第十六保角变换法求解定解问题

第十六章第十六章 保角变换法求解定解问题保角变换法求解定解问题 保角变换法解定解问题的基本思想保角变换法解定解问题的基本思想是：通过是：通过解析解析函数函数的变换（或映射，这部分知识在复变函数论中已经学的变换（或映射，这部分知识在复变函数论中已经学习过）将习过）将 z平面上具有复杂边界形状的边值问题变换为平面上具有复杂边界形状的边值问题变换为 w平面上具有简单形状（通常是圆、上半平面或带形域）的平面上具有简单形状（通常是圆、上半平面或带形域）的边值问题边值问题，而后一问题的解易于求得于是再通过，而后一问题的解易于求得于是再通过逆变换逆变换就求得了原始定解问题的解就求得了原始定解问题的解 这就是本章将要介绍的一种解决数学物理方程定解这就是本章将要介绍的一种解决数学物理方程定解问题中的解析法问题中的解析法保角变换法保角变换法，它是解决这类，它是解决这类复杂边复杂边界的最有效方法界的最有效方法它特别适合于它特别适合于分析平面场分析平面场的问题，的问题，例如静电场的问题，由于这种求解复杂边界的定解问例如静电场的问题，由于这种求解复杂边界的定解问题具有较大的实用价值，所以有必要单独以一章的内题具有较大的实用价值，所以有必要单独以一章的内容进行介绍复变函数论中已经系统介绍了保角变换容进行介绍复变函数论中已经系统介绍了保角变换理论，理论，本章主要介绍利用保角变换法求解定解问本章主要介绍利用保角变换法求解定解问题题。16.1 保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系在复变函数论中我们已经知道，由解析函数在复变函数论中我们已经知道，由解析函数()f zw实现的从实现的从z平面到平面到 w平面的变换在平面的变换在()0fz的点具有的点具有保保角性质角性质，因此这种变换称为，因此这种变换称为保角变换保角变换下面我们主要讨论一一下面我们主要讨论一一对应的保角变换，即假定对应的保角变换，即假定()f zw和它的反函数都是和它的反函数都是单值单值函数函数；或者如果它们之中有多值函数就规定取它的；或者如果它们之中有多值函数就规定取它的黎曼面的一黎曼面的一叶叶 定律定律16.1.1 如果将由如果将由 izxy到到 iuwv的的保角变换保角变换看成为二元（实变）函数看成为二元（实变）函数(,)x y的变换由的变换由,x y到到,u v的的变量代换变量代换，则，则 z平面上的边界变成了平面上的边界变成了 w平面上的边界我们能证明，如果平面上的边界我们能证明，如果(,)x y程程，则经过保角变换后得到的，则经过保角变换后得到的 满足满足拉普拉斯方拉普拉斯方(,)uv也满足也满足拉普拉斯方程拉普拉斯方程【证明】【证明】利用利用复合函数求导法复合函数求导法则有则有2222222222222()()2uxuxxuuxuxuxxuxuxx vvvvvvvv(16.1.1)同理同理2222222222222()()2uuyuyuyyuyuyy vvvvvv(16.1.2)两式相加得到两式相加得到222222222222222222222()()+()()+()()+2(+)uuxyxyuxyuuxyuxyuuxxyyu vvvvvvvvv（16.1.3）利用解析函数利用解析函数()if zuwv的的C-R条件条件,uuxyxy vv (16.1.4)以及解析函数的实部和虚部分别满足以及解析函数的实部和虚部分别满足拉普拉斯方程的性质拉普拉斯方程的性质 222222220,0uuxyxyvv (16.1.5)将式（将式（16.1.4）和式（）和式（16.1.5）代入到式（）代入到式（16.1.3）化简后得到）化简后得到222222222222222()()(+)|()|(+)ufzxyxxuu vvv注意到上式已经使用了：注意到上式已经使用了：()iufzxxvw对于保角变换对于保角变换()0,fzw因而只要因而只要(,)x y满足拉普拉斯方程，则满足拉普拉斯方程，则(,uv）也满足）也满足拉拉 普拉斯方程普拉斯方程，即为，即为222222220 (+)0 xyu v（16.1.6）这样我们就有结论这样我们就有结论：如果在：如果在 izxy平面上给定了平面上给定了(,)x y的拉普拉斯方程边值问题，的拉普拉斯方程边值问题，则利用则利用保角变换保角变换()f zw，可以将它转化为，可以将它转化为 iuwv平面上平面上(,uv)的的拉普拉斯方程边值问题拉普拉斯方程边值问题同理可以证明，在单叶解析函数同理可以证明，在单叶解析函数()f zw=变换下，变换下，泊松方程泊松方程2222(,)x yxy (16.1.7a)仍然变为仍然变为泊松方程泊松方程22222 +|()|(,)fzx yu v（16.1.7b）由上式可知，在保角变换下，泊松方程中的由上式可知，在保角变换下，泊松方程中的电荷密度电荷密度发生了变化发生了变化同理可以证明，同理可以证明，亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 222220 kxy (16.1.8a)经变换后仍然变为经变换后仍然变为亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程222222|()|0 kfzu v(16.1.8b)容易注意到方程要比原先复杂，且容易注意到方程要比原先复杂，且 前的系数可前的系数可 能能不是常系数不是常系数下面将举例说明下面将举例说明如何通过保角变换法来求解拉普拉斯方程如何通过保角变换法来求解拉普拉斯方程 保角变换法的优点不仅在于拉普拉斯方程、泊松方程保角变换法的优点不仅在于拉普拉斯方程、泊松方程等方程的类型在保角变换下保持不变，更重要的是，能将等方程的类型在保角变换下保持不变，更重要的是，能将复杂边界问题变为简单边界问题，从而使问题得到解决复杂边界问题变为简单边界问题，从而使问题得到解决16.2保角变换法求解定解问题典型实例保角变换法求解定解问题典型实例例例16.2.1 设有半无限平板设有半无限平板 0y，在边界，在边界 y=0上，上，(0)xaa处保持温度处保持温度 axuu,0处保持温度处保持温度 u=0求平板上的稳定温度分布求平板上的稳定温度分布【解】解】根据题意可得出定解问题根据题意可得出定解问题)(,0)(,0002222axaxuuyuxuy （16.2.1）作如下的保角变换作如下的保角变换（1）作分式线性变换作分式线性变换111izaza(16.2.2)可以验证，考虑实轴可以验证，考虑实轴,(0)zxy的对应关系：的对应关系：图图16.1(i)若若|xa，则，则 axa，故，故 10 xaxa，即有，即有 10(ii)若若|xa则则 xa 或或 xa（a）首先讨论）首先讨论 xa 的情况的情况,考虑到题给条件考虑到题给条件 0a 则则 0,20;xaxaa 故故 10 xaxa（b）再考虑）再考虑 xa的情况的情况,则则 0,20,xaxaa故故 10 xaxa如图如图16.1所示，所示，根据根据(16.2.1)式中的边界条件式中的边界条件，对应于，对应于|xa处处温度温度为为 0u，故，故 1平面的平面的负实轴负实轴（即（即 10）温度保持为温度保持为 0u；而在；而在|xa处有处有 10，故，故 1平面的平面的正实轴温度保持为零正实轴温度保持为零（2）作变换）作变换111lnln|iarg (16.2.3)把把 1平面的上半平面变成平面的上半平面变成 平面上平行于实轴，宽为平面上平行于实轴，宽为的一个带形区域，的一个带形区域，10平面的正实轴变换为平面的正实轴变换为平面的实轴（正实轴辐角为零，故对应于平面的实轴（正实轴辐角为零，故对应于），），1=平面的负实轴变换为平面的负实轴变换为平面的平行于实轴的直线平面的平行于实轴的直线,故对应于故对应于）（负实轴辐角为（负实轴辐角为于是，在变换于是，在变换lnzaza(16.2.4)之下，定解问题变换为之下，定解问题变换为000|0|uuuuu (16.2.5)在这种情况下，等温线是与实轴在这种情况下，等温线是与实轴 平行的直线平行的直线=常数常数，热流线则是与虚轴平行的直线，热流线则是与虚轴平行的直线=常数在常数在(,)坐标系中，由坐标系中，由对称性知拉普拉斯方程的解对称性知拉普拉斯方程的解与与无关，因此，无关，因此，定解问题又简化为定解问题又简化为2200d0d0,uuuu（16.2.6）方程的解方程的解是是BAu考虑考虑边界条件边界条件即得到即得到0uu（16.2.7）回到回到z平面，则平面，则0000222(,)Imln()Imln()ln()2 arctgarctgarctguuz au x yz az az auuyyayx ax axya例例16.2.2 试求平面静电场的电势分布试求平面静电场的电势分布(,)x y，其中，其中 0 (Im0)z（16.2.8）12 (0)(,0)(0)VxxVx (16.2.9)【解】解】ln zwzw变换变换使上半使上半平面变成平面变成平面上的带形域（图平面上的带形域（图16.2）,然的，类似于上面定解问题然的，类似于上面定解问题(16.2.6)的结果的结果(16.2.7),则则本本定解问题可归结为定解问题可归结为而在带形域上的解是显而在带形域上的解是显12(,)VVuvv(16.2.10)图图而而 ilnlniarguzzzwv所以所以arg zv于是，于是，作反变换便可求得所求问题的解作反变换便可求得所求问题的解为为121212(,)argarctanVVVVVVyx yzx进一步讨论：进一步讨论：（1）同理可证）同理可证121(,)arg(1)VVx yz是下列定解问题的解是下列定解问题的解1112 (1)0 (0,),(,0)(1)VxyxxVx VV（说明说明：这里的这里的和下面的和下面的不代表求导，是指彼此不代表求导，是指彼此不同的值）不同的值）(2)同理可证同理可证122(,)arg(1)VVx yz是下列是下列定解问题的解定解问题的解(3)可证可证 12(,)(,)(,)x yx yx y是下列定解问题的解：是下列定解问题的解：012 (1)0 (0,),(,0)(11)(1)VxyxxVxVx 其中其中 011121222,VVVVVVVVV(,)x y又可又可改写成改写成01122(,)arg(1)arg(1)VVVVx yzzV（4）进一步推广）进一步推广0111212(,)arg()arg()arg()nnnnV VVVV Vx yz xz xz xV是是下列定解问题的解下列定解问题的解0 (0,)yx 01112223 ()()(,0)()()nnVxxVxxxxVxxxVxx 例例 16.2.3 若把柱面充电到若把柱面充电到 12 (0)(2)vvv试用保角变换法求解一半径为试用保角变换法求解一半径为a的无限长导体圆柱壳的无限长导体圆柱壳内的电场分布情况内的电场分布情况【解】解】即求解定解问题即求解定解问题2120 ()(0)(2)aavvvv作如下的保角变换作如下的保角变换(1)作变换作变换 azz 1把原图象缩小为把原图象缩小为 a1倍即将倍即将任意的圆周变换为单位圆任意的圆周变换为单位圆(2)再作变换再作变换 1221i1zzz把把 11z变换为变换为 0Im2z，其边界的变换是，其边界的变换是将下将下半圆周对应于负半实轴，上半圆周对应于正半实轴半圆周对应于负半实轴，上半圆周对应于正半实轴图图（3）再作变换）再作变换 2lnz2z把把平面的上半平面变成平面的上半平面变成平面上平行于实轴，平面上平行于实轴，宽为宽为 的一个带形区域，其边界的的一个带形区域，其边界的 2z2zIm变换是将变换是将平面的正半实轴变换为平面的正半实轴变换为平面的实轴，平面的实轴，平面的负半实轴变换为平面的负半实轴变换为平面的平行于实轴的直线平面的平行于实轴的直线，如图，如图16.3所以，在变换所以，在变换lniazaz之下，之下，定解问题变换为定解问题变换为20120vvvvv定解问题的解定解问题的解（仿上例（仿上例16.2.1）为）为21211Imvvvvvv将变量回到将变量回到z平面，则平面，则2112112222121112112121222222Imln(i)Imlni()ln()i arctanarctanarctan222 arctanarctan22a za zya xx aya xyaxyyx aayayayaxyaxyvvv vvvvvvvvvvvvvvvvv化成极坐标形式，则上式又改写成化成极坐标形式，则上式又改写成1212222sin(,)arctg,()2aaa vvvvv从上面的例题我们总结出，对于平面标量场的问题，从上面的例题我们总结出，对于平面标量场的问题，不管边界如何复杂，只要能通过保角变换把原来的边界不管边界如何复杂，只要能通过保角变换把原来的边界所围成的区域变换成上半平面的带形域所围成的区域变换成上半平面的带形域 0Im问题就容易解决了问题就容易解决了