导数的概念

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1、当x变化时, f (x)=y =x0(3)取极限，得导数f(x)=导数的概念1、导数的概念：对于函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量Ax,那么函数y相应的有增量 =；比值 叫做函数y=f(x)在x0到xO+Ax之间的，y当厶xO时，有极限，就说y=f(x)在点xO处，并把这个极限叫做f(x)在x点xO的导数(瞬时变化率)，记作或 ，f (x)便是x的一个函数，称之为f(x)的导函数(简称导数)，记f(x+x)f(x)(2)求平均变化率2、用定义求导数的一般步骤：(1)求函数的增量Ay=导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数，就是曲线y=(x)在点P(xo, y0)处的切线的斜率

2、.由此，可以利 用导数求曲线的切线方程.具体求法分两步：(1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数，即曲线y=f(x)在点P(xo, y)处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程y-y二广(x )(x-x )0 0 0 常见函数的导数及运算法则(1) 八个基本求导公式(C) =；(x) =； (nUQ)(sin x) ，(cos x)(ex) ，(ax)(ln x)，(lg ax)(2) 导数的四则运算(uv) =, (v)=(v 工 0)导数的应用(要求：明白解题步骤)函数的单调性设函数y=f(x)在某个区间内可导，若f/(X) 0,则f(x)为增函数；若f/(X

3、) 0，解集在定义域内的部分为区间解不等式f(x) 0,函数f (x)二x3 - ax在1,+s)上是单调函数.贝I实数a的取值范围为3.若 f (x)二 ax3 + bx2 + cx + d(a 0)在 R 上是增函数，则()(A) b2 -4ac 0(B) b 0,c 0 (C) b = 0,c 0 (D) b2 -3ac 0四. 极值1、函数y = 1 + 3x - x3的极大值，极小值分别是2函数f(%) = x3 + ax2 + 3x- 9，已知f (x)在x 3时取得极值，则a =()(A) 2(B) 3(C) 4(D) 53.函数f(x)=x3-ax2-bx+a2,在x=1时有极

4、值10,则a、b的值为 ()口 A.a=3,b=3,或 a=-4,b=11口B.a二4,b=11口口 C.a=3,b=3口D.以上都不正确口f (x)=匕4. (2009辽宁卷文)若函数% +1在% =1处取极值，则a =五. 最值1. (06浙江文)f (x) = %3 -3%2 + 2在区间一1,1上的最大值是()(A)-2(B)0(C)2(D)45 (07江苏)已知函数f (%) = %3 -12 % + 8在区间-3,3上的最大值与最小值分别为M, m, 贝 M m =6. (2008 安徽文)设函数f (%) = 2% + - -1(% 0),则 f (%)()%A.有最大值 B.有

5、最小值C.是增函数D.是减函数六. 解答题(重点 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值。1.已知函数f (%) = %3 + a%2 + b% + c,过曲线y = f (%)上的点P(1,f (1)的切线方程为y=3x+1(I) 若函数f (%)在% = -2处有极值，求f (%)的表达式；(II) 在(I)的条件下，求函数y = f (%)在3, 1上的最大值；(ill)若函数y = f (%)在区间2, 1上单调递增，求实数b的取值范围2.已知函数f(x)=x3 + 3x2+ax+b在x=(1, f(1)处的切线与直线12xy1=0平行.(1) 求实数a的值；(2) 求f(x)的单调递减区间；(3) 若f(x)在区间2, 2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值. 题型二：利用导数研究不等式恒成立。(天津卷 21)已知函数f (%) = %4 + a%3 + 2%2 + b ( % e R )，其中 a,b e R .(I) 当a = -10时，讨论函数f (%)的单调性；(II) 若函数f (%)仅在% = 0处有极值，求a的取值范围；(III)若对于任意的a e -2,2，不等式f (%) 1在-1,1上恒成立，求b的取值范围.