阶电路和二阶电路的时域分析

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1、第 七 章 一 阶 电 路 和 二 阶 电 路 的 时 域 分 析1.换 路 定 则 和 电 路 初 始 值 的 求 法 ；2.掌 握 一 阶 电 路 的 零 输 入 响 应 、 零 状 态 响 应 、 全 响应 的 概 念 和 物 理 意 义 ；3.会 计 算 和 分 析 一 阶 动 态 电 路 (重 点 是 三 要 素 法 )；4.了 解 二 阶 电 路 零 状 态 响 应 、 零 输 入 响 应 、 全 响 应的 概 念 和 物 理 意 义 ； 5.会 分 析 简 单 的 二 阶 电 路 ；6.会 计 算 一 阶 电 路 的 阶 跃 响 应 、 冲 激 响 应 ；7.会 用 系 统 法

2、列 写 简 单 的 状 态 方 程 。内 容 提 要 与 基 本 要 求 第 七 章 一 阶 电 路 和 二 阶 电 路 的 时 域 分 析重 点(1)动 态 电 路 方 程 的 建 立 和 动 态 电 路 初 始 值 的 确 定 ；(2)一 阶 电 路 时 间 常 数 的 概 念 与 计 算 ；(3)一 阶 电 路 的 零 输 入 响 应 和 零 状 态 响 应 ；(4)求 解 一 阶 电 路 的 三 要 素 法 ；(5)暂 态 分 量 (自 由 分 量 )和 (稳 态 分 量 )强 制 分 量 概 念 ；(6)二 阶 电 路 的 零 输 入 、 零 状 态 和 全 响 应 的 概 念 ；(

3、7)二 阶 电 路 的 方 程 和 特 征 根 、 过 渡 过 程 的 过 阻 尼 、 欠 阻 尼 及 临 界 阻 尼 的 概 念 及 分 析 ；(8)二 阶 电 路 的 阶 跃 响 应 。 第 七 章 一 阶 电 路 和 二 阶 电 路 的 时 域 分 析难 点(1)应 用 基 尔 霍 夫 定 律 和 电 感 、 电 容 的 元 件 特 性 建立 动 态 电 路 方 程 ；(2)电 路 初 始 条 件 的 概 念 和 确 定 方 法 ；(3)二 阶 电 路 的 过 阻 尼 、 欠 阻 尼 及 临 界 阻 尼 放 电 过程 分 析 方 法 和 基 本 物 理 概 念 。与 其 它 章 节 的

4、联 系本 章 讨 论 的 仍 是 线 性 电 路 ， 因 此 前 面 讨 论 的 线 性电 路 的 分 析 方 法 和 定 理 全 部 可 以 用 于 本 章 的 分 析中 。 第 9章 讨 论 的 线 性 电 路 的 正 弦 稳 态 响 应 就 是动 态 电 路 在 正 弦 激 励 下 的 稳 态 分 量 的 求 解 。 第 七 章 一 阶 电 路 和 二 阶 电 路 的 时 域 分 析7-1 动 态 电 路 的 方 程 及 其 初 始 条 件 7.1 动 态 电 路 的 方 程 及 其 初 始 条 件SU S+- (t=0) +-uCR C+ -uRi 引 言 自 然 界 事 物 的 运

5、动 ， 在 一 定 的 条 件 下 有 一 定 的 稳定 状 态 。 当 条 件 发 生 变 化 时 ， 就 要 过 渡 到 新 的 稳 定 状态 。 从 一 种 稳 定 状 态 转 到 另 一 种 新 稳 定 状 态 时 ， 往 往不 能 跃 变 ， 而 是 需 要 一 定 时 间 ， 或 者 说 需 要 一 个 过 程 ，在 工 程 上 称 过 渡 过 程 。 接 通 电 源 ， C 被 充 电 ， C 两端 的 电 压 逐 渐 增 长 到 稳 态 值Us ， 即 要 经 历 一 段 时 间 。电 路 中 的 过 渡 过 程 虽 然 短 暂 ，在 实 践 中 却 很 重 要 。 7.1 动

6、 态 电 路 的 方 程 及 其 初 始 条 件一 、 动 态 电 路 的 基 本 概 念含 有 动 态 元 件 (L、 C)的 电 路 称 为 动 态 电 路 。 描 述 动态 电 路 的 方 程 是 微 分 方 程 。全 部 由 线 性 非 时 变 元 件 构 成 的 动 态 电 路 ， 其 描 述 方程 是 线 性 常 系 数 微 分 方 程 。只 含 一 个 动 态 元 件 (L或 C)的 电 路 ， 其 描 述 方 程 是 一阶 线 性 常 系 数 微 分 方 程 ， 称 一 阶 电 路 。动 态 电 路 的 分 析 方 法 ：1.经 典 法 时 域 分 析 法2.拉 普 拉 斯 变

7、 换 法 复 频 域 分 析 法3.状 态 变 量 法 时 域 分 析 法 7.1 动 态 电 路 的 方 程 及 其 初 始 条 件二 、 换 路 及 换 路 定 则1. 换 路 电 路 结 构 或 元 件 参 数 的 改 变 称 为换 路 。 换 路 是 在 t=0 (或 t = t0) 时刻 进 行 的 。 含 有 动 态 元 件 的 电 路 换路 时 存 在 过 渡 过 程 ， 过渡 过 程 产 生 的 原 因 是 由于 储 能 元 件 L、 C ， 在 换路 时 能 量 发 生 变 化 ， 而能 量 的 储 存 和 释 放 需 要 S24V+- (t=0) + LiL4W1 4W2

8、2W3W 6H6W-u L12V+- i 8W4W t=0S纯 电 阻 电 路 在 换 路 时 没 有 过 渡 期 。 一 定 的 时 间 来 完 成 。 7.1 动 态 电 路 的 方 程 及 其 初 始 条 件2. 换 路 定 则在 换 路 前 后 ： q(t) = q(t0) + tt0iC (x) dxq(0+) = q(0-) + 0+0-iC(x) dx以 t = t0 = 0作 为 换 路 的 计 时 起 点 ： 换 路 前 最 终 时刻 记 为 t = 0-， 换 路 后 最 初 时 刻 记 为 t = 0+。线 性 电 容 C的 电 荷0-到 0+瞬 间 ， iC(t)为 有

9、 限 值 时 ， 积 分 为 0。q(0 +) = q(0-) C上 的 电 荷 不 能 跃 变 ！由 q(t) = C uC(t)可 知 ， 当 换 路 前 后 C不 变 时uC(0+) = uC(0-) C两 端 的 电 压 也 不 能 跃 变 ！ 7.1 动 态 电 路 的 方 程 及 其 初 始 条 件Y (0+) =Y (0-) L中 的 磁 链 不 能 跃 变 ！由 Y (t) = LiL(t) 可 知 ， 当 换 路 前 后 L不 变 时 iL(0+) = iL(0-) L中 的 电 流 也 不 能 跃 变 ！同 理 可 得 ：q(0+) = q(0-) uC(0+) = uC(

10、0-)换 路 定 则 表 明 (1)换 路 瞬 间 ， 若 电 容 电 流 保 持 为 有 限 值 ， 则 电容 电 压 （ 电 荷 ） 在 换 路 前 后 保 持 不 变 ， 这 是电 荷 守 恒 定 律 的 体 现 。(2)换 路 瞬 间 ， 若 电 感 电 压 保 持 为 有 限 值 ， 则 电感 电 流 （ 磁 链 ） 在 换 路 前 后 保 持 不 变 。 这 是磁 链 守 恒 定 律 的 体 现 。 7.1 动 态 电 路 的 方 程 及 其 初 始 条 件三 、 初 始 值 的 计 算解 ： 换 路 前 的 “ 旧 电 路 ”求 图 示 电 路 在 开 关 闭 合 瞬间 各 支

11、路 电 流 和 电 感 电 压 。 1. 由 换 路 前 的 “ 旧 电 路 ”计 算 uC(0-)和 iL(0-) 。iC(0-)=0， C视 为 开 路 。 uL(0-)=0， L视 为 短 路 。i L(0-) = 12AuC(0-) = 24V= iL(0+)= uC(0+) R1+-U0 S R2iL iCCL +-uL +-uCR33W2W 2W48Vi R1+-U 0 S R2iL iCCL +-uL +-uCR33W2W 2W48Vi由 等 效 电 路 算 出 7.1 动 态 电 路 的 方 程 及 其 初 始 条 件2.画 出 t=0+等 效 电 路 ：电 感 用 电 流 源

12、 替 代 ， 电容 用 电 压 源 替 代 。 iC(0+) = 48-243 = 8AuL(0+) =48-2 12 = 24V R1+-U 0 S R2iL iC12A +-uL +-R33W2W 2W48V 24Vi iL(0-) = 12A = iL(0+)uC(0-) = 24V = uC(0+)i(0 +) = iL(0+) + iC(0+) = 12 + 8 = 20A t=0+时 刻 的 等 效 电 路 R1+-U0 S R2iL iCCL +-uL +-uCR33W2W 2W48Vi 第 七 章 一 阶 电 路 和 二 阶 电 路 的 时 域 分 析7-2 一 阶 电 路 的

13、 零 输 入 响 应 7.2 一 阶 电 路 的 零 输 入 响 应零 输 入 响 应 ： 在 电 源 激 励 为零 的 情 况 下 ， 由 动 态 元 件 的初 始 值 (0)引 起 的 响 应 。1. RC 电 路 S R+-uC (t=0)i +-uRU0 S R+-u C (t0+)i +-uRU0换 路 后 的 “ 新 电 路 ”i = ducdt- C = Ri ducdt= - RC由 KVL得 ： ducdtRC + uC = 0uR分 析 RC 电 路 的 零 输 入 响 应 ，实 际 上 是 分 析 其 放 电 过 程 。一 阶 齐 次 微 分 方 程 7.2 一 阶 电

14、路 的 零 输 入 响 应t = RC 称 RC电 路 的 时 间 常 数 。若 R取 W， C取 F， 则 t为 s。t 的 大 小 ， 反 映 u C的 变 化 快 慢 ：t 越 大 ， uC衰 减 越 慢 。 S R+-uC (t0+)i +-uRU0p = - RC1通 解 uC = A e 1RC- t由 初 始 条 件 uC(0+) = uC(0-) = U0 得 ：uC = U0 e = U0 e t- t1RC- t ， t 0 to uC t 2t 3tU0 t的 图 解ducdtRC + uC = 0 特 征 方 程特 征 根RCp+1=0 7.2 一 阶 电 路 的 零

15、输 入 响 应t=0， uC =U0t=t， uC =U0 e-10.638U0 在 理 论 上 ， 要 经 过 无限 长 时 间 ， uC才 能衰 减 到 0。 在 工 程 上 ， 认 为 经 过3t 5t 时 间 ， 过 渡过 程 即 告 结 束 。 to uC t 2t 3tU00.368U00.05U0 uC=U0 e t- tt=3t， uC =U0 e-30.05U0t=5t， uC =U0 e-50.007U0u R = uC = U0 e t- t S R+-uC (t0+)i +-uRU0 , uRi = ducdt- C = RU0 t- teWR = 0 i2 (t) R

16、 dt= 0RU02 2RC- te dt = 21 CU 02C储 存 的 能 量 全 被 R 吸 收 ，并 转 换 成 热 能 消 耗 掉 。R U0 i 7.2 一 阶 电 路 的 零 输 入 响 应例 ： 试 求 t0时 的 i(t)。换 路 后 ， C 通 过 (R1/R2)放 电 ，Req= R1/R2 = 2W。所 以 t = ReqC = 2 s引 用 典 型 电 路 结 果 ：uC(0-) = 2+4+410 4 = 4 V根 据 换 路 定 则 ： uC(0-) = uC(0+) = 4 V R 2+-uC 4W4WC1Fit0S R1uC = uC(0+) e t- t

17、= 4 e-0.5t Vi = - 21 RequC = -e-0.5t A (t0)(t0)2W S R2+- (t=0) +-uC 4WR14WC1F12R10V i 7.2 一 阶 电 路 的 零 输 入 响 应2. RL电 路由 KVL uL + uR = 0 S R+- (t=0)R0 L1 2uL+-iU0R(t0)L uL+-iS 2 +-uRdiLdt + Ri = 0didtL + i = 0R i(0+)= i(0-)= R0U0i(t) = i(0+) e= R 0U0t = RL 为 RL电 路 的 时 间 常 数 。t- te s = WHt- t得 i(t) 解 之

18、 代 入 初 试 条 件 基 本 形 式 ： i(t)=I0 e t- t (t 0) 7.2 一 阶 电 路 的 零 输 入 响 应电 阻 和 电 感 上 的电 压 分 别 为 ： R(t0)L uL+-iS 2 +-uR RI0 uR to i, uR , uL iI0 uL-RI0uR = Ri= R I0 euL = - uR = - R I0 edidtL或 者 ： u L = = -R I0 ei(t) = I0 e t- t t- t t- t t- t ， (t 0)， (t 0) ， (t 0) 7.2 一 阶 电 路 的 零 输 入 响 应例 7-2试 求 ： t ； i(

19、0+)和 i(0-) ；i(t)和 uV (t) ； uV (0+)。 VS+- R L+-U RVuV i0.189W0.398H5kW35V某 300kW汽 轮 发 电 机励 磁 回 路 的 电 路 模 型电 压 表 的 量 程 才 50V。t = R+RVL = 0.189+5 1030.398= 79.6 (ms)i(0-) RU = 0.18935 =185.2 Ai(t) = 185.2 e -12560t AuV(t) = -RV i(t) = -926 e-12560t kVuV(0+) = 926 kV ! t0+ 实 践 中 ， 要切 断 L 的 电流 ， 必 须 考虑 磁

20、 场 能 量的 释 放 问 题解 ： = i(0+) 第 七 章 一 阶 电 路 和 二 阶 电 路 的 时 域 分 析7-3 一 阶 电 路 的 零 状 态 响 应 7.3 一 阶 电 路 的 零 状 态 响 应零 状 态 响 应 ： 在 动 态 元 件初 值 为 0 的 状 态 下 ， 外 施激 励 引 起 的 响 应 。1. RC电 路 由 KVL： uR + uC = US SUS+-(t=0) +-uCR C+ -uRiuR = Ri ducdt = RCducdtRC + uC = US常 系 数 非 齐 次 线 性 方 程 对 应 的 齐 次 方 程 ：其 解 为 ： u C =

21、 uC + uC 通 解 ： uC = A e 1RC- t特 解 ： uC = US 所 以 ： uC = US + A educdtRC + uC= 0 1RC- t 7.3 一 阶 电 路 的 零 状 态 响 应代 入 初 值 ： uC(0+) = uC(0-) = 0求 得 ： A=-US所 以 零 状 态 响 应 为uC = US (1-e )，t- t uC稳 态 分 量u C瞬 态 分 量ducdt i = C = RUS e t- t i SUS+-(t0+) +-uCR C+ -uRiducdtRC + uC = USuC = US + A e 1RC- t t = RC u

22、C=uC + uCUS to uC , iRUS-U S uC = US - US e t- t 7.3 一 阶 电 路 的 零 状 态 响 应电 源 提 供 的 能 量 ：电 阻 吸 收 的 能 量 ：W = 0US i (t) dt = CUS2W R = 0i2 (t) R dt = 21 CUS2 t =RC ducdtRC + uC = USuC = US + A e 1RC- tducdt i = C = RUS e t- t SUS+-(t0+) +-uCR C+ -uRi结 果 表 明 ： 电 源 提供 的 能 量 只 有 一 半转 换 为 电 场 能 量 存储 于 C 中 ，

23、 另 一 半在 充 电 过 程 中 被 R 消 耗 掉 。 不 论 RC的值 是 多 少 ， 充 电 效率 总 是 50%。 7.3 一 阶 电 路 的 零 状 态 响 应2. RL电 路 的 零 状 态 响 应(1) 激 励 是 恒 定 直 流换 路 前 ： iL(0+) = iL(0-) = 0 换 路 后 ： iR + iL = IS S R L+-IS uLt=0 iR iL(t0+)iR = uLR = LR diLdtLR diLdt + iL = IS LRt =解 得 ： iL = IS (1- e )t- t代 入 式 中 ： 7.3 一 阶 电 路 的 零 状 态 响 应(

24、2)激 励 是 正 弦 电 压设 us=Umcos(wt+yu)则 LdiLdt + RiL= Umcos(wt+yu)通 解 ： iL = A e t- t特 解 的 形 式 ： iL= Imcos(wt +q )把 iL 代 入 微 分 方 程 ： Im、 q 为 待 定 系 数 。RI mcos(wt+q )-wLImsin(wt+q ) =Umcos(wt+yu)Im|Z|cos(wt+q +j)=Umcos(wt+yu)式 中 R2|Z| = + (wL)2 tgj = RwL LRt =t0+us+- +-uLR Li+ -uR 7.3 一 阶 电 路 的 零 状 态 响 应比 较

25、 得 ： q =yu-j ， |Z|Um特 解 ： iL = Imcos(wt +q ) = cos(wt + yu-j)上 述 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 全 解 为 ：|Z|UmiL = cos(wt+yu-j) + A e- tt由 i L(0+) =iL(0-) = 0定 出 ： A = - |Z|Um cos(yu-j)|Z|UmiL = cos(wt+yu-j) - cos(yu-j) eIm= Um|Z| Im|Z|cos(wt+q +j)=Umcos(wt+yu)式 中 R2|Z| = + (wL)2 tgj = RwL|Z|U m - tt 7.3 一

26、 阶 电 路 的 零 状 态 响 应讨 论(1)若 S闭 合 时 yu-j = 90o， to i i = i稳 态 分 量 iL是 与 外 施激 励 同 频 率 的 正 弦 量 暂 态 分 量 iL随 时 间的 增 长 衰 减 为 零 。(2)若 S闭 合 时 y u=j ， 则 ： iL = |Z|Um coswt e- tt|Z|Um- |Z|UmiL = cos(wt+yu-j) - cos(yu-j) e|Z|Um - tt则 iL =0。 说 明 电 路 不 发 生过 渡 过 程 而 立 即 进 入 稳 态 。R上 的 电 压 uR = R iL L上 的 电 压 uL= L di

27、Ldt 7.3 一 阶 电 路 的 零 状 态 响 应RL 串 联 电 路 与 正 弦 电 压 接 通 后 ， 在 一 定 初 值 条 件下 ， 电 路 的 过 渡 过 程 与 S动 作 时 刻 有 关 。iL iL to iL |Z|Um|Z|Um-此 时 闭 合 S， 约 过 半个 周 期 ， iL的 最 大 瞬时 值 (绝 对 值 ) 将 接 近稳 态 振 幅 的 两 倍 。当 t 很 大 时 ， iL衰减 极 其 缓 慢 。 稳 态 振 幅过 渡 中 的 最 大 瞬 时 值iL = |Z|Um coswt e- tt|Z|Um- 第 七 章 一 阶 电 路 和 二 阶 电 路 的 时

28、域 分 析7-4 一 阶 电 路 的 全 响 应 7.4 一 阶 电 路 的 全 响 应全响应 稳态解 暂态解1. 全 响 应 ： 外 施 激 励和 动 态 元 件 初 值 都不 为 零 时 的 响 应 。 SUS+- (t=0) +-uCR C+ -uRi +-U0uC(0+) = uC(0-) = U0uC = US + (U0 - US) educdtRC + uC = US - tt (1)一 阶 电 路 的 全 响 应可 以 看 成 是 稳 态 分 量(强 制 分 量 ) 与 暂 态 分量 (自 由 分 量 ) 之 和 。= + 2. 全 响 应 的 两 种 分 解 方 式强 制 分

29、 量 自 由 分 量 7.4 一 阶 电 路 的 全 响 应零输入响应(2)把 上 式 改 写 成 下 列 形 式 ：零状态响应全响应此 种 分 解 方 式 便 于 叠 加 计 算 ，体 现 了 线 性 电 路 的 叠 加 性 质 。uC = US + (U0 - US) e- tt SUS+- (t=0) +-uCR C+ -uRi +-U0uC = U0 e- tt + US (1 - e )- tt= + 7.4 一 阶 电 路 的 全 响 应3. 三 要 素 法(1) 在 恒 定 激 励 下 f(t) = f() + f(0+) - f() - tte由 初 始 值 、 稳 态 值 和

30、 时 间 常 数 三 个 要 素 决 定 。全 响 应 = 稳 态 分 量 + 暂 态 分 量uC = US + (U0 - US) e- tt(2) 在 正 弦 电 源 激 励 下 f(t) = f(t) + f(0+) -f(0+) -tte的 正 弦 量 ；f (t)是 换 路 后 的 稳 态 响 应 (特 解 ) ， 是 与 激 励 同 频 率f(0+)是 稳 态 响 应 f(t)的 初 始 值 。f(0+)和 t 的 含 义 与 恒 定 激 励 下 相 同 。说 明 一 阶 电 路 的 响 应求 f(t)的 方 法 是 待 定 系 数 法 或 相 量 法 。 7.4 一 阶 电 路

31、的 全 响 应例 1换 路 前 ： iL(0-)= -IS= -2A求 换 路 后 的 戴 维 宁 电 路 SUs+- (t=0) iLR Li Is ab10V 4H2W 2A? ?Uoc+- (t0 +) iLReq Lab=10-2 2=6 VUoc=Us-RisReq = R = 2W求 iL的 三 个 要 素 ：iL(0+)=iL(0-) = -2AiL() = Uoc / Req= 6/2 = 3 (A)t = L / Req = 4 / 2 = 2 (s)f(t) = f() + f(0+)- f() e -ttiL(t) 3 -2 3 2 iL(t)=3-5e-0.5t Ai(

32、t)= IS + iL(t) = 5 - 5 e-0.5t A 7.4 一 阶 电 路 的 全 响 应例 2： 电 路 如 图 ， 求 uL。 S iL+-2A uL4W 2W4W 12-+8Vi1+ -2i1 0.1HUoc= 4i1+ 2i1Req= =10WUi解 ： iL(0-)= - 4A = iL(0+) S iL+-2A u L4W 2W4W 12-+8Vi1+ -2i1 0.1H(t0)求 换 路 后 的 戴 维 宁 电 路=12V ReqUi= (4+4)i1+ 2i1i1uL(0+) =Uoc- Req iL(0+)=12 -10 (-4)=52ViLUoc+- (t0+)

33、Req L +-uL0.1H 7.4 一 阶 电 路 的 全 响 应 也 可 以 先 求 iL：u L=L dtdiL uL() = 0t = ReqL = = 0.01s100.1得 uL=52e-100t V例 2： 电 路 如 图 ， 求 uL。解 ： iL(0-)= - 4A = iL(0+) 代 入 三 要 素 公 式f(t) = f()+ f(0+)-f() - ttet = 0.01siL(0-)= - 4A = iL(0+)iL()= Uoc / Req= 1.2Ai L =1.2-5.2e-100t A再 由 求 出 uL。Uoc= 4i1+ 2i1Req= Ui求 换 路

34、后 的 戴 维 宁 电 路=12VuL(0+) =Uoc- Req iL(0+)=52V=10W iLUoc+- (t0+)Req L +-uL0.1H 7.4 一 阶 电 路 的 全 响 应例 3： 图 示 电 路 原 本 处 于 稳 定 状 态 ， t=0 时 开 关 S闭 合 ，求 换 路 后 的 电 流 i(t) 。 iU=10V+- R1=2W SL=1HR2=5W C=0.25FiL(0-) = 0， uC(0-) = 10V，换 路 后 变 为 两 个 独 立 的 单 回 路 iL(0-)+-uC(0-)iU=10V+- R 1=2W SL=1HR2=5W C=0.25F +-u

35、CiL iC解 ：电 容 电 路 的 三 要 素 为 iC(0+) = uC(0+) R1 = 5At1 = R1C = 0.5s , iC() = 0电 感 电 路 的 三 要 素 为 iL(0+) = iL(0-) = 0t2 = L R2 = 0.2s ,iL() = U R2 = 10 5 = 2A i(t) = iL(t) + iC(t) 求 出 iC(t)、 iL(t) 后 (t0) 7.4 一 阶 电 路 的 全 响 应例 4： t=0时 S1从 位 置 1拨 向 位 置 2， 经 0.12s后 S2打 开 ， 求 uC(t)并绘 波 形 图 。 U1+- R2 10mFS250

36、V R1=20kW CS12 1 U2-+30kW 10V+-uC解 ：先 求 初 始 值 uC(0-) = -10V 再 分 阶 段 用 三 要 素 法 求 解 。(1) 0t 0.12s U 1+- R2 10mFS250V R1=20kW CS1230kW +-uCuC(0+) = uC(0-) = -10VuC() = 30+2030 50 =30Vt1 = (20/30) 103 10 10-6 = 0.12suC(t) = 30-40e-8.33t V (0t 0.12s) 7.4 一 阶 电 路 的 全 响 应(2) t 0.12s U 1+- R2 10mFS250V R1=2

37、0kW CS1230kW +-uCuC(0.12-) = 30-40e-8.33 0.12 = 15.28VuC(t) = 30-40e-8.33t V (0t 0.12s)uC(0.12+) = uC(0.12-) = 15.28Vt2 = R2 C = 30 103 10 10-6 = 0.3s, uC() = 0uC(t) = 15.28e-3.33(t-0.12) Vt 0.12s0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 t /suC(t) / V-101020 0.12s15.28 第 七 章 一 阶 电 路 和 二 阶 电 路 的 时 域 分 析7-5 二 阶 电 路 的 零 输

38、 入 响 应 7.5 二 阶 电 路 的 零 输 入 响 应二 阶 电 路 的 动 态 分 析 ， 原 则 上 与 一 阶 电 路 相 似 ，那 就 是 列 方 程 、 解 方 程 。由 于 二 阶 线 性 微 分 方 程 有 两 个 特 征 根 ， 对 于 不同 的 二 阶 电 路 ， 它 们 可 能 是 实 数 、 虚 数 或 共 轭复 数 。 因 此 动 态 过 程 将 呈 现 不 同 的 变 化 规 律 。分 析 时 由 特 征 方 程 求 出 特 征 根 ， 并 判 断 电 路 是处 于 衰 减 放 电 ， 还 是 振 荡 放 电 ， 还 是 临 界 放 电状 态 。 7.5 二 阶

39、 电 路 的 零 输 入 响 应 C+- uC+-S (t=0) +-uLR L+ -uR iU0 I0典 型 电 路 分 析 (RLC串 联 )1. 列 写 方 程i = duCdt- C Ri = -RC uL = Ldidt= - LCd2uCdt2由 KVL： -uC + Ri + uL = 0 LCd 2uCdt2 duCdt+ RC + uC = 0代 入 上 式 得 二 阶 齐 次 微 分 方 程duCdt若 以 电 容 电 压 为 变 量 则 有 uC(0+)=U0 ， i(0+) = 0 初 始 条 件 为或 duCdt = - Ct=0+ i(0+) = 0(t0+) 7.

40、5 二 阶 电 路 的 零 输 入 响 应2. 解 方 程特 征 方 程 的 根特 征 方 程 LCp2+RCp+1=0 p 1= 2LR- + 2LR 2-LC1 C+- uC+-(t0+) +-uLR L+ -uR iU0 I0uC(0+)=U0， LCd2uCdt2 duCdt+ RC + uC = 0duCdt = 0t=0+p2= 2LR- - 2LR 2-LC1 (1)特 征 根 只 与 电 路 参 数和 结 构 有 关 ， 与 激 励和 初 始 值 无 关 。(2)当 R、 L、 C的 参 数 不同 时 ， 特 征 根 有 不 同的 形 式 。 7.5 二 阶 电 路 的 零 输

41、 入 响 应uC = A1e p 1t+ A2e p2t解 的 形 式 为(1) R 23.分 析 三 种 情 况 p1、 p2 是 两 个 不 相 等 的 负 实 根 。A1= p2 -p1p2U0 A2= p2-p1p1U0由 初 始 条 件 求 得uC = p2 -p1U0 (p2e p1t-p1e p2t )所 以 LC p1,2 = 2LR- 2LR 2-LC1uC(0+)=U0， LCd2uCdt2 duCdt+ RC + uC = 0duCdt = 0t=0+ 7.5 二 阶 电 路 的 零 输 入 响 应duCdti = - CuL= didt L= - (p 2 -p1)U0

42、 (p1e p1t-p2e p2t ) p1 p2 = LC 1考 虑 到 = - L(p2 -p1)U0 (e p1t-e p2t ) tm 2tmuCuL io tuC ,uL, U0 i | p2 | | p1|u C 第 1项 较 大 ， 且 衰 减较 慢 。 故 占 主 导 地 位 。 总 有 uC0、 i0 ， 说 明 C一 直 在 释 放 电 能 。 称 非 振荡 放 电 或 过 阻 尼 放 电 。 uC = p2 -p1U0 (p2e p1t-p1e p2t ) 分 析 7.5 二 阶 电 路 的 零 输 入 响 应 C+- u C+- +-uLR L+ -uR iU0 tm

43、2tmuCuL io t uC ,uL, U0 i | p2 | | p1|tm= p1- p2ln(p2p1) i从 0开 始 ， 到 0结 束 ，有 极 值 。 令 (di/dt) = 0 得 i达 到 imax的 时 刻 为 ： 0 tm： C 的 电 场 能 转 化为 L的 磁 场 能 和 R的 热 能 。 tm ： uL变 负 ， C 的电 场 能 和 L的 磁 场 能 都 转化 为 R的 热 能 。能 量 释 放 完 毕 ， 过 渡 过 程 结 束 。 7.5 二 阶 电 路 的 零 输 入 响 应(2)令 2LRd = LC1w2 = - 22LR b w dw0则 p1=-d

44、+jw ， p2=-d -jwR临 界 电 阻 ,为 过 阻 尼 电 路 。R 0+和 t t0+和 t 0+和 t t0 后 电 路 的 全 部 性 状 。uC 、 iL 就 是 该 电 路 的其 余 各 量 都 能 用 uC、 iL表 示 。一 组 状 态 变 量 。 7.10 状 态 方 程 状 态 变 量 不 是 唯 一 的 G 状 态 变 量 是 一 组 独立 的 动 态 变 量 。A 对 线 性 电 路 而 言 ，选 uC、 iL作 为 状 态 变量 很 合 适 。 对 非 线 性 电 路 ， 有时 会 选 q C、 yL作 为状 态 变 量 。将 iL= (uR /R )代 入

45、上 述 方 程duCdt = 0 + RC1 uR + 0duRdt = - LR uC - LRuR + LR uS C+- uC+ uR - +-R L+ uL -iLuSSduCdt = 0 + C1 iL + 0diLdt = - L1 uC - LR iL + L1 uS u C、 uR也 是 该 电 路 的 一 组状 态 变 量 。 7.10 状 态 方 程2. 状 态 方 程 的 标 准 形 式 用 状 态 变 量 表 达 的 一 组独 立 的 一 阶 微 分 方 程 称为 状 态 变 量 方 程 ， 简 称状 态 方 程 。 写 成 矩 阵 形 式 ： duCdiLdtdt =

46、 0 C1- L1 - LR uCiL + 0 00 L1 iSuS令 x1 = uCx2 = iL 系 数 矩 阵 A 系 数 矩 阵 B则 = A + Bx 1 =. dtduCx2 =. dtdiL x1.x2. x1x2 iSuS duCdt = 0 + C1 iL + 0diLdt = - L1 uC - LR iL + L1 uS 7.10 状 态 方 程则 状 态 方 程 具 有 更 简 洁 的 形 式 ：若 .x def x = x1 x2 T， v = iS uS T .x = A x + B v .x1 .x2T ， 标 准 形 式 .x 和 x 为 n阶 列 向 量 ；则

47、 = A + Bx1.x2. x1x2 iSuSx 称 为 状 态 向 量 ， v 称 为 输 入 向 量 。F若 电 路 具 有 n个 状 态 变 量 ， m个 激 励 源 。矩 阵 A为 n n阶 方 阵 ；v 为 m 阶 列 向 量 ； 矩 阵 B为 n m阶 矩 阵 。状 态 方 程 的 编 写 方 法 ： 直 观 法 和 系 统 法 。较 简 单 的 电 路 用 直 观 法 ， 复 杂 的 电 路 用 系 统 法 。 7.10 状 态 方 程3. 状 态 方 程 的 编 写C 在 线 性 电 路 中 ， 选 独立 的 电 容 电 压 和 独 立的 电 感 电 流 作 为 状 态变 量

48、 编 写 状 态 方 程 和求 解 最 方 便 。直 观 法 的 编 写 步 骤 在 状 态 方 程 中 ， 要 包 含 对 状 态 变 量 的 一 次 导 数 ：(1)对 只 含 一 个 C的 结 点 列 KCL方 程 ；(2)对 只 含 一 个 L的 回 路 列 KVL 方 程 ；(3)列 其 它 方 程 (若 有 必 要 )， 消 去 非 状 态 变 量 。C+- R2L2i1uSR1 +-uC L1 i2 iS i2+iS0 7.10 状 态 方 程列 出 以 uC、 i1和 i2为 状态 变 量 的 方 程 。 解 ： 1 2C dtduC = - i1- i2G L1 dtdi1

49、= uC - R1(i1+i2) + uS= u C - R1(i1+i2) + uS -R2(i2+iS) iR1 iR2对 只 含 一 个 C的 结对 只 含 一 个 L的 回 路 列 KVL方 程点 列 KCL方 程L2 dtdi2AJ方 程 中 不 含 非 状 态 变 量 ， 不 用 列 其 它 方 程 。iR1 iR2C+- R2 L2i1uSR1 +-uC L1 i2 iS i2+iSi1+i2 0 非 状 态 变量 已 预 先做 了 处 理 7.10 状 态 方 程整 理 成 矩 阵 形 式dtduCdtdi 1dtdi2 = 0 -C1 - C1L11 - L1R1 - L1R

50、1L21 - L2R1 - L2R1+R2 uCi1i2 + 0 0L11 0L21 - L2R2 uSiSC dtduC = - i1- i2L1 dtdi1 = uC - R1(i1+i2) + uS= uC - R1(i1+i2) + uS -R2(i2+iS) L2 dtdi2 7.10 状 态 方 程4. 电 路 (或 系 统 )的 状 态 空 间 描 述状 态 方 程 只 表 示 了 状 态 对 输 入 和 初 始 状 态 的 关 系 ：x = Ax + Bv ， x(t0) = x0.F在 实 用 中 ， 为 了 完 整 地 表 示 动 态 电 路 ， 还 要 建 立4状 态 方

51、 程 与 输 出 方 程 联 立 ， 称 为 动 态 电 路 的 状 态 空输 出 与 状 态 、 输 入 之 间 的 关 系 ， 称 输 出 方 程 。间 描 述 。 输 出 方 程 ： y = Cx + Dv则 y 是 h维 输 出 向 量 ；C是 h n系 数 矩 阵 ； D是 h m系 数 矩 阵 。C 、 D 仅 与 电 路 结 构 和 元 件 参 数 有 关 。F若 电 路 具 有 n个 状 态 变 量 , m个 激 励 源 , h个 输 出 变 量 。 7.10 状 态 方 程对 右 图 电 路 ， 已 编 写过 它 的 状 态 方 程 。若 以 结 点 的 电压 作 为 输 出

52、 ， 则 有un1 = -R1(i1+i2) + uSun2 = uC-(i1+i2)R1 + uSun3 = R2(i2+iS) C+- R2L2i1uSR1 +-uC L1 i2 iS i2+iSi1+i2 0u n1un2un3y = Cx + Dv= 0 -R1 -R11 -R1 -R10 0 R2 + 1 01 00 1 uSiSuCi1i2整 理 成 标 准 形 式 第 七 章 一 阶 电 路 和 二 阶 电 路 的 时 域 分 析7-11 动 态 电 路 时 域 分 析 中 的 几 个 问 题 7.11 动 态 电 路 时 域 分 析 中 的 几 个 问 题1. 关 于 动 态

53、电 路 的 阶 数微 分 方 程 的 阶 次 称 为 动 态 电 路 的 阶 数 。动 态 电 路 的 阶 数 与 所 含 独 立 动 态 元 件 的 个 数 有 关 。(1)常 态 网 络不 含 纯 电 容 回 路 (包 括 电 压 源 )以 及 纯 电 感 割 集 (包电 路 的 阶 数 = 动 态 元 件 的 个 数 。例 如 前 面 分 析 过 的 电 路 ： 仅 含 一 个 贮 能 元 件 (常 值 C与 L)和 电 阻 的 电 路 ， 或 能 化 为 此 形 式 的 电 路 ， 都 属于 一 阶 电 路 。 RLC串 联 或 并 联 电 路 属 于 二 阶 电 路 。括 电 流 源

54、 )在 内 的 网 络 。 所 以 有 ： 7.11 动 态 电 路 时 域 分 析 中 的 几 个 问 题(2)非 常 态 网 络含 纯 电 容 回 路 或 纯 电 感 割 集 或 二 者 兼 有 。电 路 的 阶 数 = 动 态 元 件 总 数 - 独 立 纯 电 感 割 集 个 数 i LR LiS+-uS R C +-uC阶 数 = 0 +-uS C1S R1 R2C2 C3C4阶 数 = 4 -1= 3 - 独 立 纯 电 容 回 路 个 数 7.11 动 态 电 路 时 域 分 析 中 的 几 个 问 题练 习 ： 分 析 图 示电 路 的 阶 数 。 +-uSC1 R1 L1 C

55、3L2 L3R2C2iS+-u SC1 R1 L1 C3L2 L3R2C2iS电 容 子 网 络 无 独 立 回 路 L1+-uSC1 R1 C3L2 L3R2C2iS电 感 子 网 络 有 1个 独 立 割 集解 ： 6 - 1 = 5阶 7.11 动 态 电 路 时 域 分 析 中 的 几 个 问 题2. 动 态 电 路 中 初 始 值 的 计 算换 路 定 则 必 须 遵 循 电 荷 守 恒 定 律 和 磁 链 不 变 原 则 ：qk(0+) =qk(0-) 或 Ck uCk(0+) = Ck uCk(0-)Yk(0+) =Yk(0-) 或 Lk iLk(0+) = Lk iLk(0-)

56、+-(t=0) S 3Wi L1L1 6W12V L22H 1HiL2R2R1US +-(t0) S 3WiL1L1 6W12V L22H 1HiL2R2R1US换 路 前 iL1(0-) = USR1 = 4A， iL2(0-) = USR2 = 2A例 1： 电 路 稳 定 后 将 S打 开 ， 求 iL1(0+) 和 iL2(0+) 。 解 7.11 动 态 电 路 时 域 分 析 中 的 几 个 问 题换 路 前 ： iL1(0-) = 4A， iL2(0-) = 2A换 路 后 KCL要 求 iL2(0+) = -iL1(0+)但 YL(0+) =YL(0-)i L1(0+) = 2

57、A+- (t=0) S 3WiL1L1 6W12V L22H 1HiL2R2R1US +-(t0) S 3WiL1L1 6W12V L22H 1HiL2R2R1US(L1+ L2) iL2(0+) 1 2 - 2 4 iL2(0+) = L1+ L2L2iL2(0-) - L1iL1(0-) = 2 + 1 = -2 A电 感 中 电 流 变 化 引 起 的电 压 遵 循 KVL方 程 中 关于 正 负 号 的 规 定 。 出 现 了iL(0-) iL(0+) = L2iL2(0-) - L1iL1(0-) i L2() = -iL1() = 0t = (L1+ L2) / (R1+ R2)

58、7.11 动 态 电 路 时 域 分 析 中 的 几 个 问 题例 2： S闭 合 前 电 路 稳定 ， US=6V， C3=2F， C1=C2=1F， t=0时 S闭合 ， 求 各 电 容 电 压 的初 始 值 (C3原 未 充 电 )。 C1RUS+- C2 SC3+-uC2+ - +-uC3uC1S闭 合 前 uC1(0-) = uC2(0-) = 3V， uC3(0-) = 0S闭 合 后 解 ：uC1(0+) = uC1(0-) = 3V， 但 uC2(0+) = uC3(0+) 换 路 时 刻 ， C2、 C3的 电 荷 重 新 分 配 ， 但 保 持 守 恒 。 C 2 uC2(

59、0+) + C3 uC3(0+) 代 入 数 据 ： uC2(0+) + 2 uC3(0+) = 3 + 0 由 KVL知 ： uC2(0+) = uC3(0+) 解 之 ： uC2(0+) = uC3(0+) = 1V= C2 uC2(0-) + C3 uC3(0-) 7.11 动 态 电 路 时 域 分 析 中 的 几 个 问 题3. 非 齐 次 微 分 方 程 特 解 的 计 算以 dydt + Ay = f(t) 为 例输 入 f(t)的 形 式 特 解 y*的 形 式常 数 P 常 数 QP0 + P1t (P0可 以 为 0) Q0 + Q1t P0 + P1t + P2t2 Q0

60、 + Q1t + Q2t2 Pe -mt (mA) Qe-mtPe-mt (m=A) Q t e-mtPsinwt (或 Pcoswt ) Q1sinwt + Q2 coswt 第 七 章 一 阶 电 路 和 二 阶 电 路 的 时 域 分 析本 章 结 束 第 七 章 一 阶 电 路 和 二 阶 电 路 的 时 域 分 析P159 例 7-6求 ： uC、 uR、 i、 uL和 imax套 用 下 列 公 式 可 得 到 结 果 SC uC+-1 +-uLR L+ -uRiUS 210V 0.1m 4k1H根 据 已 知 条 件 算 出 :属 非 振 荡 放 电 过 程p1 = 2LR- +

61、 2LR 2-LC1p 2 = 2LR- - 2LR 2-LC1uC =p2-p1U0 (p2e p t-p1e p t)1 2 i =-L(p2-p1)U0 (e p t-e p t)1 2uL=-(p2 -p1)U0 (p1e p t-p2e p t)1 2uR=Ritm= p1- p2ln(p2 p1)i=imax的 时 间R2 LC 第 七 章 一 阶 电 路 和 二 阶 电 路 的 时 域 分 析P162 例 7-8 试 验 步 骤 ： 闭 合 S1， 让 C充 电 到U0 ； 打 开 S1， 接 通 S2， C开 始 放 电 。 在 适 当 的 时 候 ， 把被 试 高 压 开 关

62、 A拉 开 。 L用 很 粗 的 导 线 绕 制 ，其 电 阻 可 忽 略 不 计 。(1)为 了 模 拟 50Hz的 工 频 电 流 ， L=？(2) u C (t) =? i (t) =? 试 验 高 压 开 关 灭 弧 能 力 的 振 荡 电 路 AR i LuC-+S2S1+-U0 C3800m14.14kV解 ： LC1 =w0=2pf=314 rad/sL = w02C1 = 2.67 (mH)i =w0LU0 sinw0t=16.9sin314t (kA)uC = uL = U0sin(w0t+90o )=14.14 sin(314t+90 o ) (kV) 第 七 章 一 阶

63、电 路 和 二 阶 电 路 的 时 域 分 析P165 例 7-9 解 ： S动 作 时 ， 相 当 于对 电 路 外 施 单 位 阶 跃 电流 is=e (t) A。 对 应 齐 次 方 程 的 解 为 ： iL=(A1+A2t)e-pt A 特 解 ： iL=1 A 全 解 ： i L=1+(A1+A2t)e-pt AS L IS iLt=0 CG +-uC +-uLiCiRuC(0-) = 0 iL(0-) = 02 10-3S 1m 1H1A求 ： iL、 uC 和 iCLCd2iLdt2 +GLdiLdt +iL =IS特 征 方 程 ：p2+CGp+LC1 = 0p 1,2= 2CG- 2CG 2-LC1代 入 数 据 ： p1=p2 =p=-10-3 初 始 值 ：diLdt 0+= LuL(0+)= LuC(0+)=0iL(0+)=iL(0-)=0