高等数学上册02极限的概念

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1、主要内容：一、数列极限二、函数极限第 一 章 函 数 与 极 限 第 二 节 极 限 的 概 念 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、 割 圆 术 ： 播 放刘徽一 、 数 列 极 限引 例 1、 割 圆 术 ：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽 1、 割 圆 术 ：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、 割 圆 术 ：刘徽 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、 割 圆

2、 术 ：刘徽 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、 割 圆 术 ：刘徽 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、 割 圆 术 ：刘徽 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、 割 圆 术 ：刘徽 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、 割 圆 术 ：刘徽 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、 割 圆 术 ：刘徽 R正六边形的面积1A正十二边形的面积2A正 形的面积126 n nA , 321 nAAAA S 2、 截

3、 丈 问 题 ：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 X第一天截下的杖长为;2121 22 X为第二天截下的杖长总和 ;212121 2 nnXn 天截下的杖长总和为第nnX 211 1 1、 数 列 的 定 义例如：;,2,8,4,2 n ;,21,81,41,21 n 2 n 21 n 注 ： 1. 数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取., 21 nxxx1x 2x3x 4x nx2. 数列是整标函数).(nfxn ;,)1(,1,1,1 1 n )1( 1 n;,)1(,34,21,2 1 nn n )1( 1nn n .)1(1 1时的变化趋势当观察数列 nnn 播

4、 放 2、 数 列 的 极 限 .)1(1 1时的变化趋势当观察数列 nnn .)1(1 1时的变化趋势当观察数列 nnn .)1(1 1时的变化趋势当观察数列 nnn .)1(1 1时的变化趋势当观察数列 nnn .)1(1 1时的变化趋势当观察数列 nnn .)1(1 1时的变化趋势当观察数列 nnn .)1(1 1时的变化趋势当观察数列 nnn .)1(1 1时的变化趋势当观察数列 nnn .)1(1 1时的变化趋势当观察数列 nnn .)1(1 1时的变化趋势当观察数列 nnn .)1(1 1时的变化趋势当观察数列 nnn .)1(1 1时的变化趋势当观察数列 nnn .)1(1 1时

5、的变化趋势当观察数列 nnn 问题:当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?nxn .1)1(1, 1无限接近于无限增大时当nxn nn 通过上面演示实验的观察: 1 2lim limn n nnn n n nnn x nx a a x a x a nx xx x ax n,x , ,x , , 对 于 数 列 如 果 当 无 限 增 大 时 ，无 限 接 近 于 某 个 确 定 的 常 数 ， 那 么 就 称 是， 或 称 ， 记 作或 （ ）如 果 这 样 的 常 数 列的 极 限 数 列 收 敛 于数 列 发 数 不 存 在 ， 就 说 数 列 没 有 极 限

6、， 或称 (习 惯 上 也定 常 表 达 为 “ 不 存义 1： 散 在 ” ). 1 11lim 0 lim 1 lim 2 lim 12 nnn n n n n n n n, 按 照 此 定 义 ， 在 前 面 的 四 个 数 列 中 ， 我（ -1 们 有， 而 和）均 不 存 在 . 注 ： 定 义 中 的 “ 当 n无 限 增 大 时 ， xn无 限 接 近 于 某 个 确 定 的 数 a”的 意 思 是 ： 在 n无 限 增 大 的 过 程 中 ， xn与 常 数 a的 距 离 |xn-a|可 以任 意 小 ， 要 它 多 小 就 能 有 多 小 .1 22 33 11 11 10

7、101 11 1010 1 11 101000 nn nn kn kn nn nn x xn n x nx n x n nx n x n, n ,n n . （ -1）以 数 列 为 例 ， 若 要 只 要即 从 第 101项 起 ， 以 后 的 一 切 项 均 能 满 足 要 求 ；若 要 ， 只 要 ；一 般 地 ， 若 要 ， 只 要由 此 可 见 ， 无 论 要 求 与 多 么 接 近 ， 只 要 足 够 大 后 ， 就 可 以 使（ -1）与 有 那 么 接 近 ， 这 就 是 当 无 限 增 大 时 ， 无 限接 近 于 常 数 1的 含 义 . 2 5 2 5 2 321 1 1

8、3 0 lim 01 1n n nn n n x xn n nn xn . （ +1）设 ， 由 于 ，而 当 时 ， ， 于 是例 、 sin xf ( x ) x .x 观 察 函 数 当 时 的 变 化 趋 势 播 放 1、 自 变 量 趋 向 无 穷 大 时 函 数 的 极 限二、函 数 极 限 .sin时的变化趋势当观察函数xxx1、 自 变 量 趋 向 无 穷 大 时 函 数 的 极 限 .sin时的变化趋势当观察函数xxx1、 自 变 量 趋 向 无 穷 大 时 函 数 的 极 限 .sin时的变化趋势当观察函数xxx1、 自 变 量 趋 向 无 穷 大 时 函 数 的 极 限

9、.sin时的变化趋势当观察函数xxx1、 自 变 量 趋 向 无 穷 大 时 函 数 的 极 限 .sin时的变化趋势当观察函数xxx1、 自 变 量 趋 向 无 穷 大 时 函 数 的 极 限 .sin时的变化趋势当观察函数xxx1、 自 变 量 趋 向 无 穷 大 时 函 数 的 极 限 .sin时的变化趋势当观察函数xxx1、 自 变 量 趋 向 无 穷 大 时 函 数 的 极 限 .sin时的变化趋势当观察函数xxx1、 自 变 量 趋 向 无 穷 大 时 函 数 的 极 限 .sin时的变化趋势当观察函数xxx1、 自 变 量 趋 向 无 穷 大 时 函 数 的 极 限 .sin时的

10、变化趋势当观察函数xxx1、 自 变 量 趋 向 无 穷 大 时 函 数 的 极 限 .0sin)(,无限接近于无限增大时当xxxfx 通过上面演示实验的观察: x xx x xx x x . 我 们 把 自 变 量 的 绝 对 值 无 限 增 大 的 过 程 记 作 ；如 果 当 自 变 量 朝 轴 正 方 向 绝 对 值 无 限 增 大 ， 记 作 ；如 果 当 自 变 量 朝 轴 反 方 向 绝 对 值 无 限 增 大 ， 记 作一 般 地 ， lim f x xx xf x A A f xx f x A f x A x x xA A f x xx 设 函 数 （ ） 对 绝 对 值 充

11、 分 大 的 均 有 定 义 .如 果 当自 变 量 的 绝 对 值 无 限 增 大 时 （ 记 作 ） ， 对 应 的 函 数值 （ ） 无 限 接 近 于 某 个 确 定 的 常 数 ， 则 称 为 函 数 （ ） 当趋 于 无 穷 大 时 的 极 限 ， 记 为 （ ） = 或 （ ） （ ） .如 果 当 （ ） 时 ， 对 应 的 函 数 值 无 限 接 近 于 常数 ， 则 称 为 （ ） 当 趋 向 正 无 穷 大 （ 负定 义 2： 无 穷 大 ）limlim f x A f x A xf x A f x A xx x 时 的 极 限 ，记 作 （ ） = 或 （ ） （ ）

12、（ （ ） = 或 （ ） （ ） ） . limx: f ( x ) A 定 理 .)(lim)(lim AxfAxf xx 且显 然 ， 由 定 义 可 知 有 下 述 结 论 . lim lim x xf ( x ) c f ( x ) c,y c y f ( x ) .: 如 果 或 则 称 直 线是 函 数 的 图 形 的 水定 义 平 渐 近 线3 1 01lim3 010 x f x x xy f x x x . 由 于 当 时 （ ） = 无 限 接 近 于 ， 故 有 例 、 直 线 是 曲 线 （ ） 的 水 平 渐 近 线 （ 如 右 图 ） . xy 1O xy arc

13、tan lim arctan lim arctan 2 2arc n4 ta 2 2y= xx xy y y= x x x . 从 反 正 切 函 数 的 图 形 可 观 察 到 ，直例 线 和 均 为 曲 线 的、 水 平 渐 近 线 .2 xy2 arctan y= xO 、 自 变 量 趋 向 有 限 值 时 函 数 的 极 限0 0 02 22lim f x x xx x xx f x xxx 设 函 数 （ ） =2 +1， 是 一 个 给 定的 值 .当 自 变 量 趋 于 时 （ 记 作 ） ， 对应 的 函 数 值 就 无 限 接 近 于 常 数 5， 这 时 我 们说 当 时

14、 ， （ ） =2 +1的 极 限 是 5， 并记 作 （ 2 +1） =5. xf x（ ） x2xf x（ ）5Oy 0 0 00 00 0 0li im 4 m lx x f x x x x x xf x A Af x x x f x A f x A x xA x x f xf xx x 设 函 数 （ ） 在 点 的 某 个 去 心 邻 域 内 有定 义 ， 如 果 当 趋 于 （ ） 时 ， 对 应 的 函 数 值（ ） 无 限 接 近 于 某 个 确 定 的 常 数 ， 就 说 是 函数 （ ） 当 时 的 极 限 ， 记 作（ ） = 或 （ ） （ ） . 如 果 这 样 的

15、常 数 不 存 在 ， 则 说 当 时 （ ）没 有 极 限 . 为定 义 ： 了 方 便 ， 常 表 述 为 “ （ ） 不 存 在 ” . 0 00 0 00 0 0 00 x x x xx x x x x x x xf x Ax xf x Ax x f x Ax x f x . （ 1） “ 趋 向 于 （ ） ” 是 自 变 量 的 变 化 过 程 ，指 无 限 接 近 于 而 永 远 不 等 于 在 的 过 程中 ， 可 以 取 大 于 的 值 也 可 以 取 小 于 的 值 ；“ 对 应 的 函 数 值 （ ） 无 限 接 近 于 某 个 确 定 的 常 数 ”是 因 变 量 的

16、变 化 过 程 ， 它 是 由 自 变 量 这 一 变化 过 程 而 引 起 的 （ 并 不 排 除 （ ） 取 常 数 的 情 况 ） .（ 2） “ 当 时 ， （ ） 无 限 接 近 于 ” 的 含 义 是 ：在 趋 向说 明 ： 的 过 程 中 ， （ ） 与 00 Af x Ax-xx x 常 数 的 接 近 程 度 没 有任 何 限 制 ， 也 就 是 说 ， （ ） - 可 以 变 得 任 意 小 ，你 要 它 多 小 就 能 有 多 小 ， 只 要 当 变 得 足 够 小 以后 （ 但 ） 即 可 . 00 0 l5 0imf x f x c cx x x f x cf x c

17、 c cx x . （ 1） 设 （ ） 是 常 数 函 数 ， 即 （ ） （ 为 常 数 ） ，则 对 于 任 一 定 值 ， 在 趋 向 的 过 程 中 ， 总 有 （ ） - ，这 表 明 （ ） 已 无 限 接 近 于 常 数 了 ， 即 例 0 00 0 0limf x f x x xx x f x x x x x x x . （ 2） 设 （ ） 是 恒 等 函 数 ， 即 （ ） = ， 对 任 一 定 值 ， 当时 ， （ ） = ， 即 216 11xx f x x . 讨 论 时 ， 函 数 （ =例 ） 的 极 限2 21 11 111 1lim 21f x x f x

18、 xxf f x xxx f x xxx . 解 ： （ ） 在 =1处 没 有 定 义 ， 但 （ ） 当 时 的 极 限与 （ 1） 是 否 存 在 没 有 关 系 . 由 于 （ ） = ， 故当 时 ， （ ） 无 限 接 近 于 2. 因 此 有 下 面 我 们 引 进 函 数 的 “ 左 极 限 ” 和 “ 右 极 限 ” 的 概 念 . 00 0 0 00 0 0 0 0limli 5m x x x x x f xA A f x xx x x f xB B f x xf x f xf x f xx x 如 果 当 从 左 侧 趋 向 时 ， 函 数 （ ） 无 限 接 近于 某

19、个 确 定 的 常 数 ， 则 称 是 （ ） 在 点 处 的 左 极 限 ；当 从 右 侧 趋 向 时 ， 函 数 （ ） 无 限 接 近 于 某 个 确 定的 常 数 ， 则 称 是 （ ） 在 点 处 的 右 极 限 . 左 极 限 记 为 （ ） 或 （ ） ； 右 极 限 记 为（ ） 或 （定 义 ： ） .由 定 义 可 知 ， 显 然 有 下 列 结 论 ： 0 00 0limx f x f x xf x f xx （ ） 存 在 （ ） 在 处 的 左 、 右 极 限都 存 在 且 相 等 ， 即 （ ） =（ ） . 1sgn 0 x ,f x x= , x=- xx .证

20、 明 函 数 ， 当 （ ） = 当 ， ， 当 当 时 ， 极 限例 7 不 存 在 sgn f x x （ ） =O1 1 xy 0 00 0 0 00lim lim1 1lim lim 1 lim limlim f xf x f x f xf xx xx x x xx 由 于 （ ） = ， （ ） = （ -1） ， （ ） 与 （ ） 不 相 等 ，所 以 （ ） 不 存 在 (如 上 图 ). 这 是 因 为 例 8 函 数当 x0时 的 极 限 不 存 在 0 1 0 0 0 1)( xx xxxxf 1)1(lim)(lim 00 xxf xx 1)1(lim)(lim 00

21、xxf xx )(lim)(lim 00 xfxf xx 内 容 小 结1. 数 列 极 限 ；2. 函 数 极 限 0 00limlimlimlimlimlimxxx f xf xf xf xf xf xxxxxxx （ ） ；自 变 量 趋 向 有 限 值 时 函 数 的 极 限 （ ） ；（ ） ；（ ） ；自 变 量 趋 向 无 穷 大 时 函 数 的 极 限 （ ） ；（ ） .lim nx x 1 1 11 1cos1 nn nnn n x a xa nnx xn n. . 观 察 下 列 数 列 的 变 化 趋 势 ， 判 别 哪 些 数 列 有 极 限 ，如 有 极 限 ， 写

22、 出 它 们 的 极 限 ：（ 1） （ ） ； （ ） （ -1） ；（ 3） ； （ 4）课 堂 练 习2 1sin 0 sin 1 arctan 1 x x xxx x xx. xx . 观 察 下 列 函 数 在 给 定 自 变 量 的 变 化 趋 势 下 是 否 有极 限 ， 如 有 极 限 ， 写 出 它 们 的 极 限 ：（ 1） （ ） ； （ ） （ + ） ；（ 3） （ - ） ； （ 4） （ 1） 4 213 limcos lim cot 1lim arcsin lim 1 x xx xx x xx. . 求 下 列 极 限 ：（ 1） ； （ 2） ；（ 3） ； （ 4）21 14 x x f x f fxx. e ， 当 ，设 （ ） = 求 （ 1） 与 （ 1） .， 当 ， 练 习 :P30. 1;P38. 1、 2、 3、 4.