期末概率论复习课件

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1、1(二十一)开始王柱2013.05.27期末概率论复习2第七章续第七章续 特殊的区间估计特殊的区间估计期末概率论复习3(7.4.1)大样本情形下总体均值的区间估计大样本情形下总体均值的区间估计 由概率论中的中心极限定理可知，不论所考察的总体分由概率论中的中心极限定理可知，不论所考察的总体分布如何，只要样本容量布如何，只要样本容量n足够大，样本均值近似地服从足够大，样本均值近似地服从正态分布。即正态分布。即设总体设总体X的分布是任意的，均值的分布是任意的，均值 和方差和方差 都是未知的。用样本都是未知的。用样本 对总对总体平均数体平均数 作区间估计。作区间估计。E(X)D(X)2),(21nXX

2、X(0,1)nXDXN)(E(X)由于样本容量由于样本容量n足够大，总体方差近似地用样本方差代足够大，总体方差近似地用样本方差代替，也近似地服从正态分布。即替，也近似地服从正态分布。即(0,1)nSX2NE(X)期末概率论复习4于是，由于是，由得，总体平均数得，总体平均数 的区间估计为的区间估计为 1unXDXP21)(E(X)/)nSuXnSuX(2121 /,期末概率论复习5 某市为了解在该市民工的某市为了解在该市民工的生活生活状况，从中状况，从中随机抽取了随机抽取了100100个民工进行调查，得到民工月平均工个民工进行调查，得到民工月平均工资为资为230230元，标准差为元，标准差为60

3、60元，试在元，试在95%95%的概率保证下，的概率保证下，对该市民工的月平均工资作区间估计。对该市民工的月平均工资作区间估计。这里这里n=100可以认为是大样本。可以认为是大样本。1-=0.95,/2=0.025,查附表查附表2得得 u 0.975=1.96,于是于是,置信度为置信度为0.95的的置信区间置信区间为为(218.24,241.76)。解解:218.24100601.96230nsux21 241.76100601.96230nsux21 置信下限置信下限 (元元)置信上限置信上限 (元元)例例21-0121-01.期末概率论复习6设设有一容量大于有一容量大于50的样本的样本,它

4、来自参数为它来自参数为p的的0-1分分布的总体布的总体 X.又例又例.0-1分布参数的区间估计分布参数的区间估计求求:p的置信度为的置信度为1-的的置信区间置信区间.p)np(1npXnp)np(1npXn1ii 样本为样本为 X1,X2,Xn,由于样本容量大由于样本容量大,认为认为近似地近似地服从正态分布服从正态分布N(0,1).于是有于是有1zp)np(1npXnzP2/2/期末概率论复习7)4(2121acbbap而不等式而不等式于是有，于是有，p 的近似的、置信度为的近似的、置信度为1-的的置信区间置信区间为为221/z)p(npnpXnz等价于等价于0)2()(222/222/Xnp

5、zXnpzn记记)4(2122acbbap222222Xnc),zXn(b),zn(a/).,(21pp期末概率论复习8例、例、从一大批产品的从一大批产品的100个样品中个样品中,得一级品得一级品60个个.一级品率一级品率 p 是是0-1分布的参数分布的参数.计算得计算得于是于是所求所求p的的置信度为置信度为0.95的近似的近似置信区间置信区间为为.6.0100/60 x).69.0,50.0(求求:这这大批产品的一级品率大批产品的一级品率 p 的的置信度为置信度为0.95的的置置信区间信区间.解解:这里这里 1-=0.95,/2=0.025，n=100,u 0.975=1.96,.36,84

6、.123,84.103cba.69.0,50.021pp例例21-0221-02.期末概率论复习9下面考察总体下面考察总体X服从二点分布服从二点分布 情形，其分布情形，其分布律为律为 ，从总体中抽取一个，从总体中抽取一个容量为容量为n的样本，其中恰有的样本，其中恰有 m 个个“1”，现对，现对p作区间作区间估计。此时，估计。此时，在最后一式推导中，需注意仅能取在最后一式推导中，需注意仅能取“1”和和“0”，把这些，把这些量代入上式，得量代入上式，得p的置信度为的置信度为1-的置信区间是的置信区间是),1(pB p10XPp,1XP nmXn1Xp,E(X)n1ii )nm(1nmnm)m(n)

7、nm(nmXXn1S222n1i2i2 )nm(1nmn1unm,)nm(1nmn1unm(2121 期末概率论复习10 从一大批从一大批产品中随机的抽出产品中随机的抽出100100个进行检个进行检测，其中有测，其中有4 4个次品，试以个次品，试以95%95%的概率估计这批产品的概率估计这批产品的次品率。的次品率。记次品为记次品为“1”，正品为，正品为“0”，次品率为。总体分，次品率为。总体分布是二点分布，根据题意布是二点分布，根据题意n=100，m=4,由由1-=0.95,/2=0.025,查附表查附表2得得 u 0.975=1.96。置信下限置信下限 于是于是,置信度为置信度为0.95的的

8、置信区间置信区间为为(0.002,0.078)。解解:置信上限置信上限 0.0020.960.041011.960.04)nm(1nmn1unm21 0.0780.960.041011.960.04)nm(1nmn1unm21 例例21-0321-03.期末概率论复习11需要指出，上面介绍的两种情况均属于总体分布为需要指出，上面介绍的两种情况均属于总体分布为非正态分布的情形，如果样本容量较大（一般非正态分布的情形，如果样本容量较大（一般）时，可以按正态分布来近似其未知参数的估计区）时，可以按正态分布来近似其未知参数的估计区间。如果样本容量较小（一般间。如果样本容量较小（一般 ）时，不能用）时，

9、不能用上述的方法求参数的估计区间。上述的方法求参数的估计区间。参数估计采用表格的形式小结于表参数估计采用表格的形式小结于表7-4-17-4-1中。中。50n50n期末概率论复习12 设设对于给定的值对于给定的值 (0 1),若由样本若由样本 X1,X2,Xn 1.若统计量若统计量 (X1,X2,Xn),满足满足 7.5：单侧置信区间单侧置信区间 我们称我们称随机区间随机区间 (,)为为 的的置信度为置信度为1-的的单单(上、右上、右)侧置信区间侧置信区间,称称 为置信度为为置信度为1-的的单侧置信下限单侧置信下限.1),.,(1nXXP2.若统计量若统计量 (X1,X2,Xn),满足满足1),

10、.,(1nXXP 我们称我们称随机区间随机区间 (-,)为为 的的置信度为置信度为1-的的单单(下、左下、左)侧置信区间侧置信区间,称称 为置信度为为置信度为1-的的单侧置信上限单侧置信上限.期末概率论复习13如如,正态总体正态总体 X;均值均值 ,方差方差 2均为未知均为未知.设设X1,X2,Xn为该为该总体总体 N(,2)的的样本样本.并并给定给定置信度为置信度为1-,由由于是得到于是得到 的的置信度为置信度为1-的单的单(下下)侧侧置信区间置信区间为为)1(/ntnSX有有(1)1,/XPtnSn (1)1,SPXtnn 即即(,(1).SXtnn 的的置信度为置信度为1-的单的单(下下

11、)侧侧置信区间的置信置信区间的置信上上限限为为(1).SXtnn 期末概率论复习14注意到注意到 因此，因此，的的置信度为置信度为1-1-的单的单(下下)侧侧置信区间置信区间1(1)(1)tntn 即即即即(,(1).SXtnn 的的置信度为置信度为1-的单的单(下下)侧侧置信区间的置信区间的置信置信上上限限(1).SXtnn 1(,(1).SXtnn 1(1).SXtnn 期末概率论复习15由由于是得到于是得到 的的置信度为置信度为1-的单的单(上上)侧侧置信区间置信区间为为)1(/ntnSX有有1(1)1,/XPtnSn 1(1)1,SPXtnn 即即1(1),).SXtnn 的的置信度为

12、置信度为1-的单的单(上上)侧侧置信区间的置信置信区间的置信下下限限为为1(1).SXtnn 同理同理期末概率论复习16注意到注意到 因此，因此，的的置信度为置信度为1-1-的单的单(上上)侧侧置信区间置信区间1(1)(1)tntn 即即即即(1),).SXtnn 的的置信度为置信度为1-的单的单(上上)侧侧置信区间的置信区间的置信下限置信下限(1).SXtnn 1(1),).SXtnn 1(1).SXtnn 期末概率论复习17又由又由于是得到于是得到 2 的的置信度为置信度为1-的单的单(下下)侧侧置信区间置信区间为为有有即即 2的的置信度为置信度为1-的单的单(下下)侧侧置信区间的置信上限

13、置信区间的置信上限为为)1()1(222nSn,1)1()1(222nSnP,1)1()1(222nSnP),)()(,(11022nSn.)1()1(222nSn期末概率论复习18又由又由于是得到于是得到 2 的的置信度为置信度为1-的单的单(上上)侧侧置信区间置信区间为为有有即即 2的的置信度为置信度为1-的单的单(上上)侧侧置信置信下下限限为为)1()1(222nSn2212(1)(1)1,nSPn 2221(1)1,(1)nSPn 22(1)(,)(1)nSn 2221(1).(1)nSn 期末概率论复习19 从一批灯泡中随机取从一批灯泡中随机取5只作寿命试验只作寿命试验.测得测得的寿

14、命如下的寿命如下:1050 1100 1120 12501280设灯泡寿命近似地服从正态分布设灯泡寿命近似地服从正态分布.这里这里 1-=0.95,n=5,t 0.95(4)=2.1318,计算得计算得于是于是所求所求置信度为置信度为0.95的的单单(上上)侧置信下限侧置信下限为为.9950,11602sx15(1)1065.xtnn 求求灯泡寿命平均值的灯泡寿命平均值的置信度置信度为为0.95的的单单(上上)侧置信下限侧置信下限.解解:例例21-0421-04.期末概率论复习20第八章续第八章续 特殊的假设检验特殊的假设检验期末概率论复习21(*1)基于基于成对数据成对数据的检验的检验n1=

15、n2=n，12 22 且未知且未知为了比较两种产品、两种仪器、两种方法等为了比较两种产品、两种仪器、两种方法等 的差的差异，我们常在相同的条件下做对比试验，得到一异，我们常在相同的条件下做对比试验，得到一批成对批成对n1=n2=n的观察值。然后分析观察数据做的观察值。然后分析观察数据做出推断。这种方法称为逐对比较法。出推断。这种方法称为逐对比较法。令令,),2,1(niYXZiii),(222121NZi),(222121NZ),(21nZZZ视视 为总体为总体 的的一个样本，于是，所要进行的检验等价于一个正态一个样本，于是，所要进行的检验等价于一个正态总体，方差未知的检验即可总体，方差未知的

16、检验即可(t检验检验)。其中：。其中：则则,0:,0:211210HH2121)(11,1ZZnsZnZniinii)1(2ntnSZt期末概率论复习22(*2)总体总体方差方差 12 22 都都未知，且未知，且n1 n2的检验的检验令令，并设并设X1,X2,Xn1为来自总体为来自总体 N(1,12)的的样本样本.Y1,Y2,Yn2为来自总体为来自总体 N(2,22)的的样本样本.这这两个样本相互独立。两个样本相互独立。n1 n2.检验检验为为H0:1=2;H1:1 2。),2,1(111121212121niYnYnnYnnXZnkknkkiii期末概率论复习23则则其中，其中，212221

17、2211)(nnnnZEi2221212121221222221122222121221221212211)222()(1)(1)()(21nnnnnnnnnnnnnnnnnYnYnnYnnXEZDnkknkkiii),2,1,(0),(1njijiZZCovji期末概率论复习24在在H0成立的条件下，选用统计量成立的条件下，选用统计量 即可，其中即可，其中 于是，视于是，视 为来自正态总体为来自正态总体的一个样本。原来的问题等价于一个正态总体，的一个样本。原来的问题等价于一个正态总体，未知方差，检验未知方差，检验)(1112ntnSZt2n1ii12n1ii1)Z(Z1n1S,Zn1Z11

18、),(121nZZZ),(22212121nnN0:,0:211210HH期末概率论复习25 在平炉上做操作方法的试验在平炉上做操作方法的试验.交替进行两种方交替进行两种方法各法各10炉炉,其得率为其得率为:这里取这里取 =0.05,由表由表8.3.1知此检验问题的拒绝域知此检验问题的拒绝域为为设两个样本相互独立设两个样本相互独立.且来自两个正态总体且来自两个正态总体N(1,2),N(2,2).问新法问新法y能否提高得率能否提高得率?(取取=0.05).解解:按题意需检验按题意需检验 H0:1-2=0;H1:1-2 0。有时提出的假设检验问题可能是：有时提出的假设检验问题可能是：此时称为此时称

19、为右边检验右边检验。在显著性水平在显著性水平 下，下，检验假设检验假设 H0：=0；H1：0”的拒绝域的拒绝域.取取检验统计量检验统计量nXz0.,0待定kknXz 当假设当假设H0为真时为真时,z不应太大不应太大.因而因而拒绝域的形式拒绝域的形式为为 当假设当假设H0为真时为真时,)1,0(0NnXzzk 由正态分布分位点的定义得由正态分布分位点的定义得,.拒绝域拒绝域为为.unXz10z.00knXP期末概率论复习29类似地类似地:在显著性水平在显著性水平 下，左边下，左边检验问题检验问题 “H0：=0；H1：0。3.在显著性水平在显著性水平 下，下，左边检验假设左边检验假设 H0：=0；

20、H1：0。拒绝域的形式拒绝域的形式为为取取检验统计量检验统计量nXz0.10zunXz期末概率论复习32 已知某种水果罐头已知某种水果罐头(维生素维生素C)的含量服从的含量服从正态分布。标准差为正态分布。标准差为3.98(毫克毫克)。产品质量标准中，。产品质量标准中，Vc的平均含量必须大于的平均含量必须大于21毫克。现从一批这种水果罐头中毫克。现从一批这种水果罐头中抽取抽取17罐，测得含量平均值罐，测得含量平均值 (毫克毫克)。问这批。问这批罐头的罐头的Vc含量是否合格？含量是否合格？取取 =0.05。解解:因为本题要求的平均含量必须大于因为本题要求的平均含量必须大于2121毫克，少了毫克，少

21、了判为不合格品，所以用单侧检验。判为不合格品，所以用单侧检验。在成立的条件下，在成立的条件下，23x21:21:100HH)1,0(2201NUnXnXU例例21-0721-07.期末概率论复习33由检验水平由检验水平=0.05，查标准正态分布表，得临界值，查标准正态分布表，得临界值 ，确定否定域为，确定否定域为 。由样本观察值计算由样本观察值计算 所以，否定，即认为这批罐头的含量符合标准。所以，否定，即认为这批罐头的含量符合标准。38.11u)(1，u38.107.21798.321232200,1nXU期末概率论复习342.2为未知为未知,关于关于均值均值 的检验的检验(t检验检验)nSX

22、t/0采用统计量采用统计量总体为总体为 N(,2),其中其中,2为未知为未知,我们来求检验问我们来求检验问题题:H0：=0；H1：0。在显著性水平在显著性水平 下的拒绝域下的拒绝域.作为检验统计量作为检验统计量,当当 t 过分大时就拒绝过分大时就拒绝H0,拒绝域的拒绝域的形式为形式为./knSXt0)(11ntk期末概率论复习353.单个正态总体方差的假设检验单个正态总体方差的假设检验设设总体为总体为N(,2),、2均为未知均为未知,要求要求 检检验假设验假设(显著性水平为显著性水平为 )：H0：2=02；H1：2 02。由于由于s2 是是 2的无偏估计，当的无偏估计，当H0 为真时，为真时，

23、比值在比值在 1 附近摆动，而不应过分大于附近摆动，而不应过分大于1，也不应过分小于也不应过分小于1。我们已知。我们已知),1()1(2202nSn期末概率论复习36我们取我们取,)1(2022sn 其拒绝域的形式为：其拒绝域的形式为：作为检验统计量。作为检验统计量。,)(ksn20221此处此处k的值由下式确定：的值由下式确定：).(1212nk),)1(21n期末概率论复习37 机器包装食盐，假设每袋盐重服从正态分布，机器包装食盐，假设每袋盐重服从正态分布，规定每袋盐标准重量为规定每袋盐标准重量为500克，标准差不能超过克，标准差不能超过10克。克。某日开工后，从装好的食盐中随机抽取某日开

24、工后，从装好的食盐中随机抽取9袋，测得重量袋，测得重量为为(单位：克单位：克)：497 507 510 475 484 488 524 491 515。问这天包装机的工作是否正常问这天包装机的工作是否正常(取取 =0.05)？所以所以,不能否定不能否定H0 ，即可以认为平均每袋盐重为，即可以认为平均每袋盐重为500500克。克。在在H0成立的条件下成立的条件下解解:包装机工作正常指包装机工作正常指 克和克和 ，因此分两，因此分两步进行检验。步进行检验。现在现在,n=9,=0.05，得临界值得临界值又得又得 5002210500:500:100HH)1(20ntnsXt306.2)8(21t30

25、6.2187.0903.16500499|2200nsXt例例21-0821-08.期末概率论复习38 所以，否定所以，否定 ，即可以认为方差超过即可以认为方差超过(10)(10)2 2，包装机工作不稳定。包装机工作不稳定。由、可以认为，包装机工作不正常。由、可以认为，包装机工作不正常。在在 成立的条件下成立的条件下现在现在,n=9,=0.05，得临界值得临界值又得又得 22122010:10:HH0H)1()1(10)1(22222221nsnsn5.15)8(215.1556.201003.168)1(2220220,1sn0H期末概率论复习39 总体总体 X N(,2),=2,=40。现

26、在用。现在用新法生产。随机取新法生产。随机取n=25。样本均值为。样本均值为 =41.25。设总体均方差不变。问在显著性水平设总体均方差不变。问在显著性水平=0.05之下之下产品有否提高？产品有否提高？X解解:按题意需检验假设按题意需检验假设“H0：=0=40；H1：0”。这是右边这是右边检验问题。检验问题。拒绝域为拒绝域为6451z0500.nXz.现在现在645.1125.32524025.41z落在拒绝域中。拒绝落在拒绝域中。拒绝H0，认为产品有显著的提高。，认为产品有显著的提高。例例21-0921-09.期末概率论复习40是利用假设是利用假设H0为真时服从为真时服从N(0,1)分布来确

27、定分布来确定拒绝域的拒绝域的的统计量的统计量,nXU0这种检验法称为这种检验法称为 u 检验法检验法.0X上面例上面例1中中,如将需要检验的问题写成以下的形式更如将需要检验的问题写成以下的形式更为合理为合理:H0：0；H1：0。取显著性水平取显著性水平 ，来确定来确定拒绝域拒绝域.因为在因为在H0中的中的 都比在都比在H1中的中的 要小要小，从直，从直观上看观上看,较合理的检验法则应是较合理的检验法则应是:若观察值的若观察值的 与与 0的差的差 过分大过分大,即即 则我们则我们拒绝拒绝H0,因此因此 拒绝域的形式为拒绝域的形式为kX0X)(,0待定kkX期末概率论复习41 由标准正态分布函数由

28、标准正态分布函数 (x)的单调性得到的单调性得到,kXPH|H00为真拒绝P00nknXP010nk)()(0000nknknk,H|H00为真拒绝P要控制要控制 只需令只需令 ,nk期末概率论复习42.n(X)z0即得即得 即即 ,z)n(k从而检验问题的从而检验问题的拒绝域为拒绝域为.nXUz0和以前是一样的和以前是一样的.比较比较总体总体 N(,2),在在 2为已知为已知,关于关于均值均值 的两种的两种 检验问题检验问题:和和H0：=0；H1：0。H0：0；H1：0。尽管原假设的形式不同尽管原假设的形式不同,实际意义也不一样实际意义也不一样,但对于相同但对于相同的显著水平的显著水平,它们

29、的拒绝域是相同的它们的拒绝域是相同的.因此遇到形如后者因此遇到形如后者的检验问题的检验问题,可归结为前者形式来讨论可归结为前者形式来讨论.期末概率论复习43 某厂生产钢筋，已知钢筋强度服从正态分某厂生产钢筋，已知钢筋强度服从正态分布，布，,2为未知。为未知。其强度标准为其强度标准为52(kg/mm2)，今抽取，今抽取6个样品，测得其强度数据如下个样品，测得其强度数据如下(单位：单位：kg/mm2)：48.5 48.5 49.0 53.5 49.5 56.0 52.549.0 53.5 49.5 56.0 52.5。判断这批产品的强判断这批产品的强度是否合格度是否合格(=0.05)？t未落在拒绝域中未落在拒绝域中,故接受故接受H0,即认为产品的强度与标准强度无显著性差异，就现在即认为产品的强度与标准强度无显著性差异，就现在样本提供的信息来看，产品是合格的。样本提供的信息来看，产品是合格的。在在H0成立的条件下成立的条件下解解:现在现在,n=6,t0.975(5)=2.571。又得又得 52:52:100HH)1(0ntnsXt571.24.069.8525.51|200nsXt例例21-1021-10.44结束