单自由度系统的振动

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1、飞行器结构动力学 第 2章 单自由度系统的振动 第 2章 单自由度系统的振动 2.1 单自由度系统的自由振动 2.2 单自由度系统的强迫振动 2.3 单自由度系统的工程应用 第 2章 单自由度系统的振动 2.1 单自由度系统的自由振动 2.1 单自由度系统的自由振动 正如第一章所述 ， 振动系统可分为 离散模型 和 连 续模型 两种不同的类型 。 离散模型具有有限个自由度 ， 而连续模型则具有无限个自由度 。 系统的自由度定义为能完全描述系统运动所必 须的独立的坐标个数。 在离散模型中，最简单的是 单自由度线性系统 ， 它用一个二阶常系数常微分方程来描述。这类模型常 用来作为较复杂系统的初步近

2、似描述。 第 2章 单自由度系统的振动 弹性元件最典型的例子是弹簧 ， 通常假定弹簧为无质量元 件 。 如图 2-1(a)所示 ， 弹簧力 Fs 与其相对变形 x2-x1的典型函数关 系如下图 2-1（ b） 所示 。 构成 离散模型 的 元素 有三个 ， 弹性元件 、 阻尼元件 和 惯 性元件 。 构成离散模型的元素 弹性元件 图 2-1 弹簧模型 2.1 单自由度系统的自由振动 当 x2-x1 比较小时 ， 可以认为弹簧力与弹簧变形量 成正比 ， 比例系数为图中曲线的斜率 k， 如果弹簧工 作于弹簧力与其相对变形成正比的范围内 ， 则称弹簧 为 线性弹簧 ， 常数称为 弹簧常数 k ， 或

3、 弹簧刚度 。 一 般用 k 表示 。 单位为 （ N/m） 。 图 2-1 弹簧模型 2.1 单自由度系统的自由振动 阻尼元件 通常称为 阻尼器 ，一般也假设为无质量。 常见的阻尼模型三种形式 : (a ) (b) c 0 斜率 c dF 1x 2x dF 12 xx dF 图 2-2阻尼模型 阻尼元件 由物体在粘性流体中运动时受到的阻力所致的粘滞阻尼。 由相邻构件间发生相对运动所致的干摩擦（库仑）阻尼。 由材料变形时材料内部各平面间产生相对滑移或滑动引起 内摩擦所致的滞后阻尼。 粘滞阻尼是一种最常见的阻尼模型。 2.1 单自由度系统的自由振动 在本书中 ， 如无特别说明 ， 所说的阻尼均指

4、 粘 滞阻尼 ， 其阻尼力 Fd 与阻尼器两端的相对速度成正 比 ， 如图 2-2（ b） ， 比例系数 c 称为 粘性阻尼系数 ， 它的单位为牛顿 -秒 /米 （ N-s/m） ， 阻尼器 通常用 c 表示 。 图 2-2阻尼模型 2.1 单自由度系统的自由振动 (a ) (b) c 0 斜率 c dF 1x 2x dF 12 xx dF 惯性元件 就是离散系统的 质量元件 ， 惯性力 Fm与 质量元件的加速度 成正比，如图 2-3所示，比例 系数就是质量 m 。 m 的单位为千克（ kg ）。 )(tx 图 2-3 质量模型 惯性元件 2.1 单自由度系统的自由振动 并联时弹簧的等效刚度

5、在实际工程系统中 ， 常常会有多个弹性元件以各种形式 组合在一起的情况 ， 其中最典型的是并联和串联两种形式 ， 分别如图 2-4（ a） 和 2-4（ b） 所示 。 图 2-4 弹簧的组合 弹性元件的组合 2.1 单自由度系统的自由振动 )( 1211 xxkF s )( 1222 xxkF s （ 2-1） )()()( 1212212121 xxkxxkxxkFFF eqsss 所以等效弹簧刚度为 （ 2-2） 21 kkk eq 1 n e q i i kk 串联时弹簧的等效刚度 1 1 1n eq i i k k 2.1 单自由度系统的自由振动 在图 2-4（ b） 所示的串联情况

6、下 ， 可以得到如下关系 )( 101 xxkF s )( 022 xxkF s 将 x0 消掉，可得 )( 12 xxkF eqs 1 21 11 kk k eq （ 2-6） （ 2-5） （ 2-4） （ 2-3） 如果有 n 个弹簧串联时 ， 可以证明有以下结论 2.1.1 单自由度系统的运动方程 图 2-5 单自由度模型 单自由度弹簧 -阻尼器 -质量系统可由图 2-5（ a） 表示 ， 下面用牛顿定律来建立系统的运动方程 。 绘系 统的分离体图如图 2-5（ b） 。 运动微分方程 2.1 单自由度系统的自由振动 ( ) ( ) ( ) ( )m x t c x t k x t F

7、 t （ 2-8） ( ) ( ) ( ) ( )sdF t F t F t m x t 由于 ， 方程（ 2-7）变为 : )()( tkxtF s )()( txctF d （ 2-8） 式是一个 二阶常系数常微分方程 。 常数 m ， c， k是 描述系统的 系统参数 。 方程 （ 2-8） 的求解在振动理论中是十分 重要的 。 用 F(t)表示作用于系统上的外力，用 x(t) 表示质量 m 相对 于平衡位置的位移，可得 : （ 2 -7） 2.1 单自由度系统的自由振动 n称为系统的无阻尼自然角频率。可以证明（ 2-9）式具有如 下形式的通解 : 2( ) ( ) 0nx t x t

8、2 n k m （ 2-9） 12( ) c o s s i nnnx t A t A t （ 2-10） 2.1.2 无阻尼自由振动 本节首先讨论单自由度系统的自由振动。在自由振动情况 下， F (t) 恒等于零。在（ 2-8）式中令， F (t) =0 ， c = 0 则有 : 其中 A1和 A2为积分常数，由系统的初始条件决定，即由初始 位移 x(0)和初始速度 决定。 )0(x 运动方程 2.1 单自由度系统的自由振动 若引入 1 c o sAA 2 s i nAA （ 2-11） 可得 : 22 12A A A 1 2 1 t a n AA 蒋 (2-11)代入 (2-10)可导得

9、: ( ) c o s nx t A t （ 2-12） （ 2-13） A和 也是积分常数 ， 同样由 x(0) 和 决定 。 方程 （ 2-13） 表明系统以为 n 频率的简谐振动 ， 这 样的系统又称为简谐振荡器 。 （ 2-13） 式描述的是最 简单的一类振动 。 )0(x 2.1 单自由度系统的自由振动 在简谐振动中 ， 完成一个完整的运动周期所需的时间定 义为 周期 T 周期 2 n T 从物理概念上讲， T代表完成一个完整的振荡所需的时间， 事实上 T等于振动过程中相邻的两个完全相同的状态所对应的时 间差，其单位为 秒 。 自然频率 1 2 nnf T 自然频率的单位为 赫兹 (

10、HZ)。 自然频率 通常也用每秒的循环次数表示，其数学表达式为 : 2.1 单自由度系统的自由振动 （ 2-14） （ 2-15） 0 0( ) c os si nnn n vx t x t t （ 2-16） 1 0 0 t a n n v x 2 2 0 0 n v Ax 下面给出用 初始条件 表示的积分常数 A和 的表达 式 。 引入符号 ， ， 利用方程 （ 2-10） 不难证明简谐振子对初始条件 x0和 v0 的响应为 0 (0 )xx )0(0 xv 比较方程（ 2-11）和（ 2-16），并利用（ 2-12）式的 关系，可以导出振幅 A与相角 有如下形式 积分常数 A和 的表达式

11、 2.1 单自由度系统的自由振动 （ 2-17） 例 2-1 如图 2-6 ，一个半径为 R的半圆形薄壳， 在粗糙的表面上滚动，试推导此壳体在小幅运动下的 运动微分方程，并证明此壳体的运动象简谐振子，计 算振子的自然振动频率。 图 2-6 例 2-1题图 2.1 单自由度系统的自由振动 ccIM （ a） 分析 :本例运动方程的建立过程要比弹簧质量系统复杂一 些 ， 运用理论力学中平面运动的理论 ， 可建立系统的运动方 程 。 设壳体倾斜角为 （ 如图 2-6） ， 设 c 为壳体与粗糙表面的 接触点 ， 在无滑动的情况下 ， 壳体瞬时在绕 c 点作转动 。 对 c 点取矩 ， 可得系统的运动

12、微分方程 。 解： 2.1 单自由度系统的自由振动 22 2 222 2 s i n s i n c o s 2 s i n c M R d w g R d g R g R （ b） 其中 ， IC为绕点 C的转动惯量 ， MC 为重力作用下的恢复力矩 。 为方便起见 ， 设壳体的长度为单位长度 ， 由图 2-6， 对 于给定的 ， 对 C点的恢复力矩 MC 有如下 形式： ccIM （ a） 2.1 单自由度系统的自由振动 22 2 222 2 s i n s i n c o s 2 s i n c M R d w g R d g R g R （ b） 2 22 232 2 si n ( 1

13、 c os ) 2 1 c os 2 ( 2 c os ) cI R R dm R d R （ c） 壳体对 C 点的转动惯量为 : 其中 ， dw是给定角 位置的微元体重量， 是壳体单位面积 的质量。 2.1 单自由度系统的自由振动 当壳体作 小幅振动 时 ， 即 很小时 ， 引入近似表达式 sin， cos1 ， 并将 （ b） 、 （ c） 两式代入 （ a） 中 ， 得到 : 322 2 2R g R （ d） 02 g R （ e） 2n g R （ f） 整理可得 : （ e）式表明，当 很小时，系统运动的确象 简谐振子 ，其 自然频率 为 : ccIM （ a） 2.1 单自由度

14、系统的自由振动 2( ) 2 ( ) ( ) 0nnx t x t x t （ 2-18b） () stx t A e （ 2-19） 2220nnss (2-20) 2.1.3 有阻尼自由振动 有阻尼自由振动方程 : 其中， 称为粘性阻尼因子。设（ 2-18b）式的解有如 下形式 : nmc 2/ 将（ 2-19）代入（ 2-18b）中，可得代数方程 有阻尼自由振动方程 2.1 单自由度系统的自由振动 ( ) ( ) ( ) 0m x t c x t k x t （ 2-18a） 写成 : 2220nnss (2-20) 这就是系统的特征方程，它是 s 的二次方程，有两个解： 12 2 1s

15、sn 很明显 ， s1、 s2 的性质取决于 阻尼因子 ，其相互关系可以从 s 平面，即复平面上得到反映（如 图 2-7）。 （ 2-21） 图 2-7 s1 、 s2 的复平面表示 2.1 单自由度系统的自由振动 （ 2-20） 式的根 s1 、 s2 作为 阻尼因子 的函数在复平面 上描绘出一条曲线 ， 图中可 直观地了解参数 对系统运 动行为的影响 ， 或者说对系 统响应的影响 。 参数 对系统响应的影响。 2220nnss (2-20) 2.1 单自由度系统的自由振动 当 =0时，得到两个复根 in ，此时 系统就是简谐振子。 当 0 1时， 为复共轭，在图中对称 地位于实轴的两侧，并

16、位于半径为 n的 圆上。 当 =1时，特征方程的根 s1 、 s2为 n ，落在实轴上。 当 1时，特征方程的根始终在实轴上 ,且随着 ， s1 0、 s2 12 2 1ssn （ 2-21） 2.1 单自由度系统的自由振动 将特征方程的根（ 2-21）代入（ 2-19）式，可得系统的 通解 : tnn nn tsts netAtA tAtA eAeAtx )1e x p ()1e x p ( 1e x p1e x p )( 2 2 2 1 2 2 2 1 21 21 （ 2-22） () stx t A e （ 2-19） 12 2 1ssn （ 2-21） 系统的通解 2.1 单自由度系统

17、的自由振动 式 （ 2-22） ， 对应于 1的情况 ， 此时系统的 运动是 非振荡 的 ， 并且随时间 按指数规律衰减 ， x(t) 的确切形状取决于 A1 和 A2 ， 也即取决于初始位移 x0 和初速度 v0 。 1的情况称为 大阻尼 或 过阻尼 。 大阻尼 ( 1) tnn nn tsts netAtA tAtA eAeAtx )1e x p ()1e x p ( 1e x p1e x p )( 2 2 2 1 2 2 2 1 21 21 （ 2-22） 2.1 单自由度系统的自由振动 这也代表一指数衰减的响应， =1的情况称为临界阻尼。 在特殊情况 =1,方程 （ 2-20） 有一个

18、重根 ， s1=s2= n ， 不难证明在这种情况下 ， 系统有如下形式的解 : tnetAAtx )()( 21 （ 2-23） 由表达式 可见当 =1时，临界粘性阻尼 /2 ncm kmmc ncr 22 临界阻尼（ =1） 临界阻尼是 1和 1的一个分界点，应该注意到， =1时，系统的运动趋近于平衡位置的速度是最大的。 =1也是系统振动与非振动运动的临界点。 2.1 单自由度系统的自由振动 2220nnss （ 2-20） 图 2-8 1 时 x(t) 曲线 1 、 =1时系统的自由振动如图 2-8-图 2-9 。 图 2-9 =1 时 x(t) 曲线 2.1 单自由度系统的自由振动 其

19、中， ，通常称为有阻尼自由振动频率。 2 1 2 )1( nd 由于 : tite tite dd ti dd ti d d s i nc o s s i nc o s （ 2-25） 0 1时，解（ 2-22）可改写成如下形式： 22 12 12 ( ) e x p 1 e x p 1 n d d n t nn i t i t t x t A i t A i t e A e A e e （ 2-24） 小阻尼（ 0 1） 2.1 单自由度系统的自由振动 方程（ 2-24）简化成 )co s ()( tAetx dtn （ 2-27） 可见上式表示的运动为振动 ， 频率为常值 ， 相角 为 ，

20、 而幅值为 ， 以指数形式衰减 。 常数 、 由 初始条件决定 。 称为 小阻尼 或 欠阻尼 情况 。 d tnAe A 10 并设 c o s21 AAA s in)( 21 AAAi （ 2-26） 2.1 单自由度系统的自由振动 小阻尼情况的典型响应曲线如图 2-10所示，曲线 为响应曲线的 包络线 。很明显，当 t ， x(t) 0，因 此响应最终趋于消失。 tnAe 图 2-10 0 1 时 x(t) 曲线 2.1 单自由度系统的自由振动 例 2-2 对于图 2-5所示的单自由度系统，计算系统分别在 ， 和 时，对于初始条件 ， 的响应。 1 1 01 0)0( x 0)0( vx

21、12 AA 解 : 对于 ，用（ 2-22）式有 ，所以 0)0( 21 AAx1 （ a） 因此 ,系统响应应有如下形式 teAtx ntn 1s i n h2)( 21 （ b） 因此，系统响应对（ b）式求导，并代入初始条件 可得 0(0 )xv n vA 1 2 2 0 1 （ c） 可得 时，系统的响应 1 tevtx nt n n 1s i n h 1 )( 2 2 0 （ d） 2.1 单自由度系统的自由振动 对于 ，从（ 2-23）式中容易导出 和 ，所以此 时的响应为 : 1 01 A 02 vA tntevtx 0)( （ e） 对于 ，在（ 2-27）式中用初始条件 得

22、，幅值则与初始速度有关， ，因此（ 2-27）简化为 : 10 0)0( x 2/ dvA /0 tevtx dt d n s in)( 0 21 nd （ f） 表达式（ d）、（ e）、（ f）分别对应于大阻尼、临界阻尼和 小阻尼的情况，其图形分别见图 2-8 2-10。图中将 、 、 作 为参数，给出了响应 随这些参数的变化规律。 n 0v)(tx 2.1 单自由度系统的自由振动 2.1.4 对数衰减率 如前所述，在小阻尼情况下粘性阻尼使振动按指数规律衰减， 而指数本身又是阻尼因子 的线性函数。下面来寻求通过衰减响应 确定阻尼因子 的途径。 图 2-11, 01时 x(t)的一般规律 在

23、图 2-11中 ， 设 t1 和 t2表示两相邻周期中相距一个完整周期 T 的 两对应点的时间 。 2.1 单自由度系统的自由振动 由（ 2-27）式，可得 )c o s ( )c o s ( 2 1 2 1 2 1 tAe tAe x x d t d t n n （ 2-28） )co s ()( tAetx dtn （ 2-27） )c o s ()c o s ( 12 tt dd 由于 ， 是有阻尼振动的周期，所以 Ttt 12 dT /2 T Tt t n n n e e e x x 1 2 1 （ 2-29） 这样（ 2-28）式可化为 : 2.1 单自由度系统的自由振动 观察（ 2

24、-29）式的指数关系，可以自然地引入以 下关系式 : 2 2 1 1 2ln T x x n （ 2-30） 要确定系统的阻尼，可以测量两任意相邻周期的 对应点 x1 和 x2 ，计算对数衰减率 2 1ln x x 222 （ 2-31） 此处， 称为 对数衰减率 。 从而得到 2.1 单自由度系统的自由振动 对于微小阻尼情况，（ 2-31）式可近似为 2 （ 2-32） 值得注意的是， 可以通过测量相隔任意周期的两对 应点的位移 ， 来确定。设 、 为 、 对 应的时间， 为整数，则 1x 1jx1t jTtt j 111x 1jx j Tj j ne x x 1 1 （ 2-33） 由（

25、2-33）可导得 1 1ln1 jx x j （ 2-34） 2.1 单自由度系统的自由振动 例 2-3 实验观察到一有阻尼单自由度系统的振动幅值在 5个 完整的周期后衰减了 50%，设系统阻尼为粘性阻尼，试计算系统的 阻尼因子。 解 :设 ，则 5j 1 3 8 6 3.02ln515.0ln51ln51 1 1 6 1 x x x x 由（ 2-31）、（ 2-32）式分别得到： 0 2 2 0 5 8.01 3 8 6 3.02 1 3 8 6 3.0 2 222231 0 2 2 0 6 4.02 1 3 8 6 3.0 232 2.1 单自由度系统的自由振动 2.1.5 弹簧的等效质

26、量 在图 2-12中，设弹簧 具有质量，其单位长度的质量 为 ，那么弹簧的质量对系统的振动有多大影响呢？下面 就来讨论这个问题。 k 图 2-12 弹簧等效质量系统示意图 设质量 的位移用 表示，弹簧的长度为 ，那么距 左端为 的质量为 的微单元的位移则可假设为 ，设 为常数。 tx L d txL/ m 2.1 单自由度系统的自由振动 )() 3 ( 2 1 3 )( 2 1 )( 2 1 2 1 2 1 2 0 2 3 22 2 2 0 2 tx L m L txtxm dtx L txmT L L （ 2-35） )(21 2 tkxV （ 2-36） 根据能量守恒原理 0 dt VTd

27、dtdE （ 2-37） 则系统的动能和势能可分别表示为 2.1 单自由度系统的自由振动 可得 0)()( tkxtxm e f f （ 2-38） 此处 称为 等效质量 。 3 Lmm e f f 可见弹簧的质量将会使系统的自然频率降低到 3 L m k n （ 2-39） （ 2-39）式表明弹簧将自身质量的三分之一贡献给系统的 等效质量，当然，前提是假设弹簧按 规律变形 的。如果假设其他类型的变形模式，影响效果则有可能不 同。 )(/ txL 2.1 单自由度系统的自由振动 第 2章 单自由度系统的振动 2.2 单自由度系统的强迫振动 2.2 单自由度系统的强迫振动 工程振动中一个很重要

28、方面是分析系统对外部激 励的响应，这种振动有别于上节的自由振动，称为 强 迫振动 ，这是本节要讨论的内容。 对于线性系统，根据叠加原理，可以分别求系统 对于初始条件的响应和对于外部激励的响应，然后再 合成为系统的总响应。 2.2.1 系统对于简谐激励的响应 对于图 2-5所示的有阻尼单自由度系统，其运动方程为 )()()()( tFtkxtxctxm （ 2-40） 首先考虑最简单的情况，即 简谐激励 情况，设 F(t) 有如下形式 图 2-5 单自由度模型 tkAtkftF c o s)()( （ 2-41） 运动方程 2.2 单自由度系统的强迫振动 tkAtkftF c o s)()( （

29、 2-41） 将（ 2-41）代入（ 2-40），两边同除以 m 有 tAtfmktxtxtx nnn c o s)()()(2)( 22 （ 2-42） 当 A 为零时 ， 系统为齐次方程 ， 其解就是系统的自由振动响 应 ， 自由振动响应随时间衰减 ， 最后消失 ， 所以自由振动 响应也叫 瞬态响应 。 式（ 2-42）的特解也就是强迫振动响应不会随时间衰减，所 以称为 稳态响应 。 2.2 单自由度系统的强迫振动 )c o s ()( tXtx （ 2-43） 将（ 2-43）代入方程（ 2-42），可得 tAttX nnn co s)s i n (2)co s ( 222 （ 2-44

30、） 利用三角函数关系 s i nc o sc o ss i ns i n s i ns i nc o sc o sc o s ttt ttt 并令（ 2-44）式中 和 项的系数相等可得 tcos tsin 0c o s2s i n s i n2c o s 22 222 nn nnn X AX （ 2-45） 设系统（ 2-42）的稳态响应有如下形式 稳态响应 2.2 单自由度系统的强迫振动 2 1 2 22 )2(1 nn A X （ 2-46） 2 1 1 2 t a n n n （ 2-47） 将（ 2-46）、（ 2-47）代入（ 2-43）得到系统的 稳态解 。 解（ 2-45）式可

31、得 2.2 单自由度系统的强迫振动 典型的激励与响应关系曲线如图 2-13所示。 将 f(t)用复数形式表示 : 图 2-13 简谐激励 f(t) 与响应 x(t)曲线 tiAetf )( （ 2-48） f(t)的这种表示只是一种数学上的处理 ， 是为了求解方便 ， 不言 而喻地隐含着激振力仅由 f(t)的实部表示 ， 当然 ， 响应也应由 x(t) 的实部表示 。 2.2 单自由度系统的强迫振动 系统的稳态响应 nn ti nn ti n i Ae i Ae tx 21 Re 2 Re)( 222 2 （ 2-50） 由上式可见，系统稳态响应 x(t)与激振力 f(t) 成正比，且比例因子

32、 为 nn i H 21 1 )( 2 （ 2-51） 这称为 复频响应 . 在复数表示情况下，系统响应和激励满足关系 tinnnn Aetftxtxtx 222 )()()(2)( （ 2-49） 2.2 单自由度系统的强迫振动 由（ 2-51）式，可见 的模 等于响应幅值和 激励幅值 的无量纲比，即 )(H )(H A 2 1 222 21 1 )( nn H 常称为 幅值因子 。 )(H （ 2-53） 2.2 单自由度系统的强迫振动 图 2-14 简谐激励的响应 图 2-14 给出了在不同阻尼比 下 与 的关系曲线。 n/ 从图中可见，阻尼使系统的振幅值减小，也使峰值相对 于 的位置左

33、移。 1/ n 2.2 单自由度系统的强迫振动 )(H 21221 n （ 2-54） 当 =0时，在 =n处 H () 不连续。 对（ 2-53）式求导，并令其等于零，可得到曲线峰值点对应的 值 当 =0时，对应于无阻尼情况，此时系统的齐次微分方 程就是 简谐振子 。 当驱动频率 趋近于系统的自然频率 n时 ， 简谐振子的 响应趋于无穷 ， 这种状态称为 共振 ， 系统会发生剧烈振 动 。 2.2 单自由度系统的强迫振动 值得注意的是 ， 当 =n 时 ， （ 2-50） 式所表示的解已不 适用了 ， 必须对系统 （ 2-42） 重新求解 。 在微小阻尼情况下 ， 如 0 .05， H ()

34、 的极大值的 位置几乎与 /n=1相差无几 ， 引入符号 H () max=Q ， 在 微小阻尼情况下 ， 有 2 1Q （ 2-55） 品质因子 Q tAtfmktxtxtx nnn c o s)()()(2)( 22 （ 2-42） Q通常称为 品质因子 。 2.2 单自由度系统的强迫振动 2 1 1 2 t a n n n （ 2-59） 相角表达式如上。可以通过傅里叶变换求得或直接将式 （ 2-47） 拿来。 相角 2.2 单自由度系统的强迫振动 从（ 2-59）式和图 2-15可以看出 : 对应于不同 值的所有曲线均在 /n=1处通过共同点 。 2 对于 =0，随 /n的变化曲线在

35、/n=1处间断。从 的 = 0 跳到 /n 1时的 = 。这可以通过 =0 时的 x(t)解来解释。 对于 /n 1情况随 /n减小 ， 相角趋于零 。 对于 /n 1情况 ， 随 /n增大 ， 相角趋于 。 图 2-15 简谐激励的相位 即 /n 1时响应同相， /n 1时响应反相。 2.2 单自由度系统的强迫振动 方程 （ 2-61） 也清楚地表明简谐振子在驱动频率 趋近于自然频率 n时，响应变为无穷大。 下面讨论简谐振子的共振响应，此时系统的运动方 程变为 : tAtxtx nnn co s)()( 22 （ 2-62） ti n Aetx 2 1 1 Re)( （ 2-61） 简谐振子

36、的共振响应 2.2 单自由度系统的强迫振动 不难证明系统有如下特解 ttAtx nn s in2)( （ 2-63） 此式表明，解是一幅值随时间线性增加的振荡响应，这隐含了 随着时间的增大，解将趋于无穷。因此在工程上讲，共振是很危险 的状态，一定要避免。上式所描述的共振响应特性示于下图。 图 2-16 简谐振子的共振响应 有阻尼单自由度系统的总响应可由其自由响应与强迫响应叠加而成 。 2.2 单自由度系统的强迫振动 例 2-5 研究一种基础激振的情况。如图 2-18所示 : 解 :系统的运动微分方程有如下形式 : 图 2-18 例 2-5题图 0 yxkyxxxm 简化为 : yyxxx nn

37、nn 22 22 设基础的运动为简谐运动，有如下形式 tiAety Re)( 则系统的响应为 ti nn n Ae i i tx 21 21 Re)( 2 2.2 单自由度系统的强迫振动 将 简写成 )(tx 1c o s)( tXtx 那么 )( 2 1 21 21 2 1 2 2 1 2 2 2 2 HAAX n nn n 22 3 1 1 21 2 t a n nn n 无量纲比可写为 )( 2 1 2 1 2 H A X n 2.2 单自由度系统的强迫振动 2.2.2 系统对周期激励的响应 在工程振动中 ， 也遇到大量其他类型的非简谐周 期激励 。 利用 Fourier级数展开的方法

38、， 可以将周期为 T 的任何函数展成如下形式 1 000 s i nc o s2 1)( p pp tpbtpaatf T 2 0 （ 2-72） 和 由右式求得 pa pb 3,2,1s i n)( 2 2,1,0c o s)( 2 2 2 0 2 2 0 pt d tptf T b pt d tptf T a T Tp T Tp （ 2-73） , 2.2 单自由度系统的强迫振动 为了求解方便，将（ 2-73）式用复数形式表示 tip p p ectf 0)( （ 2-74） 这里 为复常数，由下式给定 pc 2,1,0)(1 2 2 0 pdtetf T c T T tip p 1 )R

39、 e ()( 0 p tip p eAtf 由复数运算规律得 ,(2-74)式等效于下式 其中 3,2,1)(2 2 2 0 pdtetf T A T T tip p （ 2-75） 2.2 单自由度系统的强迫振动 （ 2-76） （ 2-77） 这里， 为对应于频率为 的复频响应，即 有阻尼单自由度系统对于（ 2-76）式所示激励的响 应，可以求得下式 1 )R e ()( 0 p tip pp eAHtx pH 0p （ 2-78） nn p pip H 020 2)(1 1 （ 2-79） 类似地，解（ 2-78）可写成 1 0Re)( p tpi pp peAHtx （ 2-80） 2

40、.2 单自由度系统的强迫振动 为 的模，而 2 0 0 1 1 2 t a n n n p p p （ 2-81） 由解的表达式（ 2-78）和（ 2-80）可看出，对于周 期激励的响应 也是周期的，且与 有同样的周期。 另外，当某个 接近系统的自然频率 时，系统的响 应中此简谐分量将占主导地位，特别是当 时，系统均发生共振，也就是说周期激励同样可以激起系 统共振，只要某 与 重合。 )(tx )(tf 0p n n np 0 0p pH pH 2.2 单自由度系统的强迫振动 2.2.3 非周期激励的响应 在非周期激励的情况下，系统的响应将不再是“稳态”的 ，而是“非稳态”的。求解系统在非周期

41、激励下瞬态响应的方 法有多种，将激励描述成一系列脉冲，通过求各个脉冲的响应 ，然后叠加来求解系统的瞬态响应是常见的方法之一，下面详 细叙述此方法。 单位脉冲函数 的数学定义为 0 at 当 时 at 1)( dtat （ 2-82） 2.2 单自由度系统的强迫振动 按单位脉冲函数的定义，在 t=a 时刻作用的一个任意幅值 的脉冲力可表示为 F )()( atFtF （ 2-83） 系统在零初始条件下 ， 对于 t=0时的单位脉冲力的响应 ， 称为单 位脉冲响应 ， 并用 h(t) 表示 。 系统对于 t =a 时刻单位脉冲力的响 应则相应为 h(t a)。 下面求解有阻尼单自由度系统对于脉冲力

42、 的响应 ，此时系统的方程为 )( )( tFtF )()()()( tFtkxtxctxm （ 2-84） 由于脉冲的作用时间 极短， 即 0 ，对方程 （ 2-84） 两边在 区间 积分，并设初始条件 0)0()0( xx 0000 l im l im ( )m x c x k x d x F t d t F （ 2-85） 2.2 单自由度系统的强迫振动 其中 0lim 00limlimlim )0()0()(limlimlim 00 0 0 000 0 0 000 k x d t xxccxdtxc xmxxmxmdtxm （ 2-86） 符号 表示在 区间内系统速度的变化。另 一方面

43、，由于脉冲作用时间极短，系统在瞬间不可能获得 位移增量，即 。由 （ 2-85 ）、（ 2-86） 可得 )0( x t 0)( x m Fx )0( （ 2-87） 2.2 单自由度系统的强迫振动 (2-87)式可以理解为作用于 时的脉冲力，使系 统产生一瞬间的速度增量，这样就可以将这一脉冲作用等 价为系统具有初速度 。因此，系统的响应为 0t 0 v F m 0 s i n )( tem F tx d t d n 0 0 t t （ 2-88） 212 )1( nd 单位脉冲响应可以由 （ 2-88） 式得到，令 ，则有 1 F 0 s i n 1 )( te mth d t d n 0

44、0 t t （ 2-89） 2.2 单自由度系统的强迫振动 对一任意激励函数 ，可以看成由一系列变幅值的脉冲 所组成。在任意时刻 ，对应一时间增量 ，相应的脉 冲幅值为 ，脉冲力在数学上可描述为 ，此时系统的 响应 )(tF t )(F )()( tF )()( thFtx （ 2-90） 系统总的响应为 thFtx )()( （ 2-91） 令 ，我们可得到 0 t dthFtx 0 )()()( （ 2-92） 2.2 单自由度系统的强迫振动 （ 2-92）式称为 卷积或杜哈美（ Dugamel）积分 ，表 示系统的响应为一系列脉冲响应的叠加。将（ 2-89）式代 入（ 2-92）得 dt

45、eFmtx dt t d n )(s i n)(1)( 0 )( （ 2-93） 这就是有阻尼单自由度系统对于任意激励 的响 应 。 注意 ， （ 2-93） 未考虑系统的初始条件 。 根据卷积 的性质 ， （ 2-92） 可写为另一种形式 )(tF dhtFdthFtx tt 00 )()( （ 2-94） 2.2 单自由度系统的强迫振动 阶跃响应 作为卷积的一个例子，下面讨论有阻尼单自由度系 统对单位阶跃函数的响应， 单位阶跃函数 定义为 1 0)( atu at at （ 2-95） 很明显 ， 单位阶跃函数在 处不连续 ， 在此点处 ， 函数值由 0 跳到 1 。 如果不连续点在 处

46、， 则单位阶跃 函数用 表示 。 at 0t )(tu 值得注意，单位阶跃函数与单位脉冲函数有密切关系， 在数学上可表示为 t datatu )()( （ 2-96） 此处， 仅仅是积分变量。反过来有 2.2 单自由度系统的强迫振动 dt atduat )()( （ 2-97） 系统对于作用于 时的单位阶跃力的响应称为单位 阶跃响应 ， 并用 表示 。 将 和 代入卷积公 式 ， 可得单位阶跃响应 0t )(tg )()( uF )(th dte mdthutg d t t d t n )(s i n1)()()( 00 （ 2-98） 经积分可得 )(s i nc o s11)( tutte k tg d d n d tn （ 2-99） 此处 的作用是使 （ 2-99） 式在 时， 。 )(tu 0t 0)( tg 系统响应的求法还有 Fourier积分法 ， Laplace变换法 ， 这里不做介绍。 2.2 单自由度系统的强迫振动