线性系统的校正方法《自动控制原理》

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1、 第六章 线性系统的校正方法 6-1 概述 一般控制系统的结构可由下图表示 : 执行机构 被控对象 r(t) y(t) 实际中 , 一旦执行机构和被控对象选定后 , 其特性也确定 . r(t)是 给定的输入信号 , y(t)是被控对象的输出信号 , 也叫被控量 .当 y(t) 不满足人们所期望的要求时 , 就将输出 y(t)反馈到输入端 , 构成如 下的闭环系统 : 执行机构 被控对象 r(t) y(t) 控制器 e(t) 检测变送器 由图可知 , 给定的输入信号 r(t)与实际输出 y(t)的测量值进行 比较得偏差信号 e(t),控制器按 e(t)的大小和方向以一定的规律给 出控制信号推动执

2、行机构动作使输出 y(t)满足人们所期望的要求 . 控制器的本质是对其输入信号 e(t)按某种运算规律进行运算 ,这种 运算规律也叫控制规律 . 本章的内容仅涉及如何设计控制规律以 满足人们对控制系统的性能要求 . 6-2 输出反馈系统的校正方式与常用校正装置的特性 输出反馈系统的校正方式基本分为两类 , 一是串联校正 ,如下 图所示 : )(sG C )(sY)(sR )(sGP 校正装置 )(sG C 与系统的广义对象 )(sG P 串接在前向通道的校 正方式叫串联校正 . 二是并联校正 , 如下图所示 : )(sY)(sR )(1 sGP )(2 sGP )(1 sGC )(2 sGC

3、校正装置 )(sG C 与系统的某个或某几个环节反向并接 , 构成局 部反馈 , 称为并联校正 . 在介绍校正的方法前 , 先介绍常用校正装置的一些特性 . 1. 无源校正网络 一般用阻容四端网络构成无源校正网络 . (1)无源超前网络 (相位超前网络 ) 其电路如下图所示 : 1u 2u 1R 2R C 其传递函数为 : C RR RR T R RR T s T s Ts Ts sU sU sG C 21 21 2 21 1 2 1 )1( 1 1 1 11 )( )( )( 其零 极点在 s平面上的位置及对数幅频和相频特性曲线见下图 : 超前网络的特点 : (1) 零点在极点的右边 ; (

4、2) 网络的稳态增 益小于 1,故对输入信号具有衰减作用 ; (3)从 幅频曲线上看 ,有一段 直线的斜率为正 20分贝十倍频程 , 所以超前网络具有微分作用 ; (4) 网络的最大超前相角 m 发生在 Tm 1 处 , 且 1 1s in 1 m 显然 , 越大 , m 也越大 , 微分作用也越强 , 但网络克服干扰信号 的能力越差 ,分度系数 的值一般不大于 20. j 0 T1T1 )(L db 0 1lg20 )( 90 0 T1 T1T1 m decdb /20 m )/1lg(10 (2)无源 滞后网络 (相位滞后网络 ) 滞后网络的电路图 ,零 极点在 s平面上的位置及对数幅频

5、和相频特性曲线见下图 : 1u 2u 1R 2R C j 0 T1bT1 blg20 )(L db 0 )( 90 0 bT1T1 Tb1 m decdb /20 m 网络传递函数为 : CRRT RR R b T s bT s b Ts b T s sU sU sG C )(1 )2( 1 1 1 1 )( )( )( 21 21 2 1 2 滞后 网络的特点 : (1) 零点在极点的左边 ; (2) 网络的稳态 增益等于 1,故对输入信号具有低通滤波作用 ; (3)从 幅频曲线上看 , 有一段 直线的斜率为负 20分贝十倍频程 , 所以滞后网络对高频信 号或噪声有较强的抑制作用 ; (4)

6、 网络的最大滞后相角 m 发生在 Tbm 1 处 , 且 1 1s in 1 b b m 显然 , b 越大 , m 也越大 , 即相角 滞后得越利害 . 使用滞后网络对系统进行校正 , 应力求避免使滞 后网络的最大滞后相角发生在校正后系统开环幅值穿越频率 (即 截止频率 )附近 , 引起相角裕度的减小 , 使系统动态性能变坏 . 因 此在确定滞后网络的参数时 , 一般要求 bT/1 小于校正后系统 开环幅值穿越频率 (即截止频率 )的十分之一 . 滞后网络在校正后 系统开环幅值穿越频率处的滞后相角约等于 )1(1.01 bt g (3) 滞后 超前网络 (相位滞后 超前网络 ) 滞后 超前

7、网络的电路图 ,零 极点在 s平面上的位置及对数 幅频和相频特性曲线见下图 : 1u 2u 1R 2R 2C 1C j 0 2 1T 1 1T 2T 1 1T 领先 滞后 )(L db 0 )( 90 0 2 1 T decdb /20 2T 1 1 T 1 1 T 90 decdb /20 网络传递函数为 : )3( )1)(1( )1)(1( )( )()( 21 2 1 1 2 sTsT sTsT sU sUsG C 式 (3)中 : 其它常用无源校正网络见教材 P.231P.232表 6-1 2. 有源调节器 无源校正网络有以下几个不足之处 : (1) 稳态增益小于等于 1; (2)

8、级间联接必须考虑负载效应 ; (3) 当所需校正功能较为复杂时 , 网络的计算和参数调整很不方 便 . 由于上述不足 , 实际中常用阻容电路和线性集成运放的组合 构成校正装置 , 这种装置叫调节器 . 例如工业上常用的 PID调节 器 . 现仅对有源调节器的基本原理作一简单介绍 . 在下面的介绍中 , 为讨论问题方便起见 , 均认为运算放大器 是理想的 , 即其开环增益无穷大 , 输入阻抗无穷大 , 输出阻抗等 于零 . 1),( 1 , 1221 22 2 111 TTCR CR T CRT (1) 反向端输入的有源调节器 反向端输入有源调节器的电路如下图 : 1u 2u 2Z 0R 1Z

9、图中 : 1Z 是输入阻容网络的等效阻抗 , 2Z 是反馈阻容网络的等效 )( )( )( )()( 1 2 1 2 sZ sZ sU sUsG C 阻抗 , 传递函数为 : 用不同的阻容网络构成 1Z 2Z 就可得到不同的调节规律 . 可见教材 P.233表 6-2典型的有源调节器 . (2) 同向端输入的有源调节器 同向端输入有源调节器的电路 如右图 : 1u 2u 2Z 1Z 其传递函数为 : (3) 用跟随器和阻容网络构成的有源调节器 )( )(1 )( )()( 1 2 1 2 sZ sZ sU sUsG C 1u 2u 2Z 1Z 其传递函数为 : )()( )( )( )()(

10、21 2 1 2 sZsZ sZ sU sUsG C 其电路如下图 : 6-3 串联校正 1.频率响应法校正设计 当工程上给出的系统性能指标为频域特征参数如相角裕量 幅值穿越频率 稳态误差系数等时 , 则采用对数频率 特性法校正 . 须指出的是 , 不管是用根轨迹法设计系统 , 还是用 对数频率 特性法设计系统 , 都是通过闭环系统的开环特性进行的 , 用 对数 频率 特性法设计系统 , 就需通过闭环系统的开环 对数频率 特性进 行设计 . 下面还是通过具体例子加以说明 . 2. 串联超前校正 例 1 设单位负反馈系统的开环传递函数为 : )15.0()(0 ss KsG 若要求系统的速度误差

11、系数 KV =20, 相角裕量 50 ,幅 值裕量 dbh x 10 , 试设计串联超前校正装置 . 解 : (1)确定系统的开环放大倍数 .并画开环 对数 幅 频 特性曲线 )15.0( 20 )( 20 )15.0( lim)(lim 0 000 jj jG KKK ss K sssGK V ssV )(L db 0 1.0 1 2 10 100 decdb /20 decdb /40 c 40 20 20 (2) 分析当 K=20时 , 原系统是否满足动态要求 . 由上计算可知 , 原系统当 K=20时 , 闭环虽稳定 , 但相角裕量仅为 18度 , 将会有较大的超调 , 不满足相角裕量

12、大于等于 50度的动态 要求 , 可采用串联超前网络给以校正 . (3)设计网络参数超前网络的传递函数为 : 3.6402 2 lg20 2 lg402lglg20 20 1lg2lg )1()2( 40 2lglg )2(0 2 KK LL L C cCC 50187290)3.65.0(90180)(180 1 gC t 1 11)( Ts TssG C 由于超前网络的放大倍数为 11 , 串接超前网络后将使系统的稳 态误差系数降低 , 故需再串接一放大倍数为 的放大器 . 串接一放大倍数为 的放大器后的超前网络的传递函数为 : )1(11)( TsTssG C 由于要求 50 , 所以超

13、前网络的最大领先相角为 : 3751850 m 由于原系统经超前网络的串联校正后 , 开环 对数 幅 频 特性曲线的 幅值穿越频率比原系统的要大 , 使原系统的相角裕量更小 , 所以 超前网络的最大领先相角需适当增大 , 在此增大 5度 . 由 m 对应的 m 就是校正后系统的幅值穿越频率 , 据此计算 6 0 2.037s i n11s i n m ,得 025.4 , 由于希望 m 进而计算 T. 因为 式 (1)在 Tm 1 处的近似 对数 幅值为 db05.64lg10lg10 而在系统原幅 频 特性上 -6db处的频率可如下计算 : 92.840 05.6lg3.640lglg 05

14、.6 1 C 校正后系统的幅值穿越频率 由此可得 : 92.8 mC 10 5 6.0 12 2 5 4.0 1 1 )( 0 5 6.0 92.80 2 5.4 11 s s T T sG T C m 校正后系统的开环 对数 幅 频 特性曲线见下图 : )(L db 0 1.0 1 2 10 100 decdb /20 decdb /40 c 40 20 20 C 86.17 44.4 decdb /40 decdb /20 decdb /40 )( L )(L )(CL (4) 校核校正后系统的相角裕量 校正后系统的传递函数为 : 因为 )15.0)(10 5 6.0( )12 2 5 4

15、.0(20)( sss ssG 50 )92.85.0()92.80 5 6.0(90)92.82 2 5 4.0(1 8 0 )(1 8 0 111 ggg C ttt 符合设计要求 . 关于采用串联超前校正装置的注意事项请参阅教 材 P.239中有关内容 . 2. 串联滞后校正 例 2 设单位负反馈系统的开环传递函数为 : )11.0)(15.0( 1)( 0 ssssG 要求保持原系统动态性能不变前提下 , 使其速度误差系数 KV =10. 解 : (1) 画原系统开环 对数 幅 频 特性曲线 若单纯提高原系统开环放大倍数至 10, 以满足速度误差系数 开环 对数 幅 频 特性曲线由上图

16、中的红线所示 . )11.0)(15.0( 10)( ssssG o KV =10的要求 , 则开环传递函数为 : )(L db 0 01.0 1.0 21 10 c 40 20 20 decdb /20 decdb /40 decdb /60 60 )(0 L decdb /20 decdb /40 decdb /60 C )(0 L 由上图两条折线对比可见 , 红线满足速度误差系数要求 , 但其 大于 C C , 不满足动态性能的要求 . 显见 , 单纯靠提高原系统的开 环放大倍数已不能同时兼顾动静两方面的要求 , 需另加校正装置 . 所加校正装置应不改变原开环 对数 幅 频 特性曲线在穿

17、越零分贝线 附近直至高频段的形状 , 以保持原系统的动态性能 , 而应使原系 统的低频段抬高 , 以满足速度误差系数的要求 . 因此可采用滞后 校正网络 . (2) 确定滞后校正网络参数 滞后校正网络的传递函数为 : 111)( bTsb T ssG C 滞后网络参数的选择应使其相角滞后特性尽可能小地减少原系统 的相角裕量 , 为此应使滞后网络分子的转折频率远小于原系统的 1C , 现选 10,1.0,1 0 0 bTbT , 则滞后网络分子的转折频 率为 0.1, 是原系统 C 的十分之一 . 滞后网络的传递函数为 : 11 0 0 110)( s ssG C 校正后系统的开环传递函数为 :

18、 其 对数 幅 频 特性曲线 )11.0)(15.0( 10 11 0 0 110)( ssss ssG o )( oL 见下图 : )(L db 0 01.0 1.0 21 10 c 40 20 20 decdb /20 decdb /40 decdb /60 60 )(0 L decdb /20 decdb /40 decdb /60 C )(0 L decdb /40 decdb /20 )(0 L decdb /20 decdb /40 decdb /60 (3) 校核滞后校正网络对原系统相 角裕量的影响 . 计算滞后网络在原系统 处的滞后相角 : 1 C 14.51 0 010)1(

19、1 0 010)( 1111 ggCCgCgCC tttt 基本符合要求 . 滞后校正的注意事项可参阅教材 P.241有关内容 . 3. 滞后 超前校正 滞后 超前校正的设计思想与步骤和单独滞后校正或单独 领先校正的设计思想是基本一致的 . 具体例子请看教材 P.242例 6-5. 课外习题 : P.265第 6-1题 , 第 6-3题 , 第 6-4题 , 第 6-5题 (2) 6-4 输出反馈系统的并联校正和复合校正 1. 并联校正的原理和特点 设系统框图如下 : )(sR )(sY)(1 sG )(2 sG )(sGC )(1 sR 上图所示系统的开环传递函数为 : 如在对系统的动态性能

20、起主要影响的频率范围内 , 有 : )1()()(1 )()()( 2 21 0 sGsG sGsGsG C 1)()(2 jGjG C , 则式 (1)可表为 : )()()( 10 sGsGsG C , 说明校正后系 统在此频率范围内的性能几乎与 )(2 sG 无关 . 当 1)()(2 jGjG C 时 )()()( 210 sGsGsG 校正后系统与校正前系统的特性几乎一致 , 在 工程的初步设计中 , 往往令 1)()( 2 jGjG C 作为近似条件 . 并联校正有如下特点 : (1) 削弱被包围环节的非线性影响 ; (2) 减小被包围环节的传递系数和时间常数 , 这是并联校正 h

21、C KsGsTKsG )(,1)( 222的重要特点 , 说明如下 : 设 为位置反馈 1 1 1 1)( )( 2 22 2 1 h h KK TKK K sR sY 则可见 , 其传递系数和时间常数均为 原来的 )1( 2 hKK 分之一 .传递系数的 减小可由系统其它环节补偿而不影响 校正后系统的稳态精度 , 而时间常数的减小使被包围环节的惯性 变小 , 反应灵敏 , 有利于动态性能的改善 . (3) 降低被包围环节对参数变化的敏感性 ; 设 2K 产生一个小偏差 2K , 则 2K 变为 22 KK , 其相对增量为 : 22 KK , 采用位置反馈后 , 变化前的传递系数为 hKKK

22、K 222 1 变化后的增量 2 2 2 2 2 2 2 )1( hKK KK K KK , 其相对增量为 : 2 2 2 2 2 1 1 K K KKK K h 2. 复合控制 工程实际中的系统往往受各种干扰的影响 , 当控制系统对在 干扰影响的动静态性能提出很高要求时 , 单纯用反馈控制一般难 以满足要求 , 此时可考虑采用复合控制的手段 . 下面简要介绍针 对干扰作用下的复合控制的方法和特点 . 具体内容可参阅教材 P.251P.258有关 部分内容 . 设系统受干扰时的框图如下 : 干扰信号 D(s)直接作用在被控对象 )(sR )(sY)(sGC )(sGp )(sD )(sE )(

23、sGd )(sGp 上而影响系统的输出 Y (s), 由于反馈控制的固有特点 , 使系统不能及时有效的克服干扰的影 响 . 改进的方法之一是将 D(s)测量出来 , 通过前馈控制器 )(sG d 前馈到系统的输入端 , 如上图所示 , 从而构成前馈 -反馈复合控 制系统 . 设 R (s)=0, 则 : )()(1 )(1)()( )( )( sGsG sGsGsG sD sY pC pCd 根据不变性原理 , 即 0)(,0)( sYsD 得 : )(1)(,01)()( sGsGsGsG CdCd 由上式可见 , 从理论上讲 , 只要满足 )(1)( sGsG Cd ,D(s)对系统 就无

24、任何影响 . 但在工程上具体实现时 , 尚受种种条件的限制 , 具体内容可参阅教材 P.258P.265有关部分内容 . 补充 : 输出反馈系统的根轨迹法校正 当用时域指标如最大百分比超调量 调整时间或阻尼系数 自然振荡角频率等对闭环系统提出性能要求时 , 常采用根轨迹法 对原系统进行校正 . 这是因为不同的 时域指标反映了 闭环极点在 s平面上的不同位置 .如对于典型的二阶系统 (即不带零点 ), 其一 对共轭复数极点可表为 : dnn jjs 21 一般 , 由最大百分比超调量 , 则 二阶系统 的极点应在 s平面上的 1 0 0 21 e 先确定 值 , 然后 由 调整时间 n st 4

25、 确定 n 区域可用下图表示 : j st n 1co s 0 A B C D 凡是极点在折线 ABCD右则的 二阶系统其 最大百分比超调 量 调整时间都小于规定的指标 . 对于高阶系统 , 其闭环极点 个数大于二个 , 这时总以最靠近虚轴而附近又没有其它闭环零 极点的一对共轭复数极点作为主导极点作为设计的依据 . 下面通过例子说明用根轨迹法校正系统的步骤 . 串联超前校正 例 : 单位负反馈系统的开环传递函数为 )2( 4)(0 sssG ,如要系 统的 阻尼系数等于 0.5,自然振荡角频率等于 4, 稳态误差 不大于原系统 , 试设计校正装置 . 解 : (1) 原系统的根轨迹如下图 ,

26、2,5.0,31 njs , 而要求系统的期望极点为 : 4,5.0,3222,1 njs 显然 ,原系统的根轨迹应向左弯 曲 , 选择相位超前阻容网络 . (2) 计算需超前的相位值 K0=4时 ,原系统的极点为 : )(2( )( )()()( 1 1 )( 0 c cC C c c C psss zsK sGsGsG ps zs T s T s sG 0 -2 j -1 3j 3j 由于校正后的期望闭环极点一定在校正后系统的根轨迹上 , 故其 必定满足相角条件 , 即 : 1 8 02 1111 cc pssszs 超前相角为 : 303 9 02 1 01 8 023223221 8

27、011 jjzszs cc (3) 用图解法确定超前校 正装置的参数 . 在 s平面上画出 系统的期望极点位置 , 如下图 P点 , 由 P点作条水平 p 2 32 o j 线 AP, A 再将 P点与 O点相连 , 然后作角 OPA 的角平分线 PB, B 最后在 PB左右两侧各依 15度 角画两条射线分别交于负实轴 , 量出两交点 在负实轴上的位置分别为 -3和 -5.5, 即 : 35.5 84.1,18.0,5.51,31 TTT , 从而 5.53)( sssG C 校正后系统的开环传递函数为 : )2)(5.5( )3(4)()()( 0 sss sKsGsGsG C C (4)

28、画校正后系统的根轨迹图 : (5) 计算校正装置的根迹增益 KC 0 -2 j -3 -5.5 -1.15 -2.25 32j 32j 73.4 33224 23225.5322322 125.5 34 111 1 j jjj Ksss sK CC (6)校核 由于设计已满足动态要求 , 故只校核 是否满足原系 22416.525.5 373.44 0 KK统对稳态误差的要求 . 因为 : , 所以满足 . 但 超前校正装置还需串接放大倍数为 4.73的放大器 . 串联滞后校正 当原系统根轨迹上某一主导复数极点能满足动态性能指表 的要求 , 但该点对应的开环放大倍数不能满足稳态误差的要求 时

29、, 一般采用串联滞后校正 . 下面通过例子说明串联滞后校正 的步骤 . 例 : 设单位负反馈系统的开环传递函数为 : )5)(1()( 0 0 sss KsG 要求系统在阶跃输入下的最大百分比超调量 0000 20 调整时间 sts 15 , 而在单位斜坡输入时的稳态误差 0015sse ,试设计校正装置 . 解 : (1) 分析原系统是否满足指标要求 . 63cos45.0 2.0 1 1/ 2 e 原系统的根轨迹图如下 : 由图求 S1值 , 因 0 j -1 -5 -0.47 1s 63 96.1631 jjts g , 代入特征方程 056 023 Ksss 得 : 8.041.0 2

30、.4 41.0 08.952.2365.1 0504.1752.10 0)96.1(5)96.1(6)96.1( 2,1 0 23 0 23 0 23 js K K Kjjj 原系统的调整时间 ssot s 151041./4/4 , 速度误差系数 84.05 2.45)(lim 000 KssGK sV ,速度误差 0000 151 2 084.0 11 V ss Ke 由上分析可知 , 当原系统的开环放大倍数为 0.84时 , 虽动态能 满足要求 , 但稳态误差不满足要求 . 若提高开环放大倍数至稳态 误差满足要求 , 则动态不满足要求 , 即仅靠调整系统本身的参数 已无法兼顾 . (2)

31、 设计滞后校正网络 其传递函数为 : T s bT s bKsG CC 1 1 )( 其中 KC是串接的放大器增益 , 目的为提高系统的开环放大倍数 ,滞 后网络将使原根轨迹向右弯曲 , 为使弯曲程度尽可能小 ,而不太多 地影响原系统的动态性能 , 选校正网络的零点到虚轴的距离为原 闭环主导复数极点到虚轴距离的 1/51/10, 取 08.01 bT ,一般取 1.0b 则校正网络的极点 008.01 T , 它俩很靠近原点 , 但相互间距原点 距离有十倍 , 即校正后的开环放大倍数可为原来的十倍 . 校正后系统的开环传递函数为 : 其根轨迹图如下 , )5)(1)(008.0( )08.0(

32、 )5)(1(008.0 08.0 )()()( 0 0 0 ssss sK sss K s s bKsGsGsG CC -1 -5 0 j -0.08 -0.008 按第 (1)步的计算方法 45.0 时 ,校正后闭环系统的主导复数 极点 475.037.0 2,1 Kjs (3)校核 校正后系统的速度误差系数 854050 0 8.0 08.0)(lim 00 KssGK sV 校正后系统的稳态误差 0000 155.128 11 V ss Ke ,串接的放大器增益为 : 5.92.4/40/10 0 KKK C 由于校正后闭环系统的主导复数极点是由 百分比超调量满足要求 , 校正后闭环系统的主导复数极点实部绝 对值为 0.37, 故 45.0 而得 , 所以最大 sst s 158.1037.0 4 有关用根轨迹法设计系统的其它内容在此不作深入讨论 , 可 参阅其它参考书上中有关内容 .