复变函数讲义第5章

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1、一 、 复 数 项 无 穷 级 数二 、 复 变 函 数 项 级 数第 一 节 幂 级 数三 、 小 结1 复 数 列 及 其 极 限2 复 数 项 级 数 的 概 念 及 其 收 敛 性 的 判 定1 复 数 函 数 项 级 数 的 概 念2 幂 级 数 及 其 收 敛 性 2 一 、 复 数 列 的 极 限1.定 义 ,0 数相 应 地 都 能 找 到 一 个 正如 果 任 意 给 定 称那 么时 成 立在使 , ),( NnN n 记 作时 的 极 限当为 复 数 列 , nn .lim nn . 收 敛 于此 时 也 称 复 数 列 n , ),2,1( 其 中为 一 复 数 列设 n

2、n ,nnn iba , 为 一 确 定 的 复 数又 设 iba 3 2.复 数 列 收 敛 的 条 件 ),2,1( 1 的 充 要 条 件 是收 敛 于复 数 列定 理 nn .lim,lim bbaa nnnn 此 定 理 说 明 : 可 将 复 数 列 的 敛 散 性 转 化 为 判 别 两个 实 数 列 的 敛 散 性 . 4nien n )11()1( 因 为 下 列 数 列 是 否 收 敛 , 如 果 收 敛 , 求 出 其 极 限 .;)11()1( nin en .sin)11( nnbn ,cos)11( nnan 所 以而 0lim,1lim nnnn ba解 例 1

3、),sin)(cos11( ninn ;1)1()2( n iz nn 5)2(解 nna )1(由 于 ,时当 n所 以 数 列 发 散 . ,)11( 收 敛所 以 数 列 nien n .1lim nn 且 ,极 限 不 存 在 na 6 二 、 复 数 项 (无 穷 )级 数 的 概 念1.定 义 ,),2,1( 为 一 复 数 列设 nba nnn nn n 211表 达 式称 为 复 数 项 无 穷 级 数 .其 最 前 面 n 项 的 和 nns 21 称 为 级 数 的 部 分 和 .部 分 和 7 收 敛 与 发 散 , 收 敛如 果 部 分 和 数 列 ns ,1 收 敛那

4、 末 级 数 n n.lim 称 为 级 数 的 和并 且 极 限 ssnn 说 明 : .lim ssnn 利 用 极 限 与 实 数 项 级 数 相 同 , 判 别 复 数 项 级 数 敛 散性 的 基 本 方 法 是 : , 不 收 敛如 果 部 分 和 数 列 ns .1 发 散那 末 级 数 n n 8 :, 0n nz级 数例 如 1-21 nn zzzs ,1时由 于 当 z ,)1(11 zzzn zzs nnnn 11limlim ,11 z .1时 级 数 收 敛所 以 当 z 9 2.复 数 项 级 数 收 敛 的 条 件 )( 11 收 敛 的 充 要 条 件级 数 n

5、 nnn n iba . 11 都 收 敛和 n nn n ba定 理 2说 明 复 数 项 级 数 的 审 敛 问 题实 数 项 级 数 的 审 敛 问 题(定 理 2) 10 )1(1 1 是 否 收 敛 ？级 数 n nin解 ; 1 11 发 散因 为 nn n na . 11 21 收 敛 nn n nb所 以 原 级 数 发 散 . 课 堂 练 习 11 11 n nn n ba 收 敛 的 必 要 条 件 是和因 为 实 数 项 级 数 .0lim0lim nnnn ba 和 0lim nn 级 数 收 敛 的 必 要 条 件重 要 结 论 : .0lim 1 发 散级 数 n

6、nnn 收 敛 的 必 要 条 件 是所 以 复 数 项 级 数 1n n 12 :, 1n ine级 数例 如 ,0limlim innnn e因 为不 满 足 必 要 条 件 , 所 以 原 级 数 发 散 .启 示 : 判 别 级 数 的 敛 散 性 时 , 可 先 考 察 0lim nn ? ,0lim nn 如 果 级 数 发 散 ;应 进 一 步 判 断 .,0lim nn 13 3. 绝 对 收 敛 与 条 件 收 敛 . , 11 也 收 敛那 末收 敛如 果 n nn n 定 理 3条 件 收 敛 .如 果 收 敛 , 那 末 称 级 数 为 绝 对 收 敛 .1n n 1n

7、 n定 理 3说 明 ， 绝 对 收 敛 的 级 数 本 身 一 定 是 收 敛 的 ；但 反 过 来 ， 11 却 不 一 定 收 敛 。收 敛 ，如 果 n nn n 为不 收 敛 ， 则 称 级 数而收 敛 ，若 111 n nn nn n 14 证 由 于 ,1 221 n nnn n ba而 , 2222 nnnnnn babbaa 根 据 实 数 项 正 项 级 数 的 比 较 审 敛 法 , 知 , 11 都 收 敛及 n nn n ba . 11 也 都 收 敛及故 n nn n ba由 定 理 2可 得 . 1 是 收 敛 的n n 证 毕 （ 实 数 项 ）正 项 级 数

8、. , 11 也 收 敛那 末收 敛如 果 n nn n 15说 明 , 22 nnnn baba 由 于 .111 绝 对 收 敛与绝 对 收 敛 n nn nn n ba ,11 绝 对 收 敛 时与 n nn n ba所 以 .1 绝 对 收 敛也n n， 由 正 项 级 数 的 比 较 审 敛 法 知 16都 收 敛 , 故 原 级 数 收 敛 . 但 是 级 数条 件 收 敛 , 所 以 原 级 数 非 绝 对 收 敛 , 是 条 件 收 敛 的 . 解 因 为例 2 (1)级 数 是 否 绝 对 收 敛 ? 1 ( 1) 1 2n nn in 1 1( 1) 1, 2n nn nn

9、 1( 1)nn n (2) 级 数 是 否 绝 对 收 敛 呢 ? 1(3 4 ) 6 nnn i 17 !)8( 1 是 否 绝 对 收 敛 ？级 数 n nni例 3 , !81 收 敛n nn故 原 级 数 收 敛 , 且 为 绝 对 收 敛 .,!8!)8( nni nn 因 为所 以 由 正 项 级 数 的 比 值 判 别 法 知 :解 18为 复 变 函 数 项 级 数 . 1 21 ( ) ( ) ( ) ( )n nn f z f z f z f z )()()()( 21 zfzfzfzS nn 为 该 级 数 前 n项 的 部 分 和 . 设 是 定 义 在 区 域 D上

10、 的 复 变 函 数 列 , ( )nf z 称三 、 复 变 函 数 项 级 数1.定 义 19 )()()()( 21 zfzfzfzS nS(z) 称 为 该 级 数 在 区 域 D上 的 和 函 数 . 如 果 对 级 数 收 敛 , 即 0 ,z D 01 ( )nn f z0 0lim ( ) ( ),nn S z S z 则 称 级 数 在 点 收 敛 , 且 是 级 数 的 和 . 1 ( )nn f z 0z 0( )S z如 果 级 数 在 D内 处 处 收 敛 , 则 称 其 在 1 ( )nn f z区 域 D内 收 敛 . 此 时 级 数 的 和 是 D内 的 函 数

11、2. 收 敛 概 念 及 和 函 数 2020 1 20 ( ) ( ) ( )nnn c z a c c z a c z a 20 1 21 ,n nn nn c z c c z c z c z 这 类 函 数 项 级 数 称 为 幂 级 数 .或 的 特 殊 情 形0 函 数 项 级 数 ( ) ,nnc z a 三 、 幂 级 数1.定 义 21 定 理 4 (Abel定 理 ) 若 级 数 在 0 nnn c z 1 0z 处 收 敛 ， 则 当 时 , 级 数 绝 对 收 敛 ; 0 nnn c z1z z若 级 数 在 处 发 散 ， 则 当 时 , 级 数 0 nnn c z 2

12、z 2z z0 nnn c z 发 散 . 2.幂 级 数 的 敛 散 性 22 收 敛 圆 与 收 敛 半 径(1) 级 数 在 复 平 面 内 处 处 绝 对 收 敛 .(2) 级 数 仅 在 z=0 (即 原 点 处 )收 敛 ， 除 原 点 外 处处 发 散 .(3) 在 复 平 面 内 既 存 在 使 级 数 发 散 的 点 , 也 存 在使 级 数 收 敛 的 点 。由 , 幂 级 数 收 敛 情 况 有 三 种 :0 nnn c z 23x yo .R 收 敛 圆收 敛 半 径幂 级 数 0n nnzc 的 收 敛 范 围 是 以 原 点 为 中 心 的 圆 域 .11.设 时

13、, 级 数 收 敛 ; 时 , 级 数 发 散 . 如 图 :z z 24 幂 级 数 00 ( )nnn c z z 的 收 敛 范 围 是因 此 ，事 实 上 , 幂 级 数 在 收 敛 圆 周 上 敛 散 性 的 讨问 题 ： 幂 级 数 在 收 敛 圆 周 上 的 敛 散 性 如 何 ?以 为 中 心 的 圆 域 .0z z收 敛 半 径 根 据 前 面 所 述 的 三 种 情 形 , 分 别, 0, . R规 定 为论 比 较 复 杂 , 没 有 一 般 的 结 论 , 要 对 具 体 级 数进 行 具 体 分 析 . 25 收 敛 半 径 的 求 法 1lim ,nn ncc 设

14、级 数 0 .nnn c z (比 值 法 ) 如 果 则 收 敛 半 径 .1Rlim ,n nn c (根 值 法 ) 如 果 则 收 敛 半 径 .1R;R 当 时 , 收 敛 半 径 0 0;R 当 时 , 收 敛 半 径 26 解 2 1 11 ( 1).1 nnn zS z z z zz 1z 1lim 1nn S z 级 数 0n nz 收 敛 ,1z 0lim nn z 级 数 0n nz 发 散 .绝 对 收 敛 , 且 有 在 内 , 级 数1z 0n nz例 4 求 级 数 的 和 函 数 与 收 敛 半 径 .0 nn z所 以 收 敛 半 径 1,R 1 1 .1nn

15、 z z 27 例 5 求 下 列 幂 级 数 的 收 敛 半 径 ： 21 nn zn1( 2)nn z n (1)(2) 28 由 于 幂 级 数 在 收 敛 圆 的 内 部 绝 对 收 敛 ， 因 此可 得 出 下 面 几 个 性 质 ： (1) 设 级 数 和 的 收 敛 半 径 分 别0 nnn a z 0 nnn b z为 和 1R 2,R 则 在 内 , 1 2min( , )z R R R 0 0 0( ) ,n n nn n n nn n na b z a z b z 0 1 1 00 0 0 .n n nn n n n nn n na z b z a b a b a b z

16、 3.幂 级 数 的 性 质 29 (2) 幂 级 数 的 和 函 数0 nnn c z 在 收 敛 圆 ( )s z内 是 解 析 的 ； 且 幂 级 数 在 其 收 敛 圆 内 ， 可 以 逐 项求 导 和 逐 项 积 分 。 30 (3) 设 级 数 的 收 敛 半 径 为 r.0( ) nnnf z c z如 果 在 内 , 函 数 解 析 , 并 且Rz )(zg ,)( rzg 则 当 时 ,Rz 0 ( ) ( ) .nnnf g z c g z 31 例 6 求 的 收 敛 半 径 与 和 函 数 . 1 1)12(n nn z11 2 1 1 1(2 1) .1 2 1 (1

17、 2 )(1 ) 2n nn z zz z z z 解 因 为 所 以11 2 1lim lim 2,2 1nn nn nncc 1.2R 1 1 11 1 22 2 2 .1 2n n n nn nz z z 当 时 ,12z 又 因 为 从 而 , 11 1 1 ,1nn z zz 32 例 7 把 函 数 表 示 成 形 如bz1 0 )(n nn azc的 幂 级 数 , 其 中 a与 b是 不 相 等 的 复 常 数 .bz 1 )()( 1 abaz 1 1 .1 z ab a b a 代 数 变 形 , 使 其 分 母 中 出 现 )( az凑 出 )(1 1 zg 把 函 数

18、写 成 如 下 的 形 式 :bz1 33 21 1 .1 nz a z a z az a b a b a b ab a 22 31 1 1 1( ) ( )( ) ( )z a z az b b a b a b a 11 ( ) .( ) nn z ab a 当 即 时 ,1,z ab a z a R b a 所 以 34 三 、 小 结1.复 数 项 无 穷 级 数 ),2,1( 收 敛 于复 数 列 nn .lim,lim bbaa nnnn )( 11 收 敛复 数 项 级 数 n nnn n iba . 11 都 收 敛和 n nn n ba 35非 绝 对 收 敛 的 收 敛 级

19、数 称 为 条 件 收 敛 级 数 . 复 级 数 的 绝 对 收 敛 与 条 件 收 敛如 果 收 敛 , 那 末 称 级 数 为 绝 对 收 敛 .1n n 1n n .111 绝 对 收 敛与绝 对 收 敛 n nn nn n ba 绝 对 收 敛 条 件 收 敛 36 方 法 1: 比 值 法方 法 2: 根 值 法收 敛 半 径 的 求 法 ,0lim 1 nnn cc如 果 那 末 收 敛 半 径 .1R .,0 ;0, ;0,1 R即 ,0lim n nn c如 果 那 末 收 敛 半 径 .1R2.幂 级 数 37 幂 级 数 的 运 算 与 性 质 38 第 三 节 泰 勒

20、级 数二 、 泰 勒 展 开 定 理三 、 将 函 数 展 开 成 泰 勒 级 数一 、 问 题 的 引 入四 、 典 型 例 题五 、 小 结 与 思 考 39 一 、 问 题 的 引 入问 题 : 任 一 个 解 析 函 数 能 否 用 幂 级 数 来 表 达 ？D Kz. 内 任 意 点, )( 内 解 析在 区 域设 函 数 Dzf , 0 为 中 心 的 任 一 圆 周内 以为 zD如 图 : r0z . K rz 0圆 周. 0 rz , , KD 记 为它 与 它 的 内 部 全 包 含 于 40 由 柯 西 积 分 公 式 , 有 K zfizf ,d)(21)( 其 中 K

21、取 正 方 向 . , , 的 内 部在点上取 在 圆 周因 为 积 分 变 量 KzK.1 00 zzz所 以 0001 111 zzzzz 则 41 200000 )()(11 zzzzzzz nzzz )( 00 0 010 .)()( 1n nn zzz 10 010 )()( d)(21)( Nn nK n zzzfizf 于 是 K Nn nn zzzfi .d)()( )(21 010 42 由 高 阶 导 数 公 式 , 上 式 又 可 写 成 10 00)( )()(! )()( Nn Nnn zRzzn zfzf其 中 K Nn nnN zzzfizR d)()( )(21

22、)( 010,0)(lim zRNN若可 知 在 K内 0 00)( )(! )()( n nn zzn zfzf 43 , )( 内 可 以 用 幂 级 数 来 表 示在即 Kzf令 qrzzzzz 000 , )( )( 内 解 析在 DKDzf 则 在 K上 连 续 , ,10, qq 且无 关 的 量是 与 积 分 变 量 , )( 上 也 连 续在因 此 Kf , )( 上 有 界在 Kf 44 即 存 在 一 个 正 常 数 M, .)( MfK 上在 szzzfzR K Nn nnN d)()( )(21)( 010 K Nn n szzzzf d)(21 000 Nn n rq

23、rM 221 .1 qMqn 45 0lim nN q K0)(lim zRNN 在 内 成 立 ,从 而 在 K内 圆 周 K的 半 径 可 以 任 意 增 大 ,只 要 K 内 成 立 .D在 0 00)( )(! )()( n nn zzn zfzf的 泰 勒 展 开 式 ,)(zf 在 0z 泰 勒 级 数 46 如 果 0z 到 D的 边 界 上 各 点 的 最 短 距 离 为 ,d0z那 末 )(zf 在 的 泰 勒 展 开 式 在 内 成 立 dzz 0因 为 凡 满 足 dzz 0 的 z 必 能 使 .dR 即由 上 讨 论 得 重 要 定 理 泰 勒 展 开 定 理)(zf

24、 在 0z 的 泰 勒 级 数 的 收 敛 半 径 R至 少 等 于 ，d但 成 立 ， 0 00)( )(! )()( n nn zzn zfzf 47 二 、 泰 勒 展 开 定 理 ,2,1,0),(!1 0)( nzfnc nn其 中 泰 勒 级 数泰 勒 展 开 式定 理 设 )(zf 在 区 域 D内 解 析 , 0z 为 D 内 的 一d为 0z 到 D 的 边 界 上 各 点 的 最 短 距 离 , 那 末点 , dzz 0 时 , 0 0)()( n nn zzczf 成 立 ,当 48 说 明 :1.复 变 函 数 展 开 为 泰 勒 级 数 的 条 件 要 比 实 函 数

25、时 弱 得 多 ; (想 一 想 , 为 什 么 ?) ; , , )( .2 0 0zd zdDzf 即之 间 的 距 离一 个 奇 点 到 最 近等 于则内 有 奇 点在如 果 ;,0.3 0 级 数 称 为 麦 克 劳 林 级 数时当 z 49 )( zf 因 为 解 析 ， 可 以 保 证 无 限 次 可 导即 各 阶 导 数 连 续 .所 以 复 变 函 数 展 为 泰 勒 级 数 的 实 用 范 围 就要 比 实 变 函 数 广 的 多 .注 意问 题 ： 利 用 泰 勒 级 数 可 以 将 函 数 展 开 为 幂 级数 ， 展 开 式 是 否 唯 一 ？ 50 : )( 0已 被

26、 展 开 成 幂 级 数在设 zzf 202010 )()()( zzazzaazf ,)( 0 nn zza那 末 ,)( 00 azf ,)( 10 azf 即 ,)(!1 0)( zfna nn 因 此 , 任 何 解 析 函 数 展 开 成 幂 级 数 的 结 果 就 是泰 勒 级 数 , 因 而 是 唯 一 的 . 51 三 、 将 函 数 展 开 成 泰 勒 级 数常 用 方 法 : 直 接 法 和 间 接 法 .1.直 接 法 : ,2,1,0,)(!1 0)( nzfnc nn . )( 0 展 开 成 幂 级 数在将 函 数 zzf由 泰 勒 展 开 定 理 计 算 系 数

27、52 例 如 ， . 0 的 泰 勒 展 开 式在求 zez ),2,1,0(,1)( 0)( ne znz故 有 02 !21 n nnz nznzzze , 在 复 平 面 内 处 处 解 析因 为 ze . R所 以 级 数 的 收 敛 半 径,)( )( znz ee 因 为 53 仿 照 上 例 , ,)!12()1(!5!3sin 1253 nzzzzz nn )( R ,)!2()1(!4!21cos 242 nzzzz nn )( R . 0 cos sin 的 泰 勒 展 开 式在与可 得 zzz 54 2. 间 接 展 开 法 : 借 助 于 一 些 已 知 函 数 的 展

28、 开 式 , 结 合 解 析函 数 的 性 质 , 幂 级 数 运 算 性 质 (逐 项 求 导 , 积 分等 )和 其 它 数 学 技 巧 (代 换 等 ) , 求 函 数 的 泰 勒 展开 式 .间 接 法 的 优 点 : 不 需 要 求 各 阶 导 数 与 收 敛 半 径 , 因 而 比 直接 展 开 更 为 简 洁 , 使 用 范 围 也 更 为 广 泛 . 55 例 如 ， . 0 sin 的 泰 勒 展 开 式在利 用 间 接 展 开 法 求 zz)(21sin iziz eeiz 0 12 )!12()1(n nn nz 0 0 !)(!)(21 n n nn niznizi 5

29、6 附 : 常 见 函 数 的 泰 勒 展 开 式 ,!21)1 02 n nnz nznzzze ,111)2 02 n nn zzzzz ,)1()1(111)3 02 n nnnn zzzzz )1( z )1( z )( z 57,)!2()1(!4!21cos)5 242 nzzzz nn )( z ,)!12()1(!5!3sin)4 1253 nzzzzz nn )( z 58 例 1 . )1( 1 2 的 幂 级 数展 开 成把 函 数 zz解 nnzzzz )1(111 2 1z四 、 典 型 例 题 ,11)1( 1 2 zzz 上 有 一 奇 点在由 于 ,1内 处 处

30、 解 析且 在 z ,的 幂 级 数可 展 开 成 z 59 zz 11)1( 1 2 .1,)1(321 112 znzzz nn 上 式 两 边 逐 项 求 导 , 60 例 2 . 0 )1ln( 泰 勒 展 开 式 处 的在求 对 数 函 数 的 主 值 zz分 析 , 1 , 1 )1ln( 是 它 的 一 个 奇 点平 面 内 是 解 析 的 向 左 沿 负 实 轴 剪 开 的在 从 z . 1 的 幂 级 数内 可 以 展 开 成所 以 它 在 zz 如 图 , 1Ro1 1 xy 61zzzzz zn nn d)1(d110 0 0 即 1)1(32)1ln( 132 nzzz

31、zz nn 1z 将 展 开 式 两 端 沿 C 逐 项 积 分 , 得 解 zz 11)1ln( 02 )1()1(1 n nnnn zzzz )1( z, 0 1 的 曲 线到内 从为 收 敛 圆设 zzC 62 例 3 . 23 1)( 的 幂 级 数展 开 成把 函 数 zzzf 解 231 12123 1 zz )23()23(23121 2 nzzz 13222 23232321 n nnzzz ,230 1 n n nnz .32,123 zz 即 63 例 4 .cos2 的 幂 级 数求 z解 ),2cos1(21cos2 zz 因 为 !6)2(!4)2(!2)2(12co

32、s 642 zzzz zzzz !62!42!221 664422 )2cos1(21cos2 zz 所 以 zzzz !62!42!221 65432 64 五 、 小 结 与 思 考 通 过 本 课 的 学 习 , 应 理 解 泰 勒 展 开 定 理 ,熟 记五 个 基 本 函 数 的 泰 勒 展 开 式 ,掌 握 将 函 数 展 开 成泰 勒 级 数 的 方 法 , 能 比 较 熟 练 的 把 一 些 解 析 函 数展 开 成 泰 勒 级 数 . 65奇 、 偶 函 数 的 泰 勒 级 数 有 什 么 特 点 ? 思 考 题 66 奇 函 数 的 泰 勒 级 数 只 含 z 的 奇 次

33、幂 项 , 偶 函 数的 泰 勒 级 数 只 含 z 的 偶 次 幂 项 . 思 考 题 答 案 放 映 结 束 ， 按 Esc退 出 . 67 泰 勒 资 料Born: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, EnglandDied: 29 Dec 1731 in Somerset H ouse, London, EnglandBrook Taylor 68 第 四 节 洛 朗 级 数二 、 洛 朗 级 数 的 概 念三 、 函 数 的 洛 朗 展 开 式一 、 问 题 的 引 入五 、 小 结 与 思 考四 、 典 型 例 题 69 一 、 问 题 的 引

34、入问 题 : . , )( 00的 幂 级 数 是 否 能 表 示 为不 解 析在如 果 zzzzf nn n zzc )(.1 0双 边 幂 级 数 负 幂 项 部 分 正 幂 项 部 分主 要 部 分 解 析 部 分同 时 收 敛收 敛 nnn n zzc )( 0 nn nnn n zzczzc )()( 0001 70 nn n zzc )( 00 nn n zzc )( 01 10)( zz令 nn nc 1收 敛 半 径收 敛时 ,R 10 1 RRzz 收 敛 域收 敛 半 径2R20 Rzz 收 敛 域 :)1( 21 RR 若 两 收 敛 域 无 公 共 部 分 ,:)2(

35、21 RR 两 收 敛 域 有 公 共 部 分 .201 RzzR R 71 结 论 : 的 收 敛 区 域 为双 边 幂 级 数 nn n zzc )( 0 .201 RzzR 圆 环 域 1R 2R. 0z常 见 的 特 殊 圆 环 域 :2R. 0z 200 Rzz 1R . 0z 01 zzR 00 zz . 0z 72:10 内在 圆 环 域 z 例 如 ， 10)1( 1)( zzzzzf 及在 都 不 解 析 ,但 在 圆 环 域 10 z 及 110 z 内 都 是 解 析 的 .)1( 1)( zzzf 而 1,111 2 zzzzz n 2. 问 题 :在 圆 环 域 内

36、解 析 的 函 数 是 否 一 定 能 展 开成 级 数 ? ,111 zz 73 所 以 )1( 1)( zzzf ,1 21 nzzzz即 在)(zf 10 z 内 可 以 展 开 成 级 数 .内 ，在 圆 环 域 110 z 也 可 以 展 开 成 级 数 ：)1( 1)( zzzf .)1()1()1(1)1( 121 nzzzz nzzzz )1()1()1(111 2 )1(1 111 zz 74 二 、 洛 朗 级 数 的 概 念定 理 内 处 处 解 析 ，在 圆 环 域设 )( 201 RzzRzf ,)()( 0 nn n zzczf C nn zfic d)( )(21

37、 10其 中 ),1,0( nC为 圆 环 域 内 绕 的 任 一 正 向 简 单 闭 曲 线 . 0z 为 洛 朗 系 数 .内 可 展 开 成 洛 朗 级 数在那 末 Dzf )( 75 d21d21)( 12 KK zfizfizf证 )()( 11 00 zzzz 因 为对 于 第 一 个 积 分 : 0 0001 n nzzzz 11 11 00000 zzzzzzzz 0zR r 2R.z1K2K 1R. .,)( )(0 100 n nnzzz 76nn n zzc )( 00 d)(21 2 K zfi所 以对 于 第 二 个 积 分 : d)(21 1 K zfi)()( 1

38、1 00 zzzz 因 为 100zz znn K n zzzfi )(d)( )(21 00 102 000 1 11 zz zzz 77 1 0 10 )( )(n nnzz z ,)()( 1 01 10 nn n zzz d)(21 1 K zfi则其 中 )(zRN d)( )()(21 1 010 K Nn nnzz fzi )()(d)( )(21 011 101 zRzzzfi NnNn K n 78 下 面 证 明 .0)(lim 1外 部 成 立在 KzRNN 000 zz rzz zq 令 .10, q无 关与 积 分 变 量 )()( 的 连 续 性 决 定由因 为又

39、zfMf szz zzfzR K Nn nN d)(21)( 1 000 rqrM nNn 221 .1 qMqN 79 .0)(lim zRNN所 以 ,)( 01 nn n zzc d)(21 1 K zfi于 是 nn K n zzzfi )(d)( )(21 01 101 d)(21d)(21)( 12 KK zfizfizf则 80 nn nnn n zzczzc )()( 0100 .)( 0 nn n zzc ),2,1,0(d)( )(21 10 nzfic C nn 如 果 C为 在 圆 环 域 内 绕 的 任 何 一 条 正 向 简 单0znn cc 与闭 曲 线 . 则

40、可 用 一 个 式 子 表 示 为 : 证 毕 81 说 明 :函 数 )(zf 在 圆 环 域 内 的 洛 朗 展 开 式)(zf 在 圆 环 域 内 的 洛 朗 (Laurent)级 数 . nn n zzczf )()( 0 1) 2) 某 一 圆 环 域 内 的 解 析 函 数 展 开 为 含 有 正 、 负幂 项 的 级 数 是 唯 一 的 ， 这 就 是 f (z) 的 洛 朗 级 数 . 定 理 给 出 了 将 圆 环 域 内 解 析 的 函 数 展 为 洛 朗 级 数的 一 般 方 法 . 82 三 、 函 数 的 洛 朗 展 开 式常 用 方 法 : 1. 直 接 法 2.

41、间 接 法 1. 直 接 展 开 法利 用 定 理 公 式 计 算 系 数 nc ),2,1,0(d)( )(21 10 nzfic C nn 然 后 写 出 .)()( 0 nn n zzczf 缺 点 : 计 算 往 往 很 麻 烦 . 83 根 据 正 、 负 幂 项 组 成 的 的 级 数 的 唯 一 性 , 可用 代 数 运 算 、 代 换 、 求 导 和 积 分 等 方 法 去 展 开 .优 点 : 简 捷 , 快 速 .2. 间 接 展 开 法 84 四 、 典 型 例 题例 1 , 0 内在 z . )( 2 展 开 成 洛 朗 级 数将 zezf z解 ,)( nn nzcz

42、f 由 定 理 知 : d)( )(21 10 C nn zfic d21 3 C nei其 中 )2,1,0(,)0(: nzC 85 , 3 时当 n 0nc , 2 在 圆 环 域 内 解 析zez故 由 柯 西 古 萨 基 本 定 理 知 :, 2 时当 n 由 高 阶 导 数 公 式 知 : 022 )(dd)!2( 1 zznn ezn )!2( 1 n 2 )!2()( n nnzzf故 !4!3!2111 22 zzzz z0 d21 3 C nn eic 86 另 解 !4!3!211 43222 zzzzzzez !4!3!2111 22 zzzz本 例 中 圆 环 域 的

43、 中 心 z = 0 既 是 各 负 幂 项 的 奇 点 ,. 2 的 奇 点也 是 函 数 zez 87 例 2 : )2)(1( 1)( 在 圆 环 域函 数 zzzf;10)1 z ;21)2 z .2)3 z内 是 处 处 解 析 的 ,试 把 f (z) 在 这 些 区 域 内 展 开 成 洛 朗 级 数 .解 ,)2( 1)1( 1)( zzzf , 10 )1 内在 z 88 o xy 1,1z由 于 nzzzz 2111则 2112121 zz )( zf所 以 )1( 2 zz 42121 2zz 2874321 zz 12 z从 而 nnzzz 222121 22 89 ,

44、 21 )2 内在 z 1 2o xyzzz 111111 21111 zzz1z由 11 z2z 12 z且 仍 有 2112121 zz nnzzz 222121 22 90 )( zf于 是 21111 zzz 2222121 zz 8421111 21 zzzzz nn , 2 )3 内在 z 2o xy2z由 12 z此 时 zzz 211121 91 24211 zzz ,121 zz此 时仍 有 zzz 111111 21111 zzz)( zf故 24211 zzz 21111 zzz.731 432 zzz 92 注 意 : 0z奇 点 但 却 不 是 函 数 )2)(1(

45、1)( zzzf 的 奇 点 .本 例 中 圆 环 域 的 中 心 是 各 负 幂 项 的说 明 :1. 函 数 )(zf 在 以 0z 为 中 心 的 圆 环 域 内 的 洛 朗 级数 中 尽 管 含 有 0zz 的 负 幂 项 , 而 且 0z 又 是 这 些项 的 奇 点 , 但 是 0z 可 能 是 函 数 )(zf 的 奇 点 ,也 可 能)(zf 的 奇 点 .不 是 93 2. 给 定 了 函 数 )(zf 与 复 平 面 内 的 一 点 0z 以 后 ,函 数 在 各 个 不 同 的 圆 环 域 中 有 不 同 的 洛 朗 展 开式 (包 括 泰 勒 展 开 式 作 为 它 的

46、 特 例 ).回 答 ： 不 矛 盾 .朗 展 开 式 是 唯 一 的 )问 题 ： 这 与 洛 朗 展 开 式 的 唯 一 性 是 否 相 矛 盾 ?(唯 一 性 : 指 函 数 在 某 一 个 给 定 的 圆 环 域 内 的 洛 94 例 2 : )2)(1( 1)( 在 圆 环 域函 数 zzzf ;110)1 z ;11)2 z试 把 f (z) 在 这 些 区 域 内 展 开 成 洛 朗 级 数 .;10)1 z ;21)2 z .2)3 z 95解 z0z zzf sin)( .)!12( )1(0 2 n nnn z 练 习 . 0 sin 0洛 朗 级 数 的 去 心 邻 域

47、内 展 开 成在将 函 数 zz z )!12()1(!51!311 1253 nzzzzz nn 96 练 习 . 2 )2( 01展 开 成 洛 朗 级 数 的 去 心 邻 域 内在将 函 数 zzz解 , 220 内在 z )2( 1)( zzzf 221 12121 zz 0 11 )2(2 )1(n nn n z .2 221)2(2 1 32 zz )2(2 121 zz 97 五 、 小 结 与 思 考 在 这 节 课 中 , 我 们 学 习 了 洛 朗 展 开 定 理 和 函数 展 开 成 洛 朗 级 数 的 方 法 . 将 函 数 展 开 成 洛 朗 级数 是 本 节 的 重 点 和 难 点 .