导数的概念

当x变化时, f (x)=y =x0(3)取极限，得导数f(x)=导数的概念1、导数的概念：对于函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量Ax,那么函数y相应的有增量 =；比值 叫做函数y=f(x)在x0到xO+Ax之间的，y当厶xO时，有极限，就说y=f(x)在点xO处，并把这个极限叫做f(x)在x点xO的导数(瞬时变化率)，记作或 ，f (x)便是x的一个函数，称之为f(x)的导函数(简称导数)，记f(x+x)f(x)(2)求平均变化率2、用定义求导数的一般步骤：(1)求函数的增量Ay=导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数，就是曲线y=(x)在点P(xo, y0)处的切线的斜率.由此，可以利 用导数求曲线的切线方程.具体求法分两步：(1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数，即曲线y=f(x)在点P(xo, y°)处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程y-y二广(x )(x-x )0 0 0 常见函数的导数及运算法则(1) 八个基本求导公式(C)' =；(x")' =； (nUQ)(sin x)' ，(cos x)'(ex)' ，(ax)'(ln x)'，(l°g ax)'(2) 导数的四则运算(uv)' =, (v)=(v 工 0)导数的应用(要求：明白解题步骤)函数的单调性设函数y=f(x)在某个区间内可导，若f/(X)> 0,则f(x)为增函数；若f/(X)< 0,则f(x)为减函数。求可导函数单调区间的一般步骤和方法。分析y = f (x)的定义域； 求导数y' = f'(x)解不等式f'(x) > 0，解集在定义域内的部分为区间解不等式f'(x) < 0，解集在定义域内的部分为区间例如：求函数y = x +1的减区间x可导函数的极值(采用表格或画函数图象)极值的概念设函数f(x)在点x0附近有定义求可导函数f(x)极值的步骤 求导数f'(x)； 求方程f'(x)=0的； 检验f'(x)在方程f'( x) =0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负(先增后减)，那么函数y= f(x)在这个根处取得；如果在根的左侧附近为负，右侧为正(先减后增)，那么函数y= f在这个根处取得函数的最大值与最小值设y= f(x)是定义在区间a ,b 上的函数,y= f(x)在(a ,b )内有导数，则函数y= f(x)在a ,b 上必有最大值与最小值；但在开区间内 未必有最大值与最小值.(2)求最值可分两步进行： 求y= f (x)在(a,b )内的值； 将y= f(x)的各值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 若函数y= f (x)在a ,b 上单调递增，则f (a)为函数的，f (b)为函数的；若函数y= f (x)在a ,b 上单调递减，则f (a)为函数的，f (b)为函数的.4.求过函数上一点的切线的斜率或方程例题1：分析函数y二x3 - 3x (单调性，极值，最值，图象)例题2：函数y二X3 - 3ax在(-©-1)上为增函数，在(-1,1)上为减函数，求实数a例题3：求证方程x - lgx = 1在区间(2,3)内有且仅有一个实根.(分析解本题要用的知识点) 一.求值1. f'(x)是 f (x) =1 x3 + 2x +1 的导函数，则 f'(1)的值是2. f (x)=ax3+3x2+2，f'(-1) = 4，则 a=3. 已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(x)=3x2+2xf'，则f'(5) =.口4. (2008 海南、宁夏文)设 f (x) = xIn x，若 f '(x )二 2，则 x 二()0 0cln2I cA. e2 B. e C.D. ln22二.切线1(1)曲线y = x3 + x +1在点(1,3)处的切线方程是；已知函数f (x) = x3 3x，过点P(2,-6)作曲线y = f (x)的切线的方程2 . (1)曲线f (x)二x3在点A处的切线的斜率为3,则该曲线在A点处的切线方程为(2)过曲线f (x)二x4 - x上点P处的切线平行于直线3x- y = 0，则点P的坐标为3. (09全国卷II理)曲线y = 2-1 在点处的切线方程为 三单调性A.B. x + y - 2 = 0C x + 4 y 5 = 0 d x 4 y 5 = 01. 设f(x)=x2(2-x)，则f(x)的单调增区间是()口2. (1)若函数f(x)=x3-ax2+1在(0, 2)内单调递减，则实数a的取值范围为(2)设a > 0,函数f (x)二x3 - ax在1,+s)上是单调函数.贝I实数a的取值范围为3.若 f (x)二 ax3 + bx2 + cx + d(a > 0)在 R 上是增函数，则()(A) b2 -4ac > 0(B) b > 0,c > 0 (C) b = 0,c > 0 (D) b2 -3ac < 0四. 极值1、函数y = 1 + 3x - x3的极大值，极小值分别是2函数f(%) = x3 + ax2 + 3x- 9，已知f (x)在x 3时取得极值，则a =()(A) 2(B) 3(C) 4(D) 53.函数f(x)=x3-ax2-bx+a2,在x=1时有极值10,则a、b的值为 ()口 A.a=3,b=3,或 a=-4,b=11口B.a二4,b=11口口 C.a=3,b=3口D.以上都不正确口f (x)=匕4. (2009辽宁卷文)若函数% +1在% =1处取极值，则a =五. 最值1. (06浙江文)f (x) = %3 -3%2 + 2在区间一1,1上的最大值是()(A)-2(B)0(C)2(D)45 (07江苏)已知函数f (%) = %3 -12 % + 8在区间-3,3上的最大值与最小值分别为M, m, 贝 M m =6. (2008 安徽文)设函数f (%) = 2% + - -1(% < 0),则 f (%)()%A.有最大值 B.有最小值C.是增函数D.是减函数六. 解答题(重点 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值。1.已知函数f (%) = %3 + a%2 + b% + c,过曲线y = f (%)上的点P(1,f (1)的切线方程为y=3x+1(I) 若函数f (%)在% = -2处有极值，求f (%)的表达式；(II) 在(I)的条件下，求函数y = f (%)在3, 1上的最大值；(ill)若函数y = f (%)在区间2, 1上单调递增，求实数b的取值范围2.已知函数f(x)=x3 + 3x2+ax+b在x=(1, f(1)处的切线与直线12xy1=0平行.(1) 求实数a的值；(2) 求f(x)的单调递减区间；(3) 若f(x)在区间2, 2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值. 题型二：利用导数研究不等式恒成立。(天津卷 21)已知函数f (%) = %4 + a%3 + 2%2 + b ( % e R )，其中 a,b e R .(I) 当a = -10时，讨论函数f (%)的单调性；(II) 若函数f (%)仅在% = 0处有极值，求a的取值范围；(III)若对于任意的a e -2,2，不等式f (%)< 1在-1,1上恒成立，求b的取值范围.