因子分析的基本概念和步骤

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1、因子分析的基本概念和步骤一、因子分析的意义在研究实际问题时往往希望尽可能多地收集相关变量，以期望能对问题有比较全面、 完整的把握和认识。例如，对高等学校科研状况的评价研究，可能会搜集诸如投入科研 活动的人数、立项课题数、项目经费、经费支出、结项课题数、发表论文数、发表专著 数、获得奖励数等多项指标；再例如，学生综合评价研究中，可能会搜集诸如基础课成 绩、专业基础课成绩、专业课成绩、体育等各类课程的成绩以及累计获得各项奖学金的 次数等。虽然收集这些数据需要投入许多精力，虽然它们能够较为全面精确地描述事物 但在实际数据建模时，这些变量未必能真正发挥预期的作用，“投入”和“产出”并非呈 合理的正比，

2、反而会给统计分析带来很多问题，可以表现在：计算量的问题由于收集的变量较多，如果这些变量都参与数据建模，无疑会增加分析过程中的计 算工作量。虽然，现在的计算技术已得到了迅猛发展，但高维变量和海量数据仍是不容 忽视的。变量间的相关性问题收集到的诸多变量之间通常都会存在或多或少的相关性。例如，高校科研状况评价 中的立项课题数与项目经费、经费支出等之间会存在较高的相关性；学生综合评价研究 中的专业基础课成绩与专业课成绩、获奖学金次数等之间也会存在较高的相关性。而变 量之间信息的高度重叠和高度相关会给统计方法的应用带来许多障碍。例如，多元线性 回归分析中，如果众多解释变量之间存在较强的相关性，即存在高度

3、的多重共线性，那 么会给回归方程的参数估计带来许多麻烦，致使回归方程参数不准确甚至模型不可用等。 类似的问题还有很多。为了解决这些问题，最简单和最直接的解决方案是削减变量的个数，但这必然又会 导致信息丢失和信息不完整等问题的产生。为此，人们希望探索一种更为有效的解决方 法，它既能大大减少参与数据建模的变量个数，同时也不会造成信息的大量丢失。因子 分析正式这样一种能够有效降低变量维数，并已得到广泛应用的分析方法。因子分析的概念起源于 20 世纪初 Karl Pearson 和 Charles Spearmen 等人关于智力测 验的统计分析。目前，因子分析已成功应用于心理学、医学、气象、地址、经济

4、学等领 域，并因此促进了理论的不断丰富和完善。因子分析以最少的信息丢失为前提，将众多的原有变量综合成较少几个综合指标， 名为因子。通常，因子有以下几个特点：因子个数远远少于原有变量的个数原有变量综合成少数几个因子之后，因子将可以替代原有变量参与数据建模，这将 大大减少分析过程中的计算工作量。因子能够反映原有变量的绝大部分信息 因子并不是原有变量的简单取舍，而是原有变量重组后的结果，因此不会造成原有 变量信息的大量丢失，并能够代表原有变量的绝大部分信息。因子之间的线性关系并不显著由原有变量重组出来的因子之间的线性关系较弱，因子参与数据建模能够有效地解 决变量多重共线性等给分析应用带来的诸多问题。

5、因子具有命名解释性通常，因子分析产生的因子能够通过各种方式最终获得命名解释性。因子的命名解释性有助于对因子分析结果的解释评价，对因子的进一步应用有重要意义。例如，对高校科研情况的因子分析中，如果能够得到两个因子，其中一个因子是对科研人力投入、经费投入、立项项目数等变量的综合，而另一个是对结项项目数、发表论文数、获奖成果数等变量的综合，那么，该因子分析就是较为理想的。因为这两个因子均有命名可解 释性，其中一个反映了科研投入方面的情况，可命名为科研投入因子，另一个反映了科 研产出方面的情况，可命名为科研产出因子。总之，因子分析是研究如何以最少的信息丢失将众多原有变量浓缩成少数几个因子， 如何使因子

6、具有一定的命名解释性的多元统计分析方法。二、因子分析的基本概念1、因子分析模型因子分析模型中，假定每个原始变量由两部分组成：共同因子(common factors)和 唯一因子(unique factors)。共同因子是各个原始变量所共有的因子，解释变量之间的相 关关系。唯一因子顾名思义是每个原始变量所特有的因子，表示该变量不能被共同因子 解释的部分。原始变量与因子分析时抽出的共同因子的相关关系用因子负荷( factor loadings)表示。因子分析最常用的理论模式如下：Z 二 a F + a F + a F + + a F + U (j=l,2,3.,n, n 为原始变量总数)j j1

7、1j 2 2j3 3jm m j可以用矩阵的形式表示为Z二AF + U。其中F称为因子，由于它们出现在每个原始变量的线性表达式中(原始变量可以用X表示，这里模型中实际上是以F线性表示各个j原始变量的标准化分数Z)，因此又称为公共因子。因子可理解为高维空间中互相垂直j的m个坐标轴，A称为因子载荷矩阵，a (j = 1,2,3.n,i = 1,2,3.m)称为因子载荷，是第jji个原始变量在第i个因子上的负荷。如果把变量Z看成m维因子空间中的一个向量，则ja表示Z在坐标轴F上的投影，相当于多元线性回归模型中的标准化回归系数；U称为jiji特殊因子，表示了原有变量不能被因子解释的部分，其均值为0，相

8、当于多元线性回归模 型中的残差。其中，(1) Z为第j个变量的标准化分数；j(2) F (i=1,2,.,m)为共同因素；i(3) m 为所有变量共同因素的数目；(4) U为变量Z的唯一因素；jj(5) a 为因素负荷量。ji2、因子分析数学模型中的几个相关概念因子载荷(因素负荷量 factor loadings)所谓的因子载荷就是因素结构中，原始变量与因素分析时抽取出共同因素的相关。可以证明，在因子不相关的前提下，因子载荷a是变量Z和因子F的相关系数，反映了 ji j i变量Z与因子F的相关程度。因子载荷a值小于等于1,绝对值越接近1,表明因子F j i ji i与变量Z的相关性越强。同时，

9、因子载荷a也反映了因子F对解释变量Z的重要作用 j ji i j和程度。因子载荷作为因子分析模型中的重要统计量，表明了原始变量和共同因子之间 的相关关系。因素分析的理想情况，在于个别因素负荷量a不是很大就是很小，这样每 ji个变量才能与较少的共同因素产生密切关联，如果想要以最少的共同因素数来解释变量间的关系程度，则U彼此间或与共同因素间就不能有关联存在。一般说来，负荷量为0.3 j或更大被认为有意义。所以，当要判断一个因子的意义时，需要查看哪些变量的负荷达 到了 0.3 或 0.3 以上。变量共同度（共同性，Communality）变量共同度也就是变量方差，就是指每个原始变量在每个共同因子的负

10、荷量的平方 和，也就是指原始变量方差中由共同因子所决定的比率。变量的方差由共同因子和唯一 因子组成。共同性表明了原始变量方差中能被共同因子解释的部分，共同性越大，变量 能被因子说明的程度越高，即因子可解释该变量的方差越多。共同性的意义在于说明如 果用共同因子替代原始变量后，原始变量的信息被保留的程度。因子分析通过简化相关 矩阵，提取可解释相关的少数因子。一个因子解释的是相关矩阵中的方差，而解释方差 的大小称为因子的特征值。一个因子的特征值等于所有变量在该因子上的负荷值的平方总和。变量Z的共同度h2的数学定义为：h2 = a 2，该式表明变量Z的共同度是因子 j ji ji=1载荷矩阵A中第j行

11、元素的平方和。由于变量Z的方差可以表示成h2 + u2 = 1，因此变j量Z的方差可由两个部分解释：第一部分为共同度h2，是全部因子对变量Z方差解释说 jj明的比例，体现了因子全体对变量Z的解释贡献程度。变量共同度h 2越接近1,说明因j子全体解释说明了变量Z的较大部分方差，如果用因子全体刻画变量Z，则变量Z的 j j j信息丢失较少；第二部分为特殊因子U的平方，反应了变量Z方差中不能由因子全体解j释说明的比例，u2越小则说明变量Z的信息丢失越少。j总之，变量d共同度刻画了因子全体对变量Z信息解释的程度，是评价变量Z信息 jj 丢失程度的重要指标。如果大多数原有变量的变量共同度均较高（如高于

12、0.8），则说明 提取的因子能够反映原有变量的大部分信息（ 80以上）信息，仅有较少的信息丢失， 因子分析的效果较好。因子，变量共同度是衡量因子分析效果的重要依据。因子的方差贡献（特征值 eigenvalue）n2因子的方差贡献（特征值）的数学定义为：S 2 =才a ，该式表明，因子F的方差i ji ij=1贡献是因子载荷矩阵A中第i列元素的平方和。因子F的方差贡献反映了因子F对原有ii 变量总方差的解释能力。该值越高，说明相应因子的重要性越高。因此，因子的方差贡 献和方差贡献率是衡量因子重要性的关键指标。为了便于说明，以三个变量抽取两个共同因素为例，三个变量的线性组合分别为：Z = a F

13、+ a F + U1 11 1 12 2 1Z = a F + a F + U2 21 1 22 2 2Z = a F + a F + U3 31 1 32 2 3转换成因素矩阵如下：变量F1（共同因素一）F2（共同因素二）共同性（h2）唯一因素（d2）X1a11a12a 2 + a 211 121 - h 21X2a21a22a 2 + a 221 221 - h 22X3a31a32a 2 + a 231321 - h 23特征值a 2 + a 2 + a 2112131a 2 + a 2 + a 2112131解释量a 2 + a 2 + a 2112131a 2 + a 2 + a 2

14、11213111213131121313所谓共同性，就是每个变量在每个共同因素之负荷量的平方总和（一横列中所有因 素负荷量的平方和），也就是个别变量可以被共同因素解释的变异量百分比，这个值是个 别变量与共同因素间多元相关的平方。从共同性的大小可以判断这个原始变量与共同因 素之间关系程度。而各变量的唯一因素大小就是1 减掉该变量共同性的值。（在主成分分 析中，有多少个原始变量便有多少个“component”成分，所以共同性会等于1，没有唯 一因素）。至于特征值是每个变量在某一共同因素之因素负荷量的平方总和（一直行所有因素 负荷量的平方和）。在因素分析之共同因素抽取中，特征值大的共同因素会最先被抽

15、取， 其次是次大者，最后抽取的共同因素之特征值最小，通常会接近0（在主成分分析中，有 几个题项，便有几个成分，因而特征值的总和刚好等于变量的总数）。将每个共同因素的 特征值除以总题数，为此共同因素可以解释的变异量，因素分析的目的，即在因素结构 的简单化，希望以最少的共同因素，能对总变异量作最大的解释，因而抽取的因素越少 越好，但抽取因素之累积解释的变异量则越大越好。3、社会科学中因素分析通常应用在三个层面：（1）显示变量间因素分析的组型（pattern）(2) 侦测变量间之群组(clusters),每个群组所包括的变量彼此相关很高，同构型 较大，亦即将关系密切的个别变量合并为一个子群。(3)

16、减少大量变量数目，使之称为一组涵括变量较少的统计自变量(称为因素)， 每个因素与原始变量间有某种线性关系存在，而以少数因素层面来代表多数、个别、独 立的变量。因素分析具有简化数据变量的功能，以较少层面来表示原来的数据结构，它根据变 量间彼此的相关，找出变量间潜在的关系结构，变量间简单的结构关系称为“成份” (components)或“因素(factors).三、因素分析的主要方式围绕浓缩原有变量提取因子的核心目标，因子分析主要涉及以下五大基本步骤：1、因子分析的前提条件由于因子分析的主要任务之一是对原有变量进行浓缩，即将原有变量中的信息重叠 部分提取和综合成因子，进而最终实现减少变量个数的目的

17、。因此它要求原有变量之间 应存在较强的相关关系。否则，如果原有变量相互独立，相关程度很低，不存在信息重 叠，它们不可能有共同因子，那么也就无法将其综合和浓缩，也就无需进行因子分析。 本步骤正是希望通过各种方法分析原有变量是否存在相关关系，是否适合进行因子分析。SPSS 提供了四个统计量可帮助判断观测数据是否适合作因子分析：( 1)计算相关系数矩阵 Correlation Matrix在进行提取因子等分析步骤之前，应对相关矩阵进行检验，如果相关矩阵中的大部 分相关系数小于 0.3，则不适合作因子分析；当原始变量个数较多时，所输出的相关系数 矩阵特别大，观察起来不是很方便，所以一般不会采用此方法或

18、即使采用了此方法，也 不方便在结果汇报中给出原始分析报表。( 2)计算反映象相关矩阵 Anti-image correlation matrix反映象矩阵重要包括负的协方差和负的偏相关系数。偏相关系数是在控制了其他变 量对两变量影响的条件下计算出来的净相关系数。如果原有变量之间确实存在较强的相 互重叠以及传递影响，也就是说，如果原有变量中确实能够提取出公共因子，那么在控 制了这些影响后的偏相关系数必然很小。反映象相关矩阵的对角线上的元素为某变量的 MSA(Measure of Sample Adequacy)统计量，其数学定义为：工r 2ijMSA = 込舌，其中，r是变量x和其他变量x (

19、j丰i)间的简单相关系i 乙 r 2 + 乙 p 2ijijijijj 占j#i数, p是变量x( j丰i)在控制了剩余变量下的偏相关系数。由公式可知，某变量x的 ijjiMSA统计量的取值在0和1之间。当它与其他所有变量间的简单相关系数平方和远大于i偏相关系数的平方和时，MSA值接近1。MSA值越接近1,意味变量x与其他变量间的iii相关性越强；当它与其他所有变量间的简单相关系数平方和接近0时，MSA值接近0。iMSA值越接近0,意味变量x与其他变量间的相关性越弱。ii观察反映象相关矩阵，如果反映象相关矩阵中除主对角元素外，其他大多数元素的 绝对值均小，对角线上元素的值越接近 1，则说明这些

20、变量的相关性较强，适合进行因子 分析。与(1)中最后所述理由相同，一般少采用此方法。(3)巴特利特球度检验 Bartlett test of sphericityBartlett球体检验的目的是检验相关矩阵是否是单位矩阵(identity matrix),如果是单 位矩阵，则认为因子模型不合适。Bartlett球体检验的虚无假设为相关矩阵是单位阵，如 果不能拒绝该假设的话，就表明数据不适合用于因子分析。一般说来，显著水平值越小(0.05)表明原始变量之间越可能存在有意义的关系，如果显著性水平很大(如0.10 以 上)可能表明数据不适宜于因子分析。( 4) KMO( Kaiser-Meyer-O

21、klin Measure of Smapling Adequacy)KMO是Kaiser-Meyer-Olkin的取样适当性量数。KMO测度的值越高(接近1.0时)， 表明变量间的共同因子越多，研究数据适合用因子分析。通常按以下标准解释该指标值 的大小：KMO值达到0.9以上为非常好，0.80.9为好，0.70.8为一般，0.60.7为差， 0.50.6为很差。如果KMO测度的值低于0.5时，表明样本偏小，需要扩大样本。综上所述，经常采用的方法为巴特利特球度检验 Bartlett test of sphericity 和 KMO ( Kaiser-Meyer-Oklin Measure of

22、Smapling Adequacy)。2、抽取共同因子，确定因子的数目和求因子解的方法 将原有变量综合成少数几个因子是因子分析的核心内容。本步骤正是研究如何在样本数据的基础上提取和综合因子。决定因素抽取的方法，有“主成份分析法”(principal components analysis)、主轴法、一般化最小平方法、未加权最小平方法、最大概似法、 Alpha因素抽取法与映象因素抽取法等。使用者最常使用的是主成份分析法与主轴法，其 中，又以主成份分析法使用最为普遍，在 SPSS 使用手册中，也建议研究者多采用主成份 分析法来估计因素负荷量(SPSS Inc,1998)。所谓主成份分析法，就是以较

23、少的成份解释原 始变量方差的较大部分。进行主成份分析时，先要将每个变量的数值转换成标准值。主 成份分析就是用多个变量组成一个多维空间，然后在空间内投射直线以解释最大的方差， 所得的直线就是共同因子，该直线最能代表各个变量的性质，而在此直线上的数值所构 成的一个变量就是第一个共同因子，或称第一因子(F )但是在空间内还有剩余的方差，1 所以需要投射第二条直线来解释方差。这时，还要依据第二条准则，即投射的第二条直 线与第一条直线成直交关系(即不相关)，意为代表不同的方面。第二条直线上的数值所 构成的一个变量，称为第二因子( F )。依据该原理可以求出第三、第四或更多的因子。2 原则上，因子的数目与

24、原始变量的数目相同，但抽取了主要的因子之后，如果剩余的方 差很小，就可以放弃其余的因子，以达到简化数据的目的。因子数目的确定没有精确的定量方法，但常用的方法是借助两个准则来确定因子的 个数。一是特征值(eigenvalue)准则，二是碎石图检验(scree test)准则。特征值准则 就是选取特征值大于或等于 1 的主成份作为初始因子，而放弃特征值小于 1 的主成份。 因为每个变量的方差为1，该准则认为每个保留下来的因子至少应该能解释一个变量的方 差，否则达不到精简数据的目的。碎石检验准则是根据因子被提取的顺序绘出特征值随 因子个数变化的散点图，根据图的形状来判断因子的个数。散点曲线的特点是由

25、高到低， 先陡后平，最后几乎成一条直线。曲线开始变平的前一个点被认为是提取的最大因子数。 后面的散点类似于山脚下的碎石，可舍弃而不会丢失很多信息。3、使因子更具有命名可解释性 通常最初因素抽取后，对因素无法作有效的解释。这时往往需要进行因子旋转(rotation),通过坐标变换使因子解的意义更容易解释。转轴的目的在于改变题项在各因 素负荷量的大小，转轴时根据题项与因素结构关系的密切程度，调整各因素负荷量的大 小，转轴后，使得变量在每个因素的负荷量不是变大(接近1)就是变得更小(接近0)， 而非转轴前在每个因素的负荷量大小均差不多，这就使对共同因子的命名和解释变量变 得更容易。转轴后，每个共同因

26、素的特征值会改变，但每个变量的共同性不会改变。常 用的转轴方法，有最大变异法(Varimax)、四次方最大值法(Quartimax)、相等最大值法(Equamax)、直接斜交转轴法(Direct Oblimin)、Promax转轴法，其中前三者属于“直 交转轴法(orthogonal rotations)，在直交转轴法中，因素(成份)与因素(成份)间没 有相关，亦即其相关为0因素轴间夹角为90 ；而后二者(直接斜交转轴、Promax转 轴法)属“斜交转轴(oblique rotations)，采用斜交转轴法，表示因素与因素间彼此有某 种程度的相关，亦即因素轴间的夹角不是 90。直交转轴法的优点

27、是因素间提供的信息不会重叠，观察体在某一个因素的分数与在 其它因素的分数，彼此独立不相关；而其缺点是研究者迫使因素间不相关，但在实际情 境中，它们彼此有相关的可能性很高。因而直交转轴方法偏向较多人为操控方式，不需 要正确响应现实世界中自然发生的事件( Bryman&Cramer,1997)。所谓直交旋转法(orthogonal rotations),就是要求各个因子在旋转时都要保持直角关 系，即不相关。在直交旋转时，每个变量的共同性(commonality)是不变的。不同的直 交旋转方法有不同的作用。在直交旋转法中，常用于社会科学研究的方式是 Varimax 旋 转法。该方法是在旋转时尽量弄清

28、楚在每一个因子上各个变量的因子负荷情况，也即让 因子矩阵中每一列的 的值尽可能变成1或0，该旋转法的作用是突出每个因子的性质， 可以更清楚哪些变量是属于它的。由此可见， Varimax 旋转法可以帮助找出多个因子，以 澄清概念的内容Quartimax旋转法可以则可以尽量弄清楚每个变量在各个因子上的负荷 情况，即让每个变量在某个因子上的负荷尽可能等于1，而在其它因子上则尽可能等于0。 该方法可以增强第一因子的解释力，而使其它因子的效力减弱。可见 Quartimax 旋转法 适合于找出一个最强效力的因子。Equamax旋转法则是一种折中的做法，即尽可能简化因 子，也可弄清楚负荷情况。其缺点是可能两

29、方面都未照顾好。斜交旋转(oblique rotarion)方法是要求在旋转时各个因子之间呈斜交的关系， 表示允许该因子与因子之间有某种程度上的相关。斜交旋转中，因子之间的夹可以是任 意的，所以用斜交因子描述变量可以使因子结构更为简洁。选择直接斜交旋转时，必须 指定Delta值。该值的取值范围在0 1之间，0值产生最高相关因子，大的负数产生 旋转的结果与直交接近。Promax斜交旋转方法也允许因子彼此相关，它比直接斜交旋转 更快，因此适用于大数据集的因子分析。综上所述，不同的因子旋转方式各有其特点。因此，究竟选择何种方式进行因子旋 转取决于研究问题的需要。如果因子分析的目的只是进行数据简化，而

30、因子的确切含义 是什么并不重要，就应该选择直交旋转。如果因子分析的目的是要得到理论上有意义的 因子，应该选择斜交因子。事实上，研究中很少有完全不相关的变量，所以，从理论上 看斜交旋转优于直交旋转。但是斜交旋转中因子之间的斜交程度受研究者定义的参数的 影响，而且斜交选装中所允许的因子之间的相关程度是很小的，因为没有人会接受两个 高度相关的共同因子。如果两个因子确实高度相关，大多数研究者会选取更少的因子重 新进行分析。因此，斜交旋转的优越性大打折扣。在实际研究中，直交旋转(尤其是Varimax 旋转法)得到更广泛的运用。4、决定因素与命名 转轴后，要决定因素数目，选取较少因素层面，获得较大的解释量

31、。在因素命名与 结果解释上，必要时可将因素计算后之分数存储，作为其它程序分析之输入变量。5、计算各样本的因子得分因子分析的最终目标是减少变量个数，以便在进一步的分析中用较少的因子代替原 有变量参与数据建模。本步骤正是通过各种方法计算各样本在各因子上的得分，为进一 步的分析奠定基础。此外，在因素分析中，研究者还应当考虑以下几个方面（Bryma n&Cramer,1997）：（ 1 ）可从相关矩阵中筛选题项题项间如果没有显著的相关，或相关太小，则题项间抽取的因素与研究者初始构建 的层面可能差距很大。相对的题项间如果有极其显著的正/负相关，则因素分析较易构建 成有意义的内容。因素分析前，研究者可从题

32、项间相关矩阵分布情形，简扼看出哪些题 项间有密切关系。（ 2 ）样本大小因素分析的可靠性除与预试样本的抽样有关外，预样本数的多少更有密切关系。进 行因素分析时，预试样本应该多少才能使结果最为可靠，学者间没有一致的结论，然而 多数学者均赞同“因素分析要有可靠的结果，受试样本数要比量表题项数还多”，如果一 个分量表有 40 个预试题项，则因素分析时，样本数不得少于 40。此外，在进行因素分析时，学者Gorshch （1983）的观点可作为参考： 题项与受试者的比例最好为 1： 5； 受试总样本总数不得少于 100 人。如果研究主要目的在找出变量群中涵括何种因 素，样本数要尽量大，才能确保因素分析结

33、果的可靠性。（3）因素数目的挑选进行因素分析，因素数目考虑与挑选标准，常用的准则有两种：一是学者Kaiser所 提的准则标准：选取特征值大于1的因素，Kaiser准则判断应用时，因素分析的题项数 最好不要超过30题，题项平均共同性最好在0.70以上，如果受试样本数大于250位， 则平均共同性应在0.60以上（Stevens，1992），如果题项数在50题以上，有可能抽取 过多的共同因素（此时研究者可以限定因素抽取的数目）；二为CATTELL（1996）所倡导的 特征值图形的陡坡检验（scree test）,此图根据最初抽取因素所能解释的变异量高低绘 制而成。“陡坡石”（scree）原是地质学上

34、的名词，代表在岩石斜坡底层发现的小碎石，这 些碎石价值性不高。应用于统计学之因素分析中，表示陡坡图底端的因素不具重要性， 可以舍弃不用。因而从陡坡图的情形，也可作为挑选因素分析数目的标准。在多数的因素分析中，根据Kaiser选取的标准，通常会抽取过多的共同因素，因而 陡坡图是一个重要的选取准则。在因素数目准则挑选上，除参考以上两大主要判断标准 外，还要考虑到受试者多少、题项数、变量共同性的大小等。四、因素分析的操作说明Statistics/Data Reduction/Factor（统计分析/数据缩减/因子）出现“Factor Analysis”（因子分析）对话框，将左边框中鉴别度达显著性的a

35、l a22选如右边“Variables”（变量）下的空框中。其中五个按钮内的图标意义如下：Descriptives （ 描 述 性 统 计 量 ） 按 钮 ， 会 出 现 “ FactorAnalysis:Descrip tives ”（因子分析：描述性统计量）对话窗口1“Statistics” （统计量）选项框（1）“IZIUnivariate descriptives”（单变量描述性统计量）：显示每一题项的 平均数、标准差。（2）“Zlnitial solution”（未转轴之统计量）：显示因素分析未转轴前之共同性 （communality）、特征值（eigenvalues）、变异数百分比

36、及累积百分比。2“Correlation Matric” （相关矩阵）选项框（1）“ZCoefficients” （系数）:显示题项的相关矩阵；(2) “Insignificance levels(显著水准):求出前述矩阵的显著水准；(3) “IZIDeterminant(行列式)：求出前述相关矩阵的行列式值；(4) “IZIKMO and Bartlett s test of sphericity”(KMO 与 Bartlett 的球形检定)： 显示KMO抽样适当性参数与Bartlett的球形检定；(5) “Zlnverse”(倒数模式)：求出相关矩阵的反矩阵；(6) “ZReproduce

37、d”(重制的)：显示重制相关矩阵，上三角形矩阵代表残差值；而 主对角线及下三角形代表相关系数；(7) “ZAnti-image”(反映象)：求出反映象的共变量及相关矩阵；在“Factor Analysis:Descriptives”对话窗口中，选取“ Zlnitial solution”、 “KMO and Bartlett s test of sphericity” 二项。Extraction(萃取)按钮，会出现Factor Analysis:Extraction” (因子分析：萃取)对话窗口1. “Method”(方法)选项框：下拉式选项内有7种选取因素的方法(1) “Principal

38、components”法：主成份分析法抽取因素，此为SPSS内定方法；(2) “Unweighted least squares”法：未加权最小平方法；(3) “Ggeneralized least square”法：一般化最小平方法；(4) “Mmximum likelihood”法：最大概似法；(5) u Principal-axis fac to ring ” 法：主轴法；(6) “Alpha fac to ring ”法：因素抽取法；(7) “Image fac to ring ”法：映象因素抽取法；2. “Analyze”(分析)选项方框(1) “OCorrelation matri

39、x”(相关矩阵)：以相关矩阵来抽取因素；(2) “OCovariance matrix(共变异系数矩阵)：以共变量矩阵来抽取因素。3. “Display”(显示)选项方框(1) “ZUnrotated factor solution”(未旋转因子解)：显示未转轴时因素负荷量、 特征值及共同性；(2) “ZScreet plot” (陡坡图):显示陡坡图4. “Extract”(萃取)选项方框(1) “Eigenvalue over: ”(特征值)：后面的空格内定为1,表示因素抽取时，只 抽取特征值大于 1 者，使用者可随意输入 0 至变量总数之间的值；(2) “Number of factor

40、s”(因子个数)：选取此项时，后面的空格内输入限定之因素个数。在“Factor Analysis:Extraction”对话窗口中，抽取因素方法选择Principal components, 选取OCorrelation matrix、并勾选 口Unrotated factor solution、 Screet plot等项，在抽取因素时限定在特征值大于1者，在Eigenvalue over: 后面的空格内输入1。+ Rotation(萃取)按钮，会出现 “Factor Analysis:Rotation”(因子分析：旋转)对话窗口1. “Method”(方法)选项框内有6中因素转轴方法(1)

41、 “ONone”：不需要转轴；(2) “OVarimax”：最大变异法，属正交转轴法之一；(3) “OQuarimax”：四次方最大值法，属正交转轴法之一；(4) “OEquamax”：相等最大值法，属正交转轴法之一；(5) “ODirect Oblimin”：直接斜交转轴法，属斜交转轴法之一；(6) “OPromax”： Promax 转轴法，属斜交转轴法之一。2. “Display”(显示)选项框：(1) “DRotated solution”(转轴后的解)：显示转轴后的相关信息，正交转轴显 示因素组型(pattern)矩阵及因素转换矩阵；斜交转轴则显示因素组型、因素结构矩阵 与因素相关矩

42、阵。(2) “Loading plot” (因子负荷量):绘出因素的散布图。3. “Maximum Iterations for Convergence”：转轴时执行的叠代(iterations)最多次数， 后面内定的数字25(算法执行转轴时，执行步骤的次数上限)。在 “Factor Analysis:Rotation” 对话 窗中，选取 “ OVarimax ”、“ DRotated solution”等项。研究者要勾选“ DRotated solution”选项，才能显示转轴后的相关 信息。“Score（分数）按钮1. “IZISave as variable”（因素存储变量）框 勾选时可

43、将新建立的因素分数存储至数据文件中，并产生新的变量名称（内定为fact_l、fact_2等）。在“Method”框中表示计算因素分数的方法有三种：（1）“ORegression”：使用回归法；（2）“OBartlett”：使用 Bartlette 法； （3）“OAnderson-Robin”：使用 Anderson-Robin 法；2. “ZDisplay factor score coefficient matrix（显示因素分数系数矩阵）选项 勾选时可显示因素分数系数矩阵。“Options（选项）按钮，会出现 “Factor Analysis:Options ”（因子分析：选项）对话窗口

44、1. “Missing Values （遗漏值）框选项：遗漏值的处理方式。（1）“OExclude cases listwise” （完全排除遗漏值）:观察值在所有变量中没有 遗漏者才加以分析；（2）“OExclude cases pa i rw i s e ” （成对方式排除） ：在成对相关分析中出现遗漏 值的观察值舍弃；（3）“OReplace with mean（用平均数置换）：以变量平均值取代遗漏值。2. “Coefficient Display Format （系数显示格式）框选项：因素负荷量出现的格式。（1）“ZSorted by size”（依据因素负荷量排序）：根据每一因素层面

45、之因素负荷 量的大小排序；（2）“ZSuppress absolute values less than” （绝对值舍弃之下限）:因素负荷 量小于后面数字者不被显示，内定的值为 0.1。在 “Factor Analysis:Options对话窗口中，勾选“OExclude cases listwise”、 “Sor ted by size ”等项，并勾选“ ZSuppress absol ute values less t han ” 选项， 正式的论文研究中应呈现题项完整的因素负荷量较为适宜。按 Continue 按钮，再按 OK 确定。五、因素分析的结果解释1 报表1KMO测度和Bartl

46、ett球形检验表KMO and Bartletts TestKaiser-Meyer-Olkin Measure of Sampling Adequacy.857Bartletts Test ofApprox. Chi-Square1187.740Sphericitydf231Sig.000KMO是Kaiser-Meyer-Olkin的取样适当性量数。KMO测度的值越高（接近1.0时）， 表明变量间的共同因子越多，研究数据适合用因子分析。通常按以下标准解释该指标值 的大小：KMO值达到0.9以上为非常好，0.80.9为好，0.70.8为一般，0.60.7为差, 0.50.6为很差。如果KMO测

47、度的值低于0.5时，表明样本偏小，需要扩大样本，此处 的 KMO 值为 0.857，表示适合进行因素分析。 Bartlett 球体检验的目的是检验相关矩阵是 否是单位矩阵（identity matrix），如果是单位矩阵，则认为因子模型不合适。Bartlett球体 检验的虚无假设为相关矩阵是单位阵，如果不能拒绝该假设的话，就表明数据不适合用 于因子分析。一般说来，显著水平值越小（0.05）表明原始变量之间越可能存在有意义 的关系，如果显著性水平很大（如0.10以上）可能表明数据不适宜于因子分析。本例中Bartlett球形检验的2值为1187.740 （自由度为231），伴随概率值为0.0000

48、.01,达到了显著性水平，说明拒绝零假设而接受备择假设，即相关矩阵不是单位矩阵，代表母群体 的相关矩阵间有共同因素存在，适合进行因素分析。2报表2共同因子方差（共同性）表Communalitiesa11.000.719a21.000.656a31.000.734a41.000.675InitialExtractiona51.000.612a61.000.755a71.000.631a81.000.572a91.000.706a101.000.784a111.000.756a121.000.774a131.000.564a141.000.706a151.000.662a161.000.500a1

49、71.000.748a181.000.554a191.000.502a201.000.767a211.000.654a221.000.471Extraction Method: Principal Component Analysis.上表报告的是共同因子方差，即表明每个变量被解释的方差量。初始共同因子方差(Initial Communalities)是每个变量被所有成份或因子解释的方差估计量。对于主成份分 析法来说，它总是等于1,因为有多少个原始变量就有多少个成份(Communalitie),因 此共同性会等于 1。抽取共同因子方差是指因子解中每个变量被因子或成份解释的方差估计量。这些共 同

50、因子方差是用来预测因子的变量的多重相关的平方。数值小就说明该变量不适合作因 子，可在分析中将其排除。3报表 3.1旋转前总的解释方差Total Variance ExplainedComponent123456789101112Total% of VarianceCumulative %Total% of VarianceCumulative %8.14537.02437.0248.14537.02437.0242.72812.40049.4242.72812.40049.4241.3005.90855.3321.3005.90855.3321.2625.73661.0681.2625.736

51、61.0681.0664.84565.9131.0664.84565.913.9224.19370.106.8693.95174.057.7403.36577.422.6813.09680.518.6202.81883.336.5262.39185.727.4922.23587.962Initial EigenvaluesExtraction Sums of Squared Loadings13141516171819202122.4221.91989.882.4101.86491.746.3431.56093.306.2981.35494.661.2581.17295.833.2491.13

52、496.966.211.95797.923.176.79898.721.146.66499.385.135.615100.000Extraction Method: Principal Component Analysis.上表叫做总的解释方差表。左边第一栏为各成份(Component)的序号，共有22个 变量，所以有22个成份。第二大栏为初始特征值，共由三栏构成：特征值、解释方差和 累积解释方差。Total栏为各成份的特征值，栏中只有5个成份的特征值超过了 1；其余 成份的特征值都没有达到或超过1。of Variance栏为各成份所解释的方差占总方差的百 分比，即各因子特征值占总特征值总和的

53、百分比。Cumulative%栏为各因子方差占总方差 的百分比的累计百分比。如在% of Variance栏中，第一和第二成份的方差百分比分别为 37.024、12.400，而在累计百分比栏中，第一成份的累计百分比仍然为37.024，第二成份 的累计方差百分比为49.424，即是两个成份的方差百分比的和(37.024+12.400)。第三大栏为因子提取的结果，未旋转解释的方差。第三大栏与第二大栏的前五行完 全相同，即把特征值大于 1 的四个成份或因子单独列出来了。这四个特征值由大到小排 列，所以第一个共同因子的解释方差最大。3报表3.2旋转后总的解释方差Total Variance Expla

54、inedComponentRotation Sums of Squared LoadingsTotal% of VarianceCumulative %15.11323.24323.24323.91717.80641.04932.0359.24950.29841.7287.85658.15451.7077.75965.9136789101112131415161719202122Extraction Method: Principal Component Analysis.第四大栏为旋转后解释的方差。（方便显示起见，放在了表3.1下面，作为表3.2）Total栏为旋转后的特征值。与旋转前的To

55、tal栏相比，不难发现，四个成份的特征 值有所变化。旋转前的特征值从8.145到1.066，最大特征值与最小特征值之间的差距比 较大，而旋转后的特征值相对集中。尽管如此，旋转前、后的总特征值没有改变，最后 的累计方差百分比也没有改变，让然为65.913。4表 4碎石图S cree Plotemavnesi2 _o o -eGo Q_00 IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22C om ponent Num ber碎石图和结果3的被解释的总方差的作用相同，都是为了确定因子的数目。从碎石图 可以看出

56、，从第 6 个因子开始，以后的曲线变得比较平缓，最后接近一条直线。据此， 可以抽取 5个因子。最后决定抽取多少个因子，还要看后面的结果。5表 5未旋转成份矩阵（显示全部载荷）Component Matrix（a）Component12345a6.796.273.065-.194.071a12-.734.354.253.178.119a3.731.419-.030-.150.019al.730.391-.104-.137.061a8.727.108-.137-.040.106a10-.726.355-.145.332.014a2.682.397-.139-.118-.011a20.653.042

57、.095.544-.184all-.637.505.216.158.156a5.635.413-.171-.005.094a7.598.270-.295.236.242a22.567.115-.223.164-.243a17.567-.181.426.247-.390a9-.547.094-.378.193.467a19.527.053.397.146.206a13-.527.509.066.052-.142a14-.545.607-.030.164-.113a15-.455.561.332-.142-.093a4.501.556.255-.224-.003a18.375-.130.469.0

58、83.413a21.516.031-.116.599-.123a16-.366.278-.209-.196-.455Extraction Method: Principal Component Analysis.a 5 components extracted.上表的成份矩阵是每个变量在未旋转的成份或因子上的因子负荷量。比如a二0.796F + 0.273F + 0.065F -0.194F + 0.071F。如果如下图所示，在因子分析的612345options选项卡选项中选择Suppress absolute values less than选项，则其中小于0.10的 因子负荷量将不被显示

59、，这样将使得表格更加清晰、明了。比如每个数字代表了该变量 与未旋转的因子之间的相关，这些相关有助于解释各个因子。也就是说，如果一个变量 在某个因子上有较大的负荷，就说明可以把这个变量纳入该因子。但是常常会有这种情 况，很多的变量同时在几个未旋转的因子上有较大的负荷，这就使得解释起来比较困难 因此查看旋转以后的结果能较好地解决这个问题。6表6未旋转的成份矩阵（显示部分载荷，小于 0.01者未显示）Component Matrix(a)12Component345a6.796.273-.194a12-.734.354.253.178.119a3.731.419-.150al.730.391-.10

60、4-.137a8.727.108-.137.106a10-.726.355-.145.332a2.682.397-.139-.118a20.653.544-.184all-.637.505.216.158.156a5.635.413-.171a7.598.270-.295.236.242a22.567.115-.223.164-.243a17.567-.181.426.247-.390a9-.547-.378.193.467a19.527.397.146.206a13-.527.509-.142a14-.545.607.164-.113a15-.455.561.332-.142a4.501.5