数学物理方法复习ppt课件

复变函数复变函数1.复数定义：大小的不能比较大小 三种几何表示方法：点，向量，复球面v 数学表示法 v 复数的运算 Z的n次方的计算22cossin/cossinixxyyarctg y xrxyzZiZe复数的三角形式和指数形式：（1）复数的三角形式用极坐标、代替直角坐标，来表示复数（2）复数的指数形式其中 叫做复数的模，叫做复数的副角。1212121212121 212122112112122112222222222()()()()()()zzxxi yyzzxxi yyz zx xy yi x yx yzx xy yx yx yizxyxy复数的运算：31(1)(2)1(3)1iZeii把下列复数用代数式、三角式和指数式表示出来。33332233322333()(cossin)()(3)(3)(cos3sin3),(/)izzxiyizxiyxxyix yyzixyarctg y xze（1）代数式：令三角式：指数式：1(1 2)(2)cos1sin1cos(12)sin(12)(0,1,2)iikezeiezekikzeek 代数式：三角式：指数式：3221(3)133cos2sin222(0,1,2)ikiizizkikzek 代数式：三角式：指数式：3/5(1)(2)sin5ii计算下列数值。i(+2n)2i(+2n)1(+2n)22i=e0,1,2eiinie 因为：，所以：复变函数复变函数3.复变函数一个复变函数是一个二元实变函数的有序组合 可导的必要与充要条件必要条件：v四个偏导数存在：v满足C-R条件：充分必要条件：1.四个偏导数连续2.满足C-R条件解析函数的概念定义：定义：解析的充要条件：解析的充要条件：该区域内可该区域内可导的充要条件处处成立导的充要条件处处成立函数解析与可导、连续、极限的关系解析函数的性质1.C-R：2.判断一个函数是否解析(1)sin()(2)sin()(3)ln(1)aibix计算下列各式数值()()(1)sin()sin()2(cossin)(cossin)2sinsincoscos2sincos2i a ibi a ibbbbbbbbbbbaibeeaibieaiaeaiaieaeai eaeaeeai eea()()(2)sin()sin()22(3)ln(1)ln(1)ln1220,1,2i ixi ixxxixeeeeixiiikikk sin2z 已知方程：，计算Zsin22423ln23ln23lnln23(/22)iZiZiZiZiZeezieeieiiziiik解：即解得：ln23(/22)(/22)ln23ikziki(1)sin()(2)sin()(3)ln(1)aibix计算下列各式数值()()(1)sin()sin()2(cossin)(cossin)2sinsincoscos2sincos2i a ibi a ibbbbbbbbbbbaibeeaibieaiaeaiaieaeai eaeaeeai eea()()(2)sin()sin()22(3)ln(1)ln(1)ln1220,1,2i ixi ixxxixeeeeixiiikikk sin2z 已知方程：，计算Zsin22423ln23ln23lnln23(/22)iZiZiZiZiZeezieeieiiziiik解：即解得：ln23(/22)(/22)ln23ikziki22(,)(,)22222222u x yxyv x yuuxyxyvvyxxydvydxxdyvydxxdyc 例一求解析函数的虚部解：因为：，所以：，即Y (X,Y)0 (X,0)X既然积分与路径无关，为方便计算，取如图所示路径积分可得：(,0)(,)(0,0)(,0)(,)(,0)222222xx yxx yxvydxxdyydxxdycxdycyxcY (X,Y)0 (X,0)X2,y2例三：已知解析函数f（Z）的虚部v(x,y)=-x+x求其实部及整个解析函数。2,2cos(/2)1sin(/2),cos(/2)221cos(/2),sin(/2)22yvvCRuu 2已知解析函数f（Z）的虚部v(x,y)=-x+x求其实部及整个解析函数。解：在极坐标系下表示：v根据条件，可得：1cos(/2)sin(/2)222cos(/2)2cos(/2)()2cos(/2)2cos(/2)2dudddcf zcizc 即：所以：u()sin()sin,cos,sin,cos,sincos(cos)xxxxxxxxf zueyf zuueyeyxyCRvveyeyyxvvdvdxdyxyeydxeydydey 已知某解析函数实部，求其虚部并完整表示整个函数。解：根据条件可得：即：cos()sin(cos)(cossin)xxxxxiyzveycf zeyieycieyiyicie eicieic 所以：最后：2.复变函数的积分 C分段光滑 在线段C上连续1.定义式2.分解式2.复积分的基本性质1.2.3.复积分的基本性质4.5.复通区域的科西定理复积分的计算方法v1.定义式v2.分解式：v3.极坐标法：积分曲线为圆周时v4.科西定理：科西积分公式二.科西公式的推论高阶导数公式的说明1.2.3.围道积分计算总结1.科西定理：2.科西公式：3.科西导数公式4.综合式（复连通区域导数公式）如：cnzzdz10)(例：计算其中为以为中心，为半径的正方向，为整数C0zrn解：的方程为C200irezz所以：2020)1(110)(inncnininedriderirezzdz0)sin()cos()(,02,020100dninrizzdznizzdznncnc时当时当结论非常重要，必须记住：其特点是与积分路线的圆周中心及半径无关rzznnnizzdz00002)(10dzzcC例：试沿区域内的圆弧计算的值0)(0)(zRzIem1zdzzzi11)1ln(2)1ln(21,1)1ln(:zzz函数为它的一个原在所设区域内解析函数解iizdzzzii82ln2ln83322ln)1(ln21)1(ln211)1ln(2222112所以例：计算的值，为包含圆周的任何正向简单闭曲线dzzzz2121z,0.,1012:1212zccczzzzz只含奇点也互不相交的正向圆周内作两个互不包含包含了这两个奇点在而外处处解析和在复平面内除解iiidzzdzzdzzdzzdzzzdzzzdzzzzdzzzzdzzzzzcccccccccc4220111111)111()111(121212,1221211122222则只含奇点柯西定理的应用由 的 积分之值，证明:证明:因为被积函数的奇点 在积分围道 外，故在 内 解析，因而有:|12zdzz2012cos054cosd2z|1z|1z 12z|102zdzz例：求下列积分（沿圆周正向）的值dzzzdzzzizz)3211()2(sin21)1(44iiidzzdzzdzzzziidzzzizzzzzzzz6221232)1(1)3211()2(0sin221sin21,44sin)1(:44404由定理上解析的内部及在解柯西公式应用v应用举例例1v问题：计算回路积分 分析：与柯西公式比较，可知f(z)=cosh(z),a=-1解：由柯西公式2|1coshzdzzz)(2)(afidzazzfL1cosh2)1cosh(21cosh2|iidzzzz柯西公式应用v已知 ,求 的值 2|3371f ZdZ1fiv解：当|x|3时，由Cauchy公式有：)173(217323|2zzizx)173(2)(2zzizf)76(2)(zizf幂级数收敛半径例1.求解 泰勒级数设f(z)在区域D解析，则在该区域内任意一点z=b的领域 含于D内，f(z)可以展开为唯一的幂级数：b基本函数的泰勒展开例1.例2.例3.泰勒级数罗朗级数上一致收敛上一致收敛罗朗级数C展开方法例4 （1）以Z=0为中心进行罗朗展开（2）在环域 Z-1 1中展开例5解析函数的孤立奇点1.孤立奇点概念 孤立奇点的分类孤立奇点的分类孤立奇点的分类孤立奇点的分类孤立奇点的分类例2 孤立奇点的分类留数定理在D内将孤立奇点分别用互不包含且互不相交的围线Ck围绕起来，而围线L包围了所有的奇点，应用复连通区域的科西积分定理得：留数定理无限远点的留数留数定理留数的计算方法留数的计算方法留数的计算实例例2.留数的计算实例留数的计算实例例3.留数的计算实例利用留数计算围道积分利用留数计算围道积分例42.用留数定理计算实积分例4类型二：此处此处Zk为上半平面奇点，不包括下半平面奇点为上半平面奇点，不包括下半平面奇点例5傅里叶变换12：数学模型的建立和边界条件数学模型的建立和边界条件定解条件定解条件定解条件定解条件例2.规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值 定解条件定解条件规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值 例3.物体冷却时放出的热量-与物体和外界的温度差（u-u0）成正比，其中u0为周围介质的温度。定解条件定解条件行波法行波法解题思想行波法解题思想：（也叫通解法，并不仅仅局限于求解波动方程）：（也叫通解法，并不仅仅局限于求解波动方程）先求出通解先求出通解 代入定解条件代入定解条件 求出定解求出定解不同边界条件下的本征值问题解解：步骤：步骤1，求出具有变量分离形式且满足边界条件的求出具有变量分离形式且满足边界条件的解解。令令(,)()()u x tX x T t带入方程：带入方程：2()()()()X x Tta Xx T t2()()()()XxTtX xa T t 令令2()()0()()0XxX xTta T t带入边界条件带入边界条件(0)()0,()()0XT tX l T t(0)0,()0XX l22222,0,0(0,)0,(,)0,0(,0)(,0)(),(),0uuaxl ttxutu l ttu xu xxxxlt 1 求两端固定的弦自由振动的规律求两端固定的弦自由振动的规律一一 有界弦的自由振动有界弦的自由振动()()0(0)0,()0XxX xXX l分情况讨论：01）()xxX xAeBe 00llABAeBe 00ABX02）()X xAxB00ABX()cossinX xAxBx0sin0ABl03）令 ，为非零实数 2(1,2,3,)nnl222(1,2,3,)()sin(1,2,3,)nnnnnlnXxBxnl222nl特征值问题特征值与特征函数2222()()0nna nTtT tl()cos sin(1,2,3,)nnnn atn atT tCDnll(,)(cossin)sin(1,2,3,)nnnn an anux tCtDtxnlll11(,)(,)(cossin)sin(1,2,3,)nnnnnu x tux tn an anCtDtxnlll2()()0()()0XxX xTta T t22222,0,0(0,)0,(,)0,0(,0)(,0)(),(),0uuaxl ttxutu l ttu xu xxxxlt 222(1,2,3,)nnnl()sin(1,2,3,)nnnXxBxnl步骤步骤2，叠加原理做出叠加原理做出解的线性组合解的线性组合。01(,)(,0)sin()ntnnu x tu xCxxl10(,)sin()nntu x tn anDxxtll1sin)sincos(nnnxlntlanDtlanCu2001 cos 2/sindd22llnlnlx xxl001sinsindcoscosd02llnmnmnmxx xxxxllll xxlmxlnCxxlmxlnnldsinsindsin)(010 mCl2lmxxlmxlC0dsin)(2lnxxlnxanD0dsin)(2lnxxlnxlC0dsin)(2步骤步骤3，其余的定解条件求出其余的定解条件求出系数系数。)()(),(tTxXtxu2/lnnxlnBxXnnsin)(tlanDtlanCTnnnsincos1sin)sincos(nnnxlntlanDtlanC11nnnnnTXuulnxxlnxanD0dsin)(2lnxxlnxlC0dsin)(20 XX02 TaT分离变量求特征值和特征函数求另一个函数求通解确定常数分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。lxxtxuxxuttlututlxxuatu0),()0,(),()0,(0,0),(,0),0(0,0,22222不同边界条件下的本征值问题,02qrprxrxreCeCy212121rr 实根实根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特特 征征 根根通通 解解求方程的通解的步骤为：求方程的通解的步骤为：(1)写出微分方程的写出微分方程的特征方程特征方程 (2)求出特征根求出特征根 ，(3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解。的通解。0 qyypy21,rr二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程20,r 1212r xr xyC eC e 120,0rr 12()yCC x12(cossin)yCxCx特特 征征 根根通通 解解求方程的通解的步骤为：求方程的通解的步骤为：(1)写出微分方程的写出微分方程的特征方程特征方程 (2)求出特征根求出特征根 ，(3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解。的通解。0yy 21,rr二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程120,rr 实实根根120,rri 球函数球函数10.1.1 勒让德方程勒让德方程 勒让德多项式勒让德多项式在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程0sin1)(sinsin1)(12222222ururrurrr222dd2(1)0ddRRrrl lRrr （10.1.1）在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程和和球谐函数方程球谐函数方程22211sin(1)0sinsinYYl lY（10.2）(10.1.2)式的解式的解(,)Y 与半径与半径r无关，故称为无关，故称为球谐函数球谐函数，或简称为球函数，或简称为球函数球谐函数方程进一步分离变量，令球谐函数方程进一步分离变量，令(,)()()Y 得到关于得到关于的常微分方程的常微分方程 221ddsin(1)0sinddsinml l（10.1.3）称为称为l阶阶连带勒让德方程连带勒让德方程.令令cosx 和和()()y xx 把自变数从把自变数从换为换为x，则方程（，则方程（19.1.3）可以化为下列）可以化为下列l阶阶连连带勒让德方程 形式的形式的l22222dd(1)2(1)0dd1yymxxl lyxxx（10.1.4）若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与无关，则无关，则0m，即有，即有1dsin(1)0sinddl ld （10.1.5）称为称为l阶阶勒让德（勒让德（legendre）方程）方程 同样若记同样若记 arc cosx，()()y xx，则上述方程也可写为下列，则上述方程也可写为下列形式的形式的l阶勒让德方程阶勒让德方程2dd(1)(1)0ddyxl lyxx (10.1.6)1012 勒让德多项式的表示勒让德多项式的表示1.勒让德多项式的级数表示勒让德多项式的级数表示我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解()lP x为为 220(22)!P()(1)2!()!(2)!lklkllklkxxk lklk （10.1.7）式中式中 ,22 (0,1,2,)12,212llnlnlln上式具有多项式的形式，故称上式具有多项式的形式，故称P()lx为为l阶阶勒让德多项式勒让德多项式勒让德多项式也称为勒让德多项式也称为第一类勒让德函数第一类勒让德函数式（式（10.1.7）即为勒让德多项式的级数表示）即为勒让德多项式的级数表示注意到注意到cosx,故可方便地得出前几个勒让德多项式故可方便地得出前几个勒让德多项式:0P()1x 1P()cosxx2211P()(31)(3cos 21)24xx3311P()(53)(5cos33cos)28xxx42411P()(35303)(35cos420cos29)864xxx53511P()(637015)(63cos535cos330cos)8128xxxx642611P()(2313151055)(231cos6126cos4105cos250)16512xxxx计算计算P(0)l，这应当等于多项式，这应当等于多项式P()lx的常数项的常数项 如如l为为21n（即为奇数）时，（即为奇数）时，21P()nx则则只含奇只含奇 数次幂，不含常数项，所以数次幂，不含常数项，所以21P(0)0n（19.8）2ln（即为偶数）时，（即为偶数）时，则则2P()nx含有常数项，即含有常数项，即（19.7）中）中 2kln的那一项，所以的那一项，所以 2(2)!(21)!P(0)(1)(1)2!2!(2)!nnnnnnnnnn （19.9）式中记号式中记号(2)!(2)(22)(24)6 4 2nnnn 而而(21)!(21)(23)(25)5 3 1nnnn 因此因此，(2)!(2)!(21)!nnn10.2 勒让德多项式的性质勒让德多项式的性质10.2.1 勒让德多项式的性质勒让德多项式的性质 1.勒让德多项式的零点勒让德多项式的零点对于勒让德多项式的零点，有如下结论：对于勒让德多项式的零点，有如下结论：（i）P()nx的的n个零点都是实的，且在个零点都是实的，且在)1,1(内；内；（ii）P()nx的零点与的零点与1P()nx的零点互相分离的零点互相分离 2.奇偶性奇偶性根据勒让德多项式的定义式，作代换根据勒让德多项式的定义式，作代换(),xx 容易得到容易得到P()(1)P()lllxx （10.2.1）即当即当l为偶数时，勒让德多项式为偶数时，勒让德多项式P()lx为偶函数，为偶函数，为奇数时为奇数时为奇函数为奇函数 lP()lx3.勒让德多项式的正交性及其模勒让德多项式的正交性及其模不同阶的勒让德多项式在区间不同阶的勒让德多项式在区间 1,1上满足上满足12,1P()P()dnlln lxxxN(10.2.2)其中其中,1 ()0 ()n lnlnl当当nl时满足时满足11P()P()0nlxx dx，(10.2.3)称为正交性称为正交性 相等时可求出其模相等时可求出其模1212P()(0,1,2,)21llNx dxll (10.2.4)4.广义傅里叶级数广义傅里叶级数定理定理10.2.1 在区间-1,1上的任一连续函数()f x,可展开为勒让德多项式的级数可展开为勒让德多项式的级数 0()P()nnnf xCx （10.2.5）其中系数其中系数 1121()P()d2nnnCfxxx (10.2.6)在实际应用中在实际应用中,经常要作代换经常要作代换cosx,此时勒让德方程的解为此时勒让德方程的解为P(cos)n，这时有，这时有 0(cos)P(cos)nnnfC (10.2.7)其中系数为其中系数为021(cos)P(cos)sin d2nnnCf （19.2.8）10.2.2.勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开）勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开）例例10.2.1 将函数函数 3()f xx按勒让德多项式形式展开按勒让德多项式形式展开.【解解】根据根据（10.2.5）设）设3001 12233P()P()P()P()xCxCxCxCx考虑到考虑到 P()(1)P()nnnxx，由由(10.2.6)显然有显然有 020CC11331111333P()dd225Cxxxxx x1133333117712P()d(5-3)d2225Cxxxxxxx所以所以31332P()P()55xxx例例10.2.2 将函数将函数 cos2 (0)展开为勒让德多项式展开为勒让德多项式P(cos)n形式形式【解】【解】用直接展开法用直接展开法令令 cosx，则由，则由22cos22cos121x 我们知道：我们知道：20121P()1,P(),P()(31)2xxxxx可设可设2001 12221P()P()P()xCxCxCx 考虑到勒让德函数的奇偶性，显然考虑到勒让德函数的奇偶性，显然10C 2202121(31)2xCCx由由20,xx项的系数，显然得出项的系数，显然得出2041,33CC 故有故有 02021414cos(2)P()P()P(cos)P(cos)3333xx下面我们给出一般性结论：下面我们给出一般性结论：结论结论1：设：设 k为正整数，可以证明：为正整数，可以证明：22222220021212123231 1P()P()P()P()P()P()kkkkkkkkkkxCxCxCxxCxCxCx结论结论2：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数()f x为奇函数，为奇函数，则展开式（则展开式（10.2.5）系数）系数20nC若需展开的函数若需展开的函数()f x为偶函数，则展开式（为偶函数，则展开式（19.2.5）系数）系数210nC 0,1,2,3,n 例例10.2.3 以勒让德多项式为基，在-1,1区间上把3()234f xxx展开为广义傅里叶级数展开为广义傅里叶级数【解解】本例不必应用一般公式本例不必应用一般公式，事实上，事实上，()f x是三次多项式（注意是三次多项式（注意()f x既非奇函数，也非偶函数），既非奇函数，也非偶函数），设它表示为设它表示为33023012323021323234P()111(31)(53)221335()()2222nnnxxCxCCxCxCxxCCCC xC xC x