导数的几何意义(91)

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1、1.1.3导 数 的 几 何 意 义 定 义 ： 函 数 y=f(x)在 x=x0处 的 瞬 时 变 化 率 是0 00 0 ( ) ( )li .m limx x f x x f xyx x ,|)( 00 xxyxf 或 0 00 0 0 ( ) ( )( ) lim lim .x x f x x f xyf x x x 即 ：我 们 称 它 为 函 数 y=f(x)在 x=x0处 的 导 数 ,记 作 : 回顾 由 导 数 的 意 义 可 知 ,求 函 数 y=f(x)在 点 x0处 的 导数 的 基 本 方 法 是 : 0 0(1) ( ) ( );y f x x f x 求 函 数

2、的 增 量 0 0( ) ( )(2) ;f x x f xyx x 求 平 均 变 化 率 0 0(3) ( ) lim .x yf x x 取 极 限 ， 得 导 数 )2(),1(),(,)(1 2 ffxfxxf 求： 设例的 值 代 入 求 得 导 数 值 。 再 将 自 变 量义 求思 路 ： 先 根 据 导 数 的 定 ),( xfxx xxx x xxxx xfxxfxf x xx 2)2(lim )(lim)()(lim)( 0 2200 解 ： 由 导 数 的 定 义 有 422)()2( 2)1(2)()1( 2 1 x xxff xff 处 的 导 数 。在： 求 函

3、数例 12 xxyxxxy xy 11 11解 法 一 ： 2111 1lim0 xx11 1 x xxxx xxxxy xxxy 1解 法 二 ： xxxxxy xx 211limlim 00 21 1 xyxy 21 0 0 ( ) ( )( ) lim limx xy f x x f xf x y x x 在 不 致 发 生 混 淆 时 ， 导 函 数 也 简 称 导 数 0 00( ) ( )( ) ( ) ( ). y f x x f xf x f x x 函 数 在 点 处 的 导 数等 于 函 数 的 导 函 数 在 点 处 的 函 数 值 什 么 是 导 函 数 ?由 函 数

4、f(x)在 x=x0处 求 导 数 的 过 程 可 以 看 到 ,当 x=x0时 ,f(x0) 是 一 个 确 定 的 数 .那 么 ,当 x0变化 时 , f(x0)便 是 x的 一 个 函 数 ,我 们 叫 它 为 f(x)的 导 函 数 .即 : 下 面 来 看 导 数 的 几 何 意 义 : y=f(x)P Q M x yO xy 如 图 ,曲 线 C是 函 数 y=f(x)的 图 象 ,P(x0,y0)是 曲 线 C上 的任 意 一 点 ,Q(x0+ x,y0+ y)为 P邻 近 一 点 ,PQ为 C的 割 线 ,PM/x轴 ,QM/y轴 ,为 PQ的倾 斜 角 . .tan ,:

5、xy yMQxMP则 yx请 问 ： 是 割 线 PQ的 什 么 ? 斜率 ! P Qo xy y=f(x) 割线切 线T请 看 当 点 Q沿 着 曲 线 逐 渐 向 点 P接 近 时 ,割 线 PQ绕 着点 P逐 渐 转 动 的 情 况 . 我 们 发 现 ,当 点 Q沿 着 曲 线 无 限 接 近 点 P即 x 0时 ,割 线 PQ有 一 个 确 定 位 置 PT.则 我 们 把 直 线 PT称 为 曲线 在 点 P处 的 切 线 . 设 切 线 的 倾 斜 角 为 ,那 么 当 x0时 ,割 线 PQ的 斜率 ,称 为 曲 线 在 点 P处 的 切 线 的 斜 率 .即 : 0 00 0

6、 0 ( ) ( )( ) lim limx x f x x f xyk f x x x 切 线 这 个 概 念 : 提 供 了 求 曲 线 上 某 点 切 线 的 斜 率 的 一种 方 法 ; 切 线 斜 率 的 本 质 函 数 在 x=x0处 的 导 数 .导 数 的 几 何 意 义 函 数 y=f(x)在 点 x0处 的 导 数 的 几 何 意 义 ， 就 是 曲线 y=f(x)在 点 P(x0 ,f(x0)处 的 切 线 的 斜 率 . 即 : 0( )k f x切 线 故 曲 线 y=f(x)在 点 P(x0 ,f(x0)处 的 切 线 方 程 是 :)()( 000 xxxfxfy

7、 例 1:求 曲 线 y=f(x)=x2+1在 点 P(1,2)处 的 切 线 方 程 .QPy=x2+1 xy -1 11O j Myx.2)(2lim )11(1)1(lim )()(lim: 20 20 000 x xx xx x xfxxfk xxx解 因 此 ,切 线 方 程 为 y-2=2(x-1),即 y=2x.（ 1） 求 出 函 数 在 点 x0处 的 变 化 率 ，得 到 曲 线 在 点 (x0,f(x0)的 。 )( 0 xf （ 2） 根 据 直 线 方 程 的 ，即 ).)()( 000 xxxfxfy 求 切 线 方 程 的 步 骤 ： ., ,. . ,.附近的变

8、化情况在述、比较曲线请描据图象根图象的数时间变化的函示跳水运动中高度随它表如图例21 02 105694 3112tt tthtt th 0l 1l 2l thO 0t 1t 2t311 .图. ,的变化情况刻画曲线在动点附近利用曲线在动点的切线 ., 变 化 情 况在 上 述 三 个 时 刻 附 近 的线 刻 画 曲处 的 切 线在我 们 用 曲 线解 th tttxh 210 ., .,几 乎 没 有 升 降较 平 坦 附 近 曲 线 比在所 以 轴平 行 于处 的 切 线 在曲 线时当 000 01 tt xlt thtt ., ,., 附 近 单 调 递 减在即 函 数降 附 近 曲

9、线 下在所 以的 斜 率处 的 切 线 在曲 线时当 1 111 11 02 ttth ttthl tthtt . , .,单 调 递 减 附 近 也在即 函 数附 近 曲 线 下 降在所 以 的 斜 率处 的 切 线在曲 线时当 12 2222 03 ttthtt thltthtt ., ,. 附 近 下 降 得 缓 慢附 近 比 在在这 说 明 曲 线程 度 的 倾 斜的 倾 斜 程 度 小 于 直 线直 线可 见从 图 21 21311 ttth ll 0l 1l 2l thO 0t 1t 2t311 .图 练 习1.2. 作 业 : 23 4 2y x x M 2.求 曲 线 在 点

10、（ 1， 1） 处 的切 线 方 程 。 处 的 导 数 。在求 函 数 11.1 xxy3. 求 双 曲 线 过 点 （ ， ） 的 切 线 方 程 80. 80.50.00 10. 20. 30. 40. 60. 70. 90. 01. 11.10.20.30.40.50.60.70.90.01.11. mlmgc / mint411 .图 .,min. .,.,. ,.min: )/: (,.1080 604020 4113精确到率物浓度的瞬时变化血管中药时估计根据图象函数图象变化的单位随时间位单物浓度表示人体血管中药它如图例 tt mlmg tfc 它 表 示从 图 象 上 看在 此

11、时 刻 的 导 数药 物 浓 度 就 是度 的 瞬 时 变 化 率血 管 中 某 一 时 刻 药 物 浓解 ,. ,tf .在 此 点 处 的 切 线 的 斜 率曲 线 tf . , ,.时 变 化 率 的 近 似 值 瞬可 以 得 到 此 刻 药 物 浓 度估 计 这 条 切 线 的 斜 率 利 用 网 格线画 出 曲 线 上 某 点 处 的 切如 图 411 . ,.,. 4180 4180 f t 所 以它 的 斜 率 约 为处 的 切 线作 ., ,这 些 值 是 否 正 确一 下 验 证时 变 化 率 的 估 计 值下 表 给 出 了 药 物 浓 度 瞬 4170040 806040

12、20 . . tft药 物 浓 度 的 瞬 时 变 化 率 （ 1） 求 出 函 数 在 点 x0处 的 变 化 率 ， 得 到 曲 线 在 点 (x0,f(x0)的 切 线 的 斜 率 。 )( 0 xf （ 2） 根 据 直 线 方 程 的 点 斜 式 写 出 切 线 方 程 ， 即).)()( 000 xxxfxfy 求 切 线 方 程 的 步 骤 ：小 结 : 无 限 逼 近 的 极 限 思 想 是 建 立 导 数概 念 、 用 导 数 定 义 求 函 数 的 导 数 的基 本 思 想 ， 丢 掉 极 限 思 想 就 无 法 理 解导 数 概 念 。 3 求 双 曲 线 过 点 （ ，

13、 ） 的 切 线 方 程 .141)2(4121 .41212 4122 1lim 12 1lim22lim0 00 xyxy x x xxx fxfx xx ， 即故 所 求 切 线 方 程 为 ） 的 切 线 斜 率 为，（所 以 ， 这 条 双 曲 线 过 点 ，）（ ）（）（解 ： 因 为 练 习 练 习 线 点点 处 线 点 处 线31 8： 已 知 曲 y = x 上 一 P(2, )， 求 ：3 3(1) P 的 切 的 斜 率 ； （ 2） P 的 切 方 程.)(33lim31 )()(33lim31 31)(31limlim,31)1( 2220 3220 33003 xxxxx x xxxxx x xxxxyyxy xx xx 解 ： .42| 22 xy即 点 P处 的 切 线 的 斜 率 等 于 4. (2)在 点 P处 的 切 线 方 程 是 y-8/3=4(x-2),即 12x-3y-16=0.