《数学归纳法》(好)ppt课件

有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。思考：归纳法有什么优点和缺点？思考：归纳法有什么优点和缺点？优点：优点：可以帮助我们从一些具体事可以帮助我们从一些具体事 例中发现一般规律例中发现一般规律缺点：缺点：仅根据有限的特殊事例归纳仅根据有限的特殊事例归纳 得到的结论有时是不正确的得到的结论有时是不正确的有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。111a 212a 313a 解解:猜想数列的通项公式为猜想数列的通项公式为验证验证:同理得同理得717=a515=a616=a818=a啊啊,有完有完没完啊没完啊?919=a正整数正整数无数个无数个!414=a对于数列，已知，对于数列，已知，na11=annnaaa+=+11)(*Nn （1）求出数列前）求出数列前4项项,你能得到什么猜你能得到什么猜想？想？（2）你的猜想一定是正确的吗？）你的猜想一定是正确的吗？)(*Nnnan1情境二情境二有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。（一）视频播放（一）视频播放你见过多米诺骨牌游戏吗你见过多米诺骨牌游戏吗?对我们解决本题证明有什么启示？对我们解决本题证明有什么启示？二、引导探究，寻求解决方法二、引导探究，寻求解决方法有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。1、第一块骨牌倒下、第一块骨牌倒下2、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下倒下条件（条件（2）事实上给出了一个递推关系，换言之就是假）事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第设第K块倒下，则相邻的第块倒下，则相邻的第K+1块也倒下块也倒下请同学们思考所有的骨牌都一一倒下只需满足哪几个请同学们思考所有的骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件条件(二二)师生互助师生互助有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。多米诺骨牌游戏原理多米诺骨牌游戏原理（1）第一块骨牌倒下。）第一块骨牌倒下。（2）若第）若第k块倒下时，块倒下时，则相邻的第则相邻的第k+1块也块也倒下。倒下。根据（根据（1）和）和（2），可），可知不论有多少块骨牌，知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。都能全部倒下。（1）当）当n=1时，猜想成立时，猜想成立根据（根据（1）和（）和（2），可知），可知对任意的正整数对任意的正整数n，猜想猜想都成立。都成立。通项公式为通项公式为 的证的证明方法明方法1nan（2）若当）若当n=k时猜想成时猜想成立，即立，即 ，则当，则当kak1=111+=+kakn=k+1时猜想也成立，时猜想也成立，即即 。三、类比问题，师生合作探究三、类比问题，师生合作探究（一）类比归纳有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。当一个命题满足上述（当一个命题满足上述（1）、（）、（2）两个条件时，我们能把证明无限问题两个条件时，我们能把证明无限问题用有限证明解决吗用有限证明解决吗?（二）理解升华（二）理解升华有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。一般的，证明一个与正整数有关的命题，可按下列一般的，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：步骤进行：（1 1）【归纳奠基归纳奠基】证明当证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0(n(n0 0 N*)时命题成立时命题成立;（2 2）【归纳递推归纳递推】假设当假设当n=k(kNn=k(kN*,k n,k n0 0)时命时命题成立，证明当题成立，证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立.从而就可以断定命题对于从而就可以断定命题对于n n0 0开始的所有正整数开始的所有正整数n n都成立。都成立。这种证明方法这种证明方法叫做叫做 数学归纳法数学归纳法。（四）提炼概念（四）提炼概念有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。nnnaaa+=+1111=a对于数列，已知，对于数列，已知，na)(*Nn写出数列前写出数列前4项项,并猜想其通项公式并猜想其通项公式 ;同学们同学们,你能验证你能验证你的猜想是不是正确吗你的猜想是不是正确吗?na四、例题研讨，学生实践应用四、例题研讨，学生实践应用（一）典例析剖（一）典例析剖有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。（二）变式精炼（二）变式精炼用数学归纳法证明用数学归纳法证明 21 35(21)nn)(Nn有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。135（2n1）用数学归纳法证明用数学归纳法证明n2即当即当n=k+1时等式也成立。时等式也成立。根据（根据（1 1）和（）和（2 2）可知，等式对任何都成立。）可知，等式对任何都成立。n N证明：证明：135（2k1）+2(k+1)1那么当那么当n=k+1时时（2）假设当）假设当nk时，等式成立，即时，等式成立，即（1）当）当n=1时，左边时，左边1，右边，右边1，等式成立。，等式成立。135（2k1）k2 +2(k+1)1k2 2k1k2（k+1）2（假设）（假设）（利用假设）（利用假设）注意：注意：递推基础不可少，递推基础不可少，归纳假设要用到，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉结论写明莫忘掉。证明传递性证明传递性（凑结论）凑结论）有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。（三）能力提升（三）能力提升用数学归纳法证明用数学归纳法证明 2222.321n6)12)(1(nnn)(Nn有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。证明：证明：（1）当）当n=1时，时，左边左边=12=1 右边右边=1 等式成立等式成立(2)假设当假设当n=k时等式成立时等式成立,即即6)12)(1(3212222+=+kkkk那么那么,当当n=k+1时时2)1(+k6)1(6)12)(1(2+=kkkk6)672)(1(2+=kkk6)32)(2)(1(+=kkk6 1)1(21)1)(1(+=kkk即当即当n=k+1等式也成立等式也成立根据根据(1)和和(2),可知等式对任何可知等式对任何 都成立都成立.*Nn22222)1(321+kk凑出目标凑出目标6)12)(1(+=kkk用到归用到归纳假设纳假设有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。数学归纳法步骤，用框图表示为：数学归纳法步骤，用框图表示为：验证验证n=n0 0时时命题成立。命题成立。若若n=k(k n0 0)时命题成立，时命题成立，证明当证明当n=k+1时命题也成立。时命题也成立。命题对从命题对从n0 0开始的所有开始的所有的正整数的正整数n都成立。都成立。归纳奠基归纳奠基归纳递推归纳递推 注：两个步骤注：两个步骤,一个结论一个结论,缺一不可缺一不可有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。思考思考1 1：试问等式试问等式2+4+6+2+4+6+2n+2nn n2 2+n+1+n+1成立吗？某成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？学得到的结论正确吗？解解:设设n nk k时成立，即时成立，即这就是说，这就是说，n nk+1k+1时也成立时也成立2+4+6+2kk2+k+1则当则当n=k+1n=k+1时时 2+4+6+2+4+6+2k+2(k+1)+2k+2(k+1)k2+k+1+2k+2(k+1)2+(k+1)+1 所以等式对任何所以等式对任何nNnN*都成立都成立事实上，当事实上，当n n1 1时，左边时，左边2 2，右边，右边3 3左边左边右边，等式不成立右边，等式不成立该同学在没有证明当该同学在没有证明当n=1n=1时，等式是否成立的前提时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何下，就断言等式对任何nNnN*都成立，为时尚早都成立，为时尚早有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。证明：证明：当当n=1时，左边时，左边,21右边右边,212111 假假设设n=k时，时，等式成立，等式成立，,2112121212132kk 那么那么n=k+1时时 1322121212121kk等式成立等式成立这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立时，等式也成立根据（根据（1）和（）和（2），可知等式对任何），可知等式对任何nN都成立都成立即即211)21(1 211 k.2111 k第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求数学归纳法的证明要求思考思考2 2：下面是某同学下面是某同学 用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式成立的过程成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？（nN）nn2112121212132 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。因此，用数学归纳法证明命因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一题的两个步骤，缺一不可。第一步是步是递推的递推的基础基础，第二步是，第二步是递递推的推的依依据据。缺了第一步递推失。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。依据，因此无法递推下去。有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。1.在应用数学归纳法证明凸在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为边形的对角线为 n(n3)条时，第一步检验条时，第一步检验n等于等于 ()A.1B.2 C.3 D.0解析：解析：因为因为n3，所以，第一步应检验，所以，第一步应检验n3.答案：答案：C有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2.用数学归纳法证明用数学归纳法证明1aa2an1 (a1)，在验证在验证n1时，等式左端计算所得的项是时，等式左端计算所得的项是 ()A.1 B.1a C.1aa2 D.1aa2a3解析：解析：因为当因为当n1时，时，an1a2，所以验证，所以验证n1时，时，等式左端计算所得的项是等式左端计算所得的项是1aa2.答案：答案：C有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。3.利用数学归纳法证明利用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)，nN*”时，从时，从“nk”变到变到“nk 1”时，左边应增乘的因式是时，左边应增乘的因式是 ()A.2k1 B.2(2k1)C.D.有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。解析：解析：当当nk(kN*)时，左式为时，左式为(k1)(k2)(kk)；当当nk1时，左式为时，左式为(k11)(k12)(k1k1)(k1k)(k1k1)，则左边应增乘的式子是则左边应增乘的式子是 2(2k1).答案：答案：B有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。4.用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：，第一步应验证左式是第一步应验证左式是，右式是右式是.解析：解析：令令n1则左式为则左式为1 ，右式为，右式为 .答案：答案：有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。5.记凸记凸k边形的内角和为边形的内角和为f(k)，则凸，则凸k1边形的内角和边形的内角和 f(k1)f(k).解析：解析：由凸由凸k边形变为凸边形变为凸k1边形时，增加了一个三边形时，增加了一个三角形，故角形，故f(k1)f(k).答案：答案：有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。六、巩固作业，分层布置六、巩固作业，分层布置课本课本P P9696习题习题2.3 A2.3 A组组 1 1、2 2（必做）（必做）（选做题）（选做题）用数学归纳法证明用数学归纳法证明)1(12131211 nNnnn且时，由时，由n=kn=k（k1k1）时不等式成立，推证）时不等式成立，推证n=k+1n=k+1，左边，左边应增加的项数是（应增加的项数是（）项）项A.2A.2k k-1 B.2-1 B.2k k+1 C.2+1 C.2k-1k-1 D.2 D.2k k