经济数学基础线性代数第三章线性方程组

经济数学基础线性代数第三章 线性方程组线性方程组的解的判定解的判定和求法求法本章难点：本章难点：解的判定解的判定定理本章重点：本章重点：一、线性方程组的有关概念一、线性方程组的有关概念1、n元元线性方程组为：线性方程组为：.,22112121212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数；个未知量第个方程：第jijxjia,.个方程的常数项：第jbj4元线性方程组.343,22,1431321321xxxxxxxxx,122j211111mnmjmnnjaaaaaaaaaA2、方程组的、方程组的系数矩阵系数矩阵A为：为：“增广矩阵增广矩阵”,21122j211111mmnmjmnnjbbbaaaaaaaaaA对 做初等行变换，同时也是对A做变换。A3、方程组的、方程组的矩阵形式矩阵形式：mnmjmnnjaaaaaaaaa 122j211111nxxx21mbbb21系数矩阵系数矩阵A未知量矩阵未知量矩阵X常数矩阵常数矩阵BBAX 简记为：【例【例1】写出下列线性方程组的系数矩阵系数矩阵、增广矩阵增广矩阵和矩阵形式矩阵形式.343 ,22 ,1 2323121xxxxxx解：解：系数矩阵系数矩阵是430201021A30 x20 x10 x343022011011A增广矩阵增广矩阵方程组的矩阵形式矩阵形式是AXB，即321430201011321xxx由线性方程组可惟一确定增广矩阵；反之由增广矩阵，也可以惟一确定线性方程组。【例【例2】已知方程组的增广矩阵如下，试写出它的线性方程组303122011011A【解】：【解】：“常数项”1 21 xx22 31 xx3 321 xx一一对应【例【例3】已知方程组的增广矩阵如下，试写出它的线性方程组303122011011A解：解：“常数项”1 21 xx22 31 xx3 321 xx4、齐次线性方程组：、齐次线性方程组：AX=0 .0,0,0221112121211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa如果常数项mbbb,21不全为0，则称为：非齐次线性方程组非齐次线性方程组。5、方程组的、方程组的解解：.,2211nncxcxcx方程组的解解是满足方程组满足方程组的未知量的一组取值：）也可记为：（nccc,21例如：052902025321321321xxxxxxxxx显然，000321xxx就是它的一组解。显然：是齐次线性方程组齐次线性方程组 ）（0,0,0注意：方程组的解可能有惟一解惟一解，也可能 有无穷多组无穷多组，也可能是无解无解。.0,0,0221112121211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa的一组解。称为0解解，或平凡解平凡解。否则称为非零解非零解。定理定理3.1,3.2实际上告诉我们要通过来判断解的情况。总结：（1）若 则方程组无解无解。),()(AAr秩秩（2.1）若 =就有唯一解唯一解；（2.2）若 就有无穷多解无穷多解。)()(AAr秩秩（2）若 则方程组有解有解。设设=秩秩()，为未知量的个数为未知量的个数.二、线性方程组解的判定定理二、线性方程组解的判定定理【例【例3】当a,b为何值时,下列方程组有惟一解 、无穷多解或无解。.3,22,1321321321baxxxxxxxxx【解】【解】只需要对增广矩阵增广矩阵进行初等行变换,将其化为阶梯形矩阵baA3122111111A+(-1)+(-1)+(-2)114011201111ba330011201111ba根据方程组解的判定定理方程组解的判定定理可知：（1）当a=3,且b3时2)(Ar3)(Ar所以方程组无解无解。（2）当a=-3,且b=3时2)()(ArAr330011201111ba000011201111n3所以方程组有无穷多解.（3）当a-3时nArAr3)()(所以方程组有惟一解.注意3个量：nArAr，)()(1、线性方程组AX=b的解的情况归纳如下：(1.1)AX=b有唯一解唯一解 nAA)()(秩秩(1.2)AX=b有无穷多解无穷多解 nAA)()(秩秩(1.3)AX=b无解无解)()(AA秩秩2、齐次线性方程组AX=0的解的情况为：(2.1)AX=0只有零解零解(唯一解唯一解)nA)(秩(2.1)AX=0有非零解非零解(无穷多解无穷多解)nA)(秩注：对于齐次线性方程组没有“”的情况。【例】【例】线性方程组AX=B有唯一解，那么AX=0()A可能有解 B有无穷多解 C无解 D有唯一解【解】线性方程组AX=B有唯一解，说明,)nr(A 故AX=0只有唯一解（零解）三、线性方程组的求解三、线性方程组的求解定义定义：“行简化阶梯形矩阵行简化阶梯形矩阵”若阶梯形矩阵还满足下两个条件：(1)各个非非0行行的第一个不为0的元素(首非首非0元元)都是都是1；(2)所有首非首非0元所在列元所在列的其余元素都是都是0.310001010000021如：000003021012101求解的方法：用初等行变换。第一步第一步，写出增广矩阵 ，并用初等 行变换变为阶梯矩阵阶梯矩阵；第二步第二步，再用初等行变换将所得矩阵变为 行简化阶梯形矩阵行简化阶梯形矩阵；第三步第三步，写出所得矩阵对应的方程组，再 整理出方程组的。A实际上，第二步和求逆矩阵的第三步类似。【例【例4】解线性方程组：.3529,42,225321321321xxxxxxxxx【解】【解】对增广矩阵进行初等行变换，将其化成行简化阶梯形矩阵，即352941122215A+(-2)+(-4)1312141126011+(-2)+(-1)7110161306011(,)1613071106011+3540071106011451007110601141(-1)+451004230106011+45100423010410011x2x3x所以方程组化简为：45100,423010,41001321xxx45,423,41321xxx即方程组的解为：【例【例5】解线性方程组：.6754,34,5 3,05232132121321xxxxxxxxxxx【解】【解】对增广矩阵进行初等行变换，将其化成行简化阶梯形矩阵，即6754341150310512A(,)6754341105125031+(-2)+(-4)1477084401055050315141712110211021105031+(-1)+(-1)0000000021101301+(-3)所以方程组化简为：.2 ,13 3231xxxx.2,133231xxxx.3是自由未知量其中x含有自由未知量的解称为方程组的一般解一般解。的值，因此有无穷多解自由未知量可以取任意（）【例【例6】设线性方程组=的通过初等行变换化为：00000120004131062131【分析】【分析】先确定为：则此线性方程组的一般解中的个数为_。421,xxx则其余的为：3x1求方程组的解。0000001251001831203536121已知线性方程组AX=B的增广矩阵经初等行变换化为阶梯形矩阵：解：解：对系数矩阵进行初等行变换，将其进一步化成行简化阶梯形矩阵简化阶梯形矩阵，即+(-1)00000012510018312035361210000001251002620203451021+(-1)0000001251002620203211001 21000000125100131010321100154,xx其中，是自由未知量1251332543542541xxxxxxxxx写成方程组的形式为：所以，方程组的解为：5435425412513132xxxxxxxxx54,xx其中，是自由未知量解齐次线性方程组 一般方法是：(1)写出齐次线性方程组的系数矩阵A；(2)对A施行初等行变换，使A化为行简化阶梯形矩阵；(3)根据行简化阶梯形矩阵写出方程组的解。【例【例7】求线性方程组：.032,0382,03214321321xxxxxxxxxx解：解：的一般解。对系数矩阵进行初等行变换，将其化成行简化阶梯形矩阵，即013238120111A+(-2)+(-2)03103630011131031012100111+(-1)110012100111(-1)110012100111+(-1)+2110030101011+(-1)110030104001所以方程组化简为：.0,03,04434241xxxxxx.,3,4434241xxxxxx即：.4是自由未知量其中x【例【例8】设齐次线性方程组为：.083,0352,023321321321xxxxxxxxx【解】【解】对进行初等行变换，即83352231A+(-2)+(-3)问：取何值时方程组，并。610110231+(-1)500110231对于齐次线性方程组，要使其有，则要求：nAr)(秩3 32505Ar时，即故，当此时方程组这时系数矩阵变为：000110231+3000110101所以方程组化简为：.0,03231xxxx.,3231xxxx即：.3是自由未知量其中x得方程组的一般解：