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1、“孩子与狼”建模分析李瑾 2011011792摘要将“孩子与狼”的故事建立数学模型，利用贝叶斯公式来分析村民对孩子的信任程度是 如何下降的，并进行有效性分析，最后对建模过程进行总结和思考。关键词孩子与狼贝叶斯公式建模1. 引言有这样一则名叫“狼来了 ”的伊索寓 言，讲的是一个小孩每天到山上放羊，山里 有狼出没,有一次他在山上喊：“狼来了！狼 来了！ ”，山下的村民们闻声便去打狼，结 果发现狼没有来；第二次仍是如此；第三次, 狼真的来了，任凭小孩怎么喊叫，最终也没 有人来救他，因为前两次他说了谎话，村民 不再相信他了。对于这样有趣的故事,现在用 概率论与数理统计的知识，利用贝叶斯公式 来做进一步
2、的分析，认识村民对这个小孩的 可信程度是如何下降的。2. 案例分析记事件A为“狼来了 ”，记事件B为“村 民认为小孩可信”。不妨设村民过去对这个 小孩的印象为P(B) =2/3,P(万)=1/3另外再假设：可信的小孩喊狼来了时, 狼真的来了的概率为4/5,不可信的小孩喊 狼来了时，狼真的来了的概率为1/3：即设PB) = 4/5, P(AB) = 1/3当第一次村民上山打狼，发现狼没有来(石) 时，村民们对谎话小孩的认识集中体现在条 件概率P(百3)上,根据以上假设，利用 贝叶斯公式可算得，-._ P0I万)P(万)(1)一丁(刀万)P(万)+ F(刀B)P(B)(2/3) X (1/3)一(
3、2/3) x (1/3)+(1/5) x (2/3) 5=g = 0.625这表明村民上了一次当后，认为这个小孩说 谎话的概率由原来的0.333变为0.625,则 此时P(B) = 0.375,P(万)=0.625村民对这个小孩的信任度降低。同时， 由于这个小孩说过一次谎，则第二次说谎的 概率会有所降低，即说真话的概率有所升高, 不妨设PQ4|B) = 9/10, PQ4|万)=2/5在此基础上，村民们第二次上山打狼， 仍没有看见狼，这时村民就再一次调整对这 个小孩说谎话的认识，即再一次计算条件概 率P(百|石)：P稣=(3/5)x(5/8)I 1)(3/5) x (5/8) + (1/10)
4、 x (3/8)10= = 0.90911这表明村民们经过两次上当，认为这个小孩 不可信的概率又0.333上升到了 0.909,即 十句话中有九句在说谎，村名听到第三次呼 叫时怎么再会上山打狼呢？3. 有效性分析3.1理论分析贝叶斯公式是专门用于计算后验概率 的，正与此案例的需求相符，即需要通过“狼 来了”的发生，来对“小孩可信”的概率做 出修正。因此，在该案例中，使用贝叶斯公 式是完全正确的。3.2数据分析在此建模过程中，每个取值都经过了细 致考虑，综合了人的心理、情感等多个方面 的现实因素。在最初假设村民对小孩的印象时，本想 假设村民对小孩的印象一般，即村民认为小 孩说真话(B)和说假话(
5、百)的概率相同，即均 为0.5：但考虑到人们的责任心，一般听到 “狼来了”时会选择相信，因此将P(B)提高 到了 2/3。另外可信的小孩喊狼来了为真话 的可能性较高，不可信的小孩喊狼来了为真 话的可能性较低，分别设为4/5, 1/3。村民第一次上山打狼后发现没有狼，根 据贝叶斯公式可算得，村民们认为小孩说谎 话的概率上升，由0.333变为0.625o也可 以说只有37.5%的人仍认为小孩可信，会在 第二次小孩喊狼来了是上山，次数据也比较 符合现实中人们的想法。而由于小孩己经说过一次谎，他可能会 意识到再说谎的话会有人不相信，因此说谎 的概率会有所降低，即说真话的概率有所升 高，不妨假设 PQ4
6、|B) =9/10, PQ4| 万)= 2/53在此基础上，村民们第二次上山打狼， 仍没有看见狼，这时村民就再一次调整对这 个小孩说谎话的认识。经过了两次上当，村 民们认为小孩说谎话的概率由0.333变为了 0.909,即十句话有九句是在撒谎。等到小孩第三次呼叫，即使小孩说了真 话，对于本就关系不是很密切的村民，也都 不愿意相信了。由此，最终得到的结论与寓 言故事相符，也与现实生活相符。4. 感想与总结在建模过程中，我首先按照教材上的思 路进行讨论，但在此过程中，我发现“小孩 说谎”比较容易使人思路混乱。“小孩说谎” 可以分为狼来了小孩说谎与狼没来小孩说 谎两个方面，虽然在此模型中只考虑狼没来
7、 小孩说谎这一个方面即可，但在处理其他问 题时，这种假设不易理清思路。因此，我将 事件A改为了 “狼来了”。这样，教材中，可 信的孩子说谎就被转化成了 “可信 的小孩喊狼来了时，狼真的来了”;“不可信 的孩子说谎”被转化为“不可信的小孩 喊狼来了时，狼真的来了二这样就变得通俗 易憧些了。由于己知前两次狼没有来，小孩均说谎, 因此我所建的模型中的事件A与教材中的 事件A在本案例中可以算是对立事件。既然 已经将模型进行了调整，于是我决定用一个 新的思路去建立这个模型，通过求解村民认 为小孩说谎话的概率来判断村民对小孩的 信任程度。把事件A和求解对象均更改了之后，在 建模的最初阶段，我的思路开始出现
8、了混乱。 但最后理清思路后，对这个问题的理解也就 更深刻了。在此建模结束之后，我对概率论这门课 程也有了更深的理解。概率论这门课程从生 活中来，我们学习完之后野营学以致用，应 用到生活中去。我想，概率论的产生源自于 掷筛子、抛硬币等随机试验，经过长时间不 得不断枳累，形成了很多的数学模型。现在， 我们将这些数学模型进行分类汇总，在应用 于新的案例中，对生活的事情以概率论的视 角进行分析。这也要求我们在学习概率论时 对生活中的事物多思考，这样，“枯燥无味” 的数学也能变得“生动活泼” 了。让我们最后再回归到此数学模型上。就 如同村民听到第三次呼叫时不会再上山打 狼一样，当某人向银行贷款，连续两次未还， 银行还会第三次贷款给他吗？这样看来，同 一个数学模型可以适用于现实生活中的多 个场景。参考文献概率论与数理统计教程第一版，茹诗松、 程依明、濮晓龙，高等教育出版社
孩子与狼建模分析
