线性代数课件第5章相似矩阵

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1、课件 1 第 5章 相似矩阵 本章主要介绍方阵的特征值与特征向量、相 似矩阵、向量的内积和正交化方法、对称矩阵的 相似矩阵。通过本章的学习，读者应该掌握以下 内容： 方阵的特征值与特征向量的定义及计算 相似矩阵的定义与性质 方阵的相似对角化 向量的内积、长度 正交和正交向量组与正交矩阵的概念 施密特正交化方法 用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法 课件 2 的特征值，非零列向量 称为方阵 5.1 方阵的特征值与特征向量 5.1.1 方阵的特征值与特征向量 定义 1 设 ()ijAa 是一个 阶方阵 ,如果存在数 及 n n 维非零列向量 1 2 n x x x x 使得 A xx ,那么 ,

2、这样的数 称为方阵 A A 的对应于 (或属于 ) 特征值的特征向量 x 课件 3 是方阵 的特征值 , 是对应的特征向量 A x A xx ()AE 0 x 0AE (此为 个未知数 个方程的齐次线性方程组 ) n n 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 12 0 n n n n n n a a a a a a a a a 是方阵 的特征值 A x 是对应于 的特征向量 x 是齐次线性方程组 ()AE 0 x 的非零解 (右式称为 的特征多项式 ,记 为 , 称为特征方程 ) A ()f ( ) 0f 课件 4 (设 ) 求方阵的特征值与特征向量的步骤 计算 的特征多项式 求出特征方程的

3、所有根（重根按重数计 算）： 对每个特征值 ,求出相应的齐次线性方 程组 的一个基础解系 A ()f A E 12, , , n i ()iAE 0 x 12, , , nr ()iR A E r 1 1 2 2 1 2( , , ,n r n r n rc c c c c c 为对应于 的全部特征向量 . i 不全为零 ) 则 课件 5 例 1 求矩阵 2112A 的特征值与特征向量 解 2221 ( 2 ) 1 4 3 ( 1 ) ( 3 ) 12AE 所以 A 的特征值为 121, 3 对于特征值 1 1, 解方程 ()AE 0 x ,由 1 1 1 1 1 1 0 0AE 得同解方程组

4、 12 2 2 xx xx 1 11 2 1 ( ) 1 x c c R x 通解为 一基础解系为 1 1 1 所以对应于 1 1 的全部特征向量为 1 1 1( 0 )cc 课件 6 对于特征值 2 3, 解方程 ( 3 )AE 0 x ,由 得同解方程组 12 2 2 xx xx 1 22 2 1 ( ) 1 x c c R x 通解为 一基础解系为 2 1 1 所以对应于 1 1 的全部特征向量为 2 2 2( 0 )cc 1 1 1 13 1 1 0 0AE 课件 7 例 3 求矩阵 1 1 04 3 0 1 0 2 A 的特征值与特征向量 解 21 1 0 114 3 0 ( 2 )

5、 ( 2 ) ( 1 ) 43 1 0 2 AE 所以 A 有 2重特征值 12 1 ，有单特征值 3 2 对于特征值 12 1 ，解方程 ()AE 0 x 2 1 0 1 0 1 4 2 0 0 1 2 1 0 1 0 0 0 AE ， 得同解方程组 13 23 33 2 xx xx xx 故得通解 1 2 1 1 3 1 2 ( ) 1 x x c c R x 所以 对应于特征值 12 1 的全部特征向量为 T 1 1 1 11 2 2 ( 0)c c c 由 课件 8 对于特征值 3 2 ，解方程 ( 2 )AE 0 x .由 3 1 0 1 0 0 2 4 1 0 0 1 0 1 0

6、0 0 0 0 AE 得同解方程组 1 2 33 0 0 x x xx 故得通解 1 2 2 2 3 0 0 ( ) 1 x x c c R x 对应于特征值 的全部特征向量为 2 2 2 0 0 ( 0 ) 1 cc 课件 9 重特征值算作 阶方阵 是可逆方阵 5.1.2 特征值的性质 性质 1 若 n ()ijAa 的全部特征值为 12, , , n （ k k 个特征值）则： 1 2 1 1 2 2( 1 ) ,n n na a a 12( 2 ) ;n A 性质 2 设 A 的一个特征值， x 为对应的特征 0 1 是 1A 的一个特征值， x 为对应 向量 , 且 则 特征向量 ;

7、课件 10 是方阵 性质 3 设 A 的一个特征值， x 为对应的特征 n 是 nA 的一个特征值， x 为对应 特征向量 ; 向量 , 则 n 是一个正整数 , 是方阵 性质 4 设 A 的一个特征值， x 为对应的特征 是 01() nna a a 的一个特征值， x 为对应 特征向量 ; 向量 , 若 则 01() nnA a E a A a A ()A 课件 11 的特征值都不为零，知 可逆，故 例 5 设 3阶矩阵 的特征值为 ,求 A 1, 1, 2 * 32A A E 解 因为 A A *1A A A .而 1 2 3 1 ( 1 ) 2 2A 所以 *13 2 2 3 2A A

8、 E A A E 把上式记作 ()A ，则 2 ( ) 3 2 故 ()A 的特征值为： ( 1 ) 1 , ( 1 ) 3 , ( 2 ) 3 于是 * 3 2 1 ( 3 ) 3 9A A E 课件 12 的互不相同的特征值， 5.1.3特征向量的性质 是方阵 性质 1 设 A 的一个特征值， x 为对应的特征 向量 ,若又有数 , A xx ，则 ; 性质 2 设 12, , , m 是方阵 A ix 是对应于 i 的特征向量 ( 1 , 2 , , )im ,则向量组 12, , , mx x x 即对应于互不相同特征值的特征向量线性无关 线性无关 课件 13 的相似矩阵，或称方阵 5

9、.2 相似矩阵 定义 2 设 ,AB 都是 n 阶方阵，若有可逆矩阵 P ,使 1P A P B ,则称 B 是 A A 与 B 相似，记作 .AB 3 4 2 0 4 1, 5 2 0 7 5 1A B P ，有 1P A P B ，从而 AB 即 3 4 2 0 5 2 0 7 如 5.2.1 相似矩阵的概念 课件 14 的对应于 与 的某个特征值，若 是 5.2.2相似矩阵的性质 性质 1 ;AA （因为 1 )A E A E 性质 2 若 ,AB 则 ;BA 性质 3 若 ,A B B C 则 ;AC 性质 4 相似矩阵有相同的特征多项式 ,从而所有的特征 值都相同； 性质 5 设 1

10、 ,P A P B 是 A B x 是 A 的特征向量，则 1P x B 的对应于 的特征向量 课件 15 （ 3）可以证明，对应于 的每一个 重特征值 若正好有 个线性无关的特征向量 ,即 则 必有 个线性无关的特征向量，从而一定可以 对角化 定理 1 阶方阵 与对角矩阵相似（即 能对角化） 的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量 A A A n n 推论 （ 能对角化的充分条件）如果 阶方阵的 个特征值互不相等，则 与对角矩阵相似 A n n A 注意 （ 1）推论的逆命题未必成立 （ 2）当 有重特征值时，就不一定有线性无关的 特征向量，从而 不一定能对角化 A A A ik i i

11、k ()iiR A E n k A n 课件 16 的特征多项式为 例 8 判断下列矩阵是否可以对角化？若可以 对角化 ,求可逆矩阵使之对角化 1 0 0 10 ( 1 ) , ( 2 ) 2 5 2 . 23 2 4 1 AB 解 （ 1） 10( ) ( 1 ) ( 3 ) 23f A E 的特征值为 1， 3，是两个不同的特征值，所以 可以对角化 A A A 课件 17 对 1 ，解方程 ()AE 0 x ,由于 0 0 1 1 2 2 0 0AE 同解方程组为 12 22 xx xx 通解为 1 1 2 1 1 x c x 一基础解系为 1 1 1 p 对 3 ，解方程 ( 3 )AE

12、 0 x ,由于 2 0 1 03 2 0 0 0AE 同解方程组为 1 22 0 x xx 通解为 1 2 2 0 1 x c x 一基础解系为 2 0 1 p 令 12 10, 11P pp 则 1 10 03P A P 课件 18 的特征多项式为 （ 2） B 2 1 0 0 ( ) 2 5 2 ( 1 ) ( 3 ) 2 4 1 g B E 因此 , 的特征值为 1， 1， 3 对 1 ，解方程 ()BE 0 x ,由于 0 0 0 1 2 1 2 4 2 0 0 0 2 4 2 0 0 0 BE 同解方程组为 1 2 3 22 33 2 x x x xx xx 通解为 1 2 1 2

13、 3 21 10 01 x x c c x ,一基础解系为 12 21 1 , 0 01 pp B 课件 19 对 3 ，解方程 ( 3 )BE 0 x ,由于 2 0 0 1 0 0 3 2 2 2 0 1 1 2 4 4 0 0 0 BE 同解方程组为 123 33 0 x xx xx 通解为 1 23 3 0 1 1 x xc x 一基础解系为 3 0 1 1 p 有三个线性无关的特征向量，所以 可以对角化 B B 令 1 2 3 2 1 0 , , 1 0 1 011 P p p p 则 1 1 0 0 0 1 0 0 0 3 P B P 课件 20 5.3 向量的内积、正交化方法 5

14、.3.1向量的内积 定义 3 设有 维向量 n 11 22, nn ab ab ab 1 1 2 2, nna b a b a b ,令 ,称其为 与 的内积 向量的内积具有下列性质（其中 都是列向量， 为实数）： k 性质 1 , 性质 2 , , ,k k k 性质 3 , , , 性质 4 ,0 0 ,当 ,00, 课件 21 5.3.2向量的长度 定义 4 设有 n 维向量 1 2 n a a a 2 2 212, na a a 令 称为 n 维向量 的长度（或范数） 当 =1时，称 为单位向量 向量的长度具有下列性质： 性质 1 非负性：当 0 时 , 0 ;0 0 性质 2 齐次性

15、： ,(k k k 为实数 ) 性质 3 三角不等式： 课件 22 的夹角 当 ,00 时， , a r c c o s 称为 n 维向量 与 当 ,10 ,记 e ,称非零向量单位化 . 当 ,0 时，称向量 与 显然，零向量与任何向量都正交 正交 课件 23 5.3.3正交向量组 定义 5 一组两两正交的非零向量组，称为正交向量组 设 是正交向量组，则 12, , , m 2 0 , ( , 1 , 2 , , )ij i ij i j m ij 12, , , m 若 两两正交且都为单位向量，则称 12, , , m 为单位正交向量组记作 12, , , me e e 课件 24 正交向

16、量组有下列性质： 性质 1 若 12, , , m 是正交向量组 ,则 12, , , m 线性无关 . 性质 2 设 12, , , me e e 为标准正交向量组， 的任一向量，若存在数 为同维数 12, , , mk k k ,使 1 1 2 2 ,mmk e k e k e 则 , , ( 1 , 2 , , )imiike 课件 25 5.3.4正交化方法 找到与线性无关向量组等价的单位正交向量组 的方法如下： 设 12, , , m 为一线性无关向量组 （ 1）正交化： 取 11 21 2 2 1 11 3 1 3 2 3 3 1 2 1 1 2 2 , , , , , , 依次类

17、推，一般的，有 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 11 , , , ( 1 , 2 , , ), , j j j j j j j jj jm 可以证明 , 12, , , m 两两正交 ,且 12, , , m 12, , , m 与 等价 课件 26 （ 2）规范化： 令 ( 1 , 2 , , )jmjj j e 则 为单位正交向量组，且 12, , , me e e 12, , , me e e 12, , , m 与 等价 上述从线性无关向量组导出等价正交向量组的方 法称为施密特（ Schimidt）正交化过程它不仅满足 12, , , m 12, , , m 与 等价 ，还满足

18、对任何实数 (1 )k k m 12, , , k 12, , , k 与 等价 课件 27 例 13 已知 1 1 1 1 ,求一组非零向量 23, ,使 1 2 3, 两两正交 解 23, 应该满足 , 1 0 x 即 1 2 3 0 x x x 其同解方程组为 1 2 3 22 33 x x x xx xx 它的通解为 1 2 1 2 3 11 10 01 x x c c x 一基础解系为 12 11 1 , 0 01 课件 28 21 1 1, 0 22 3 2 1 11 1 11 2 , 1 0 0 0 ,2 1 1 1 2 把基础解系正交化，即为所求取 于是得 23 1 1 2 1

19、 , 0 01 2 即为所求 . 课件 29 5.3.5正交矩阵 定义 6 如果 n阶矩阵 A满足 TA A E ,那么称 A 为正交矩阵，简称正交阵 例如 10 01 c o s s in s in c o s 1 0 0 11 0 22 11 0 22 都是正交矩阵 课件 30 为正交阵，那么 正交矩阵有下列性质： 性质 1 若 A A 是可逆阵 ,且 1T ,1A A A 或 ; 为正交阵，那么 性质 2 若 A TA 是正交阵 ; 为正交阵 性质 3 A 1TAA 性质 4 若 ,AB 为同阶正交矩阵 ,则 ,AB BA 也是正交矩阵 课件 31 是 5.4 实对称矩阵的相似矩阵 5.

20、4.1实对称矩阵的性质 性质 1 实对称矩阵的特征值都是实数，特征向量为 实向量； 性质 2 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量 相互正交； 性质 3 设 A n 阶实对称矩阵 , 是 A 的 k 则齐次线性方程组 重特征根 , ()AE 0 x 的系数矩阵的秩 ()R A E n r ,从而 A 的对应于特征值 性无关的特征向量恰有 的线 r 个 . 课件 32 是 定理 2 设 A n 阶实对称矩阵 ,则存在正交矩阵 ,P 使 1P A P ,其中 为对角矩阵 ,且 元素是矩阵 对角线上的 A 的 个特征值 . 5.4.2实对称矩阵的相似对角形 根据上述定理，任何一个实对称矩阵都与对角

21、阵正交相似 课件 33 寻找正交矩阵 P ,使 1P AP 成为对角阵的步骤如下： 1根据特征方程 ,求出矩阵 0AE A 的特征值 的所有不同 12, , , s 及它们的重数 12, , , sk k k 2对每一个特征值 ( 1 , 2 , , ) i is ,解齐次线性方程组 ()iAE 0 x ,求得它的一个基础解系 12, , ( 1 , 2 , , ) ;ii i ik is 3利用施密特正交化方法，把向量组 12, , , ii i ik 正交单位化得单位正交向量组 12, , , ii i ikp p p ( 1 , 2 , , )is 从而得到 n 个两两正交的单位特征向量

22、组 : 1211 12 1 21 22 2 1 2, , , , , , , , , , , , sk k s s s kp p p p p p p p p 课件 34 的 个 4令 121 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2( , , , , , , , , , , , , )P sk k s s s kp p p p p p p p p 则 P 为正交矩阵 ,且 1 ,P A P 为对角矩阵，且 对角线上的元素含 ik i ( 1 , 2 , , )is 恰好是矩阵 A n 个特征值 .其中 的主对角元素 ( 1 , 2 , , )is i 的重数为 ik 顺序与 ,并且排列 P

23、排列顺序相对应 中正交向量组的 课件 35 例 14 设 0 1 11 0 1 1 1 0 A ,求一个正交矩阵 P ,使 1P A P 为对角矩阵 解 由 2111 1 ( 1 ) ( 2 ) 11 AE 得 A 的特征值为 1 2 32 , 1 对应于 1 2 ,解方程 ( 2 )AE 0 x ,由 2 1 1 1 0 1 2 1 2 1 0 1 1 1 1 2 0 0 0 AE 课件 36 得同解方程组 13 23 33 xx xx xx 通解为 121 3 1 1 1 x xc x 一基础解系为 1 11 1 ,单位化得 1 1 3 1 3 1 3 p 对应于 23 1 ,解方程 ()

24、AE 0 x 由 1 1 1 1 1 11 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 AE 得同解方程组 1 2 3 22 33 x x x xx xx 通解为 1 2 2 3 3 11 10 01 x x c c x 课件 37 一基础解系为 23 11 1 , 0 01 取 23 2 2 3 3 2 22 1 1 1 1 , 11 1 , 0 1 1 , , 2 2 0 1 0 2 单位化 ,得 23 11 62 11 , 26 2 0 6 pp ,令 1 2 3 1 1 1 3 2 6 1 1 1 ( , , ) 3 2 6 12 0 36 P p p p 则有 1T 2 1 1 P

25、A P P A P 课件 38 注意 上例中若令 1 2 3 1 1 1 , , 1 1 0 , 1 1 1 QQ 可逆 , 则 1 2 1 1 Q A Q 课件 39 例 15 设 11 11A ,求 10.A 解 AA 为实对称矩阵所以 可以对角化 ,即存在可逆矩阵 Q ,使 1Q A Q 为对角矩阵 .于是 1 ,A Q Q 从而 1 .nnA Q Q 由 11 ( 2 )11AE 得 A 的特征值为 120 , 2 于是 10 10 00, 22 对于 1 0 ,由 1 1 1 10 1 1 0 0AE 得 1 1 1 对于 2 2 ,由 1 1 1 12 1 1 0 0AE 得 2 1 1 课件 40 令 12 11, 11Q ,再求出 1 111 112Q ,于是 1 10 10 10 10 10 10 1 1 1 1 0 0211 1 1 1 1 222 22A Q Q 一般地， 1 021 ( 2 22 n nn nnA Q Q n 为正整数 ).