第七讲动量矩定理模板

Sunday,May 14,2023Sunday,May 14,2023Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics 一、动量矩定理一、动量矩定理一、动量矩定理一、动量矩定理-质点动量矩定理质点动量矩定理1、质点的动量矩定理：、质点的动量矩定理：2、质点系相对于固定点、质点系相对于固定点O的动量矩定理：的动量矩定理：-质点系的动量矩定理！质点系的动量矩定理！(二二)动量矩定理动量矩定理5/14/20235/14/20232theoretical mechanicstheoretical mechanics写成写成标量式：标量式：3、质点系相对于固定轴、质点系相对于固定轴Z的动量矩定理：的动量矩定理：-质点系相对于质点系相对于z轴的动量矩定理！轴的动量矩定理！5/14/20235/14/20233theoretical mechanicstheoretical mechanics4、质点系相对于质心的动量矩定理：、质点系相对于质心的动量矩定理：-式中，所有的点用绝对速度，绝对动量对式中，所有的点用绝对速度，绝对动量对 点点C的矩，而的矩，而C在空间不断变化。在空间不断变化。-式中，所有的点用相对速度，相对动量对式中，所有的点用相对速度，相对动量对 点点C的矩，而的矩，而C在空间不断变化。在空间不断变化。Oxy zCxy zMiririrCvivCvir5/14/20235/14/20234theoretical mechanicstheoretical mechanics三、动量矩守恒定律三、动量矩守恒定律三、动量矩守恒定律三、动量矩守恒定律质点系动量矩定理质点系动量矩定理标量式：标量式：1、若在运动过程中，、若在运动过程中，则则-质点系在运动过程中对某一点动量矩始终保持不变！质点系在运动过程中对某一点动量矩始终保持不变！-质点系在运动过程中对某一点的动量矩守恒！质点系在运动过程中对某一点的动量矩守恒！2、若在运动过程中，、若在运动过程中，则则5/14/20235/14/20235theoretical mechanicstheoretical mechanics2、若在运动过程中，、若在运动过程中，则则-质点系在运动过程中对质点系在运动过程中对 z 轴动量矩始终保持不变！轴动量矩始终保持不变！-质点系在运动过程中对质点系在运动过程中对 z 轴的动量矩守恒！轴的动量矩守恒！5/14/20235/14/20236theoretical mechanicstheoretical mechanics五、刚体定轴转动的微分方程五、刚体定轴转动的微分方程五、刚体定轴转动的微分方程五、刚体定轴转动的微分方程w wOxy z设设刚体如图所示，绕刚体如图所示，绕OZ轴转动，轴转动，轴承处反力轴承处反力F1FiF2FAxFAyFBxFAzFByF1FiF2FnFnFAxFAyFBxFAzFBy对对OZ轴：轴：主动力系：主动力系：-刚体定轴转动的微分方刚体定轴转动的微分方程程5/14/20235/14/20237theoretical mechanicstheoretical mechanics例题例题1 卷扬机的机构如图所示，可绕固定轴转动的轮卷扬机的机构如图所示，可绕固定轴转动的轮B和和C，半半 径分别为径分别为R和和 r，对自身转轴的转动惯量分别为对自身转轴的转动惯量分别为J1和和J 2，被提升的重物被提升的重物A的重量为的重量为P，作用于轮作用于轮C的主动转矩为的主动转矩为M，求求重物重物A的加速度的加速度CRMAOBr定轴转动问题定轴转动问题定轴转动问题定轴转动问题:5/14/20235/14/20238 8theoretical mechanicstheoretical mechanicsRABO1MOr解：解：1、研究对象、研究对象：2、受力、受力分析，分析，3、建立坐标，列方程建立坐标，列方程 分别取分别取B和和CXO1YO1w wB Ba aB BTPvaw wA Aa aA AXOYOQBQCT轮轮B：运动分析运动分析5/14/20235/14/20239theoretical mechanicstheoretical mechanics轮轮C：补充方程：补充方程：MOrw wA Aa aA AXOYOQCTRABO1XO1YO1w wB Ba aB BTvaQB5/14/20235/14/202310theoretical mechanicstheoretical mechanics例题例题 2 2 如图所示，在静止的水平匀质圆盘上，一人沿盘边如图所示，在静止的水平匀质圆盘上，一人沿盘边 缘由静止开始相对盘以速度缘由静止开始相对盘以速度u行走行走，设人质量为设人质量为m2，盘的质量为盘的质量为m1，盘半径盘半径r，摩擦不计。求盘的角速摩擦不计。求盘的角速 度。度。ABzrOu5/14/20235/14/202311theoretical mechanicstheoretical mechanicsABzrOuxyXBYBXAZBYAm1gm2g解：解：1、研究对象、研究对象：2、受力、受力分析（如图）分析（如图）人和圆盘人和圆盘仅受轴承反力，重力的作用仅受轴承反力，重力的作用3、运动分析：、运动分析：圆盘：圆盘：定轴转动，定轴转动，w w、a a人：人：圆盘为动系，则圆盘为动系，则方向如图所示！方向如图所示！vrve5/14/20235/14/202312theoretical mechanicstheoretical mechanicsxyvrve4、建立坐标，列方程、建立坐标，列方程 系统对系统对z 轴动量矩守恒轴动量矩守恒ABzrOuXBYBXAZBYAm1gm2g5/14/20235/14/202313theoretical mechanicstheoretical mechanicsC五、刚体平面运动的微分方程五、刚体平面运动的微分方程五、刚体平面运动的微分方程五、刚体平面运动的微分方程刚体平面运动刚体平面运动随质心随质心C的平动的平动相对于质心相对于质心C的转动的转动=+Oxy平面运动刚体的运动简化为图平面运动刚体的运动简化为图示平面图形的运动，受平面力示平面图形的运动，受平面力系作用系作用则：则：写成写成解析式：解析式：F1FiF2FnF1FiF2Fn5/14/20235/14/202314theoretical mechanicstheoretical mechanics例题例题1 均质滚子质量均质滚子质量m，半径为半径为R，在滚子的鼓轮上绕以绳索，在滚子的鼓轮上绕以绳索，已知水平力已知水平力T沿着绳索作用，沿着绳索作用，使滚子在粗糙的水平面上使滚子在粗糙的水平面上 滚动。如图所示，鼓轮的半径为滚动。如图所示，鼓轮的半径为r，滚子对质心轴滚子对质心轴C的回的回 转半径为转半径为r r，试求滚子质心试求滚子质心C的加速度和滚子所受的摩擦的加速度和滚子所受的摩擦 力（滚动摩擦不计）。力（滚动摩擦不计）。CTrRG平面运动问题平面运动问题平面运动问题平面运动问题:5/14/20235/14/20231515theoretical mechanicstheoretical mechanicsCTrRG解：解：1、研究对象、研究对象：2、受力、受力分析，运动分析分析，运动分析3、建立坐标，列方程建立坐标，列方程 滚子滚子FNvCaCw wa a补充方程补充方程 xy5/14/20235/14/202316theoretical mechanicstheoretical mechanics例题例题2 质量为质量为m的均质直杆的均质直杆AB的一端支放在光滑的水平地板上，的一端支放在光滑的水平地板上，杆身与铅垂方向的夹角杆身与铅垂方向的夹角q qo o=30o，设杆由该位置无初速地设杆由该位置无初速地 开始倒下，试求开始运动的瞬时地板对杆的约束反力的开始倒下，试求开始运动的瞬时地板对杆的约束反力的 大小。大小。CGABq qoCGABq q5/14/20235/14/202317theoretical mechanicstheoretical mechanicsCGABq qNAw wa axy解：解：1、研究对象、研究对象：2、受力、受力分析，运动分析分析，运动分析3、建立坐标，列方程建立坐标，列方程 整体系统整体系统补充方程补充方程 vCaC5/14/20235/14/202318theoretical mechanicstheoretical mechanics开始时：开始时：4、回答、回答CGABq qNAw wa axyvCaC5/14/20235/14/202319theoretical mechanicstheoretical mechanics习作习作1 一滚子一滚子A沿倾角为沿倾角为 a 的斜面向下作纯滚动，如图所示，的斜面向下作纯滚动，如图所示，滚子借一跨过滑轮滚子借一跨过滑轮B的绳子提升重物的绳子提升重物C，同时带动滑同时带动滑 轮轮B绕绕O轴转动，滚子轴转动，滚子A和滑轮和滑轮B均看成均质圆盘，半径均看成均质圆盘，半径 为为r，质量为质量为m。滑轮与绳子间无滑动，重物质量为滑轮与绳子间无滑动，重物质量为m1,绳子质量不计，滚阻不计，试求：绳子质量不计，滚阻不计，试求：*1）滚子）滚子A的质心加速度。的质心加速度。2）AB段绳子张力。段绳子张力。3）轴承）轴承O的反力。的反力。aAOBC5/14/20235/14/20232020theoretical mechanicstheoretical mechanicsAOBC解：解：1、研究对象、研究对象：2、受力、受力分析，分析，3、建立坐标，列方程建立坐标，列方程 分别取分别取B、C和和A运动分析运动分析NFYOXOTmgm1gmgTw wA Ae eA Aw wB Be eB BvCaCvAaA轮子轮子B、重物重物C：-（1）方法：动量定理和动量矩定理方法：动量定理和动量矩定理5/14/20235/14/202321theoretical mechanicstheoretical mechanics轮子轮子A：-（2）-（3）xy-（4）ANFmgTw wA Ae eA AvAaAOBCYOXOTmgm1gw wB Be eB BvCaC5/14/20235/14/202322theoretical mechanicstheoretical mechanicsxy4、补充方程、补充方程-（5）联立求解联立求解ANFmgTw wA Ae eA AvAaAOBCYOXOTmgm1gw wB Be eB BvCaC5/14/20235/14/202323theoretical mechanicstheoretical mechanics5、O 的反力（轮的反力（轮B及及C）OBCYOXOTmgm1gw wB Be eB BvCaC5/14/20235/14/202324theoretical mechanicstheoretical mechanics习作习作2 均质圆柱体和薄铁环质量均为均质圆柱体和薄铁环质量均为m，半径都等于半径都等于r。两者两者 用直杆用直杆AB相连接，无滑动地沿斜面滚下，斜面与水平相连接，无滑动地沿斜面滚下，斜面与水平 成角成角a，如图所示。如杆的质量略去不计，求如图所示。如杆的质量略去不计，求AB杆的加杆的加 速度速度a和杆的内力和杆的内力T。ABa a5/14/20235/14/20232525theoretical mechanicstheoretical mechanicsBA解：解：1、研究对象、研究对象：2、受力、受力分析，分析，3、建立坐标，列方程建立坐标，列方程 分别取分别取B和和AFBNBw wB Ba aB BTw wA Aa aA AFANAQQT圆环圆环B：运动分析运动分析xyvAaAvBaB5/14/20235/14/202326theoretical mechanicstheoretical mechanics轮轮A：补充方程：补充方程：拉力！拉力！BAFBNBw wB Ba aB BTw wA AFANAQQTxyvAaAvBaBa aA A5/14/20235/14/202327theoretical mechanicstheoretical mechanics习作习作3 两个相同的均质轮子两个相同的均质轮子A和和B，质量各为质量各为m=8kg，半径半径 r=90mm，用细绳缠绕连接，如图所示。轮用细绳缠绕连接，如图所示。轮A可绕定轴可绕定轴 O转动，试求轮转动，试求轮B下落时其质心下落时其质心C的加速度以及细绳的的加速度以及细绳的 拉力。拉力。rOABCrmgmg5/14/20235/14/20232828theoretical mechanicstheoretical mechanicsCrmgBrAmgO解：解：1、研究对象、研究对象：2、受力、受力分析，分析，3、建立坐标，列方程建立坐标，列方程 分别取分别取B和和Aw wA Aa aA ATw wB Ba aB BT轮子轮子A：运动分析运动分析YOXO轮子轮子B：-（1）-（2）-（3）xyvCaC5/14/20235/14/202329theoretical mechanicstheoretical mechanics补充方程：补充方程：由方程（由方程（1）和（）和（3），得），得CrmgBrAmgOw wA Aa aA ATw wB Ba aB BTYOXOxyvCaC5/14/20235/14/202330theoretical mechanicstheoretical mechanics例题例题8 匀质细杆匀质细杆 AB 的质量是的质量是 m，长度是长度是 2l，放在铅直面放在铅直面 内，两端分别沿光滑的铅直墙壁和光滑的水平地面内，两端分别沿光滑的铅直墙壁和光滑的水平地面 滑动。假设杆的初位置与墙成交角滑动。假设杆的初位置与墙成交角 0，初角速度等，初角速度等 于零。试求杆沿铅直墙壁下滑时的角速度和角加速于零。试求杆沿铅直墙壁下滑时的角速度和角加速 度度，以以及及杆杆开开始始脱脱离离墙墙壁壁时时它它与与墙墙壁壁所所成成的的角角度度 1。Aj joB5/14/20235/14/202331theoretical mechanicstheoretical mechanicsAj jB解：解：1、研究对象、研究对象：2、受力、受力分析，分析，3、建立坐标，列方程建立坐标，列方程 BA杆杆运动分析运动分析vCCw wNANBxyGa a(1)由几何关系：由几何关系：(2)由运动学关系：由运动学关系：将杆将杆AB置于一般位置上：置于一般位置上：5/14/20235/14/202332theoretical mechanicstheoretical mechanics(3)列动力学方程列动力学方程 vCCAj jBw wNANBxyGa a5/14/20235/14/202333theoretical mechanicstheoretical mechanics(4)当杆件脱离墙体时当杆件脱离墙体时 vCCAj jBw wNANBxyGa a5/14/20235/14/202334theoretical mechanicstheoretical mechanics例题例题4 均质圆轮半径为均质圆轮半径为r，重为重为Q，受到轻微扰动后，在半径为受到轻微扰动后，在半径为 R的圆弧上往复滚动，如图所示，设圆弧的表面足够粗的圆弧上往复滚动，如图所示，设圆弧的表面足够粗 糙，使圆轮在滚动时无滑动。求质心糙，使圆轮在滚动时无滑动。求质心C的运动规律。的运动规律。CQw wRrO15/14/20235/14/202335theoretical mechanicstheoretical mechanicsCQw wRrO1O解：解：1、研究对象、研究对象：2、受力、受力分析，运动分析分析，运动分析3、建立坐标，列方程建立坐标，列方程 圆轮圆轮NFa aaCt taCn(+)Sq q4、补充方程、补充方程 1）C点作以点作以O1为圆心的圆周曲线运动为圆心的圆周曲线运动，建立如图自然坐标系，则建立如图自然坐标系，则5/14/20235/14/202336theoretical mechanicstheoretical mechanics2）圆轮无滑）圆轮无滑滚动，则滚动，则CQw wRrO1ONFa aaCt taCn(+)Sq q5/14/20235/14/202337theoretical mechanicstheoretical mechanics5/14/20235/14/202338theoretical mechanicstheoretical mechanics