全等三角形拓展题---尖子生专用

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1、 全等三角形综合应用知识点:1、 全等三角形的鉴定措施:2、 角平分线的性质与鉴定：例题解说武汉江汉区压轴题.(本题1分）ABC是等腰三角形,ABAC,AD是AB的中线，以AC为边作等边ACE，BE分别与直线AD、AC交于点F、G，连接CF(1） 如图1,若AC、ACE位于AC异侧，求EF的度数 试判断线段EF、DF、之间的数量关系,并阐明理由(2） 若AC、ACE位于C同侧,试完毕备用图，并直接写出线段、DF、AF之间的数量关系 解:（1) E，设ABE=AE A=A，D是ABC的中线 设BA=CA 又210,60 AE=DFC60 EF10-60-60= 过点作CHE于H AE+AC=6,

2、BBAD=60 BAD=HE 可证:ABDEH（AAS） EAD 易证:CD（AS） FHD EFFHFDF 即EF-F=2DF (3)作图、证明的过程同样 AFF2D武珞路中学（本题10分)已知等边三角形ABC,M为AB上的一点，以CM为边作等边CM,连接B(1）求证:AM=(） 作MH于,连接H若AHM，AM=1,求H的长 证明:(1) AMBN(S) （2) 由（1)知：ACBC BN=MAC=60 MBN=60+6120 过点作MDBC交AC于 AD为等边三角形 M=AD=BN，AM0 BM=D,MDC=2 在BN和DCM中 BDM(SS) BM=M AHMN BMNBAH=CM 在B

3、A和AM中 AACM(ASA） BH=1 M=C BC，MBH6 BM=2BH=2 H=2武珞路中学.(本题1分）如图1,已知等腰ABC中,AB=AC，A为B边上的中线,以AB为边向外作等边ABE，直线CE与直线AD交于点(1) 若AF=10,DF=，试求F的长（2） 若以AB为边向内作等边AE,其他条件均不变化,请用尺规作图补全图2(保存作图痕迹）,找出E、F三者的数量关系,并证明你的结论 解:(1) 设DD,AE=CE= 在AC中,+60+=180,+6 连接F BFDFD= BF=F2DF 在EC上截取EGCF，连接A AECF(SAS） EAG=CAF，A=A GA=60 AFG为等边

4、三角形 EFEG=+FC16 ()尺规作图:先作A的垂直平分线，再运用半径得到等边 设AD=A,ACEAEC E=182 BAE2+10-=0，6 BAD=BEF 在F上截取AGE,连接BG 可知：ABGF（S） AG=E，B=BF FG为等边三角形FA+FBF+EF2FEF武汉二中广雅中学（本题2分)在AC中,ABC，AC（00)，以线段BC为边在B内作等边DBC(1） 如图1,AB_（用含的式子表达）(2） 如图2，BCE10，ABE60，判断AE的形状并加以证明(3） 在()的条件下，连接DE,若DC=45,求的值 例1、(1）在ABC中,B=C,与ABC全等的三角形有一种角是,那么AB

5、中与这个角相应的角是（ )A、A 、B C、C 、B或C(）如图1,亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分,不久她根据所学知识,画出了一种与书上完全同样的三角形,那么这两个三角形完全同样的根据是（ ）A、 SSS B、S C、AA D、SA（3） 如图2，A平分AC,AD于D,交AC于，DC,AD=,则BDE_例2、如图3,M平分OB，A=B，AD与BC相交于。求证:ACBD例3、如图,在A中，B=，D、E、F分别在A、BC、AC上，且BD=CE,DE。求证:ED=E例4、如图5，BC中,AB=C，点D、E、F分别在BC、AB、A上,且BD=F，BE=D,是EF的中点。求证：DGEF例5、如图6,

6、B=，AB=BC，D为AC上一点，分别过C、A作的垂线,垂足分别为、F求证:EF=C-F例6、如图，为AB平分线上一点,PCO于，OAP+BP=180，若OC4cm。求OA+O的值。例7、如图,ADBC，1=,3=4，点E在线段DC上。求证:AD+BC=AB例8、如图9,1=2,P为BN上一点,且PDBC于D，ABB=BD。求证：BABC=180巩固：1、如图，点P为AE外一点,PA平分F，PDE于D，DE=DF，PBA于B。求证:-AB=E2、如图,在四边形ABCD中，AB=AD,A平分BC，AE于,AFD交C延长线于F.求证:DF.3、如图,CA=CB,CD=C，ACB=DC，A、BE交于

7、点,连CH。（1） 求证：ACDCE；（2） 求证：CH平分A;(3)求HE的度数（用含的式子表达)4、如图(1）,在ABC中，BA=90,AB=，AE是过点的一条直线，且点B、C在A的异侧,DAE于D，CEE于（1)试阐明:D=DCE(2）若直线A绕A点旋转到图（）位置时（DCE)，其他条件不变,问BD与D、CE的关系如何?请直接写出成果;（)若直线AE绕A点旋转到图(）位置时(BDE），其他条件不变，问与DE、C的关系如何?请直接写出成果,不需阐明理由.5、如图,在A和AE中，AB=AC,A=AE，BAC=AE=90（1）当点在A上时，如图1，线段BD、CE有如何的数量关系和位置关系？直接

8、写出你猜想的结论;(2)将图中的绕点A顺时针旋转角(090），如图2，线段BD、CE有如何的数量关系和位置关系？请阐明理由6、 如图,在平面直角坐标系中，点B的坐标为(2,2）,点A为y轴正半轴上一动点,过B点作BCAB交x轴的正半轴于点C。（1） 求证：A=BC；（2） 当点A运动时，A+O的值与否发生变化,若不变,求其值;若发生变化,求变化范畴7、 已知四边形BCD中,B=BC,AB=120,MBN60,MBN绕B点旋转，它的两边分别交D,（或它们的延长线）于E，.(1)当BN绕B点旋转到AECF时(如图1)，求证AE+CF=E;(）当B绕点旋转到AECF时，在图和图3这两种状况下,上述结

9、论与否成立?若成立，请予以证明；若不成立,线段AE，CF,EF又有如何的数量关系?请写出你的猜想，并证明、已知:如图，ABC中，ABC=45，DAB于D,平分BC，且BC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点,连接D与BE相交于点G.(1)求证：BF=AC;（2）求证：CE=B；(3）若把题目中“B平分ABC”改为“BE平分线段C”,其她条件不变，连接F求证:H=A9、直线C通过BC的顶点C,CA=CB.E、F分别是直线CD上两点，且BEC=CFA=.(1）若直线D通过BCA的内部，且E、在射线CD上,请解决下面两个问题：如图1,若BA9，=90，则_BE-AF|（填“”,“”或“”号）；如

10、图2，若0BCA80，若使中的结论仍然成立，则与CA应满足的关系是_ ;(2)如图3,若直线CD通过CA的外部,=BC,请探究E、与B、AF三条线段的数量关系，并予以证明第十一讲:全等三角形综合二知识点:1、 全等三角形的鉴定及性质:2、 角平分线的性质与鉴定:3、 常用辅助线:例题解说例1、如图，在tAC中，B=90，CDAB于,AE平分BAC，交CD于K,交BC于E,F是BE上一点,且BF=E,求证：KAB.例2、如图，AC中，BAC9,=C,()D为AC的中点,连BD,过A点作ED于E点,交B于F点,连,求证：ABCD.()若,M为AC上的三等分点，如图2，连BD，过A作AEBD于点,交

11、B于点F,连MF,判断ADB与CMF的大小关系并证明例3、如图，在ABC中,C=90,M为AB的中点,MAB，D平分B,求证：MDM例、在AC中，ACB为锐角,动点D(异于点B）在射线B上,连接D,以AD为边在AD的右侧作正方形EF,连接CF.(1)若AA，BAC0那么如图一,当点D在线段BC上时,线段CF与D之间的位置、大小关系是_ (直接写出结论)如图二，当点D在线段BC的延长上时,中的结论与否仍然成立?请阐明理由（2)若AC，BA9.点D在线段BC上，那么当ACB等于多少度时？线段C与BD之间的位置关系仍然成立.请画出相应图形,并阐明理由.例5、如图所示,已知,B为直线l上两点,点C为直

12、线l上方一动点，连接、BC，分别以A、BC为直角边向ABC外作等腰直角CAD和等腰直角CE,满足C=CB=，过点D作DD于点1，过点E作EE1于点E1(1)如图,当点E正好在直线l上时,试阐明DD1=AB；（2)在图中，当D,E两点都在直线l的上方时,试探求三条线段DD，EE，AB之间的数量关系,并阐明理由.例6、如图,已知点A(a,0），点B（,b)，且a、满足（1）求A、B两点的坐标；(2)若点C是第一象限内一点,且OCB=4,过点作DOC于点F，求证:F=C;(3)如图2，若点的坐标为(0,），过点A作AA，且A=A，连接BE交x轴于点,求G点的坐标巩固：1、如图，已知A9，ABC于点D

13、，12,EFC交AC于点F.试阐明AE=CF2、如图,ABC中，D平分BC，DGBC且平分,EAB于E，DFA于F.（1)阐明BC的理由；(2)如果AB=5,C=,求AE、BE的长3、如图，A中,A2AB,AD平分BAC交BC于D,E是A上一点,且A=E。求证：EBAB.4、如图,在AC中,AB=9,P为AC上一点,PQAB于Q，AMAB交B的延长线于M,NAC于，Q=MN（1）求证:APAM;(）求证:C=AN.5、如图，AB内，AC=6,CB40,P,Q分别在BC，A上,并且，BQ分别是BA，AC的平分线，求证:Q+Q=AB+BP.6、 将两个全等的直角三角形ABC和BE按图（)方式摆放,

14、其中AC=DEB=90,A=D=30,点落在A上,DE所在直线交C所在直线于点F(1）求证：CF=EF；(2）若将图(1）中的DBE绕点B按顺时针方向旋转角a,且a”或“=”或“”）（）若将图()中DBE的绕点B按顺时针方向旋转角,且6018，其她条件不变，如图(3）.请你写出此时AF、与DE之间的关系，并加以证明7、如图,在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，ABC的三点坐标分别为A（0,5）,B（5，）,C（,0）,A于且交y轴于,连接C.()求ABC的面积;（2）求的值及的面积8、如图1,在平面直角坐标系中,点(4,4），点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上，S四边形OBAC.(1)CO的值

15、为_ ;()求B的度数;（3）如图，点、分别是x轴正半轴及射线A上一点，且OHMN的延长线于,满足HN=NMO,请探究两条线段N、OH之间的数量关系，并给出证明9、在平面直角坐标系中,点A(2,0),点B(0,3）和点（0.）;(1)请写出O的长度:=_ ;(2）如图:若点在x轴上,且点D的坐标为(-3,0）,求证:AOBCOD;（3)若点D在第二象限，且OBCO，则这时点D的坐标是_(直接写答案）、已知，在C中，ACB，C、B的垂直平分线的交点O在AB上,、N分别在直线AC、C上,MN=A=5(1)如图1,若点、N分别在边AC、BC上,求证:N+M=M；(2)如图，若点在边AC上,点N在BC

16、边的延长线上,试猜想N、MN、AM之间的数量关系,请写出你的结论(不规定证明）11、（）如图1，以B的边AB、为边分别向外作正方形ABE和正方形AG,连接EG,试判断AC与AG面积之间的关系，并阐明理由.（）园林小路,曲径通幽，如图所示,小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米,内圈的所有三角形的面积之和是平方米,这条小路一共占地多少平方米12、如图，将两个全等的直角三角形ABD、AE拼在一起(图).AB不动，（1）若将ACE绕点逆时针旋转,连接DE,是的中点,连接M、MC（图2)，证明:MB=C.(2）若将图1中的CE向上平移,CAE不变，连接DE

17、,是的中点，连接MB、C（图3），判断并直接写出M、的数量关系(）在(2)中，若AE的大小变化（图4）,其她条件不变,则(2)中的B、MC的数量关系还成立吗？阐明理由13、如图,AC中,D是B的中点,过点D的直线MN交AC于N,交的平行线B于M，PDMN，交AB于点P，连接、PN.(）求证：BM=C；（）请你判断BP+C与N的在数量上有何关系，并阐明你的理由.14、 如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点.A、B两点的坐标分别为A(,0)、(0,n），且，点P从A出发，以每秒个单位的速度沿射线A匀速运动,设点P运动时间为t秒.（1)求OA、OB的长;(2）连接PB，若POB的面积不不小于3且不

18、等于，求的范畴;(）过P作直线B的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点,在点P运动的过程中，与否存在这样的点P,使EOPAB?若存在,祈求出t的值；若不存在，请阐明理由等腰三角形小结一、构造等腰三角形例1 如图，在等腰RtAB中，BAC=90,A=AC，AD=E,AFBE交C于F，D交于，交B的延长线于G.(1）求证:E=H;()问BG、A、FG有何数量关系？证明你的结论.练习1.等边AC中,点为、C两边垂直平分线的交点,点为AB上一动点,PEC交BC于E,点为A上一点，且CE,连F、F，求OFE的度 数.二、运用等腰三角形的性质例2 已知tAC.中,AC=C,= 0,D为B中点,ED=0,E

19、DF绕点旋转,它的两边分别交C、C(或它们的延长线)于E、F 图 图 图(1)当EF绕D点旋转到DE于(如图)时，显然SEF+SCF=AC.当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时(如图），SDEF、CEF、SABC三者之间的数量关系是什么？证明你的结论;(2)当F绕D点旋转到如图所示的位置，请直接写出SEF、SCF、C之间的数量关系是 .（不必证明)练习如图,B中,9A=C,D为AC中点,EBD于，延长AE交B于点 F求证：ADB=CD.3.ABC中，过B边的中点D作直线交A于交CA的延长线于F,使AE=AF.求证:B=C.三、角平分线与等腰三角形例 如图，ABC，、E分别平分ABC、DCB.

20、求证：AB+CD=BC.练习4如图,C中，A=90,ABAC，B平分ABC交AC于，EBD交D延长线于E (1)求证:CE=B； (2）求AEB的度数5.如图,在AB中,为B边中点，D为BC的平分线,MFAD交D延长线于F,交AB于求证:BE(A-AC).四、构造等边三角形例4 如图,已知在平面直角坐标系中，AOB=OC=,点P从点出发沿y轴正方向以1个单位秒的速度向上运动,连接P、B,D为AC的中点 (1）设点P运动的时间为t秒,问:当t为什么值时,DP与垂直且相等； (2)若A=AB,在第一象限内有一动点Q,连、QB、QP，且PQA=60,问：当Q在第一象限内运动时,APQABQ的度数和与

21、否会发生变化？若不变化，请阐明理由并求这个不变的值.图 图练习6如图,A(，-1），、C有关轴对称,AB=,EFBC,交A的延长线于E点,交y轴于F点. ()求AEF; ()如图，将AE绕点顺时针旋转交C延长线于D点,当D(,2）时，问AM+D大小与否变化并证明.图 图全等三角形中常用辅助线的作法 常用辅助线的作法有如下几种：1) 遇到等腰三角形,可作底边上的高,运用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”.2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，运用的思维模式是全等变换中的“旋转”.3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线

22、,运用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,运用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再运用三角形全等的有关性质加以阐明.这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊措施:在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，运用三角形面积的知识解答一、倍长中线(线段）造全等例1、（“但愿杯”试题）已知,如图ABC中，AB=5，=3,则中线D的取值范畴

23、是_.例2、如图,AC中，、分别在AB、上，DEDF，D是中点,试比较E+CF与E的大小例3、如图，BC中,B=CAC，E是DC的中点，求证：D平分A.应用:1、（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，、N分别是BC、D的中点探究：AM与的位置关系及数量关系.（)如图 当为直角三角形时,A与DE的位置关系是 ,线段AM与DE的数量关系是 ;（)将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0AD+AE.四、借助角平分线造全等例1、如图，已知在ABC中，B=60，AC的角平分线A,CE相交于点，求证：OEO例2、如图，BC中，A平分AC，DGC且平分BC,DEA于

24、E,FC于F ()阐明E=CF的理由;（2）如果AB=，AC=，求AE、B的长.应用:、如图,OP是MON的平分线,请你运用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参照这个作全等三角形的措施,解答下列问题:(1）如图,在ABC中,AB是直角,=60,AD、E分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出E与FD之间的数量关系;(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图图图(2)如图，在ABC中，如果CB不是直角，而（)中的其他条件不变，请问,你在(1）中所得结论与否仍然成立?若成立,请证明；若不成立，请阐明理由。五、旋转例1、正方形ABCD中,为BC上的一

25、点，F为D上的一点，EF=F，求EAF的度数 例 、D为等腰斜边B的中点,DMDN，DM,DN分别交C，C于点E,F。（1） 当绕点D转动时,求证D=D。（2） 若AB=2，求四边形DEC的面积。例 、如图,是边长为3的等边三角形，是等腰三角形,且，以D为顶点做一种角，使其两边分别交A于点M，交AC于点N，连接N，则的周长为 ;应用：、已知四边形中，,，,绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线)于.当绕点旋转届时(如图1)，易证.当绕点旋转届时,在图2和图这两种状况下,上述结论与否成立?若成立,请予以证明；若不成立，线段，又有如何的数量关系？请写出你的猜想，不需证明（图1）（图2）（图3）、

26、(西城一模）已知:=，PB=，以为一边作正方形BC，使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图，当PB=45时,求AB及P的长；(2)当PB变化,且其他条件不变时,求D的最大值,及相应B的大小.3、在等边的两边B、C所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,，BDD.探究：当M、分别在直线AB、A上移动时，BM、NC、之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系.图1 图2 图3(I）如图1,当点、N边A、A上,且DM=D时,B、NC、N之间的数量关系是 ; 此时 ； （I)如图2,点M、N边、A上，且当MDN时,猜想(）问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明; （II） 如图，当、N分别在边A、CA的延长线上时,若AN=，则 (用、L表达）在ABC中，ABA，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段，旋转角为,且0，连接D、D(1) 如图1，当BC00,0时，B的大小为_(2） 如图2,当BAC100,=20时,求CBD的大小(3) 已知BA的大小为（6m),若CBD的大小与(2)中的成果相似,请直接写出=_(可用含m的代数式表达)