持向量回归R语言实现 23:04 try-data.frame(try) obj- tune.svm(y.,data=try, kernel=radial,gamma = 10(-6:-1), cost = 10(1:2) summary(obj)Step3： 选 定 核 函 数 下 ， 选 择 其 他 参 数 23:04 二、支持向量回归R语言实现 23:04 model -svm(y.,data=try, gamma = 0.01, cost = 100) summary(model)cy-predi

27、ct(model,test) e-mean(cy-ty)/ty)2)Step4： 在 选 定 核 函 数 和 参 数 值 下 估 计 模 型 23:04 二、支持向量回归R语言实现 23:04 思 路 ： 首 先 分 别 建 立 各 自 变 量 的 时 间 线 性 预 测 模 型 ， 然 后 给 出 预 测 期 估 计 值然 后 带 入 SVM模 型 得 出 GDP预 测 期 估 计 值 。Step5： 预 测 23:04 Part Five 结 论 23:0423:04 我 国 主 要 数 据 匹 配 度 良 好主 要 指 标 与 GDP的 关 联 关 系 的 紧 密 程 度 依 次 是 城 镇 居 民 可 支 配 收 入 、 农 村 居 民 可 支 配收 入 、 第 三 产 业 比 重 、 财 政 收 入 、 第 二 产 业 比 重居 民 收 入 影 响 因 素 中 城 乡 互 为 首 要 因 素 ， 其 次 是 GDP的 增 长 和 第 三 产 业 的 发 展我 国 经 济 发 展 应 该 把 着 眼 点 放 在 增 加 城 乡 居 民 收 入 、 刺 激 消 费 同 时 加 强 第 三 产 业 发 展 。