大学高数课件-重要极限

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1、2023-1-81上课2023-1-82几何解释几何解释:2.5 极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限一、极限存在准则一、极限存在准则(1)单调递增有上界；单调递增有上界；1.单调有界准则单调有界准则准则准则 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.注注:根据准则只能判断极限存在根据准则只能判断极限存在,无法求出极限值无法求出极限值.(2)单调递减有下界单调递减有下界.2023-1-831111211 1(1)(1)(1)(1)2!1!121112(1)(1)(1)(1)!121nnnnnnnnnnn 1,nnuu 显然显然 ;nu是单调递增的是单调递增的证明证明1(1)nn

2、un数列收敛数列收敛1(1)nnun证：证：21!2)1(1!11nnnnn).11()21)(11(!1)11(!2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1(1nu=例例1 12023-1-841212111 n,3 nu有界有界limnnu 存存在在1lim(1)nnen 记记：)71828.2(e1213 n又又nu 11112111(1)(1)(1)(1)2!nnnnnn 11112!n 1(!(1)2 1222 12)nnn n 1121112n 2023-1-85例例2 2333()nun证明重根式 收敛证明重根式 收敛(1 1)证证1,nnuu 显然显然 nu单单调调递递

3、增增133,u 3,ku 设设13kkuu 则则33,3 nu有有上上界界limnnu存在存在13,nnuu 230AA 113113,22AA (舍去舍去)113lim.2nnu limnnuA设=设=两边取极限得两边取极限得3AA并求极限值并求极限值.(2 2)解解2023-1-86证证,nnya za120,0,0,NN 2.夹逼准则夹逼准则12,nnnNyanNza 时时有有时时有有,nnayaaza 即即,max21NNN 取取,nN 则则时时 有有,azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 2023-1-872)上述数列极限存在的准则可以推广到函数极限上述数列极限存在

4、的准则可以推广到函数极限注注:1)条件（条件（1）可放宽为：）可放宽为：0,nnnNnNyxz 使使得得当当时时，准则准则 和和准则准则 称为称为夹逼准则夹逼准则.,nnyz利利用用夹夹逼逼准准则则求求极极限限关关键键:构构造造与与且且其其极极限限易易求求.3)2023-1-88例例3 3).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又,1 22111lim1limnnnnn ,1 由夹逼定理得由夹逼定理得.1)12111(lim222 nnnnn2023-1-89AC)20(,xxAOBO 圆圆心心角角设设单单位位圆圆

5、sin,(),tan.BDxABOA xxACx 于于是是有有弧弧度度值值xoBD.ACO，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 二、两个重要极限二、两个重要极限0(:)0注型注型0sinlim1xxx 1.OABOABOACSSS 扇扇由由得得1122OA BDAB OAOA AC 1 12 2证证sin()sinxxxx -0 x 只讨论情形只讨论情形ACxoBD,tansinxxx ,1sincos xxx即即cos x 而而212sin2x 212()2x212x,1coslim0 xx0lim11,x 且且0sinlim1.

6、xxx 2sin1cos1,2xxxx 20lim(1)12xx又又注注:1.(1)0sintan2xxxx 时，已证时，已证sintan,2xxxx(2)02x 时，时，sintanxxx 即，即，(3)0sinsin00tan0tanxxx 时时，sin,xxxR 2.(图图!)3.,0limcos1xx 0limsin0 xx(2sin)xxx由 有：由 有：0sin()tan()2xxxx ，sintanxxx 亦亦即即2023-1-811例例40sinlim1xxx 利用求极限时抓住特征：利用求极限时抓住特征：0(1)0型型0sin(2)lim=1=10tanlimxxx 00sin

7、tanlim1limxxaxaxaxax 0sintansintan(0)xxxxaxaxaxa 时时，故有：故有：0sin1lim()1cosxxxx0(0型)型)2023-1-812等价无穷小替换等价无穷小替换定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理).limlim,lim,则则存存在在且且设设证证 lim)lim(limlimlim.lim 2023-1-813常用等价无穷小常用等价无穷小:22211cos2sin 2()222xxxx0arcsinlimxxx 20,sin,arcsin,tan,arctan,1ln(1),1,1cos2xxaxaxaxaxaxaxaxaxxxe

8、xxx 当当时时(待证待证)0(0型)型)0arcsinlim1sin(arcsin)xxx 2023-1-814例例5 5.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 22012lim12xxx 原式原式0(0型)型)例例6 620tan 2lim1cosxxx 202(2)lim12xxx.8 不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中对于代数和中的各无穷小不的各无穷小不能分别替换能分别替换.注意注意0(0型)型)用等价无穷用等价无穷小替换定理小替换定理

9、:2023-1-815例例7 7.2sinsintanlim30 xxxx 求求错错解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式.0 解解33012lim8xxx.161 0(0型)型)30tan(1cos)lim(2)xxxx 原式原式2023-1-816例例8 8.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解解0tan51coslimsin3sin3xxxxx 原原式式2001552limlim333xxxxxx 0(0型)型)013sin2sinlim()1xxxxx 例例9 90sin1lim(23sin)2xxxxx 0(0型)型)2023-

10、1-8171lim(1)xxex ,1xt 令令101lim(1)lim(1)xtxttx.e exxx 10)1(lim2.(:1)注型注型数列情形已证数列情形已证,可推广至可推广至x+及及x(P55)(1)1 型型101(2)lim(1)lim(1)e 利用该重要极限解题时抓住特征：利用该重要极限解题时抓住特征：2023-1-818例例1111.)11(limxxx 求求解解一般地：一般地：lim 1xxkx lim1kxkxkx例例10102lim(1).nnn 求求解解(1 型)型)(1 型)型)(1 型)型)不要仿照不要仿照教材解题教材解题步骤步骤勿作变换勿作变换!1lim(1)2n

11、n原式原式2n1lim(1)xx 原原式式x=e k=e2=e1212023-1-819例例121223lim()2xxxx 求求解解 原式原式1lim(1)2xx 43()2xx 例例1313lim()xxxaxa 求求2x(1 型)型)(1 型)型)2=e2解解 原式原式1lim(1)x()axaxa 2x aa 2a=e2a2xaa 2023-1-8200lim 12xxx 例例1414例例151510lim(12)xxx原式原式0lim(1(2)xx 3sec2lim(1cos)xxx 解解解解3cos2lim(1cos)xxx 原式原式1cos330lim(1)x tttte(1 型

12、)型)(1 型)型)12x 2=e22023-1-821本金本金A0，年利率，年利率r，连续复利，连续复利本利和作为新本金本利和作为新本金,重复计算利息重复计算利息),t年后本利和年后本利和A?1.先不考虑连续复利，只每年末结息先不考虑连续复利，只每年末结息:满一年本利和满一年本利和满两年本利和满两年本利和满满t年本利和年本利和2.每年分每年分n次记息次记息,年利率仍为年利率仍为r,则每次结算利率则每次结算利率3.最后，连续复利最后，连续复利:三、连续复利问题三、连续复利问题(重要极限重要极限2的一个经济应用的一个经济应用)(利息随时记入本金利息随时记入本金,000(1)AA rAr 2000

13、(1)(1)(1)ArAr rAr rn0(1).ntrAn 0(1)tAr 0lim(1)ntnrAAn 0lim(1)rtnrnrAn0rtA et年共结算年共结算nt次，故满次，故满t年本利和年本利和:22这种将利息计入本金重复计算复利的方法称为连这种将利息计入本金重复计算复利的方法称为连续复利。类似于连续复利问题的数学模型在人口续复利。类似于连续复利问题的数学模型在人口增长、林木增长、细菌繁殖、物体冷却、放射性增长、林木增长、细菌繁殖、物体冷却、放射性元素的衰变等许多实际问题中都会遇到，因此有元素的衰变等许多实际问题中都会遇到，因此有很重要的实际意义。很重要的实际意义。例例16 一机器

14、原价值一机器原价值100000元，不断变旧，每年元，不断变旧，每年减少价值，求其减少价值，求其10年后的价值年后的价值.100000(1-0.9)10未考虑连续复利未考虑连续复利,不科学不科学.中学做法中学做法:解解 A0=100000,r=0.9%,t=10.故故10年后机器价值年后机器价值0.9%1000.0910000010000010000091393.48()1.09417rtAA eee元元2023-1-823 0ln 1limxxx 10limln 1xxx 10limln1xxx 10limln1xxx lne (补证补证)ln(1),1 xxxex 0 x(当当时时)ln(1

15、)xx 0lim1xxxe 0ln(1)1limxttett 10limln(1)tttln1e 2023-1-824证明:当0 x时,11nxxn1证证:lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0时当 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb2023-1-825小结1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则;单调有界准则单调有界准则.;1sinlim10 某某过过程程.)1(lim210e 某过程某过程,为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设 3.经济应用经济应用连续复利连续复利,年利率年利率r,本金本金A0,t

16、年后本利和年后本利和A=0rtA e2023-1-826解答解答 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e思考题思考题求极限求极限 xxxx193lim 2023-1-827作业：完成完成 P6914(1);16(3)(4)(8)(9)(11)(13)(15)(16);17(5)(6)(10).11 做在书上做在书上.故极限存在，备用题备用题 1.1.设)(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x,且求.limnnx解：解：设Axnnlim则由递推公式有)(21AaAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1数列单调递减有下界，,01x故axnnlim利用极限存在准则,0nx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2023-1-8290010ln1limln()lnlim()lnlimlim ln11xetteettxxeteexettteettee例例2023-1-830下课