第六章无限弹性介质中的波

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1、第六章 无限弹性介质中的弹性波 6.0 6.0 波、弹性波、地震波波、弹性波、地震波 6.1 6.1 无限弹性介质中的平面波无限弹性介质中的平面波:纵波和横波纵波和横波6.2 6.2 无限弹性介质中的波：无旋波和等容波无限弹性介质中的波：无旋波和等容波6.3 6.3 弹性介质中波的传播速度弹性介质中波的传播速度6.4 6.4 无限弹性介质中的球面波无限弹性介质中的球面波6.5 6.5 无限弹性介质中球面空腔源产生的弹性波无限弹性介质中球面空腔源产生的弹性波6.6 6.6 能量密度和能流密度能量密度和能流密度无限弹性介质中的弹性波 声带振动，使周围空气获得一个密度的改变量,即产生一个初始“扰动”

2、。无限弹性介质中的弹性波 平静的水面，投下一颗石子,即产生一个初始“扰动”。无限弹性介质中的弹性波 手拨两端固定的琴弦，在其被拨处将产生一个速度或位移的改变量，产生一个初始“扰动”。无限弹性介质中的弹性波 炸药在地表层爆炸，使地应力获得一个改变，产生一个初始“扰动”。在弹性动力学中，研究的整个弹性体恰似一个多自由度的振 动系统，当某一点处受扰动（可能是位移、速度、应力等的 改变量）时，该质点将发生振动并引起该处微元体产生变形;无限弹性介质中的弹性波由于变形弹性体的拉压力（对固体或液体）和剪切应（对固 体）的存在，又会引起周围介质也跟着振动起来。弹性波就是在弹性介质中传播的扰动。弹性波就是在弹性

3、介质中传播的扰动。振动在空间的传播过程称为波动，简称为振动在空间的传播过程称为波动，简称为波波。弹性体既能传播拉压应力，又能传播剪切应力;无限弹性介质中的弹性波产生各微元体间受到拉压作用而传播的涨缩波（无旋波），这时单元体只发生膨胀或压缩，单元体对角线不发生转动。产生各微元体间受到剪切作用而传播的畸变波（等体积波），这时单元体只发生对角线转动，其体积不发生变化。在介质中传播的扰动总存在着一个前沿。当弹性波在介质中传播的某瞬间，介质中某个区域内质点振动着，而介质的这个区域由两个闭合的面所限制，此两个面称为波阵面。无限弹性介质中的弹性波在一个面以外的区域波的影响尚未达到，这个面称为弹性波在此瞬时的

4、波前；在另一个面以内的区域波引起的振动已经停止，这个面称为波尾；波前波尾无限弹性介质中的弹性波波在介质中传播时是将扰动或能量由此处传递到彼处，而介质的质点并不随波迁移。根据波前的形状，通常把波分为平面波、球面波、柱面波等。波前和波尾随时间不断向前推进，不指明哪一时间的波前和波尾，没有明确意义。平面波球面波无限弹性介质中的弹性波弹性波在传播过程中遇到两种不同介质的分界面要发生反射、透射，同时存在绕射现象。弹性波可以用振幅、频率、相位、波速等来描述其特征。地震勘探在地壳某处以一定的方式激发波动，在离震源很近的地方称为破裂带和塑性带，由于爆炸造成的变形很大，从而岩石不能看作是弹性的；但离震源足够远的

5、地方，由于岩石受力很小，且受力时间相当短，因此可以看作是弹性介质。震震源作用的效果，通常可以认为以弹性波的形式在岩石中传播，源作用的效果，通常可以认为以弹性波的形式在岩石中传播，这就是地震波。这就是地震波。无限弹性介质中的弹性波 振动在空间的传播过程称为波动，简称为振动在空间的传播过程称为波动，简称为波波。在弹性动力学中，把所研究的弹性体称为在弹性动力学中，把所研究的弹性体称为弹性介质弹性介质。当外。当外 力很小且作用时间很短时，自然界大部分固体都可以近似力很小且作用时间很短时，自然界大部分固体都可以近似 地看成为理想弹性介质。地看成为理想弹性介质。质点振动在弹性介质中的传播过程，称为质点振动

6、在弹性介质中的传播过程，称为弹性波弹性波。震源作用的效果，通常可以认为以弹性波的形式在岩石中传震源作用的效果，通常可以认为以弹性波的形式在岩石中传 播，这就是播，这就是地震波。地震波。无限弹性介质无限弹性介质，实际上是指当弹性波在均匀各向同性介质中，实际上是指当弹性波在均匀各向同性介质中 传播还未遇到分界面的情况时的介质。传播还未遇到分界面的情况时的介质。用波的用波的振幅、频率、位相、波速振幅、频率、位相、波速等来描述弹性波的特性。等来描述弹性波的特性。射线以及波前传播均匀介质波前传播层状介质波前传播 我们把岩石看成弹性介质。震源的作用效果，通常可以认我们把岩石看成弹性介质。震源的作用效果，通

7、常可以认为以弹性波的形式在岩石中传播，这就是地震波，地震波实质为以弹性波的形式在岩石中传播，这就是地震波，地震波实质上就是一种在岩石中传播的弹性波。上就是一种在岩石中传播的弹性波。无限弹性介质无限弹性介质，实际上是指当弹性波在均匀各向同性介质中，实际上是指当弹性波在均匀各向同性介质中传播还未遇到分界面的情况时的介质。传播还未遇到分界面的情况时的介质。6-1无限弹性介质中的平面波：纵波和横波无限弹性介质中的平面波：纵波和横波 在各向同性弹性介质内的某一点受到外力作用时，外力在各向同性弹性介质内的某一点受到外力作用时，外力所引起的位移、应变和应力就将以弹性波的形式从此点传播所引起的位移、应变和应力

8、就将以弹性波的形式从此点传播开来，其波前为球面，故为球面波。开来，其波前为球面，故为球面波。在离开此点较远处，可以忽略球面的曲率作为平面波来在离开此点较远处，可以忽略球面的曲率作为平面波来考虑。考虑。考虑平面波传播时，介质质点的位移分量为：考虑平面波传播时，介质质点的位移分量为：我们作一个和我们作一个和ox轴垂直的平面，则该平面只是在轴垂直的平面，则该平面只是在x方向有方向有一个相同的位移，在一个相同的位移，在y和和z轴方向上没有位移。轴方向上没有位移。即该平面在弹性介质运动中只产生即该平面在弹性介质运动中只产生x方向的平行移动，移方向的平行移动，移动后仍然垂直于动后仍然垂直于ox轴，因而在运

9、动中该平面上的点始终保持轴，因而在运动中该平面上的点始终保持在一个平面上，故这种位移的传播为平面波。在一个平面上，故这种位移的传播为平面波。分析弹性介质内以分析弹性介质内以ox轴为法线的一系列平面：轴为法线的一系列平面：这些平面都沿着这些平面都沿着ox轴移动，相互接近或远离，原来间隔轴移动，相互接近或远离，原来间隔相等的平面，移动时间隔就不相等，这样发生了疏密相间的现相等的平面，移动时间隔就不相等，这样发生了疏密相间的现象。象。波的传播方向与质点位移的方向平行，即质点振动所沿波的传播方向与质点位移的方向平行，即质点振动所沿的直线与振动传播所沿的直线平行，称此波为的直线与振动传播所沿的直线平行，

10、称此波为平面纵波平面纵波。传播条件就是要满足拉梅方程，不计体力的影响。传播条件就是要满足拉梅方程，不计体力的影响。称为平面纵波的波动方程。称为平面纵波的波动方程。解此偏解此偏微分方程；（二阶线形偏微分方程），其通解为：微分方程；（二阶线形偏微分方程），其通解为：f为任意函数。为任意函数。物理意义：物理意义：对于任一瞬时对于任一瞬时t，u为为x的函数，可以用曲线的函数，可以用曲线ABC表示表示 此曲线表示在该瞬时，弹性介质内各点因干扰而产生的此曲线表示在该瞬时，弹性介质内各点因干扰而产生的位移，曲线的形状决定于位移，曲线的形状决定于f函数。函数。经过时间间隔经过时间间隔将将成为成为也将也将改变数

11、值改变数值如果将坐标如果将坐标x增大增大的数值将不改变的数值将不改变 说明瞬时说明瞬时t所作的曲线所作的曲线ABC只要把它沿只要把它沿x方向移动一个距方向移动一个距离，如图中的离，如图中的ABC，就适用于下个瞬时就适用于下个瞬时距离距离下个瞬时下个瞬时表示一个沿表示一个沿x方向传播的纵波。方向传播的纵波。它的传播速度就是它的传播速度就是应用几何方程求出相对应的应变分量：应用几何方程求出相对应的应变分量：沿沿x方向的正应变为：方向的正应变为：其余的应变分量都等于零，说明弹性介质的每一个点都其余的应变分量都等于零，说明弹性介质的每一个点都始终处于方向的简单拉压状态。始终处于方向的简单拉压状态。由由

12、物理方程求应力分量：物理方程求应力分量：各个正应力分量之间的关系为：各个正应力分量之间的关系为：弹性介质内质点沿弹性介质内质点沿x方向的速度分量为：方向的速度分量为：沿沿y向及向及z向的速度分量为零。向的速度分量为零。的数值很小，故可见质点运动的速度远远小于此波的传播的数值很小，故可见质点运动的速度远远小于此波的传播速度。速度。分析：分析：表示一个沿表示一个沿x的负方向传播的纵波。的负方向传播的纵波。它的传播速度也是它的传播速度也是 综上所述，平面纵波不论其波长大小和形状如何，在弹综上所述，平面纵波不论其波长大小和形状如何，在弹性介质中都以疏密发散的形式向前或向后传播。波速为：性介质中都以疏密

13、发散的形式向前或向后传播。波速为：再来考虑平面波传播时，介质质点的位移分量：再来考虑平面波传播时，介质质点的位移分量：质点内各质点的位移方向都与质点内各质点的位移方向都与z轴平行，且垂直于轴平行，且垂直于x轴的轴的任一平面内的一切点的运动都相同，它们于任一平面内的一切点的运动都相同，它们于oyz平面的距离平面的距离保持不变。保持不变。此一系列的平行平面，均顺着横向移动（沿此一系列的平行平面，均顺着横向移动（沿z轴）。轴）。运动的传播方向与质点的位移方向垂直（即质点的振动运动的传播方向与质点的位移方向垂直（即质点的振动方向与振动的传播方向垂直），此波为方向与振动的传播方向垂直），此波为平面横波平

14、面横波。代入拉梅方程，得：代入拉梅方程，得：此为平面横波的波动方程。此为平面横波的波动方程。解此偏解此偏微分方程；（二阶线形偏微分方程），其通解为：微分方程；（二阶线形偏微分方程），其通解为：表示一个沿表示一个沿x方向传播的横波。方向传播的横波。它的传播速度就是它的传播速度就是应用几何方程求出相对应的应变分量：应用几何方程求出相对应的应变分量：说明弹性介质的每一个点都始终处于说明弹性介质的每一个点都始终处于z及及x方向的简单剪切状态。方向的简单剪切状态。应用物理方程求出相对应的应力分量：应用物理方程求出相对应的应力分量：其余的应力分量等于零。其余的应力分量等于零。弹性介质内质点沿弹性介质内质点

15、沿z方向的速度分量为：方向的速度分量为：沿沿x向及向及y向的速度分量为零。向的速度分量为零。的数值很小，故可见质点运动的速度远远小于横波的传播的数值很小，故可见质点运动的速度远远小于横波的传播速度。速度。分析：分析：表示一个沿表示一个沿x的负方向传播的横波。的负方向传播的横波。它的传播速度也是它的传播速度也是 综上所述，平面横波不论其波长大小和形状如何，在弹综上所述，平面横波不论其波长大小和形状如何，在弹性介质中都以剪应变横向位移的形式向前或向后传播。波速性介质中都以剪应变横向位移的形式向前或向后传播。波速为：为：比较平面纵波与平面横波的传播速度：比较平面纵波与平面横波的传播速度：故在同一介质

16、中纵波的波速要比横波的波速大很多。故在同一介质中纵波的波速要比横波的波速大很多。研究平面波的一般情况。研究平面波的一般情况。设此平面波平行于设此平面波平行于x轴方向传播，介质质点的位移分量为：轴方向传播，介质质点的位移分量为：代入拉梅方程，得：代入拉梅方程，得：平面纵波的波动方程。平面纵波的波动方程。平面横波的波动方程。平面横波的波动方程。平面横波的波动方程。平面横波的波动方程。在一般情况下，平面波在介质中传播时，介质质点的位移在一般情况下，平面波在介质中传播时，介质质点的位移分量应适应上式。分量应适应上式。平面波在传播中分解为两个部分：平面波在传播中分解为两个部分：纵波，传播速度为：纵波，传

17、播速度为：横波，传播速度为：横波，传播速度为：结论：结论：在无限弹性介质中，只能传播两种平面波。平面纵波和在无限弹性介质中，只能传播两种平面波。平面纵波和平面横波。平面横波。6-2无限弹性介质中的波：无旋波和等容波无限弹性介质中的波：无旋波和等容波进一步讨论无限弹性介质中的一般波动。进一步讨论无限弹性介质中的一般波动。一、若介质中任一微小体积均不作刚性转动的特点，即一、若介质中任一微小体积均不作刚性转动的特点，即 相应于这种位移状态的弹性波称为无旋波，又称胀缩波相应于这种位移状态的弹性波称为无旋波，又称胀缩波或集散波。或集散波。于是在弹性介质内存在一标量位于是在弹性介质内存在一标量位位移矢量位

18、移矢量代入拉梅方程，可以得到：代入拉梅方程，可以得到：此为无旋波的波动方程。此为无旋波的波动方程。即无旋波在介质中传播时，介质质点的位移应满足的方程。即无旋波在介质中传播时，介质质点的位移应满足的方程。可以证明：平面纵波就是无旋波的一种特殊情况，在地震可以证明：平面纵波就是无旋波的一种特殊情况，在地震勘探中一般将无旋波称为纵波。勘探中一般将无旋波称为纵波。二、当波传播时，在弹性介质中，介质质点发生的位移，适合二、当波传播时，在弹性介质中，介质质点发生的位移，适合体积应变为零的条件，这种位移状态的弹性波称为等体积波，体积应变为零的条件，这种位移状态的弹性波称为等体积波，简称简称等容波等容波，或旋

19、转波、畸变波。，或旋转波、畸变波。代入拉梅方程有：代入拉梅方程有：此为等容波的波动方程。此为等容波的波动方程。即等容波在介质中传播时，介质质点的位移应满足的方程。即等容波在介质中传播时，介质质点的位移应满足的方程。可以证明：平面横波就是等容波的一种特殊情况，在地震可以证明：平面横波就是等容波的一种特殊情况，在地震勘探中一般将等容波称为横波。勘探中一般将等容波称为横波。研究无限弹性介质中的一般波动，介质质点的位移矢量为：研究无限弹性介质中的一般波动，介质质点的位移矢量为：为无旋波的位移矢量为无旋波的位移矢量为等容波的位移矢量为等容波的位移矢量 由场论分析可以知道，一个矢量场，如果定义域内有散由场

20、论分析可以知道，一个矢量场，如果定义域内有散度和旋度，则该矢量场可以用一个标量位的梯度场和一个矢量度和旋度，则该矢量场可以用一个标量位的梯度场和一个矢量位的旋度场之和来表示。位的旋度场之和来表示。作用在弹性介质中的体力在弹性介质所在空间内形成一个矢量作用在弹性介质中的体力在弹性介质所在空间内形成一个矢量位，因此它也可以写成一个标量位的梯度场和一个矢量位的旋位，因此它也可以写成一个标量位的梯度场和一个矢量位的旋度场之和来表示。度场之和来表示。代入拉梅方程可以得到：代入拉梅方程可以得到：用标量位表示的无旋波的波动方程。用标量位表示的无旋波的波动方程。用矢量位表示的等容波的波动方程。用矢量位表示的等

21、容波的波动方程。在无限弹性介质中，一般情况下，只有两种类型的弹性波，在无限弹性介质中，一般情况下，只有两种类型的弹性波，即即无旋波和等容波无旋波和等容波。如果在介质中有各种原因造成的波动，则其中每一个波动如果在介质中有各种原因造成的波动，则其中每一个波动的存在和分配都和另一个无关。介质中总的波动为个别的存在和分配都和另一个无关。介质中总的波动为个别“单单”波动的和。从波动方程的线性而导出的这个原理，称为波动的和。从波动方程的线性而导出的这个原理，称为叠加原叠加原理理。6-3 弹性介质中波的传播速度弹性介质中波的传播速度 首先研究平面波的情况，任一平面波在弹性介质中传播时，首先研究平面波的情况，

22、任一平面波在弹性介质中传播时，介质质点的位移分量一般可以表示为：介质质点的位移分量一般可以表示为：l，m，n为平面波的法线，与波的传播方向一致。为平面波的法线，与波的传播方向一致。c为传播速度。为传播速度。表示表示xl+ym+zn-ct的微分。的微分。代入拉梅方程，整理得到：代入拉梅方程，整理得到：若若位移能在弹性介质中存在，上式中加速度一定有非零解位移能在弹性介质中存在，上式中加速度一定有非零解化简得：化简得：证明了任意平面波，不论它的传播方向如何，波速就两种情况。证明了任意平面波，不论它的传播方向如何，波速就两种情况。现在研究一般情况。现在研究一般情况。我们以波前（波阵面）的推进来阐述波的

23、传播面貌，故我们以波前（波阵面）的推进来阐述波的传播面貌，故在弹性介质中（各向同性），波的传播速度理解为波前沿其外在弹性介质中（各向同性），波的传播速度理解为波前沿其外法线方向扩展的速度。法线方向扩展的速度。可以证明：在在各向同性弹性介质中，不论波前的形状如可以证明：在在各向同性弹性介质中，不论波前的形状如何，波的传播速度一般只有两种。何，波的传播速度一般只有两种。6-4 无限弹性介质中的球面波无限弹性介质中的球面波三维波动具有共同的形式：三维波动具有共同的形式：C为波速。对于无旋波为波速。对于无旋波 对于等容波对于等容波F为相应的波动函数。为相应的波动函数。由球对称性，设：由球对称性，设：r

24、为为介质内任一点对坐标原点的矢径大小介质内任一点对坐标原点的矢径大小 表明以原点为中心的任一球面，各点表明以原点为中心的任一球面，各点F值在同一瞬时都相值在同一瞬时都相等，因此相应的波动为球面波。等，因此相应的波动为球面波。此式为关于此式为关于rF的一维波动方程。的一维波动方程。其其通解为：通解为：球对称问题的解或为球面波的解。球对称问题的解或为球面波的解。是由原点向外以波速是由原点向外以波速c传播的波传播的波是向着原点以波速是向着原点以波速c传播的波传播的波振幅随着振幅随着r的增加成比例地减少。的增加成比例地减少。由场论中有关公式可得：由场论中有关公式可得：不计体力，则球对称问题以位移表示的

25、运动微分方程可以写为：不计体力，则球对称问题以位移表示的运动微分方程可以写为：球对称问题，运动是无旋的，于是存在一个标量位球对称问题，运动是无旋的，于是存在一个标量位对对r积分一次，得到：积分一次，得到：此为线性非齐次偏微分方程，其通解为齐次的通解和任一此为线性非齐次偏微分方程，其通解为齐次的通解和任一非齐次的特解之和。非齐次的特解之和。此为波动方程此为波动方程通解为：通解为：上式为波动方程的球对称解。上式为波动方程的球对称解。6-5 无限弹性介质中球面空腔源产生的弹性波无限弹性介质中球面空腔源产生的弹性波 设介质中有一球形空腔，半径为设介质中有一球形空腔，半径为 球腔内部发生爆炸，在腔壁上产

26、出一均匀分布的压力，其球腔内部发生爆炸，在腔壁上产出一均匀分布的压力，其压强为压强为p p。在它的作用下，介质内任一个微体不产生转动，仅产生膨在它的作用下，介质内任一个微体不产生转动，仅产生膨缩变形。故介质中由此产生的波为球面无旋波或球面纵波。缩变形。故介质中由此产生的波为球面无旋波或球面纵波。求介质中任一点求介质中任一点M的位移的位移在此情况下，介质中传播的是球面纵波在此情况下，介质中传播的是球面纵波由球面波的波动方程由球面波的波动方程其位移场的标量位为：其位移场的标量位为：根据问题的条件，在介质中只能产生由震源（球面空腔源）根据问题的条件，在介质中只能产生由震源（球面空腔源）向外传播的波，

27、故取第一项。向外传播的波，故取第一项。为了确定此函数，考虑初始条件和边界条件。为了确定此函数，考虑初始条件和边界条件。初始条件为：初始条件为：边界条件为：在球腔表面处，即边界条件为：在球腔表面处，即考虑球腔半径很小的时候，前两项忽略不计得考虑球腔半径很小的时候，前两项忽略不计得定义定义选择常数选择常数位移位移函数函数反映了震源的作用，称为震源强度。反映了震源的作用，称为震源强度。结论结论：球面空腔源产生的弹性波在无限弹性介质中传播时，介：球面空腔源产生的弹性波在无限弹性介质中传播时，介质质点的位移不仅与震源强度有关，并且与震源强度的变化率质质点的位移不仅与震源强度有关，并且与震源强度的变化率有

28、关，还与其到震源的距离和距离的平方有关，与其成反比。有关，还与其到震源的距离和距离的平方有关，与其成反比。6-6 能量密度和能流密度能量密度和能流密度 弹性波的传播可以看成是一个能量由波源（震源）向周弹性波的传播可以看成是一个能量由波源（震源）向周围介质传播的过程。围介质传播的过程。当弹性波传播到介质中某处时，原来不动的质点开始振当弹性波传播到介质中某处时，原来不动的质点开始振动，因而具有了动，因而具有了动能动能，同时，单元体也将产生变形。因而也，同时，单元体也将产生变形。因而也具有了具有了势能势能（即应变位能或应变能）。（即应变位能或应变能）。波传播时，介质由近及远一层一层地振动，能量是逐层

29、波传播时，介质由近及远一层一层地振动，能量是逐层传播出去的。传播出去的。为了反映波动的能量，引入波的为了反映波动的能量，引入波的能量及能量密度能量及能量密度的概念；的概念；能流及能流密度能流及能流密度的概念。的概念。波动传播中，任一瞬时，介质中任一单元体弹性波的能波动传播中，任一瞬时，介质中任一单元体弹性波的能量分为动能和势能。量分为动能和势能。单位体积内所含的动能称为单位体积内所含的动能称为动能密度动能密度；单位体积内所含；单位体积内所含的势能称为的势能称为势能密度势能密度。单位体积内所含的总能量（动能和势。单位体积内所含的总能量（动能和势能之和，即机械能）称为能量密度。能之和，即机械能）称

30、为能量密度。单位时间内通过介质中某面积的能量称为该面积的单位时间内通过介质中某面积的能量称为该面积的能流能流，而单位时间内通过垂直于波动传播方向的单位面积的能量称为而单位时间内通过垂直于波动传播方向的单位面积的能量称为能流密度能流密度。能流密度又称为能通量密度，或波的强度能流密度又称为能通量密度，或波的强度。研究沿研究沿x轴方向传播的平面简谐纵波。轴方向传播的平面简谐纵波。在介质中，取边长为在介质中，取边长为dx，dy，dz的单元体，密度为的单元体，密度为动能为：动能为：相应的动能密度为：相应的动能密度为：单元体的势能为：单元体的势能为：相应的势能密度为：相应的势能密度为：动能密度与势能密度相

31、加得到能量密度动能密度与势能密度相加得到能量密度可得：可得：（1）动能和势能是相等的，即两者同位相，且大小相等。）动能和势能是相等的，即两者同位相，且大小相等。（2）当平面简谐纵波在介质中传播时，介质中同一处的能量密）当平面简谐纵波在介质中传播时，介质中同一处的能量密度总是随着时间而变化的。度总是随着时间而变化的。质元的动能和势能都随时间作简谐振动，质元的动能和势能都随时间作简谐振动，而且它们具有相同的振幅、角频率、位相。而且它们具有相同的振幅、角频率、位相。意味着，质元经过平衡位置时，意味着，质元经过平衡位置时，具有最大的振动速度，同时其形变也最大。具有最大的振动速度，同时其形变也最大。这一

32、点与孤立的振动系统显著不同，作一比较这一点与孤立的振动系统显著不同，作一比较yto由质元的动能和势能的振动方程，其振动曲线由质元的动能和势能的振动方程，其振动曲线yto质元的动能和势能的振动曲线质元的动能和势能的振动曲线弹簧振子的动能和势能振动曲线弹簧振子的动能和势能振动曲线xto 能能量量密密度度表表示示某某一一时时刻刻质质元元所所具具有有的的机机械械能能的的大大小小,但但并并没没有有反反映映能能量量是是如如何何传传播播的的,或或者者质质元元能能量是如何变化的。量是如何变化的。为此引入为此引入能流密度能流密度来说明能量在媒质中的传播。来说明能量在媒质中的传播。能流能流当弹性介质中有波传播时，

33、任取一截面，当弹性介质中有波传播时，任取一截面，单位时间通过该截面的能量单位时间通过该截面的能量 称作通过该面积的能流称作通过该面积的能流 能流密度能流密度通过垂直波传播播方向的单位面积的能流通过垂直波传播播方向的单位面积的能流 称作称作能流密度能流密度 能流的计算能流的计算以以平面简谐波为例平面简谐波为例设一设一平面简谐波沿平面简谐波沿 x 方向传播，如图方向传播，如图在在媒质中垂直波传播方向距离原点媒质中垂直波传播方向距离原点 x 处处取一面积取一面积 S，考虑考虑 dt 时间通过面积时间通过面积 S 的能量的能量x在在面积面积 S 后做一方体，侧面积为后做一方体，侧面积为 S，宽为宽为

34、udt dt时间通过面积时间通过面积 S 的能量就等于方体中的能量的能量就等于方体中的能量x设设能量密度为能量密度为，方体的体积为方体的体积为 sudt方体中的能量方体中的能量 Sudt，所以所以 dt 时间通过面积时间通过面积 S 的能量的能量 Sudt单位时间通过面积单位时间通过面积 S 的能量的能量能流能流 dt 时间通过面积时间通过面积 S 的能量的能量 Sudt显显然然，P 和和 一一样样，是随时间周期性地变化是随时间周期性地变化x分析平面简谐纵波的能流密度：分析平面简谐纵波的能流密度：设垂直于波的传播方向取单位面积，作用于此面积上的力设垂直于波的传播方向取单位面积，作用于此面积上的

35、力（即应力）为正应力，则其（即应力）为正应力，则其能流密度为作用于此单位面积上的能流密度为作用于此单位面积上的力在单位时间内所做的功。力在单位时间内所做的功。因而能流密度为：因而能流密度为：平面简谐纵波传播时，任一瞬时，介质中某处的能流密度平面简谐纵波传播时，任一瞬时，介质中某处的能流密度等于能量密度与其波速的乘积。等于能量密度与其波速的乘积。平均能流密度平均能流密度称为此波的波阻抗。称为此波的波阻抗。在来在来研究一般情况：研究一般情况：当任意弹性波在介质中传播时，介质中任一质点的动能密度为当任意弹性波在介质中传播时，介质中任一质点的动能密度为相应的势能密度（应变能密度）为：相应的势能密度（应变能密度）为：能量密度为：能量密度为：考虑能流密度：分析介质内一有限部分。能流密度的能量是考虑能流密度：分析介质内一有限部分。能流密度的能量是单位时间内通过表面积散失的能量。单位时间内通过表面积散失的能量。根据能量守恒原理，在单位时间内机械能的减少量应该等于根据能量守恒原理，在单位时间内机械能的减少量应该等于通过其表面积的机械能的流失量，即有：通过其表面积的机械能的流失量，即有：在来在来研究一般情况：研究一般情况：此为求能流密度的一般公式。此为求能流密度的一般公式。