：空间距离的各种计算

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1、高中数学立体几何 空间距离1.两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.2.点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.3.直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离.4.两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.题型一：两条异面直线间的距离【例1】

2、如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F分别是AB、CD的中点.例1题图(1)求证：EF是AB和CD的公垂线；(2)求AB和CD间的距离；【规范解答】 (1)证明：连结AF，BF，由已知可得AF=BF.又因为AE=BE，所以FEAB交AB于E.同理EFDC交DC于点F.所以EF是AB和CD的公垂线.(2)在RtBEF中，BF=,BE=,所以EF2=BF2-BE2=2，即EF=.例2题图由(1)知EF是AB、CD的公垂线段，所以AB和CD间的距离为.【例2】 如图,正四面体ABCD的棱长为1，求异面直线AB、CD之间的距离.设AB中点为E，连CE、ED.AC=

3、BC,AE=EB.CDAB.同理DEAB.AB平面CED.设CD的中点为F,连EF，则ABEF.同理可证CDEF.EF是异面直线AB、CD的距离.CE=,CF=FD=,EFC=90,EF=.AB、CD的距离是.【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法：（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.例3题图题型二：两条异面直线间的距离【例3】 如图(1),正四面体ABCD的棱长为1，求：A到平面BCD的

4、距离；过A作AO平面BCD于O，连BO并延长与CD相交于E，连AE.AB=AC=AD,OB=OC=OD.O是BCD的外心.又BDBCCD，O是BCD的中心，BO=BE=.又AB1，且AOB=90,AO=.A到平面BCD的距离是.【例4】 在梯形ABCD中,ADBC,ABC=,AB=a,AD=3a且sinADC=,又PA平面ABCD,PA=a,求：(1)二面角PCDA的大小; (2)点A到平面PBC的距离.【规范解答】 (1)作AFDC于F,连结PF,AP平面ABCD,AFDC,PFDC,PFA就是二面角PCDA的平面角.在ADF中,AFD=90,ADF=arcsin,AD=3a,AF=,在Rt

5、PAF中tanPFA=,PFA=arc tan.(2)PA平面ABCD,PABC,又BCAB,BC平面PAB,作AHPB,则BCAH,AH平面PBC,PAAB,PA=AB=a,PB=a,AH=.【例5】 如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.（）求BF的长；（）求点C到平面AEC1F的距离.解法1：（）过E作EH/BC交CC1于H，则CH=BE=1，EH/AD，且EH=AD.AFEC1，FAD=C1EH. RtADFRtEHC1.DF=C1H=2. （）延长C1E与CB交于G，连AG，则平面AEC1F与平面AB

6、CD相交于AG.过C作CMAG，垂足为M，连C1M，由三垂线定理可知AGC1M.由于AG面C1MC，且AG面AEC1F，所以平面AEC1F面C1MC.在RtC1CM中，作CQMC1，垂足为Q，则CQ的长即为C到面AEC1F的距离.解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）.AEC1F为平行四边形，（II）设为面AEC1F的法向量，的夹角为a，则C到平面AEC1F的距离为【例6】 正三棱柱的底面边长为8，对角线，D是AC的中点。BACD（1）求点到直线AC的距离.（

7、2）求直线到平面的距离解：（1）连结BD，由三垂线定理可得：，所以就是点到直线AC的距离。在中（2）因为AC与平面BD交于的中点，设，则/DE，所以/平面，所以到平面BD的距离等于点到平面BD的距离，等于点到平面BD的距离，也就等于三棱锥的高， ，即直线到平面BD的距离是【解后归纳】 求空间距离注意三点：1常规遵循一作二证三计算的步骤；2多用转化的思想求线面和面面距离；3体积法是一种很好的求空间距离的方法【范例4】如图，在长方体AC1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.（1）证明：D1EA1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1

8、ECD的大小为.解析：法1（1）AE面AA1DD1，A1DAD1，A1DD1E（2）设点E到面ACD1的距离为h，在ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故（3）过D作DHCE于H，连D1H、DE，则D1HCE， DHD1为二面角D1ECD的平面角. 设AE=x，则BE=2x法2：以D为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0), C(0，2，0).（1）（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离

9、为（3）设平面D1EC的法向量，由 令b=1, c=2, a=2x，依题意（不合，舍去）， .AE=时，二面角D1ECD的大小为.对应训练 分阶提升一、基础夯实1.把边长为a的正ABC沿高线AD折成60的二面角，则点A到BC的距离是 ( )A.a B. C. D.2.ABC中，AB=9，AC=15，BAC=120.ABC所在平面外一点P到三个顶点A、B、C的距离都是14，那么点P到平面的距离为 ( )A.7 B.9 C.11 D.133.从平面外一点P向引两条斜线PA,PB.A,B为斜足,它们与所成角的差是45,它们在内的射影长分别是2cm和12cm ,则P到的距离是 ( )A.4cm B.3

10、cm或4cm C.6cm D.4cm或6cm4.空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为 ( )A. B. C. D.a5.在四面体PABC中，PA、PB、PC两两垂直.M是面ABC内一点，且点M到三个面PAB、PBC、PCA的距离分别为2、3、6，则点M到顶点P的距离是 ( )A.7 B.8 C.9 D.106.如图，将锐角为60，边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线折成60的二面角，则AC与BD的距离是 ( )A. B. C. D. 第6题图第7题图7.如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD底面ABCD，PD=A

11、D1，设点C到平面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为d2，则有 ( )A.1d1d2 B.d1d21C.d11d2 D.d2d118.如图所示，在平面的同侧有三点A、B、C，ABC的重心为G.如果A、B、C、G到平面的距离分别为a、b、c、d，那么a+b+c等于 ( )A.2d B.3d C.4d D.以上都不对第8题图第9题图9.如图，菱形ABCD边长为a，A=60，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点且，沿EH和FG把菱形的两锐角折起，使A、C重合，这时点A到平面EFGH的距离是 ( )A. B. C. D.二、思维激活10.二面角-MN-等于60，平面内一点A到平面

12、的距离AB的长为4，则点B到的距离为 . 11.在60的二面角l中，A,ACl于C，B，BDl于D，又AC=BD=a,CD=a，则A、B两点间距离为 . 12.设平面外两点A和B到平面的距离分别为4cm和1cm，AB与平面所成的角是60，则线段AB的长是 .13.在直角坐标系中,已知A(3,2),B(-3,-2)沿y轴把直角坐标系折成平面角为的二面角AOyB后,AOB=90，则cos的值是 .三、能力提高14.在边长为a的菱形ABCD中，ABC=60，PC平面ABCD，E是PA的中点，求点E到平面PBC的距离15.在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB为直角，侧面AB1与侧面AC1所成的二面角

13、为60，M为AA1上的点.A1MC1=30，BMC1=90，AB=a.(1)求BM与侧面AC1所成角的正切值.第15题图(2)求顶点A到面BMC1的距离. 16.已知斜三棱柱ABCA1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直.ABC=90,BC=2,AC=2,且AA1A1C,AA1=A1C.（1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小;（3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离.17.如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AB与BC的中点，EF与BD交于H.(1)求二面角B1EFB的大小.(2)试在棱B1B上找一点M

14、，使D1M面EFB1，并证明你的结论.(3)求点D1到面EFB1的距离. 第17题图空间的距离习题解答1.D 折后BC=,点A到BC的距离为.2.A BC=.ABC外接圆半径R=,点P到的距离为3.D 设PO垂足为O,|PO|=xcm ,OAP=,OBP=,那么-=45,tan=,tan=,tan (-)=tan 45展开左边并整理得:x2-10x+24=0,解得x1=6,x2=4. 4.B P、Q的最短距离即为异面直线AB与CD间的距离，当P为AB的中点，Q为CD的中点时符合题意.5.A PM=.6.C 取BD的中点O连AO、OC，作OEAC于E，则OE为所求，AO=CO=AC=.7.D 点

15、C到平面PAB的距离d1=,点B到平面PAC的距离d2=，,d2d118.B |MM|=，又.a+b+c=3d.9.A 设BD的中点为O，EO=，点A到平面EFGH的距离为.10.2 作ACMN于C，连BC，则BCMN，第13题图解ACB=60，又MN平面ABC，平面ABC平面，作BDAC于D，则BD，BD的长即为所求，得BD=211. AB=.12.2cm或cm当点A、B在同侧时，AB=;当点A、B在异侧时，AB=13. 如图,AB=BCy轴,BCy轴,BCB为二面角AOyB的平面角.BCB=,在BCB中,BC=BC=3,第14题图解BB=,由余弦定理易知cos=.14.如图，将点E到平面P

16、BC的距离转化成线面距，再转化成点面距.连AC、BD，设AC、BD交于O，则EO平面PBC，OE上任一点到平面PBC的距离相等平面PBC平面ABCD，过O作OG平面PBC，则GBC，又ACB=60，AC=BC=AB=a，OC=,OG=OC sin60=.点评：若直接过E作平面PBC的垂线，垂足难以确定在解答求距离时，要注意距离之间的相互转化有的能起到意想不到的效果 15.(1)三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，BAC为二面角B1AA1C1的平面角，BAC=60.又ACB为直角，BC侧面AC1.连MC，则MC是MB在侧面AC1上的射影.BMC为BM与侧面AC1所成的角.且CMC1=90，A1M

17、C1=30，所以AMC=60.设BC=m，则AC=，MC=m，所以tanBMC=.即BM与侧面AC1所成的角的正切值为.(2)过A作ANMC，垂足为N，则AN面MBC1.面MBC面MBC1，且过N作NHMB，垂足为H，则NH是N到面MBC1的距离，也就是A到面MBC1的距离.AB=a,AC=,且ACN=30，第16题图解AN=且AMN=60，MN=.NH=MNsinBMC=(本题还可用等积法).16.(1)如图所示,作A1DAC,垂足为D,由面A1ACC1面ABC,得A1D面ABCA1AD为A1A与面ABC所成的角AA1A1C,AA1=A1CA1AD=45为所求.(2)作DEAB垂足为E,连A

18、1E,则由A1D面ABC,得A1EAB,A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角.由已知ABBC得DEBC,又D是AC的中点,BC=2,AC=2DE=1,AD=A1D=,tanA1ED=,故A1ED=60为所求.()连结A1B,根据定义,点C到面A1ABB1的距离,即为三棱锥CA1AB的高h.由VCA1AB=VA1-ABC得SAA1Bh=SABCA1D即,h=为所求.第17题图解17.(1)如图连结B1D1，AC，B1H，底面为正方形ABCD，对角线ACBD.又E、F分别为AB、BC的中点EFAC.EFBD.又棱B1B底面ABCD，EF面ABCD，EFB1B.又B1BBD=B,BB

19、1面BB1D1D，BD面BB1D1D.EF面BB1D1D.而B1面BB1D1D，BH面BB1D1D，EFB1H，EFBH.B1HB为二面角B1EFB的平面角.在RtB1BH中，B1B=a,BH=，tanB1HB=.B1HB=arctan2.二面角B1EFB的大小为arctan2.(2)在棱B1B上取中点M，连D1M，则D1M面EFB1.连结C1M.EF面BB1D1D，D1M面BB1D1D.D1MEF.又D1C1面B1BCC1.C1M为D1M在面B1BCC1内的射影.在正方形B1BCC1中，M、F分别为B1B和BC的中点，由平面几何知识B1FC1M.于是，由三垂线定理可知B1D1，而B1F面EF

20、B1，EF面EFB1，EFB1F=F，D1M面EFB1.(3)设D1M与面EFB1交于N点，则D1N为点D到面EFB1的距离，B1面EFB1,D1M面EFB1，B1ND1M.在RtMB1D1中，由射影定理D1B12=D1ND1M，而D1B1=a,D1=，D1N=即点D1到面EFB1的距离为.空间距离的计算1.两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.2.点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.3.直线与平面的距离如果一条直线和一

21、个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离.4.两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.题型一：两条异面直线间的距离【例1】 如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F分别是AB、CD的中点.例1题图(1) 求证：EF是AB和CD的公垂线；(2)求AB和CD间的距离；【例2】 如图,正四面体ABCD的棱长为1，求异面直线AB、CD之间的距离.例2题图【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法：（1）利用

22、图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.例3题图题型二：两条异面直线间的距离例3、如图,正四面体ABCD的棱长为1，求：A到平面BCD的距离；例4、在梯形ABCD中,ADBC,ABC=,AB=a,AD=3a且sinADC=,又PA平面ABCD,PA=a,求：(1)二面角PCDA的大小; (2)点A到平面PBC的距离.例5、如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，B

23、C=2，CC1=3，BE=1.（）求BF的长；（）求点C到平面AEC1F的距离.BACD例6、正三棱柱的底面边长为8，对角线，D是AC的中点。（1）求点到直线AC的距离.（2）求直线到平面的距离【解后归纳】 求空间距离注意三点：1常规遵循一作二证三计算的步骤；2多用转化的思想求线面和面面距离；3体积法是一种很好的求空间距离的方法例7、如图，在长方体AC1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.（1）证明：D1EA1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为.巩固练习：1.把边长为a的正ABC沿高线AD折成60的二面角，则点

24、A到BC的距离是 ( )A.a B. C. D.2.ABC中，AB=9，AC=15，BAC=120.ABC所在平面外一点P到三个顶点A、B、C的距离都是14，那么点P到平面的距离为 ( )A.7 B.9 C.11 D.133.从平面外一点P向引两条斜线PA,PB.A,B为斜足,它们与所成角的差是45,它们在内的射影长分别是2cm和12cm ,则P到的距离是 ( )A.4cm B.3cm或4cm C.6cm D.4cm或6cm4.空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为 ( )A. B. C. D.a5.在四面体PABC中

25、，PA、PB、PC两两垂直.M是面ABC内一点，且点M到三个面PAB、PBC、PCA的距离分别为2、3、6，则点M到顶点P的距离是 ( )A.7 B.8 C.9 D.106.如图，将锐角为60，边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线折成60的二面角，则AC与BD的距离是 ( )A. B. C. D. 第7题图第6题图7.如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD底面ABCD，PD=AD1，设点C到平面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为d2，则有 ( )A.1d1d2 B.d1d21 C.d11d2 D.d2d118.如图所示，在平面的同侧有三点A、B、C，ABC的重心为G.如果A、B、

26、C、G到平面的距离分别为a、b、c、d，那么a+b+c等于 ( )A.2d B.3d C.4d D.以上都不对第8题图第9题图9.如图，菱形ABCD边长为a，A=60，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点且，沿EH和FG把菱形的两锐角折起，使A、C重合，这时点A到平面EFGH的距离是 ( )A. B. C. D.10.二面角-MN-等于60，平面内一点A到平面的距离AB的长为4，则点B到的距离为 . 11.在60的二面角l中，A,ACl于C，B，BDl于D，又AC=BD=a,CD=a，则A、B两点间距离为 . 12.设平面外两点A和B到平面的距离分别为4cm和1cm，AB与平面所成

27、的角是60，则线段AB的长是 .13.在直角坐标系中,已知A(3,2),B(-3,-2)沿y轴把直角坐标系折成平面角为的二面角AOyB后,AOB=90，则cos的值是 .三、能力提高14.在边长为a的菱形ABCD中，ABC=60，PC平面ABCD，E是PA的中点，求点E到平面PBC的距离15.在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB为直角，侧面AB1与侧面AC1所成的二面角为60，M为AA1上的点.A1MC1=30，BMC1=90，AB=a.(1)求BM与侧面AC1所成角的正切值.(2)求顶点A到面BMC1的距离. 第15题图16.已知斜三棱柱ABCA1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直.ABC=90,BC=2,AC=2,且AA1A1C,AA1=A1C.（1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小;（3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离.17.如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AB与BC的中点，EF与BD交于H.(1)求二面角B1EFB的大小.(2)试在棱B1B上找一点M，使D1M面EFB1，并证明你的结论.(3)求点D1到面EFB1的距离. 第17题图