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1、常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 第 八 节型)()( xPexf mx xxPexf lx cos)()( 型sin)( xxP n 一、二、 )(xfyqypy ),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为Yy *y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法 待定系数法 (2) 若 是特征方程的单根 , ,02 qp ,02 p特解形式为)(* xQexy mx(3) 若 是特征方程的重根 , ,02 qp ,02 p特解形式为)(* 2 xQexy mx即即(1) 若 不是特征方程的根, ,02 qp即特解形式为.)(* xQey mx一、 型
2、)()( xPexf mx 为实数 , )(xPm为 m 次多项式 . 小结)2,1,0()(* kxQexy mxk 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解 例3. 求解定解问题 0)0()0()0( 123 yyy yyy xeey xx 214143 2 例2. xexyyy 265 求方程的通解. xx eCeCy 3221 .)( 2221 xexx 例1. 1332 xyyy求方程的一个特解.31* xy 二、 型xxPxxPexf nlx sin)(cos)()( xxPxxPe nlx sin)(cos)( 对非齐次方程yqypy ),
3、(为常数qp xRxRexy mmxk sincos* )2()1( 则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), i lnm ,max上述结论也可推广到高阶方程的情形. 例5. xxyy 3sin303cos189 求方程的通解. xCxCy 3sin3cos 21 )3sin33cos5( xxx 例4. xxyy 2cos求方程的一个特解 .2sin2cos* 9431 xxxy 例6. xyyy sin2)1( )4( (* 2xy )sincos xbxa xexyy x sin3)2( )4( )(* 2 baxxy xec )sincos( xkxdx 写特解形式:例7. 已知二阶常微分方程xecybyay 有特解,)1( 2xx exey 求微分方程的通解 .xx eCeCy 21 xex 内容小结xm exPyqypy )(.1 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,)(* xQexy mxk 则设特解为sin)(cos)(.2 xxPxxPeyqypy nlx 为特征方程的 k (0, 1 )重根, i xkexy *则设特解为sin)(cos)( xxRxxR mm nlm ,max3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形. 作业 P347 1 (1), (6), (10) 2 (2) 6
高等数学同济版常系数非齐次线性微分方
