高考数学集合与常用逻辑用语专题复习ppt课件

第一单元第一单元 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语1.高考对集合的考查主要有两种形式：一种是考查集合的概念、集合之间的关系和运算；另一种是以集合为工具,考查对集合语言、集合思想的理解和运用，往往与映射、函数、方程、不等式等知识融合在一起，体现出一种小题目综合化的命题趋势，预计2011年高考仍会采用选择题或填空题的方式进行考查，且难度不大.2.高考对常用逻辑用语的考查主要体现在以下三个方面：一是考查对四种命题之间关系的理解；二是考查对充分、必要条件的推理与判断；三是考查常用逻辑联结词及全称命题、特称命题的理解、掌握情况.命题时一般以基本概念为考查对象，综合三角、不等式、函数、数列、立体几何、解析几何中的相关知识进行考查，题型以选择、填空题为主打题型，预计2011年这里出解答题的可能性不大.1.重视对概念的理解，提高计算速度，强化书写的规范性，注意解题中Venn图或数轴的应用.可以较好地掌握以集合的概念、关系、运算等为考查对象的题目的得分情况.2.重视与函数、方程、不等式、三角函数、数列、解析几何、立体几何等各类知识的融汇贯通，可在一轮复习中，循序渐进地提高解这类题目的能力和水平.3.对于四种命题的复习，要注意结合实际问题，明确等价命题的意义，对于其中涉及的化归思想和等价转化思想进行认真体会.4.全称量词、存在量词以及全称命题、特称命题的复习，要遵循新课标及考纲的要求，理解要到位，判断要准确，表达要合乎逻辑.5.充分条件、必要条件及充要条件的复习，要把握好“若p则q”的命题中条件与结论之间的逻辑关系，真正弄懂它并善于应用它去分析和解决问题.第一节集合第一节第一节 集合集合1.集合的含义与表示（1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.2.集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.(2)理解在给定集合中的一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.1.元素与集合（1）集合中元素的三个特征:确定性 、互异性、无序性.（2）集合中元素与集合的关系文字语言符号语言属于 不属于(4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法.数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号 N N*或N+Z Q R C(3)常见集合的符号表示2.集合间的基本关系表示 表示关系 文字语言 符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同子集A中任意一个元素均为B中的元素真子集A中任意一个元素均为B中的元素，B中至少有一个元素不是A中的元素 A B 或 B ABAABBA 且ABBA或注意：(1)空集是任何非空集合的真子集，即 （A是非空集合）.(2)任何集合都是它本身的子集，即 A A.(3)子集、真子集都有传递性，即若A B,B C,则A C;若A B B C,则A C.(4)n个元素组成的集合的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个.集合的并集集合的交集集合的补集符号表示ABAB若全集为U，则集合A的补集为CUA图形表示意义x|xA,或xB x|xA,且xB AxU,x|xACU且3.集合的基本运算4.集合的运算性质(1)交集：AB=B A;AA=A ;A =(2)并集:AB=BA;AA=A ;A =A;ABA ,AB B ;ABAA B.IIIABA,ABB;ABBAB.UUU(3)交集、并集、补集的关系:UUUUUUUU AC A;AC AU C(AB)(C A)(C B);C(AB)(C A)(C B).1.(教材改编题)用适当符号填空.0 0，1；a,b b,a;0 ;答案答案：.36x|x 174,2.现有三个实数的集合，既可以表示为 ,也可以表示为a2,a+b,0,则a2011 -b2011=.解析解析：由已知得 ,且a0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根据集合中元素的互异性，a=1应舍去，因而a=-1，a2011-b2011=(-1)2011=-1.答案答案：-1,1aba,0ab3.(教材改编题)已知集合A=0,1,B=y|x2+y2=1,xA,则A与B的关系为()A.A=B B.A B C.A B D.A B解析解析：当x=0时，y=1;当x=1时，y=0.故B=-1,0,1.因此，A B.答案答案：B4.(2009全国)已知全集U=1,2,3,4,5,6,7,8,M=1,3,5,7,N=5,6,7,则CU(MN)=()A.5,7 B.2,4C.2,4,8 D.1,3,5,6,7解析解析：MN=1,3,5,75,6,7=1,3,5,6,7,CU(MN)=2,4,8.答案答案：C5.(2009上海)已知集合A=x|x1,B=x|xa,且AB=R,则实数a的取值范围是.解析解析：因为AB=R,画出数轴如图:,所以a1.答案答案：(-,11.集合中元素的三个基本特征的应用(1)确定性：任意给定一个对象，都可以判断它是不是给定集合的元 素，也就是说，给定集合必须有明确的条件，依此条件，可以明确地判定某一对象是这个集合的元素或不是这个集合的元素，二者必居其一，不会模棱两可.如：“较大的数”、“著名科学家”等均不能构成集合.（2）互异性：即一个集合中的任何两个元素都应该是不相同的，特别是含有字母的问题，解题后需进行检验.（3）无序性.2.集合中三种语言的互化是解决集合问题的关键即文字语言、符号语言、图象语言的互化.4.“分类讨论”思想方法对集合中含有字母问题的求解，要依据数学对象本质属性的相同点和不同点确定划分标准，然后对每类分别进行求解并综合得出答案的一种数学思想方法.在划分中要求始终使用同一标准，这个标准应该是科学的、合理的，同时做到不重、不漏、最简.3.“数形结合”思想方法对集合中较抽象或较复杂的问题，首先认清集合特征，准确地转化为图形关系，借助图形能够使问题得到直观、具体的解决，因此特别要注重数形结合思想方法的运用.如：数轴、几何图形、Venn图等.5.“转化与化归”思想方法转化包括等价转化和非等价转化.等价转化要求在转化过程中的前因与后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果.不等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带来思维的启迪，找到解决问题的突破口.转化与化归的原则是：将不熟悉的或难解的问题转化为熟知的或已知解决过的问题；将抽象的问题转化为具体的直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的特殊问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便于解决.题型一集合的基本概念【例1】已知集合A=m,m+d,m+2d,B=m,mq,mq2,其中m0,且A=B,求q的值.解解由A=B可知，解（1）得q=1;解（2）得q=1,或 又因为当q=1时，m=mq=mq2,不满足集合中元素的互异性，应舍去，所以分析分析由A=B可知A,B两个集合中的元素相同，观察A,B两个集合中有一共同元素，则其他两个元素应对应相等，由于情况不确定，需要分类讨论.学后反思学后反思本题考查集合元素的基本特征确定性、互异性，切入点是分类讨论思想，由于集合中元素用字母表示，检验必不可少.22mdmq,mdmq,1.2.m2dmqm2dmq.（）（）21-q21-q1.(教材改编题)设A=-4,2a-1,a2,B=9,a-5,1-a,已知AB=9，求实数a的值.解析解析:AB=9,9A.(1)若2a-1=9,则a=5,此时A=-4,9,25,B=9,0,-4,AB=9,-4,与已知矛盾，舍去.（2）若a2=9,则a=3.当a=3时，A=-4,5,9,B=-2,-2,9,B中有两个元素均为-2,与集合元素的互异性相矛盾，应舍去;当a=-3时，A=-4,-7,9,B=9,-8,4，符合题意.综上所述，a=-3.举一反三举一反三题型二集合之间的关系【例2】已知集合A=x|x2-3x+20,B=x|x|a，全集I=R,当a为何值时,AB成立？解解A=x|1x2,对于集合B：(1)当a0时，由B=x|x|a知B=R,此时A B;(2)当a0时，由|x|a得x-a或xa,由数轴可知0a1.综合(1)、(2)可知a1时A B.分析分析解决本题的关键是对集合B进行分类化简，再根据A与B间的关系结合数轴进行求解.学后反思学后反思解决两集合之间的关系时，应注意分析构成集合的元素之间的联系.因此，解题关键是将集合化简，对于含字母参数的函数、方程、不等式的问题的处理，一是要注意融合其他知识；二是要充分借助Venn图或者数轴的直观性来发现集合之间的关系.2.设集合A=x|x-a|2，集合B=x|4x+1|9,且 求a的取值范围.解析解析：A=x|a-2xa+2,B=x|x2或x ,AB=A,如图所示.a+2 或a-22,a 或a4.BABA25-29-25-举一反三举一反三题型三集合的运算题型三集合的运算【例3】已知全集I=R,A=x|x24,求(CRA)(CRB).1x2x1x3x|xB分析分析解决本题的关键：(1)集合B的化简；(2)(CRA)(CRB)=CR(AB)(等价转化).解解A=x|x2或x-2,AB=x|x-2或x-1.(CRA)(CRB)=CR(AB)=x|-2 x-13x-1|x01x3x|xB学后反思学后反思本题是集合的运算与解不等式的综合求解问题.解答这类问题时要注意弄清楚集合中的元素是什么，然后对集合进行化简，并注意将集合之间的关系转化为直接关系或等价关系进行求解，同时一定要善于运用数形结合的思想方法帮助分析和运算.3.设集合A=x|x-2|2,xR,B=y|y=-x2,-1x2,则CR(AB)等于()A.R B.x|xR,x0C.0 D.解析解析：由已知，A=0,4,B=-4,0,AB=0,CR(AB)=x|xR,x0.答案答案：B举一反三举一反三题型四集合的概念与运算的创新题【例4】(12分)对于集合M,N，定义M-N=x|xM且xN,MN=(M-N)(N-M),设A=y|y=x2-3x,xR,B=y|y=-2x,xR,求AB.分析分析充分理解“M-N”与“MN”两种运算法则,然后把A,B两个集合化到最简，再代入进行计算.解解由y=x2-3x(xR),即 得3.,.49-49-23-xy24.49-y|yAy=-2x(xR),2x0,-2x0,y0,B=y|y0,.621.),0)49-,-(A)-(BB)-(ABA0.1.49-y|yA-B0,y|yB-A学后反思学后反思本题属于创新型的概念理解题，其中，准确理解M-N与MN的意义是解决问题的关键所在，对集合中与运算相关的问题，一定要过好阅读理解关，准确地分析问题，才能正确地解决问题.4.设A是整数集的一个非空子集.对于kA，如果k-1A,且k+1A,那么称k是A的一个“孤立元”.给定S=1,2,3,4,5,6,7,8,由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.解析解析：不含“孤立元”的集合中的3个元素必定是3个连续整数，且都属于S，这样的集合为1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8,共6个.答案答案：6举一反三举一反三【例】已知集合A=x|x2-3x-100,B=x|m+1x2m-1,若AB=A,求实数m的取值范围.错解错解由x2-3x-100得-2x5.欲使B A,只需 ,解得-3m3.m的取值范围是-3m3.错解分析错解分析因为AB=A,即BA,又A=x|x2-3x-100=x|-2x5,考虑到“空集是任何集合的子集”这一性质，因此需对B=与B两种情况分别讨论，进而确定m的取值范围.51-2m1m2-正解正解AB=A,BA.又A=x|x2-3x-100=x|-2x5,(1)若B=，则m+12m-1,即m2,此时，总有AB=A,故m2.(2)若B，则m+12m-1,即m2,由B A得 ,解得-3m3,2m3.综合(1)、(2)可知,m的取值范围是（-,3.51-2m1m2-1.（2009宁夏、海南）已知集合A=1,3,5,7,9,B=0,3,6,9,12,则AB=（）A.3,5 B.3,6 C.3,7 D.3,92.(2009山东)集合A=0，2，a,B=1,a2.若AB=0,1,2,4,16,则a的值为（）A.0 B.1 C.2 D.4解析解析：A和B中有相同的元素3，9,AB=3,9.答案答案：D解析解析：AB=0,1,2,a,a2,又AB=0,1,2,4,16,a,a2=4,16,a=4.答案答案：D考点演练考点演练3.已知集合 R是实数集，则(CRB)A=（）A.0,1 B.0,1)C.(-,0 D.以上都不对解析解析:集合 表示的是函数的定义域，可得A=0,2;而集合B=y|y=2x,x0表示的是函数的值域，显然函数y=2x,x0的值域为(1,+),所以(CRB)A=(-,10,2=0,1.答案答案：A0,x,2y|yB,x-2xy|xAx2x-2xy|xA24.设全集U是实数集R,M=x|x24,N=x|1x3,则图中阴影部分所表示的集合是（）A.x|-2x1B.x|-2x2C.x|1x2D.x|x2解析解析:依题意，该图形中阴影部分表示的集合应该是N(CRM),而M=x|x24=x|x2或x-2,于是CRM=x|-2x2,因此N(CRM)=x|1x2.答案答案：C5.设A,B为两个非空集合，定义:A+B=a+b|aA,bB，若A=0,2,5,B=1,2,6,则A+B的子集的个数是（）A.29 B.28 C.27 D.26解析解析：由题意A+B=1,2,3,4,6,7,8,11,故A+B的子集的个数是28.答案答案：B6.已知M=x|x=a2+2a+4,aR,N=y|y=b2-4b+7,bR,则M,N之间的关系为()A.MN B.M=N C.N M D.NM解析解析：a2+2a+4=(a+1)2+33,M=x|x3.又b2-4b+7=(b-2)2+33,N=y|y3.M=N.答案答案：B7.满足条件1,3A=1,3,5的所有集合A的个数是 .解析解析:A有可能为5,1,5,3,5,1,3,5 答案答案：48.(2009天津)设全集U=AB=xN*|lg x1.若A(CUB)=m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4,则集合B=.解析解析:lg x1,0 x10.又xN*,U=AB=1,2,3,9.AB=U,CUBA,A(CUB)=CUB=1,3,5,7,9,B=2,4,6,8.答案答案：2,4,6,89.已知集合A=x|x2-2x-30,B=x|x|a,若 B A ,则实数a的取值范围是 .解析解析:B ,B为非空集合，即a0.由x2-2x-30,得-1x3;由|x|a,得-axa.BA,即0a1.答案答案:(0,13,a-1,a-10.已知函数 的定义域为集合A，函数(x)=lg(-x2+2x+m)的定义域为集合B.则当m=3时，A(CRB)=.1-1x6(x)f解析解析：A=x|-1x5.当m=3时，B=x|-1x3,则CRB=x|x-1或x3,A(CRB)=x|3x5.答案答案：x|3x511.（2010北京模拟）已知全集U=R,集合A=x|log2(3-x)2,集合(1)求A,B;(2)求1.2x5|xBU(C A)B(2)由(1)可得CUA=x|x-1或x3,(CUA)B=x|-2x-1或x=3.解析解析:(1)由已知得:log2(3-x)log24,解得-1x3,A=x|-1x3.由 ,得(x+2)(x-3)0,且x+20,解得-2x3,B=x|-2x3.0 x-34,x-312x512.（2009广东联考）设集合A=x|x24,.(1)求集合AB;(2)若不等式2x2+ax+b0的解集是B，求a、b的值.解析解析:A=x|x24=x|-2x2,(1)AB=x|-2x1.(2)2x2+ax+b0的解集为B=x|-3x1,-3和1为方程2x2+ax+b=0的两根，3x41|xB1x-3|x03x1-x|x3x41|xB-6.b4,a,1-32b1,-32a-第二节第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件命题及其关系、充分条件与必要条件1.理解命题的概念.2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.1.命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.命题有真命题与假命题之分.（1）四种命题若 q，则 p逆否命题若 p，则 q否命题 若q,则p逆命题 若p，则q原命题表述形式命题(2)四种命题之间的关系(3)原命题与它的逆否命题一定同真或同假；同样，它的逆命题与否命题也一定同真或同假，即互为逆否的两个命题是等价的.3.充分条件与必要条件（1）定义：对命题“若p,则q”而言，当它是真命题时，p是q的充分条件;q是p的必要条件;当它的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条件;两种命题均为真时，称p是q的充要条件.（2）在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论;其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件.解析：解析：等式两边都乘以xy,得x=y.答案答案：A(2009江西)下列命题是真命题的为()A.若 ,则x=y B.若 =1,则x=1 C.若x=y,则 D.若xy,则 x2yx11yx yx222.(2009重庆)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（）A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B.“若一个数的平方是正数，则它是负数”C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：解析：结论与条件互换位置，即可得到原命题的逆命题.答案：答案：B3.（2010银川模拟）命题“设a,b,cR,若,则ab”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（）A.0个B.1个C.2个D.3个解析：解析：逆命题：“设a、b、cR,若ab,则 ”,为假命题；否命题：“设a、b、cR,若 ,则ab”,为假命题；逆否命题：“设a、b、cR,若ab,则 ”,为真命题.答案：答案：B 4.（2009四川）已知a,b,c,d为实数，且cd,则“ab”是“a-cb-d”的().充分不必要条件 .必要不充分条件.充要条件 .既不充分也不必要条件答案：答案：Bbcac22bcac22bcac22解析：解析：a-cb-d,cd两个同向不等式相加得ab.但cd,ab a-cb-d.例如a=2,b=1,c=-1,d=-3时，a-cb-d.故选B.5.(2010福州模拟)“a=1”是“函数f(x)=|x-a|在区间1,+)上为增函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：解析：函数f(x)=|x-a|在区间1,+）上为增函数，得出a1,所以“a=1”是“函数f(x)=|x-a|在区间1,+）上为增函数”的充分不必要条件.答案：答案：A1.四种命题(1)否命题与命题的否定是两个不同的概念否命题是对原命题的条件和结论同时否定.命题的否定仅仅否定的原命题的结论（而条件不变）.（2）利用“等价命题”判断真假由于互为逆否的两个命题是等价命题，它们同真同假，所以当一个命题不易直接判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.例：判断“若ab0,则a0或b0”的真假.解：解：它的逆否命题“若a0且b0,则ab0”为真，故原命题也是真命题.2.充分条件与必要条件设命题为:若p,则q.（1）如何判断p是q的什么条件对命题“若p,则q”，首先应分清条件是什么，结论是什么.然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件.推理方法可以是直接证明、间接证明（反证法）,也可通过举反例说明不成立.判断的结论需分四种情况：充分不必要，必要不充分，充要条件，既不充分又不必要.(3)判断p是q的什么条件的三种角度从逻辑关系上看：若 ,但q p,则p是q的充分不必要条件;若 ,但q p,则p是q的必要不充分条件;若 且 ,则p是q的充要条件;若p q且q p,则p是q的既不充分也不必要条件.qp pqqp pq（2）注意充分条件与必要条件的两个特征的应用对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，则 .传递性：若p是q的充分（必要）条件，q是r的充分（必要）条件，则p是r的充分（必要）条件，则 pqqpqprprqpq”或“”且“”“”且rprq从四种命题的关系上看：（i）原命题为真，逆命题为假时，原命题的条件是结论的充分不必要条件.（ii）原命题为假，逆命题为真时，原命题的条件是结论的必要不充分条件.（iii）原命题为真，逆命题也为真时，原命题的条件与结论互为充要条件.（iv）原命题为假，逆命题也为假时，原命题的条件与结论什么条件也不是.从集合观点上看：首先建立p、q相应的集合，设p:A=x|p(x),q:B=x|q(x).(i)若A B,则p是q的充分条件；若A B,则p是q的充分不必要条件.（ii）若BA,则p是q的必要条件；若B A，则p是q的必要不充分条件.（iii）若A=B，则p、q互为充要条件.（iv）若A B且B A,则p、q间既不充分也不必要.题型一题型一 四种命题的关系及命题真假的判定四种命题的关系及命题真假的判定【例1】以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.(1)内接于圆的四边形的对角互补；(2)已知a、b、c、d是实数，若ab，cd，则acbd.分析分析 首先应当把原命题改写成“若p，则q”形式，再设法构造其余的三种形式命题.解解(1)原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”；否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”.四种命题都正确.(2)原命题：“已知a、b、c、d是实数，若ab，cd，则acbd”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“ab，cd”是条件，“acbd”是结论.显然原命题是正确的.逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若acbd，则ab，cd”.此命题不正确，如a+c=b+d=2,可有a=c=1,b=0.8,d=1.2,则ab,cd.否命题：“已知a、b、c、d是实数，若ab或cd，则acbd”(注意“ab，cd”的否定是“ab或cd”，只需要至少有一个不等即可)；此命题不正确，a=1,c=1,b=1.5,d=0.5,ab或cd,但a+c=b+d.逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若acbd则ab或cd”.逆否命题还可以写成：“已知a、b、c、d是实数，若acbd,则ab，cd两个等式至少有一个不成立”,由原命题为真得此命题显然正确.学后反思学后反思 要注意对大前提的处理以及等价命题之间的真假关系.试一试：写出命题“当c0时，若ab，则acbc”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假.举一反三举一反三1.（教材改编题）分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.（1）面积相等的两个三角形是全等三角形.（2）若q1，则方程 有实根.（3）若 ，则实数x、y全为零.解析：解析：（1）逆命题：全等三角形的面积相等，真命题.否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形，真命题.逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等，假命题.022qxx022yx（2）逆命题：若方程 有实根，则q1,假命题.否命题：若q1，则方程 无实根，假命题.逆否命题：若方程 无实根，则有q1,真命题.022qxx022qxx022qxx（3）逆命题：若实数x,y全为零，则 ,真命题.否命题：若 ，则实数x,y不全为零，真命题.逆否命题：若实数x,y不全为零，则 ,真命题.022yx022yx022yx 题型二题型二 充分条件与必要条件的判定充分条件与必要条件的判定【例2】已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么s，r，p分别是q的什么条件？分析分析 画出关系图，观察求解.学后反思学后反思 图可以画得随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系,利用它们的传递性和对称性判断.解解 s是q的充要条件 ；r是q的充要条件 ;p是q的必要条件 .),(sqqrs),(rsqqr)(qrsq 举一反三举一反三2.设A、B、C三个命题，若A是B的充要条件，C是B的充分不必要条件，则C是A的 条件.答案：答案：充分不必要解析：解析：画出关系图,由图可知，C是A的充分不必要条件.题型三题型三 充要条件的证明充要条件的证明【例3】求证：关于x的方程 有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.02cbxax分析分析 首先分清条件与结论.条件是“a+b+c=0”，结论是“方程 有一个根为1”；证明充分性是证明“条件”“结论”，证明必要性是证明“结论”“条件”.学后反思学后反思（1）探求充分条件，往往是先从已知条件得出某个结论，然后再证明这个结论是命题成立的充分条件.（2）有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由结论条件是证明命题的必要性，由条件结论是证明命题的充分性，证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性.证明证明 充分性：a+b+c=0,1是方程 的一个根.0112cba02cbxax必要性：关于x的方程 有一个根为1,即a+b+c=0成立.02cbxax0112cba02cbxax 举一反三举一反三 3.求证：关于x的方程 有一个正根和一个负根的充要条件ac0.02cbxax证明证明:充分性：ac0，a0且 ，方程 有两个不等实根 .ac0，a，c异号，异号，即关于x的方程 有一个正根和一个负根.042 acb02cbxaxxx21,021acxxxx21,02cbxax必要性：若关于x的方程 有一个正根 和一个负根 则 .，即a、c异号，ac0.综上所述，关于x的方程 有一个正根和一个负根的充要条件是ac0.02cbxaxx1x2021xxacxx210ac02cbxax【例4】(12分)已知p:-2x10,q:1-mx1+m(m0)，若 的必要不充分条件，求实数m的取值范围.学后反思学后反思 本题采用了等价转化的方法将原命题的条件转化为等价命题的形式，然后从集合的角度去解决此类问题，既简便又快捷.qp是 分析分析 可以有两个思路:(1)先求出 ，然后依据 ，求的m的取值范围（2）若原命题为“”，其逆命题是“若p,则q”.由于他们是等价的，可将是的必要不充分等价转化为求p是q的充分不不要条件来求解。q和pp，则q若pqpq解解 “必要不充分条件”的等价命题是：p是q的充分不必要条件.3.qp是 设p:A=x|-2x10，q:B=x|1-mx1+m,m0.6p是q的充分不必要的条件，A B.10.101)(,210mmm两个等号不能同时取到 9m.12 举一反三举一反三4.将上题中的问题用“分析”中的第一种思路去解.解析：解析：先求出 :x|x10或x-2,:B=x|x1+m或x1-m.的必要不充分条件，B A,它等价于 m9.pqqp是101)(,210mmm两个等号不能同时取到【例1】写出命题“若 ，则实数m，n，a，b全为零”的否定及否命题.错解分析错解分析 错解（1）混淆了命题的否定与否命题的概念，错解（2）“全为零”的否定是“不全为零”而不是“全不为零”.02222banm错解错解（1）命题的否定：若 ，则实数m,n,a,b不全为零.命题的否命题：若 ,则实数m,n,a,b不全为零.（2）命题的否定：若 ,则实数m,n,a,b全不为零.命题的否命题：若 ,则实数m,n,a,b全不为零.02222banm02222banm02222banm02222banm正解正解 命题的否定：若 ,则实数m,n,a,b不全为零.命题的否命题：若 ，则实数m,n,a,b不全为零.02222banm02222banm【例2】若 ，则 的什么条件？061:;032:22xqxpxxqp 是错解：错解：的既不充分也不必要条件32061:;31032:22xxqxxpxxqp 是错解分析错解分析 上述错误解法在于对命题的否定的概念理解错误，误认为:，事实上当 也属于 的一部分，这样导致了不等价变换061:2xpx062 xxp正解正解 31:,31032:2xpxxxpx或但或,32:320061:2qpxqxxxqx成立的充分不必要条件是 qppq1.（教材改编题）下面有四个命题：集合N中最小的数是1；若-a不属于N，则a属于N；若aN,bN,则a+b的最小值为2；的解集可表示为1,1.其中真命题的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3xx212考点演练考点演练解析：解析：假命题，集合N中最小的数是0；假命题，如 时,命题不成立；假命题，如a=0,b=1,则a+b=1；假命题，1,1与集合元素的互异性矛盾，其解集应为1.答案：答案：A21a答案：答案：C2.有下列四个命题：“若xy1，则x、y互为倒数”的逆命题；“相似三角形的周长相等”的否命题；“若b1，则方程 有实根”的逆否命题；“若AB=B,则A B”的逆否命题.其中真命题是()A.B.C.D.0222bbxbx解析：解析：写出相应命题并判定真假.“若x，y互为倒数，则xy1”为真命题；“不相似三角形的周长不相等”为假命题；“若方程 没有实根，则b1”为真命题；“若A B，则ABB”为假命题.0222bbxbx3.命题“若a0,则a20”的否命题是()若 0,则a0 B.若a0,则 0C.若a0，则 0 D.若a0,则 0答案：答案：Ca2a2a2a2解析：解析：否命题是将原命题的条件与结论分别否定，作为条件和结论得到的，即“若a0,则 0”.a24.“”是“cos cos”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件解析：解析：条件不充分，如=0,=2时，cos=cos；条件必要，cos cos.答案：答案：B5.(2009湖北)“sin=”是“cos 2=”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案答案：A2121解析：解析：sin=时，充分性成立.又cos 2=时，,sin=，必要性不成立.综上，“sin=”是“cos 2=”的充分不必要条件.21212121214122cos1sin221412112cossin226.设p:(a0)，q:关于x的方程 (a0)有实根，则p是q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件042cb02cbxax解析：解析：判别式大于0，关于x的方程 (a0)有实根；但关于x的方程 (a0)有实根，判别式可以等于0.02cbxax02cbxax答案：答案：A7.命题“若x,y是奇数，则x+y是偶数”的逆否命题是 ;它是 命题.解析：解析：原命题是真命题,所以其逆否命题也是真命题.答案：答案：若x+y不是偶数，则x,y不都是奇数真8.（2008全国）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件：;充要条件:.（写出你认为正确的两个充要条件）解析：解析：本题为开放性填空题，下面给出了四个充要条件，任写两个即可，写出其他正确答案也可.答案：答案：两组相对侧面分别平行一组相对侧面平行且全等对角线交于一点底面是平行四边形9.(x-1)(x+2)0的一个必要不充分条件是 .解析：解析：这是一道开放题，答案不唯一，只要满足x-2或x1均可，但不可以是-2x1.答案：答案：x-2(或x1)10.(2009江苏)设和为不重合的两个平面，给出下列命题：若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于;若外一条直线l与内的一条直线平行，则l与平行；设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直.上面命题中，真命题的序号是 (写出所有真命题的序号).解析：解析：由面面平行的判定定理可知，正确.由线面平行的判定定理可知，正确.对来说，若m是内的一条直线,m只垂直于和的交线l，得不到m是的垂线，故也得不出.对来说，l只有和内的两条相交直线垂直，才能得到l,也就是说当l垂直于内的两条平行直线的话，l不一定垂直于.答案：答案：11.写出命题“若m0，则方程 +x-m=0有实数根”的逆否命题，判断其真假，并加以证明.解析：解析：q:1xa.又p:1x3,1a3.1,0)1)(,0)1(:.31,3,0)3)(1(0310235:2apqqpxaxaxaqxxxxxxxxpx解析：解析：原命题的逆否命题是：“若方程 +x-m=0没有实数根，则m0”.它是真命题.x2x2证明：证明：方程 +x-m=0没有实数根，=1+4m0，m ，m0成立.(也可以证明原命题正确)x24112.(2010安丘模拟)已知p:,q:-axx-a,若的充分条件，求实数a的取值范围235xxx2qp是第三节第三节 简单的逻辑结构、全称量词与存在量词简单的逻辑结构、全称量词与存在量词1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1.命题pq,pq,的真假判断ppqpqpq 真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真p2.全称量词(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题.（3）全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为:xM,p(x)，读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.3.存在量词（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.（2）含有存在量词的命题，叫做特称命题.（3）特称命题“存在M中的元素 ,使 成立”可用符号简记为:,读作“存在M中的元素 ”.)(,00 xxpM成立使)(,00 xxp)(,xpMx4.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定命题的否定命题)(,xpMx)(,00 xxpM)(,00 xxpMx0)(0 xp1.(教材改编题)有下列命题：2010年10月1日既是国庆节，又是中秋节；10的倍数一定是5的倍数；梯形不是矩形；方程 =1的解为x=1.其中使用逻辑联结词的命题有（）A.1个B.2个C.3个D.4个x2解析：解析：中有“且”；中没有；中有“非”；中有“或”.答案：答案：C 解析：解析：特称命题的否定是全称命题，所以 ：xR,2x+10.p答案：答案：B 2.(2010海南模拟)已知特称命题p:xR,2x+10.则命题p的否定是（）A.xR,2x+10 B.xR,2x+10C.xR,2x+10 D.xR,2x+103.(教材改编题)已知命题p且q为假命题，则可以肯定()A.p为真命题B.q为假命题C.p,q中至少有一个是假命题D.p,q都是假命题答案：答案：C4.下列含有全称量词的命题为真命题的是（）A.所有的质数是奇数B.xR,+11C.对每一个无理数x,也是无理数D.所有的平行向量均相等x2x2答案：答案：B 解析：解析：A项中质数中有偶数2，故A错；C项中无理数 的平方不是无理数，故C错；D项中只有方向相同，模相等的平行向量才相等,故D错.25.命题“对一切非零实数x，总有x+2”的否定是 ，它是 (填“真”或“假”)命题.答案：答案：xR，x0,x+2真x1解析：解析：例如：x=-2,则xR,x0,x+2.x1x11.“命题：pq,pq,的真假判断”真值表p（）“pq形式复合命题”真值表假假假假真假假假真真真真pqqp简记为“一假必假”(2)“pq形式复合命题”真值表pqpq真真真真假真假真真假假假简记为“一真必真”p(3)“形式复合命题”真值表p真假假真p简记为“真假相对”2.判断复合命题真假的步骤（1）首先确定复合命题的结构形式;（2）判断其中简单命题的真假;（3）根据其真值表判断复合命题的真假.3.含有一个量词的命题的否定（全称命题与特称命题）命题的否定命题)(,xpMx)(,00 xxpM)(,00 xxpM)(,xpMx注：“对所有x成立”的否定是“存在某x不成立”,“对任意x不成立”的否定是“存在某x成立”,“至少有一个”的否定是“一个都没有”,“至多有一个”的否定是“至少有两个”,“至少有n个”的否定是“至多有n-1个”,“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”.4.复合命题的否定（1）“”的否定是“p”.(2)“p或q”的否定是“”(3)“p且q”的否定是“”pqp 或qp 且 题型一题型一 判断含有逻辑联结词的命题的真假判断含有逻辑联结词的命题的真假【例1】分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并判断其真假.(1)5或7是30的约数;(2)菱形的对角线互相垂直平分;(3)8x52无自然数解.分析分析 由含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题的形式及其真值表直接判断.学后反思学后反思 判断含有逻辑联结词的命题的真假的一般步骤:(1）把复合命题写成两个简单命题，并确定复合命题的构成形式；（2）判断简单命题的真假；（3）根据真值表判断复合命题的真假.解析解析:(1)p或q，p：8是30的约数(假)，q：6是30的约数(真).为真命题.(2)p且q，p：矩形的对角线互相垂直(假)，q：矩形的对角线互相平分(真).为假命题.(3)非p,p：2x30有实根(假).为真命题.x2 举一反三举一反三1.分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假.(1)8或6是30的约数；(2)矩形的对角线互相垂直平分；(3)方程 -2x30没有实数根.x2题型二题型二 全、特称命题及其真假判断全、特称命题及其真假判断【例2】判断下列语句是不是命题，如果是，说明其是全称命题还是特称命题,以及真假情况，并用符号“”或“”来表示.(1)有一个向量a，a的方向不能确定;(2)存在一个函数f(x)，使f(x)既是奇函数又是偶函数;(3)对任意实数a,b,c,方程 都有解;(4)在平面外的所有直线中，有一条直线和这个平面垂直吗?分析分析 根据语句中所含联结词判断其是何命题.02cbxax解解(1)(2)都是真命题，(3)是假命题，(4)不是命题.其中(1)(2)是特称命题，(3)是全称命题.上述命题用符号“”或“”表示为：（1）a向量，使a的方向不能确定；（2）f(x)函数,使f(x)既是奇函数又是偶函数；（3）a,b,cR,方程 都有解.02cbxax学后反思学后反思 含有“所有的”、“任意一个”、“任意的”、“一切的”、“每一个”、“任给”等全称量词的命题，叫做全称命题.含有“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”、“存在着”等存在量词的命题，叫做特称命题.要判定全称命题“xM,p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素 ,使得 不成立，那么这个全称命题就是假命题.要判定特称命题“xM,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素 ,使 成立即可;如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，则特称命题是假命题.x0)(0 xpx0)(0 xp 举一反三举一反三2.用符号“”与“”表示含有量词的命题,并判断真假.（1）实数的平方大于等于0;（2）存在一对实数，使2x3y30成立.解析：解析：（1）xR，0，真命题;(2）xR，yR，2x3y30，真命题.x2 题型三题型三 全、特称命题的否定全、特称命题的否定【例3】写出下列命题的否定并判断真假.（1）p:对任意的正数x，x-1；（2）q:三角形有且仅有一个外接圆;（3）r:存在一个三角形，它的内角和大于180;（4）s:有些质数是奇数.x分析分析 以上这几个命题中（1）（2）是全称命题，（3）（4）是特称命题，在否定时既要对结论否定，又要对量词否定.学后反思学后反思 含有全称量词（或存在量词）的命题的否定与命题的否定有着一定的区别，含有全称量词（或存在量词）的命题的否定是将其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定；而命题的否定，则直接否定结论即可.从命题形式上看，含有全称量词的命题的否定是含有存在量词的命题，含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题.解解（1）:存在正数x，xx-1,真命题.（2）:存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆，假命题.（3):所有三角形的内角和小于或等于180，真命题.（4）:所有的质数都不是奇数，假命题.qsrp 举一反三举一反三3.写出下列命题的否定，并判断真假.（1）xR,-4=0;(2)T=2k(kZ),sin(x+T)=sin x;(3)集合A是集合AB或AB的子集.x2解析：解析：它们的否定及其真假分别为：(1)xR,-40,假命题.(2)T=2k(kZ),sin(x+T)sin x,假命题.（3）存在集合A既不是集合AB的子集，也不是AB的子集，假命题.x2 题型四题型四 求与含逻辑联结词、全称量词（存在量词）的命题有关的参数求与含逻辑联结词、全称量词（存在量词）的命题有关的参数的取值范围的取值范围【例4】(12分)已知两个命题r(x):sin x+cos xm,s(x):+mx+10.如果xR,r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围.x2分析分析 由已知先求出xR，r(x),s(x)都是真命题时m的取值范围，再由要求分情况讨论出所求m的范围.学后反思学后反思 解决这类问题时，应先根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况），然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围，最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.解解sin x+cos x=.2当r(x)是真命题时,4又xR,s(x)为真命题，即 +mx+10恒成立，有=-40,-2m2.6当r(x)为真，s(x)为假时，,同时m-2或m2,即m-2;.8当r(x)为假，s(x)为真时，且-2m2,即 10综上所述，实数m的取值范围是m-2或 .12 x22)4sin(2xm22m2m22m22m2m(3)当q和p都是真命题时，得-3m-2.综上，m的取值范围是m-1.解析解析:“p或q”为真命题，则p为真命题，或q为真命题，或p和q都是真命题.(1)当p为真命题时，则 得m-2;0100421212xxxxmm(2)当q为真命题时，则 ,得-3m-1;016)2(162m 举一反三举一反三 4.命题p:方程 +mx+1=0有两个不等的正实数根，命题q:方程 4 +4(m+2)x+1=0无实数根.若“p或q”为真命题，求m的取值范围.x2x2【例】（2009宁夏、海南）有四个关于三角函数的命题：其中的假命题是()A B C D.2cossin:;sin22cos1,0:;sinsin)sin(,:;2122,:432221cossinyxyxxxxyxyxRyxxxRxpppppp41,pp42,pp31,pp32,错解错解 容易忽略 中的条件x 0,认为 或 认为 是错的.中也容易把x、y当作锐角来做，认为 是对的.导致误选C.错解分析对条件中角的范围没有考虑周全或者审题不认真，导致选错.p3xxsin22cos1xxsin22cos1p3p4p4正解正解 恒成立，错；当x=y=0时，sin(x-y)=sin x-sin y,对；当x0,时，sin x0,对；当 时，sin x=cos y成立，但x+y ,错.故选A.122cossin22xxp1p2pxxx32,sin22cos1sinp46,32yx2答案：答案：B1.若命题pq为假，且 为假，则()A.p或q为假 B.q假C.q真 D.p假p解析：解析：为假，则p为真，而pq为假，得q为假.p考点演练考点演练2.若条件p:xAB,则 是()A.xA且xB B.xA或xBC.xA且xB D.xAB 答案：答案：B答案：答案：Dp解析：解析：:xAB,x至少不属于A,B中的一个.p3.（2008广东）已知命题p:所有有理数都是实数，命题q:正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A.B.C.D.qp)(qp)()(qp)()(qp解析：解析：p为真，为假，为真，为真 pq)()(qp4.(2010潍坊模拟)下列命题中真命题的个数是（）xR，;若pq是假命题，则p,q都是假命题；命题“xR,”的否定是“xR,”.A.0 B.1 C.2 D.3 答案：答案：B答案：答案：Cxx24解析：解析：x=0时，不成立，为假命题；若pq是假命题，则p,q至少有一个是假命题，不成立，为假命题;正确.xx240123xx0123xx5.下列命题中不正确的是（）A.a,bR,，有 是等差数列B.a,bR,，使 是等差数列C.a,bR,有 是等差数列D.a,b,cR,使 是等差数列an anananbananbanan2cbansn2cbansn2解析：解析：当c0时，若 ,则 一定不是等差数列.ancbansn26.（2010杭州模拟）已知命题p:0(aR),命题q:函数f(x)=-x在区间0,+)上单调递增，则下列命题为真命题的是（）pq B.pqC.D.解析：解析：因为p真，q假，所以pq为真.答案：答案：A答案：答案：必要 充分8.“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是 ；否命题是 .答案：答案：至少存在一个末位数是0或5的整数，它不能被5整除所有末位数不是0且不是5的整数，不能都被5整除a2x2)()(qpqp)(7.用“充分、必要、充要”填空：(1)pq为真命题是pq为真命题的 条件；(2)为假命题是pq为真命题的 条件.p9.命题“-3x+2=0的两根是1或2”是 的形式，此命题是 (真、假)命题.答案：答案：pq 真答案：答案：e,4x210.(2010烟台模拟)已知命题p：“x0,1,”,命题q:“xR,+4x+a=0”,若命题“pq”是真命题，则实数a的取值范围是 .exa x2解析：解析：若命题“pq”是真命题，那么命题p、q都是真命题.由x0,1,得ae;由xR,+4x+a=0,知=16-4a0a4,因此ea4.exa x211.判断下列命题的真假.(1)对任意的x,y都有 ;(2)所有四边形的两条对角线都互相平分；(3)存在实数a2且b-1,使 ；(4)存在实数x使函数f(x)=x+(x0)取得最小值4.xyyx22252422baba4x解析：解析：(1)是真命题，因为对任意实数x,y，都有 ，所以 .(2)是假命题，只有平行四边形才满足两条对角线互相平分，如梯形就不满足这个条件.02)(222yxyxxyxyyx222(3)是假命题，因为 ,当且仅当a=2，b=-1时等号成立，所以不存在实数a,b，使 ，即不存在实数a2且b-1使 .0524)1()2(2222bababa0)1()2(22ba52422baba(4)是真命题，因为存在实数x=20，使函数f(x)=x+(x0)取得最小值4.4x12.给定两个命题,P：对任意实数x都有 恒成立；Q：关于x的方程 有实数根.如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围.012axax02axx解析：解析：对任意实数x都有 恒成立 a=0或 ;关于x的方程 有实数根 .如果P真Q假，有0a4,且a ,a4;如果Q真P假，有a0或a4,且a ,a0.所以实数a的取值范围为 .012 axax02axx4000aa41 a414141一、对集合的理解以及集合思想的应用一、对集合的理解以及集合思想的应用集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想在函数与方程、不等式中的运用.通过复习,考生应树立运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.【例1】已知集合A=t|t使x|+2tx-