复变函数与积分变换第6章共形映射

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1、出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页第 6章 共 形 映 射 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 我 们 已 知 道 ， 复 变 函 数 w=f(z)在 几 何 上 可 以 看 成 是 z平 面 上 一 个 点 集 到 w平 面上 一 个 点 集 的 映 射 ， 自 然 地 ， 单 叶 解 析 函 数 也 是 两 个 平 面 点 集 之 间 的 映 射 ，被 称 之 为 共 形 映 射 .理 论 上 或 实 际 中 ， 往 往 可 通 过 建 立 恰 当 的 共 性 映 射 ， 把复 杂 区 域 上 的 问 题 转 化 到

2、简 单 区 域 上 去 讨 论 ， 这 种 思 想 方 法 在 数 学 本 身 以 及在 流 体 力 学 、 弹 性 力 学 、 电 学 和 地 球 物 理 学 等 学 科 中 都 有 着 非 常 重 要 的 应 用 . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 6.1共 形 映 射 的 概 念6.1.1导 数 的 几 何 意 义在 实 分 析 中 ， f (x0)表 示 曲 线 C=(x,y):y=f(x),x I上 过 点 处 的 切线 斜 率 .人 们 自 然 会 问 ， 在 复 分 析 中 f (z)表 示 什 么 ？设 函 数 w=f(z)在 区 域 D

3、内 解 析 ， 点 D且 0.在 D内 通 过 z0任 意 引 一条 有 向 光 滑 曲 线 C： 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 函 数 w=f(z)把 z平 面 上 的 曲 线 C变 为 w平 面 上 过 点 w0=f(z0)的 曲 线 ：因 为 故 曲 线 在 点 w0也 有 切 线 ， 切 向 量 为w (t0)， 它 与 w平 面 上 u（ 实 ） 轴 的 夹 角 为于 是 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 如 果 把 z平 面 与 w平 面 叠 放 在 一 起 ， 使 点 z0与 点 w0重 合 ， 使

4、两 实 轴 同 向 平 行 ，则 C在 点 z0的 切 线 与 在 点 w0的 切 线 之 间 的 夹 角 就 是 （ 图 6.1） .换 句 话 说 ， 就 是 在 点 w0的 切 线 可 由 C在 点 z0的 切 线 转 动 一 个 角 后 得到 .显 然 仅 与 z0有 关 ， 而 与 过 z0的 曲 线 C的 形 状 和 方 向 无 关 ， 这 种性 质 称 为 转 动 角 的 不 变 性 .而 导 数 辐 角 称 为 映 射 w=f(z)在 z0处 的 转动 角 .这 也 就 是 导 数 辐 角 的 几 何 意 义 . 图 6.1 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分

5、 变 换 退 出页 下 面 讨 论 区 域 D内 过 点 z0的 两 条 有 向 光 滑 曲 线 C及 C 的 情 形 ： 设 C及 C在 w平 面 的 像 曲 线 分 别 为 及 ， 以 及 分 别 记 C及 C 在 z0点的 切 线 与 x轴 正 方 向 的 夹 角 ， 而 用 及 分 别 表 示 及 在 w0点的 切 线 与 u轴 正 方 向 的 夹 角 .于 是 有故 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 其 中 是 C和 C 在 点 z0的 夹 角 （ 经 过 z0的 两 条 有 向 曲 线 C与 C 的 切 线方 向 所 构 成 的 角 ， 称 为

6、 两 曲 线 在 该 点 的 夹 角 ） （ 反 时 针 方 向 为 正 ） ， 是 和 在 点 w0=f(z0)的 夹 角 （ 反 时 针 方 向 为 正 ） 式 (6.2)表 明 映 射w=f(z)在 点 z0既 保 持 了 夹 角 的 大 小 ， 又 保 持 夹 角 的 方 向 （ 图 6.2） . 这 种 性 质称 为 映 射 的 保 角 性 . 图 6.2 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 其 次 ， 我 们 讨 论 导 数 的 模 |f (z0)|的 几 何 意 义 .由 于 | z|和 | w|分 别 是 向量 z和 w的 长 度 ， 故 这

7、 说 明 像 点 间 的 无 穷 小 距 离 与 原像 点 间 的 无 穷 小 距 离 之 比 的 极 限 是 |f (z0)|， 这 可 以 看 成 是 曲 线 C经 w=f(z)映 射 后 在 z0点 的 伸 缩 系 数 或 伸 缩 率 .它 仅 与 z0有 关 ， 而 与 曲 线 C的 形 状 和 方 向无 关 ， 这 个 性 质 称 为 映 射 w=f(z)在 z0点 的 伸 缩 率 的 不 变 性 .当 |f (z0)|1时， 从 z0点 出 发 的 任 意 无 穷 小 距 离 经 w=f(z)映 射 后 都 被 伸 长 了 ； 当 时， 从 z0点 出 发 的 任 意 无 穷 小

8、距 离 经 w=f(z)映 射 后 都 被 压 缩 了 . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 综 上 所 述 ， 我 们 得 出 定 理 6.1.定 理 6.1设 函 数 w=f(z)在 区 域 D内 解 析 ， 点 z0 D且 f (z0) 0， 则 映 射 w=f(z)在 z0点 具 有 以 下 两 个 性 质 ： 保 角 性 ： 过 z0的 任 意 两 条 曲 线 间 的 夹 角 在 映 射 w=f(z)下 ， 既 保 持 大 小 ， 又保 持 方 向 . 伸 缩 率 不 变 性 由 此 可 见 ， 若 w=f(z)在 区 域 D内 解 析 ， z0

9、 D且 f (z0) 0， w0=f(z0)， 则w=f(z)把 某 N (z0)内 的 无 穷 小 曲 边 三 角 形 映 射 为 某 N (w0)内 的 一 个 无 穷 小 曲边 三 角 形 ， 由 于 保 持 了 曲 线 间 的 夹 角 大 小 和 方 向 ， 故 这 两 个 小 三 角 形 近 似 地“ 相 似 ” .此 外 ， 由 于 近 似 地 有 则 w=f(z)把 某 N (z0)内 的 一 个 半 径充 分 小 的 圆 周 |z z0|= 近 似 地 映 射 为 w平 面 上 某 N (w0)内 的 圆 周 |ww0|=|f (z0)| . 出 版 社 理 工 分 社复 变

10、函 数 与 积 分 变 换 退 出页 例 6.1试 求 映 射 f(z)=ln(z 1)在 点 z0= 1+2i处 的 旋 转 角 ， 并 说 明 映 射 将z平 面 的 哪 一 部 分 放 大 了 ， 哪 一 部 分 缩 小 了 .解 在 处 有当 |f (z)|1内 时 图 形 缩 小 ， 当 |f (z)|1时 ，即 在 区 域 内 时 图 形 放 大 . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页6.1.2共 形 映 射 的 概 念定 义 6.1设 w=f(z)在 N (z0)内 是 一 一 对 应 的 ， 且 在 z0具 有 保 角 性和 伸 缩 率 不

11、变 性 ， 则 称 映 射 w=f(z)在 z0点 是 共 形 的 ， 或 称 w=f(z)在 z0点 是 共 形 映 射 .如 果 映 射 w=f(z)在 区 域 D内 的 每 一 点 都 是 共 形的 ， 则 称 w=f(z)是 区 域 D内 的 共 形 映 射 . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 于 是 结 合 6.1.1节 的 讨 论 ， 可 得 到 定 理 6.2.定 理 6.2如 果 函 数 w=f(z)在 z0点 解 析 ， 且 f (z0) 0， 则 映 射 w=f(z)在 z0点 是 共 形 的 ； 如 果 函 数 w=f(z)在 D内

12、 解 析 且 处 处 有 f (z) 0， 则映 射 w=f(z)是 D内 的 共 形 映 射 . 定 理 6.3如 果 w=f(z)在 D内 单 叶 解 析 ， 则 w=f(z)是 D内 的 共 形 映 射 .证 若 f(z)在 区 域 D内 单 叶 解 析 ， 由 定 理 5.13， 对 z D有 f (z) 0，则 由 定 理 6.2知 ， w=f(z)在 区 域 D内 是 共 形 的 . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 由 定 理 6.1及 复 合 函 数 的 求 导 公 式 立 即 可 得 ：定 理 6.4（ 保 复 合 性 ） 两 个 共 形

13、 映 射 的 复 合 仍 然 是 一 个 共 形 映 射 .定 理 6.4说 明 ， 如 果 =g(z)把 z平 面 上 的 区 域 D共 形 映 射 成 平 面 上 的 区 域 E， 而 w=f( )把 区 域 E共 形 映 射 成 w平 面 上 的 区 域 G， 则 复 合 函 数 w=f g(z)是 一 个 把 D映 射 为 G的 共 形 映 射 .这 一 事 实 在 求 具 体 的 共 形 映 射 时 将 经 常 用 到 .解 析 函 数 所 确 定 的 映 射 还 具 有 保 域 性 ， 即 下 面 的 定 理 （ 证 明 从 略 ） . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与

14、 积 分 变 换 退 出页 定 理 6.5（ 保 域 性 ） 设 w=f(z)在 区 域 D内 解 析 ， 且 不 恒 为 常 数 ， 则 D的 像G=f(D)也 是 一 个 区 域 .定 义 6.2具 有 伸 缩 率 不 变 性 与 保 角 性 的 共 形 映 射 称 为 第 一 类 共 形 映 射 ； 如 果映 射 w=f(z)具 有 伸 缩 率 不 变 性 ， 但 只 保 持 夹 角 的 大 小 不 变 而 方 向 相 反 ， 则 称映 射 为 第 二 类 共 形 映 射 .例 6.2函 数 f(z)=z2+2z在 z平 面 处 处 解 析 ， f (z)=2z+2， 显 然 当 z 1

15、时 ，f (z) 0， 因 此 ， 映 射 f(z)=z2+2z在 z平 面 上 除 z= 1外 处 处 是 共 形 的 . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 例 6.3证 明 ： 映 射 把 圆 周 |z|=R映 为 椭 圆 ：证 设 z=r(cos +i sin )， w=u+iv， 由 于 |z|=R， 所 以 r=R.又 因 为故 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 不 少 实 际 问 题 要 求 将 一 个 指 定 的 区 域 共 形 映 射 成 另 一 个 区 域予 以 处 理 ， 由 定 理 6.3和 定

16、理 6.5可 知 ， 一 个 单 叶 解 析 函 数 能够 将 其 单 叶 性 区 域 共 形 映 射 成 另 一 个 区 域 .相 反 地 ， 在 扩 充 复平 面 上 任 意 给 定 两 个 单 连 通 区 域 D与 G， 是 否 存 在 一 个 单 叶 解析 函 数 ， 使 D共 形 映 射 成 G？ 下 述 的 黎 曼 存 在 与 唯 一 性 定 理 和边 界 对 应 定 理 （ 证 明 从 略 ） 肯 定 地 回 答 了 此 问 题 . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 定 理 6.6（ 黎 曼 存 在 与 唯 一 性 定 理 ） 如 果 扩 充

17、 复 平 面 上 的 单 连 通 区 域 D， 其 边界 点 不 止 一 点 ， 则 存 在 一 个 在 D内 的 单 叶 解 析 函 数 w=f(z)， 它 将 D共 形 映 射 成单 位 圆 |w|0， (a D)时 ， f(z)是 唯 一 的 .定 理 6.7（ 边 界 对 应 定 理 ） 设 w=f(z)在 单 连 通 区 域 D内 解 析 ， 在 D上 连 续 ， 且把 区 域 D的 边 界 C保 持 相 同 绕 行 方 向 、 一 一 对 应 地 映 射 为 单 连 通 区 域 G的 边 界 ， 则 w=f(z)将 D共 形 映 射 为 G. 出 版 社 理 工 分 社复 变 函

18、数 与 积 分 变 换 退 出页 应 用 定 理 6.7我 们 可 以 求 已 给 区 域 D在 映 射 w=f(z)下 的 像 域 G=f(D).首 先 ， 将已 知 区 域 D的 边 界 C的 表 达 式 代 入 w=f(z)， 可 得 到 像 曲 线 ； 其 次 ， 在 C上 按一 定 绕 向 取 三 点 a b c， 它 们 的 像 在 上 依 次 为 a b c ， 如 果 区 域D位 于 a b c绕 向 的 左 侧 （ 或 右 侧 ） ， 则 由 所 围 成 的 象 区 域 G应 落 在a b c 绕 向 的 左 侧 （ 或 右 侧 ） ， 如 图 6.3所 示 ， 这 样 我

19、们 就 确 定 了 像域 G=f(D).通 常 把 这 种 确 定 映 射 区 域 的 方 法 称 为 绕 向 确 定 法 . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页图 6.3 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 例 6.4试 求 区 域 D： 在 映 射 w=z2下 的 像 .解 D的 边 界 为 由 于 arg w=arg z2=2 arg z， 故 C的 像 如 图 6.4所 示 . 此 时 在 w平 面 上 区 域 G及区 域 G 都 以 为 边 界 ， 那 么 ， 所 求 像 域 是 G还 是 G ？ 为 此 ， 应

20、 用 边 界 对 应定 理 ， 在 C上 依 次 取 z1 z2 z3， 比 如 ， z2=0,z3=1， 则它 们 的 像 在 上 依 次 为 ： w2=0,w3=1.由 于 区 域 D落 在z 1 z2 z3绕 向 的 左 侧 ， 因 而 像 区 域 应 落 在 w1 w2 w3绕 向 的 左 侧 ， 故 所 求 像区 域 为 G： 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 图 6.4 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 由 于 区 域 D和 G的 多 样 性 与 复 杂 性 ， 要 直 接 找 出 D和 G之 间 的 映

21、射 是 比 较 困 难 的， 但 由 定 理 6.6可 先 将 D共 形 映 射 成 单 位 圆 ， 然 后 再 将 此 单 位 圆 共 形 映 射 成 G， 两 者 复 合 起 来 即 可 将 D共 形 映 射 成 G.一 般 而 言 ， 是 利 用 共 形 映 射 的 保 复 合性 ， 可 复 合 若 干 基 本 的 共 形 映 射 而 得 到 D和 G之 间 的 共 形 映 射 ， 其 基 本 方 法 如下 述 框 图 所 示 . 为 此 ， 这 里 介 绍 分 式 线 性 映 射 及 一 些 初 等 函 数 所 构 成 的 映 射 . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积

22、分 变 换 退 出页 6.2分 式 线 性 映 射6.2.1分 式 线 性 映 射 的 概 念定 义 6.3由所 确 定 的 函 数 称 为 分 式 线 性 映 射 .此 外 ， 还 规 定 条 件 ad bc 0是 必 要 的 .否 则 ， 若 ad bc=0， 则 w 常 数 .易 知 分 式 线 性 映 射 式 (6.3)的 逆 映 射 也 是 一 个 分 式 线 性 映 射 .两个 分 式 线 性 映 射 的 复 合 仍 是 一 个 分 式 线 性 映 射 . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 分 式 线 性 映 射 式 (6.3)是 由 下 述

23、3种 简 单 映 射 复 合 而 成 ：事 实 上 ， 当 c=0时 ， 式 (6.3)即 为 它 是 由 、 复 合 而 成 ；当 c 0时 ， 式 (6.3)可 改 写 为 它 即 为 下 述 形 如 ， ， 的 映 射 的 复 合 . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 下 面 我 们 来 考 察 上 述 3种 映 射 的 几 何 意 义 .为 叙 述 方 便 起 见 ， 把 w平 面 与 z平 面的 实 轴 、 虚 轴 分 别 重 合 ， 用 同 一 平 面 上 的 点 表 示 w和 z. w=z+h.由 于 复 数 相 加 可 以 化 为 向 量

24、相 加 ， 所 以 w=z+h就 是 将 z沿 向 量 h的 方向 平 行 移 动 |h|个 单 位 （ 图 6.5） .因 此 把 映 射 w=z+h称 为 平 移 . w=kz.设 那 么 ， 这 说 明 只 要 将 z先 旋 转 一 个 角度 ， 再 将 |z|伸 缩 t倍 ， 所 得 向 量 的 终 点 就 是 w（ 图 6.6） .因 此 把 映 射 w=kz称 为 旋 转 与 伸 缩 . 称 作 反 演 变 换 ， 它 可 以 看 作 是 由 复 合 而 成 .为 了 从 几 何 上 方 便 的 作 出 像 点 w， 我 们 先 给 出 关 于 单 位 圆 周 对 称 点 的 定

25、义 . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 图 6.5 图 6.6 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 定 义 6.4 设 单 位 圆 周 C:|z|=1， 如 果 p与 p 同 时 位 于 以 圆 心 为 起 点 的 射 线 上， 且 满 足 ： |op| |op |=12， 则 称 p与 p 为 关 于 单 位 圆 周 的 对 称 点 .规 定 ：无 穷 远 点 与 圆 心 O是 关 于 单 位 圆 周 的 对 称 点 .设 p在 圆 周 C内 ， 则 过 点 p作 Op的 垂 线 交 圆 周 C于 A， 再 过 A作

26、 圆 周 C的 切 线 交 射线 Op于 p ， 那 么 p与 p 即 互 为 对 称 点 （ 图 6.7(a)） . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 设 则 即 有 argz=argw1，|w1| |z|=12， argw= arg w1， |w|=|w1|.表 明 z与 w1是 关 于 单 位 圆 周 |z|=1的 对 称 点 ， w1与 w是 关 于 实 轴 的 对 称 点 .这 样 我 们 就 可 以 很 容 易 地 从 z出 发 作 出 来 (图 6.7（ b） ).通 常 我 们 将 称 为 关 于 单 位 圆 周 的 对 称 变 换 ， 而

27、 把w=z称 为 关 于 实 轴 的 对 称 变 换 . 图 6.7 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 6.2.2分 式 线 性 映 射 的 性 质(1)保 角 性首 先 讨 论 映 射 由 于 因 此 映 射 在 z 0与z 的 各 处 是 共 形 的 ， 从 而 具 有 保 角 性 。 至 于 在 z=0与 z=处 映 射 是 否 保 角 就 需 要 先 对 两 曲 线 在 无 穷 远 点 处 的 夹 角 进 行 定 义 . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 定 义 6.5两 曲 线 在 无 穷 远 点 处 的 夹

28、 角 ， 就 是 指 它 们 在 反 演 变 换 下 的 像 曲 线 在原 点 处 的 夹 角 .按 照 这 样 的 定 义 ， 由 于 映 射 在 =0处 解 析 ， 且 1 0，所 以 映 射 w= 在 =0处 ， 即 映 射 在 z= 处 是 共 形 的 .再 由 知， 映 射 在 w= 处 是 共 形 的 ， 即 映 射 在 z=0处 也 是 共 形 的 .所 以映 射 在 上 处 处 共 形 . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 下 面 讨 论 复 合 映 射 w=kz+h（ k 0） ， 由 于 0， 所 以 当 z 时 ， 映射 是 共 形

29、的 ， 从 而 具 有 保 角 性 .为 了 证 明 映 射 在 z= （ 像 点 w= ） 处 保 角 ，引 入 两 个 反 演 变 换 ： 将 映 射 w=kz+h转 化 为 映 射 显然 它 在 =0处 解 析 ， 且 有 因 此 ， 映 射 在 =0处 是 共 形 的 ， 即 映 射 w=kz+h（ k 0） 在 z= 处 是 共 形 的 . 所 以 映 射 w=kz+h在 上 处 处 共 形 . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 由 上 面 的 讨 论 可 得 到 下 面 的 结 论 .定 理 6.8分 式 线 性 映 射 式 (6.3)在 C上

30、 处 处 具 有 保 角 性 ， 且 为 共 形 映 射 .(2)保 圆 性由 于 映 射 w=kz+h（ k 0） 是 将 扩 充 z平 面 上 的 点 z经 过 平 移 、 旋 转 与 伸 缩 而 得到 像 点 w的 .因 此 ， 扩 充 z平 面 上 的 一 个 圆 周 或 一 条 直 线 经 过 映 射 w=kz+h所 得的 像 曲 线 仍 然 是 一 个 圆 周 或 一 条 直 线 .如 果 在 扩 充 z平 面 上 ， 将 直 线 视 为 经 过无 穷 远 点 的 圆 周 ， 这 说 明 映 射 w=kz+h在 扩 充 z平 面 上 把 圆 周 映 射 成 圆 周 .此 时也 称

31、映 射 w=kz+h具 有 保 圆 性 . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 下 面 我 们 讨 论 反 演 变 换 的 保 圆 性 .设 圆 周 方 程 的 复 数 形 式 为在 映 射 下 ， 圆 周 式 （ 6.4） 的 像 为与 式 （ 6.4） 相 比 ， 方 程 式 （ 6.5） 当 D 0时 表 示 一 个 圆 周 ； 当 D=0时 表 示 一条 直 线 .从 而 映 射 具 有 保 圆 性 .所 以 可 得 到 定 理 6.9. 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页定 理 6.9分 式 线 性 映 射 式

32、(6.3)将 扩 充 z平 面 上 的 圆 周映 射 成 扩 充 w平 面 上 的 圆 周 .如 果 给 定 的 圆 周 （ 包 括 直线 ） 上 没 有 点 映 射 成 无 穷 远 点 ， 那 么 它 的 像 就 是 半 径为 有 限 的 圆 周 ； 如 果 有 一 个 点 映 射 成 无 穷 远 点 ， 那 么它 的 像 就 是 直 线 . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 (3)保 对 称 点 性类 似 于 定 义 6.4， 可 定 义 z1,z2关 于 圆 周 C:|z a|=R对 称 ， 是 指 z1,z2都 在 过 圆 心 a的 同 一 条 射

33、 线 上 ， 且 |z1 a|z2 a|=R2.此 外 ， 规 定 圆心 a与 点 关 于 圆 周 C对 称 .由 此 可 知 ， z1,z2关 于 圆 周 C:|z a|=R对 称 ， 当 且 仅 当 . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 下 面 的 定 理 从 几 何 的 角 度 说 明 了 对 称 点 的 重 要 特 性 .定 理 6.10C上 两 点 z1 ,z2 关 于 圆 周 C对 称 的 充 要 条 件 是 ： 通 过 z1 ,z2 的 任 何 圆 周 都 与 圆 周 C正 交 （ 图 6.8(a)） .该 定 理 由 平 面 几 何 知 识

34、 及 对 称 点 的 定 义 不 难 证 明 ， 故 证 明 从 略 .定 理 6.11如 果 C上 两 点 z1与 z2关 于 圆 周 C对 称 ， 那 么 在 分 式 线 性 映 射(6.3)下 ， z1与 z2的 像 w1与 w2关 于 C的 像 C 也 对 称 （ 图 6.8（ b） ） . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 证 设 过 w1与 w2的 任 一 圆 周 是 过 z1与 z2的 圆 周 在 分 式 线 性 映 射 下 的 像 ， 由于 z1与 z2关 于 圆 周 C对 称 ， 由 定 理 6.10知 与 C正 交 ， 而 分 式 线

35、性 映 射 具 有 保角 性 ， 所 以 与 C 也 必 正 交 ， 因 此 由 定 理 6.10， w1与 w2关 于 C的 像 曲 线 C也 对 称 . 图 6.8 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 (4)保 交 比 性定 义 6.6 上 有 顺 序 的 4个 相 异 点 z1 ,z2 ,z3 ,z4 构 成 下 面 的 量 ， 称 为它 们 的 交 比 ， 记 为 (z1,z2,z3,z4)当 4点 中 有 一 点 为 时 ， 应 将 包 含 此 点 的 项 用 1代 替 .例 如 z1= 时 ， 即 有亦 即 可 先 视 z 1为 有 限 ， 再

36、令 z1 取 极 限 而 得 . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 定 理 6.12在 分 式 线 性 映 射 式 (6.3)下 ， 4点 的 交 比 不 变 .证 设 (k=1,2,3,4) ， 则因 此 有 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 在 分 式 线 性 映 射 式 (6.3)中 含 有 4个 复 参 数 a,b,c,d.由于 ad bc 0， 可 知 这 些 参 数 中 至 少 有 一 个 不 为 零 ，如 果 我 们 用 它 去 除 分 子 和 分 母 ， 就 可 将 分 式 中 的 4个参 数 化 为

37、3个 参 数 .所 以 分 式 线 性 映 射 式 (6.3)中 实 质上 只 有 3个 独 立 的 复 参 数 .因 此 ， 只 需 给 定 3个 条 件 ，就 能 唯 一 确 定 一 个 分 式 线 性 映 射 . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 事 实 上 ， 假 设 在 z平 面 上 任 意 给 定 3个 相 异 的 点 z1,z2,z3， 并 指 定 变为 w平 面 上 的 点 w1,w2,w3， 由 定 理 6.12易 知 ：就 是 将 zk(k=1,2,3)依 次 映 射 成 wk(k=1,2,3)的 唯 一 分 式 线 性 映 射 .即

38、3对 对 应 点 唯 一 确 定 一 个 分 式 线 性 映 射 . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 例 6.5求 把 分 别 映 射 为 的分 式 线 性 映 射 .解 由 公 式 (6.6)有 由 此 得 化 简 得 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 综 上 所 述 ， 分 式 线 性 映 射 式 (6.3)有 如 下 重 要 映 射 性 质 ： 设 z0是 简 单 闭 曲 线 C内 部 任 意 一 点 z0， 如 果 点 z0的 像 w0在 C 的 内 部 ， 那 么 C的 内 部 就 映 射 成 C 的 内

39、部 ； 如 果 z0的 像 w0在 C 的 外 部 ， 那 么 C的 内 部 就 映 射成 C 的 外 部 .通 常 把 这 种 确 定 映 射 区 域 的 方 法 称 为 内 点 确 定 法 . 如 果 C为 圆 周 ， C 为 直 线 ， 那 么 C的 内 部 映 射 成 C 的 某 一 侧 的 半 平 面 .至于 是 哪 一 侧 ， 可 由 绕 向 确 定 . 当 两 圆 周 上 没 有 点 映 射 成 无 穷 远 点 时 ， 则 两 圆 周 的 弧 所 围 成 的 区 域 映 射 成两 圆 弧 所 围 成 的 区 域 . 当 两 圆 周 上 有 一 个 点 （ 非 交 点 ） 映 射

40、成 无 穷 远 点 时 ， 则 两 圆 周 的 弧 所 围 成的 区 域 映 射 成 一 圆 弧 与 一 直 线 所 围 成 的 区 域 . 当 两 圆 周 交 点 中 的 一 个 点 映 射 成 无 穷 远 点 时 ， 则 两 圆 周 的 弧 所 围 成 的 区 域映 射 成 角 形 区 域 . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 6.2.3分 式 线 性 映 射 的 应 用在 处 理 边 界 为 圆 周 、 圆 弧 、 直 线 及 直 线 段 的 区 域 的 共 形 映 射 中 ， 分 式 线 性 映射 起 着 极 为 重 要 的 作 用 . 例 6.6

41、设 映 射 分 式 线 性 映 射 将 圆 周 z=1映 射 为 直 线 ， 那 么 它 的 参 数应 满 足 什 么 条 件 ？解 首 先 ， 分 式 线 性 映 射 应 满 足 ad bc 0.由 于 映 射 把 圆 周 |z|=1映 为 直 线 ，因 此 圆 周 上 必 有 某 点 被 映 为 ， 即 ， 从 而 cz+d=0， 所 以 应 有 因 此 参 数 应 满 足 ad bc 0且 |c|=|d|. 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 例 6.7若 a,b,c,d都 是 实 数 ， 且 ad bc0， 则 将 下 半 平 面 Im z0共形 映

42、 射 成 下 半 平 面 Im w0， 故 z 0的 像 点 w0位 于 下 半 平 面 Im w0内 .又 对 下 半 z平 面 内 的 任 一 点 z， 都 有 因 此 确 将 下半 平 面 lm z0共 形 映 射 成 下 半 平 面 Im w0.注 ： 满 足 例 6.7条 件 的 也 是 将 上 半 z平 面 映 射 成 上 半 w平 面 的 共 形映 射 . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 例 6.8试 求 将 下 半 平 面 Im z0映 射 成 下 半 平 面 Im w0. 由 于 w(0)=0， 故 b=0,a 0， 用 a除 分 子

43、分 母 ， 有 ， 其 中 都 是 常 数 . 又 因 为 w( i)=1 i, 所 以 1 i= 即 (n m) (n+m)i= i， 从 而 n m=0,n+m=1， 解 之 得 n=m= ， 故 所 求 映 射 为 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 例 6.9求 将 上 半 平 面 Im z0映 射 为 单 位 圆 |w|0)变 为 w=0（ 图 6.10） . 图 6.10 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 解 根 据 边 界 对 应 定 理 ， 只 要 寻 求 到 将 区 域 边 界 映 为 另 一 区 域

44、边 界 的 共 形 映 射即 可 ， 为 此 ， 就 应 考 虑 将 实 轴 Im z=0映 为 单 位 圆 周 |w|=1的 映 射 ， 而 这 正 是从 分 式 线 性 映 射 中 可 以 寻 求 到 的 .题 中 要 求 将 点 z=a(Im a0)变 为 w=0.由 于 关 于 实 轴 Im z=0与 a对 称 的 点 是 a，关 于 单 位 圆 周 |w|=1与 0对 称 的 点 是 .根 据 分 式 线 性 映 射 的 保 对 称 点 性 ， 点z=a应 映 为 w= .因 此 所 求 映 射 应 具 有 形 式 ： 其 中 k为 待 定 常 数 . 出 版 社 理 工 分 社复

45、变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 因 为 z=0的 像 点 必 在 单 位 圆 周 |w|=1上 ， 故 |k|=1.如 果 令k=ei ， 则 所 求 分 式 线 性 映 射 为 注 ： 由 于 式 (6.7)中 的 实 参 数 并 不 确 定 ， 所 以 映 射 不 唯 一 .为 使 映射 唯 一 ， 尚 需 附 加 条 件 ， 或 者 指 出 映 射 在 实 轴 上 一 点 与 单 位 圆 周 上 某点 的 对 应 关 系 ， 或 者 指 出 映 射 在 z=a处 的 转 动 角 arg w (a).对 于 映 射式 (6.7)， 易 知 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数

46、 与 积 分 变 换 退 出页 例 6.10求 将 单 位 圆 |z|1映 射 成 单 位 圆 |w|1的 分 式 线 性 映 射 ， 且 使一 点 z=a（ |a|1） 映 射 为 w=0（ 图 6.11） . 图 6.11 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 解 根 据 分 式 线 性 映 射 保 对 称 点 的 性 质 ， 点 z=a（ 不 妨 假 设 a 0） 关 于 单 位 圆周 |z|=1的 对 称 点 ， 应 该 映 射 成 w=0关 于 单 位 圆 周 |w|=1的 对 称 点 w=， 因 此 ， 所 求 映 射 应 具 有 形 式为 了 确

47、 定 k1， 取 z=1， 它 的 像 点 必 在 单 位 圆 周 |w|=1上 ， 于 是 ， 又 |1 a|=|1 a|， 所 以 |k|=1.故 所 求 分 式 线 性 映 射 为 同 样 ， 要 确 定 还 需 要 给 出 某 些 附 加 条 件 ， 其 与 例 9中 的 注 释 类 似 .而 对 于 映射 式 (6.8)， 易 知 arg w (a)= . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 例 6.11求 将 单 位 圆 |z|1映 射 成 单 位 圆 |w|1的 分 式 线 性 映 射 ，且 满 足解 由 式 （ 6.8） 式 及 有 ，由 此

48、 得 ， 所 以故 所 求 映 射 为 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 例 6.12求 将 圆 |z|r映 射 成 圆 |w|R的 分 式 线 性 映 射 ， 且 满 足 w(z0)=w0， arg w (z0)= .解 这 个 映 射 不 能 直 接 求 得 ， 而 需 要 分 几 步 来 完 成 . 作 映 射 将 圆 |z|r映 为 单 位 圆 |w1|1， 将 点 z0映 射 为 作 映 射 把 单 位 圆 |w1|1映 为 单 位 圆 | |1， 并将 点 映 射 为 =0； 作 映 射 将 圆 |w|R映 为 单 位 圆 |w 2|1， 将

49、点 w0映 射 为 作 映 射 把 单 位 圆 |w2|1映 为 单 圆| |1为 整 数 ， 由 于 在 z 0,z 的 任 何 点 处 具 有 不 为 零 的导 数 ， 所 以 映 射 w=z n在 这 些 点 处 是 共 形 的 . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 令 ， 则 由 式 (6.9)得 由 此 可 见 ， 在 映 射 下 ， z平 面 上 的 圆 周 |z|=r(r0)、 正 实 轴 =0及 射 线 = 0分 别 被 映 射 成 w平面 上 的 圆 周 、 ,正 实 轴 =0及 射 线 =n 0.由 解 析 函 数 的 保 域 性 及

50、边 界 对 应 定 理 可 知 ， 把 角 形 区 域D: 映 射 成 角 形 区 域 G: （ 图 6.13） . 图 6.13 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 特 别 地 ， w=zn把 角 形 区 域 D: 映 射 成 w平 面 上 除 去 原 点 及 正 实 轴的 区 域 ， 它 的 一 边 =0映 射 成 正 实 轴 的 上 岸 =0， 而 另 一 边 映 射 成正 实 轴 的 下 岸 =2 （ 图 6.14） . 图 6.14 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 作 为 w=zn的 逆 映 射 将 w平 面

51、 上 的 角 形 区 域 G:0argwn 映 射 成 z平 面 上 角 形 区 域D:0argz ， 其 中 是 G内 的 一 个 单 值 解 析 分 支 ， 其 值 完 全 由 区 域 D确 定.从 上 面 的 讨 论 可 知 ， 幂 函 数 w=zn及 根 式 函 数 把 以 原 点 为 顶 点 的 角 形区 域 映 射 成 以 原 点 为 顶 点 的 角 形 区 域 ， 前 者 将 角 形 区 域 的 “ 顶 角 ” 扩 大 ， 后者 将 角 形 区 域 的 “ 顶 角 ” 缩 小 .因 此 ， 如 果 要 在 给 定 的 角 形 区 域 与 角 形 区 域之 间 建 立 共 形 映

52、射 ， 就 可 以 考 虑 运 用 幂 函 数 与 根 式 函 数 . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 例 6.13试 求 一 个 把 角 形 区 域 映 射 成 单 位 圆 |w|1的 共 形 映 射 .解 分 式 线 性 映 射 式 (6.7)将 上 半 平 面 共 形 映 射 成 单 位 圆 ， 而 幂 函 数 可 以 把 角形 区 域 映 射 成 特 殊 的 角 形 区 域 半 平 面 ， 复 合 起 来 就 有 可 能 得 到 所 求 的 映 射 . 幂 函 数 =z4把 角 形 区 域 映 射 成 右 半 平 面 . 旋 转 映 射 把 右

53、半 平 面 映 射 成 上 半 平 面 . 分 式 线 性 映 射 （ 此 时 相 当 于 在 式 （ 6.7） 中 取 把 上 半 平 面 映 射 成 单 位 圆 |w|1（ 图 6.15） . 将 ， ， 复 合 起 来 即 得 所 求 的 一 个 共 形 映 射 为 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 图 6.15 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 例 6.14求 一 个 把 具 有 割 痕 Rez=0,0 Im z h的 上 半 平 面 映 射 成 上 半 平 面 的 共形 映 射 .解 用 =z2将 所 给 区

54、 域 映 射 为 一 个 具 有 割 痕 ,Im =0的 平面 ；用 把 平 面 上 的 区 域 映 射 为 平 面 上 去 掉 了 正 实 轴 的 区 域 ；w= （ 取 单 值 分 支 ） 把 沿 正 实 轴 有 割 痕 的 角 形 区 域 映 射 成 上 平 面 （ 图 6.16） .将 上 述 映 射 复 合 即 得 所 求 的 一 个 共 形 映 射 为 . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 图 6.16 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 6.3.2指 数 函 数 与 对 数 函 数由 于 在 z平 面 内

55、处 处 解 析 ， 且 因 而 由 指 数 函 数 所 确定 的 映 射 是 一 个 z平 面 上 的 共 形 映 射 .如 果 令 则 由 此 可 见 ， 把 z平 面 上 的 直 线 x=x0映 射 成 w平 面 上 的 圆 周 ； 把 直线 y=y 0映 射 成 射 线 =y0. 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 指 数 函 数 的 单 叶 性 区 域 是 平 行 于 实 轴 宽 不 超过 2 的 带 形 区 域 ， 如 D:0Imza（ 0a 2 ） 是单 叶 的 .因 此 ， w=ez把 带 形 区 域 D:0Imza（0a 2 ） 映 射 成

56、w平 面 上 的 角 形 区 域G:0argwa.特 别 地 ， 它 将 0Im z2 映 射 成 w平 面 除 去 原 点 及正 实 轴 的 区 域 （ 图 6.17） . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 图 6.17 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 作 为 的 逆 映 射 z=In w， 则 将 w平 面 上 的 角 形 区 域G:0arg wa（ 0a 2 ） 映 射 成 z平 面 上 的 带 形 区 域D:0Im za， 其 中 In w是 G内 的 一 个 单 值 解 析 分 支 ， 它的 值 完 全 由

57、 区 域 D确 定 .于 是 ， 如 果 要 在 给 定 的 带 形 区 域 与 角 形 区 域 之 间 建 立 共形 映 射 ， 就 可 以 考 虑 运 用 指 数 函 数 和 对 数 函 数 . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 例 6.15求 一 个 把 带 形 区 域 0Im z2 映 射 成 单 位 圆 |w|1的 共 形 映 射 .解 作 映 射 = ， 将 0Im z2 映 射 成 平 面 上 除 去 原 点 及 正 实 轴的 区 域 ； 作 映 射 = ， 将 区 域 映 射 成 上 半 平 面 ； 作 分 式 线 性 映 射 将 上 半

58、平 面 映 射 成 单 位 圆 |w|1.（ 图 6.18）复 合 ， ， 即 得 所 求 映 射 为 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 图 6.18 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 下 面 介 绍 两 个 有 关 二 角 形 区 域 的 映 射 问 题 .把 过 a,b两 点 （ 两 个 顶 点 ） 的 两 圆 弧 （ 其 中 一 个 可 以 是 直 线 段 ）围 成 的 区 域 称 为 二 角 形 区 域 .二 角 形 的 “ 内 角 ” 自 然 理 解 为 过 二角 形 顶 点 处 两 圆 弧 切 线 的 夹

59、角 （ 图 6.19(a)） .由 分 式 线 性 映 射 的 结 论 易 知 ， 将 二 角 形 区 域 映 射 成 角 形 区 域 的 分式 线 性 映 射 为 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 它 将 z=a映 为 w=0， 而 将 z=b映 为 w= .由 于 0(a b,k 0).所 以 式 （ 6.11） 在 z=a点 是 共 形 的 ， 从 而 它 将 内 角为 的 二 角 形 区 域 映 射 成 以 原 点 为 顶 角 张 角 为 的 角 形 区 域（ 图 6.19(b)） . 图 6.19 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积

60、 分 变 换 退 出页 特 别 地 ， 当 两 圆 周 内 切 于 点 a时 ， 两 圆 周 所 围 的 月 牙 形 区 域 也 是 一 个 二 角 形区 域 （ 两 顶 点 合 二 为 一 ） .取 分 式 线 性 映 射便 可 将 切 点 a变 成 ， 而 把 月 牙 形 区 域 变 成 一 个 带 形 区 域 （ 图 6.20） ， 如 果适 当 地 选 取 p,q， 就 可 得 到 标 准 的 带 形 区 域 0Imz . 图 6.20 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 例 6.16求 将 区 域 |z|0映 射 成 上 半 平 面 Im w0的

61、一 个 共 形 映 射 .解 区 域 |z|0是 由 圆 弧 与 直 线 段 构 成 的 二 角 形 区 域 ， 两 顶 点 为 1和 1， 因 此 ， 作 分 式 线 性 映 射 它 将 二 角 形 区 域 映 射 成 顶 点 在 原 点的 角 形 区 域 ， 直 线 段 映 成 负 实 轴 ， 圆 弧 映 成 负 虚 轴 .故 二 角 形 的 像 为 平 面的 第 三 象 限 ； 用 旋 转 映 射 把 平 面 的 第 三 象 限 映 射 成 平 面 的 第 一 象 限 ； 后 用 幂 函 数 将 平 面 的 第 一 象 限 映 射 成 w平 面 的 上 半 平 面 Im w0（图 6.2

62、1） .复 合 上 述 3个 映 射 ， 即 得 所 求 映 射 为 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 图 6.21 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 例 6.17求 把 区 域 D:|z|1映 射 成 上 半 平 面 的 共 形 映 射 .解 区 域 D是 两 圆 周 |z|=2,|z 1|=1相 切 于 z=2的 月 牙 形 区 域 . 在 式 (6.12)中 取 p=1,q=0， 得 它 将 圆 周 |z 1|=1上 的 点 0,1 i,2分 别 映 射 为 平 面 上 的 点 0,i, ， 因 此 ， 把 圆

63、周 |z 1|=1映 为 虚 轴 ， 把 |z1|1映 为 右 半 平 面 .另 外 ， 它 将 圆 周 |z|=2上 的 点 2, 2i,2分 别 映 射 为 平面 上 的 点 1 ， 从 而 把 圆 周 |z|=2映 为 直 线 ， 把 |z|2映为 左 半 平 面 所 以 映 射 将 区 域 D映 为 带 形 区 域 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 作 旋 转 映 射 将 带 形 区 域 变 为 带 形 区 域 作 伸 缩 映 射 =2 ， 把 带 形 区 域 变 为 带 形 区 域 0Im i.指 数 映 射 w=e ， 将 带 形 区 域 0I

64、m 0.复 合 上 述 映 射 得 （ 图 6.22） 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 图 6.22 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 6.3.3儒 可 夫 斯 基 函 数函 数称 为 儒 可 夫 斯 基 函 数 .这 种 函 数 首 先 被 儒 可 夫 斯 基 用 来 解 决 将 机 翼 剖 面 的 绕流 问 题 转 化 为 圆 柱 面 的 绕 流 问 题 .由 于 直 接 按 机 翼 剖 面 形 状 计 算 飞 机 飞 行 时所 受 的 阻 力 、 上 升 力 ， 难 度 非 常 大 ， 但 如 果 通 过 共

65、形 映 射 将 其 变 到 圆 周 外 部， 则 可 使 问 题 大 为 简 化 .因 此 ， 式 (6.13)也 称 为 机 翼 剖 面 函 数 . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 显 然 ， 在 除 点 z=0和 z= 外 的 任 何 点 处 儒 可 夫 斯 基 函 数 解 析 .由 于因 此 ， 在 除 z=0和 z= 1外 ， 它 是 处 处 共 形 的 .由 式 (6.13)得 2zw=z2+1， 从 而 (z+1)2=2z(w+1),(z 1)2=2z(w 1).所 以 式 (6.13)变 形 为 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与

66、 积 分 变 换 退 出页 我 们 知 道 分 式 线 性 映 射把 单 位 圆 周 |z|=1上 的 点 1, i,1分 别 映 射 成 0,i, ， 因 此 ， 它 把 |z|=1映射 成 平 面 的 虚 轴 .由 绕 向 确 定 法 ， 可 见 它 把 z平 面 上 单 位 圆 的 外 部 |z|1映射 成 平 面 的 右 半 平 面 .显 然 ， 幂 函 数把 平 面 的 右 半 平 面 映 射 成 平 面 上 除 去 负 实 轴 （ 包 括 原 点 ） 的 区 域 . 出 版 社 理 工 分 社复 变 函 数 与 积 分 变 换 退 出页 另 一 方 面 ， 分 式 线 性 映 射把 平 面 上 的 点 0, 1, 分 别 一 映 射 为 w平 面 上 的 点 1,0,1， 因 此 ， 它 把 平 面 上 的 负 实 轴 （ 包 括 原 点 ） 映 射 为 w平 面 上 的 线 段 1 Rew 1,Im w=0.把 平 面 上 除 去 负 实 轴 （ 包 括 原 点 ） 的 区 域 映 射 为 w平 面 上 除 去 割 痕 1 Rew 1,Im w=0的 区 域 .复 合 式