制作南宁市第十四中学高中部数学教研组

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1、制作制作:南宁市第十四中学高中部数学教研组南宁市第十四中学高中部数学教研组 引言：引言：素质教育呼唤应用意识，近几年来的高考试题增强了对密切素质教育呼唤应用意识，近几年来的高考试题增强了对密切联系生产和生活实际的应用性问题的考查力度，突出对能力的考联系生产和生活实际的应用性问题的考查力度，突出对能力的考查查重视应用，培养应用数学的意识，培养分析问题的解决问重视应用，培养应用数学的意识，培养分析问题的解决问题的能力。题的能力。分析近几年高考应用性问题不难得出，试题从实际出发提供分析近几年高考应用性问题不难得出，试题从实际出发提供公平背景，设问新颖、灵活，而解决这些问题所涉及的数学知识、公平背景，

2、设问新颖、灵活，而解决这些问题所涉及的数学知识、数学思想和方法又都是高中数学大纲所要求掌握的概念、公式、数学思想和方法又都是高中数学大纲所要求掌握的概念、公式、定理和法则等基础知识和基本方法。定理和法则等基础知识和基本方法。解决应用性问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：解决应用性问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：实际问题实际问题 分析、联系、抽象、转化分析、联系、抽象、转化建立数学模型（列数学关系式）建立数学模型（列数学关系式）数学方法数学方法数学结果数学结果实际结果实际结果回答问题回答问题解决应用性问题的关键是读题解决应用性问题的关键是读题懂题懂题建立数学关系式。建立数学关系式

3、。例例1、如图，有一块半径为、如图，有一块半径为R的半圆形钢板，计的半圆形钢板，计划剪成等腰梯形划剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底的形状，它的下底AB是是 O的直径，上底的直径，上底CD的端点在圆周上的端点在圆周上.写出这个梯形周写出这个梯形周长长y和腰长和腰长x的函数式，并求出它的定义域的函数式，并求出它的定义域.分析分析：周长（：周长（y）=2AD+CD =2x+CD关键是如何把关键是如何把CD用用x来表示。来表示。而而CD=EF=AB-2AE=2R-2AEABCDOEF要求要求AE，则在三角形则在三角形AED中考查。中考查。ADB是直角三角形，是直角三角形，DE是斜边是的是斜边是的高

4、高RxAERAEAD2222从而有从而有y=2x+（2R-）即即y=-2x+2R （0 xR）Rx2Rx2 例例2、某种商品进货单价为、某种商品进货单价为40元，按单价每个元，按单价每个50元售出，能元售出，能卖出卖出50个个.如果零售价在如果零售价在50元的基础上每上涨元的基础上每上涨1元，其销售量就元，其销售量就减少一个，问零售价上涨到多少元时，这批货物能取得最高利减少一个，问零售价上涨到多少元时，这批货物能取得最高利润润.分析分析：利润利润=（零售价（零售价进货单价）销售量进货单价）销售量零售价零售价5051 5253.50+x销售量销售量5049 4847.50-x故有：设利润为故有：

5、设利润为 y元，零售价上涨元，零售价上涨x元元 y=（50+x-40）（）（50-x）（其中其中 0 x50）y=-x2+40 x+500900202xy时等号成立当且仅当20900 x即零售价上涨到零售价上涨到70元时，这批货物能取得最高利润元时，这批货物能取得最高利润.最高利润为最高利润为900元元.例例 3、某乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、某乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业，乙两个企业，1997年该乡从甲企业获得利润年该乡从甲企业获得利润320万元，从乙企业获万元，从乙企业获得利润得利润720万元。以后每年上交的利润是：甲企业以万元。以后每年上

6、交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的增，而乙企业则为上一年利润的 。根据测算，该乡从两个企业获。根据测算，该乡从两个企业获得的利润达到得的利润达到2000万元可以解决温饱问题，达到万元可以解决温饱问题，达到8100万元可以达到万元可以达到小康水平小康水平.（1）若以）若以1997年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？的一年是那一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？（2）试估算）试估算2005年底该乡能否达到小康水平？为什么？年底该乡能否达到小康

7、水平？为什么？32分析分析：本题是考虑该乡从两个企业中获得利润问题。本题是考虑该乡从两个企业中获得利润问题。该乡从两个企业中获得的总利润该乡从两个企业中获得的总利润=甲上缴利润甲上缴利润+乙上缴利润乙上缴利润年份年份 97（n=1）98（n=2）99（n=3）2000（n=4）（第（第n年）年）甲企业甲企业 乙企业乙企业 总利润总利润320720720320 5.13203272025.132023272035.132033272015.1320n132720n略解略解：（1）设第设第n年该乡从两企业获得总利润为年该乡从两企业获得总利润为y万元。万元。y=+15.1320n132720n960

8、3272023320211nn当且仅当当且仅当n=2时，即时，即98年总利润最少为年总利润最少为y=960万元。万元。故还需筹集故还需筹集2000-960=1040万元才能解决温饱问题。万元才能解决温饱问题。（2）2005年时，年时，n=9此时此时y=8201.25+28.985.13208327208200即即2005年底该乡能达到小康水平。年底该乡能达到小康水平。例例4、某县一中计划把一块边长为某县一中计划把一块边长为20米的等边三角形米的等边三角形ABC的的边角地辟为植物新品种实验基地，图中边角地辟为植物新品种实验基地，图中DE需把基地分成面积相需把基地分成面积相等的两部分，等的两部分，

9、D在在AB上，上，E在在AC上。上。（1）设设AD=x(x10)，ED=y，试用试用x表示表示y的函数关系式；的函数关系式；（2）如果如果DE是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短，最短，DE的位置应该在哪里？如果的位置应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它是参观线路，则希望它最长，最长，DE的位置又应该在哪里？说明现由。的位置又应该在哪里？说明现由。分析分析要求y与x的函数关系式，就是找出DE与AD的等量关系。（1）三角形）三角形ADE中角中角A为为600 故由余弦定理可得故由余弦定理可得y、x、AE三者关系。三者关系。ABCADESS21（2

10、）（II）若若DE做为输水管道，则需求做为输水管道，则需求y的最小值。的最小值。等号成立；等号成立；,210104,210200400200104242242时即当且仅当xxxxxy,)20(432160sin21,212AExSSABCADE;,200由余弦定理得中在ADExAE2010200104242xxxy解：（解：（I）ABC的边长为的边长为20米，米，D在在AB上，则上，则10 x20。则则200104,400,10042ttytx,400100,104)(214tttttf任取若若DE做为参观线路，须求做为参观线路，须求y的最大值。的最大值。令令设设当当100t1t2200时，时

11、，104t1t24104,t1t2-41040，又又t1-t20,f(t1)f(t2)，则则f(t)在在100，200上是减函数。上是减函数。214212124214121104)()104()104()()(t tt ttttttttftf210 x故若故若DE是输水管道的位置，则需使是输水管道的位置，则需使若若DE是参观线路，则需使是参观线路，则需使x=10或或20310300 naxy210 x210300miny当当t=200，即即当当t=100或或t=400即即x=10或或20时，时，当当200t1t2400时，时，4104t1t20，又又t1-t20,f(t1)AC即甲航空线较短。

12、即甲航空线较短。具体解答过程同具体解答过程同学们课后整理。学们课后整理。例例6、荆州市某电脑公司在市区和洪湖各有一分公司，市区分公、荆州市某电脑公司在市区和洪湖各有一分公司，市区分公司现有电脑司现有电脑6台，洪湖分公司有同一型号电脑台，洪湖分公司有同一型号电脑12台，宜昌某单位台，宜昌某单位向该公司购买该型号电脑向该公司购买该型号电脑10台，荆门某单位向该公司购买该型台，荆门某单位向该公司购买该型号电脑号电脑8台，已知市区运往宜昌和荆门每台电脑的运费分别是台，已知市区运往宜昌和荆门每台电脑的运费分别是40元和元和30元，洪湖运往宜昌和荆门每台电脑的运费分别是元，洪湖运往宜昌和荆门每台电脑的运费

13、分别是80元和元和50元元（1）设从洪湖调运）设从洪湖调运x台至宜昌，该公司运往宜昌和荆门的总运台至宜昌，该公司运往宜昌和荆门的总运费为费为y元，求元，求y关于关于x的函数关系式；的函数关系式；（2）若总运费不超过）若总运费不超过1000元，问能有几种调运方案？元，问能有几种调运方案？（3）求总运费最低的调运方案及最低运费求总运费最低的调运方案及最低运费荆州洪湖宜昌荆门有6台有12台（要10台）（要8台）40元元/台台30元元/台台80元元/台台50元元/台台公司购买单位数量 运费荆州洪湖宜昌宜昌荆门荆门xX-410-x12-x80 x30（x-4）40（10-x）50（12-x）注：注：x取

14、值取值范围范围是什是什 么？么？Nxx104略解：（略解：（1）设从洪湖调运）设从洪湖调运x台至宜昌，则由题意可得：台至宜昌，则由题意可得：y=40（10-x）+30（x-4）+80 x+50（12-x）得：得：y=20 x+880104 xNx（2）即即 得：得：而而 故故X=4、5、6 所以有三种调配方案总运费不超过所以有三种调配方案总运费不超过1000元。元。1000y100088020 x6x104 x（3）显然）显然x取最小时，取最小时，y值最小。值最小。即即x=4时，时，y最小为最小为960元。元。例例7、GDP（Gross Domestic Product）称为国内生产总值称为国

15、内生产总值.我我国这四年国这四年GDP值如下表：值如下表：年年 1997 1998 1999 2000GDP（万亿元）万亿元）7.4 7.8 8.2 8.9（1）在右边坐标系画出表示这四年我国）在右边坐标系画出表示这四年我国GDP的增长曲线，并根的增长曲线，并根据我国近四年据我国近四年GDP增长规律，由所绘曲线估计增长规律，由所绘曲线估计2001年我国年我国GDP值值可能在什么范围内；可能在什么范围内；（2）2000年我国人均年我国人均GDP约为约为900美元，如果按美元，如果按7.5的年平均增的年平均增长率计，经过长率计，经过10年，在年，在2010年时，可否翻一翻达到人均年时，可否翻一翻达

16、到人均1800美元美元水平？试计算你的结果水平？试计算你的结果.（要求使用二项式定理进行估值计算要求使用二项式定理进行估值计算）979899000178910年年GDP解：解：（1）由图，若按）由图，若按19971999年的规律增长，年的规律增长，2001年将达年将达9.3万亿元；万亿元；答：答：10年后可以达到翻一翻的目标年后可以达到翻一翻的目标.900(1+0.75+0.25)1800.900（17.5%）10 900(10.750.253)(2)按按7.5的年均增长率，经的年均增长率，经10年后，年后，人均人均GDP值为值为 2001年我国年我国GDP值值y的范围大致为：的范围大致为：9

17、.3至至9.6（万亿元）（万亿元）若按若按19992000年规律增长，年规律增长，2001年将达年将达9.6万亿元万亿元.例例8、三台机器人位于一直线上（如图所示），它们所生产的、三台机器人位于一直线上（如图所示），它们所生产的零件逐一送到一个检验台，经检验合格后才能送到下一道工序零件逐一送到一个检验台，经检验合格后才能送到下一道工序继续加工继续加工.已知机器人已知机器人M1的工作效率为机器人的工作效率为机器人M2工作效率的工作效率的2倍，倍，机器人机器人M3的工作效率为机器人的工作效率为机器人M2工作效率的工作效率的3倍，问检验台应倍，问检验台应放在何处最好，即各机器人到检验台所走距离之和最

18、小？放在何处最好，即各机器人到检验台所走距离之和最小？分析分析：各机器人到检验台所走距离之和各机器人到检验台所走距离之和=M1所走路程所走路程+M2所走路程所走路程+M3所走路程所走路程如何求三者所走路程？如何求三者所走路程？设单位时间内设单位时间内M M2 2完成完成N N个零件；则个零件；则M M1 1、M M3 3分别完成分别完成2 2N N、3N3N个。再设检验台在数轴上坐标为个。再设检验台在数轴上坐标为x x 。332212xxxny同学们课后去完成该题解答同学们课后去完成该题解答 例例9、渔场中鱼群的最大养殖量为、渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群由足够的生吨，为保证鱼群由足

19、够的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当空闲量长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当空闲量.已知鱼群的年增长量已知鱼群的年增长量y吨和实际养鱼量吨和实际养鱼量x吨与空闲率的乘积成正比，吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为比例系数为k,(k0)（1）写出关于的函数写出关于的函数y关于关于x关系式，并指出这个函数的定义域；关系式，并指出这个函数的定义域；（2）求鱼群年增长量的最大值；求鱼群年增长量的最大值；（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围的取值范围.分析：（分析：（1）由题意可得）由题意可得y=kx（空闲率）空闲率）如何求

20、空闲率？如何求空闲率？mx1得得y=kxmx1如何求定义域？如何求定义域？mx 0（2）y=kxmx1kxxmk2422kmmxmk故故 时，时，y最大值为最大值为2mx 4km （3）当鱼群的年增长量达到最大值时，渔场中鱼群当鱼群的年增长量达到最大值时，渔场中鱼群的养殖总量一定小于渔场中鱼群的最大养殖量的养殖总量一定小于渔场中鱼群的最大养殖量m吨。吨。即：即：myx00420kmkmm且得20k 例例10、海岛、海岛O上有一座海拔上有一座海拔1km的小山，山顶没有一观察站的小山，山顶没有一观察站A，上午上午11时测得一轮船在岛的北偏东时测得一轮船在岛的北偏东600的的C处，俯角为处，俯角为3

21、00，11时时10分，又测得该船在岛的北偏西分，又测得该船在岛的北偏西600的的B处，俯角为处，俯角为600。（1）求该船的速度；）求该船的速度；（2）若此船以不变的速度继续前进，则它何时到达岛的正西方向？）若此船以不变的速度继续前进，则它何时到达岛的正西方向？此时轮船所在点此时轮船所在点E离海岛离海岛O的距离是多少千米？的距离是多少千米？分析分析（1）时间为）时间为10分，关键是求分，关键是求CB距离。距离。如何求如何求CB？在三角形在三角形BCO中考察。中考察。角角BOC=1200如何求如何求OB、OC？在在 AOB、AOC中考察。中考察。求得：求得：3,33OCOBhkm/392速度为3

22、39BC故由余弦定理故由余弦定理ABCNoEOCBE分析（分析（2）考察三角形）考察三角形BOE。如何求如何求BE、OE？03033BOCOB且261352cos222BCOBOCOBBCOBCBOC中由余弦定理得在26393cos1sin2OBCOBC26393sinsinOBCOBE1313sinsinEOBOBEOEB639,23,BEOEBOE由正弦定理可得中在所以从所以从B到到E所要时间为所要时间为5分钟，即分钟，即11点点15分到达分到达E。此时此时E离小岛距离为离小岛距离为1。5km。小结：小结：近年来高考应用题所涉及的数学知识无外乎函近年来高考应用题所涉及的数学知识无外乎函数、

23、方程、不等式、数列、立体几何等到高中数学数、方程、不等式、数列、立体几何等到高中数学中最基本、最重要的内容，其中尤其以函数应用性中最基本、最重要的内容，其中尤其以函数应用性问题最多。这类问题题源丰富，内容深刻，解法灵问题最多。这类问题题源丰富，内容深刻，解法灵活多样，且较易与不等式、数列、几何等内容相关活多样，且较易与不等式、数列、几何等内容相关联，是历年高考应用问题命题的一个热点。联，是历年高考应用问题命题的一个热点。我们应该留心观察周围的现实世界并经常读报，我们应该留心观察周围的现实世界并经常读报，以努力拓宽自已的知识面，对于一些常识性的概念以努力拓宽自已的知识面，对于一些常识性的概念如如“复利复利”，“百分点百分点”、“本息和本息和”、“利润利润率率”、“甲甲A联赛场数联赛场数”等，都应成为我们熟知的等，都应成为我们熟知的词语。此外，环境、能源、人口、营养保健、知识词语。此外，环境、能源、人口、营养保健、知识经济，科技生产生活等方面的问题我们要予以高度经济，科技生产生活等方面的问题我们要予以高度重视。重视。欢迎欢迎指导