函数项级数-幂级数分解课件

函函 数数 项项 级级 数数函数项级数的函数项级数的处处收敛性处处收敛性 .,:),(R)(1121部部分分和和通通项项函函数数项项级级数数数数列列函函称称为为它它的的项项之之和和前前称称为为它它的的上上的的称称为为集集合合或或表表达达式式联联结结起起来来所所得得到到的的将将它它的的各各项项依依次次用用加加号号称称为为上上的的一一列列函函数数是是定定义义在在集集合合设设 nkknnnnnnuSnuDuuuuDxu的的为为函函数数项项级级数数则则称称收收敛敛若若 1010)(,)(nnnnxuxxu 收敛点收敛点，收敛点的全体称为，收敛点的全体称为收敛域收敛域。类似地。类似地有发散点和发散域的定义。有发散点和发散域的定义。.,)(,)(,1BxSxuBxnn是是级级数数的的收收敛敛域域和和函函数数的的定定义义域域就就称称为为和和函函数数，确确定定的的和和因因而而有有一一个个收收敛敛收收敛敛域域对对于于任任一一 ).(0)(lim,11DxxRuSSRDunnnkknnnn 并且并且为该级数的为该级数的则称则称上处处收敛上处处收敛在在若级数若级数余项余项幂幂 级级 数数定义定义:.)()()()(02020100022100幂幂级级数数的的函函数数项项级级数数称称为为或或者者形形如如 nnnnnnnnnnxxaxxaxxaaxxaxaxaxaaxa.,|,)2(;,|,0)1(:,00000发发散散该该级级数数时时则则当当处处发发散散若若它它在在点点数数绝绝对对收收敛敛该该级级时时则则当当处处收收敛敛若若它它在在点点下下列列命命题题成成立立对对于于幂幂级级数数xxxxxxxannn 定理定理1(1(AbelAbel定理定理)x R R几何说明几何说明绝对收敛区域绝对收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域O幂级数收敛区间关于原点对称！幂级数收敛区间关于原点对称！定理定理2 2.|,|,)3(;0)2(;,R)1(:0时发散时发散当当时绝对收敛时绝对收敛当当存在一个正数存在一个正数点收敛点收敛仅在仅在并且绝对收敛并且绝对收敛它都收敛它都收敛对于任何对于任何的收敛性仅有三种可能的收敛性仅有三种可能幂级数幂级数RxRxRxxxannn 定义定义1 1收收敛敛区区间间.收收敛敛半半径径称称为为它它的的对对应应的的开开区区间间的的称称为为幂幂级级数数中中的的正正数数定定理理),(,20RRxaRnnn 幂级数的幂级数的收敛域收敛域可能包含端点（而可能包含端点（而收敛区间只能收敛区间只能是开区间是开区间）：规定：规定：处处收收敛敛时时，当当幂幂级级数数只只在在0)1(x,0 R；收收敛敛域域为为0收收敛敛时时，当当幂幂级级数数对对一一切切实实数数都都)2(,R；收收敛敛区区间间为为),(定理定理3 3110lim,lim,0,nnnnnnnnnnaaRaaaxa则则收收敛敛半半径径为为存存在在或或为为并并且且若若设设有有幂幂级级数数定理定理3 3nnnnnnnnnnaRaaxa|1lim,|1lim,0,0 则收敛半径为则收敛半径为存在或为存在或为并且并且若若设有幂级数设有幂级数性质性质 )R,()(,)1(:,),(,min,00000212100 其其中中并并且且收收敛敛级级数数有有上上敛敛区区间间则则在在它它们们的的公公共共收收令令与与的的收收敛敛半半径径分分别别为为与与设设幂幂级级数数nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxbaxbxaxbxaRRRRRRRxbxa定理定理4 40110000,)2(bababacxcxbxannnnnnnnnnnnn 其其中中并并且且它它们们的的乘乘积积级级数数收收敛敛定理定理5(5(内闭一致收敛性内闭一致收敛性).,),(,0,0上都是一致收敛的上都是一致收敛的内的任何闭子区间内的任何闭子区间则它在其收敛区间则它在其收敛区间的收敛半径为的收敛半径为设幂级数设幂级数baRRRRxannn 定理定理6 6;)(),(,),()()2();,()(,),()()1(:,),(1100径径幂幂级级数数有有相相同同的的收收敛敛半半求求导导后后所所得得幂幂级级数数与与原原有有即即并并且且可可以以逐逐项项求求导导数数内内有有连连续续的的导导在在收收敛敛区区间间即即内内是是连连续续的的在在收收敛敛区区间间则则下下列列命命题题成成立立收收敛敛半半径径为为的的和和函函数数设设幂幂级级数数 nnnnnnnnnxnaxaxSRRxRRxSRRCxSRRxSRxSxa .1d dd),(,),()()3(0100000收收敛敛半半径径幂幂级级数数有有相相同同的的积积分分后后所所得得幂幂级级数数与与原原有有即即积积分分并并且且可可以以逐逐项项内内可可积积在在收收敛敛区区间间 nnnnxnnxnnnxxnattattattSRRxRRxS逐项求导或积分后所得到幂级数逐项求导或积分后所得到幂级数收敛半径不变收敛半径不变。但在收敛区间端点处的敛散性可能改变。但在收敛区间端点处的敛散性可能改变。收收敛敛域域求求 1)12()1(nnnxxn试试求求其其收收敛敛区区间间。处处条条件件收收敛敛，在在设设3)2(1 xxannn例例 1 1为为多多少少？处处发发散散，则则其其收收敛敛区区间间处处收收敛敛，在在在在若若13)1(1 xxxannn例例 2 2311 xx或或例例 3 3 求下列幂级数的收敛半径、收敛区间与求下列幂级数的收敛半径、收敛区间与 收敛域收敛域:1)1()1(nnnx 1131211)2(nnnx 1)1()1(2)3(nnnnxn 112ln2)4(nnnnx 0422)12(1)5(nnnxn例例 4 4 求幂级数的收敛域及和函数求幂级数的收敛域及和函数 11)1(nnnnx 121)2(nnnnx 12)12(2 )3(nnnxn例例 5 5 求级数的和求级数的和 12)12(1)3(nnnn)12ln(22ln2 1212)1(nnnnnnn)43(12)1()2(1 函数展开成幂级数函数展开成幂级数Taylor级数级数函数函数 f(x)展开成幂级数展开成幂级数是指存在幂级数在其是指存在幂级数在其收敛域内以收敛域内以 f(x)为和函数为和函数.00nnnxxaxf级级数数的的为为称称级级数数的的称称为为函函数数则则幂幂级级数数导导数数，的的某某邻邻域域内内具具有有无无穷穷阶阶在在点点如如果果Maclaurin)(!)0(,)()(!)()(0)(000)(0 xfznfTaylorxfxxnxfxxfnnnnnn 定义 .,0lim !Taylor,0000000000RxRxxxRxxnxfxfxRxRxfRxRxfnnnnn 充充要要条条件件是是处处的的内内能能展展开开为为它它在在在在则则内内有有任任意意阶阶导导数数在在设设级级数数定理定理1(函数能展开成函数能展开成Taylor级数的级数的充要条件充要条件).Maclaurin,!0!2000Taylor0.Taylor,TaylorR,:200000展开式展开式展开式展开式的的称为称为展开式展开式处的处的在在处的处的在在则称该等式为则称该等式为级数级数处的处的能展开为它在能展开为它在如果函数如果函数fRRxxnfxfxffxfxfxfxRxRxfnn 。，则则必必有有的的幂幂级级数数的的邻邻域域内内能能展展开开成成在在如如果果)2,1,0(!)()()(0)(0000 nnxfaxxaxxxxfnnnnn唯一性唯一性:若若f(x)可展开为可展开为 x 的幂级数，则它的幂级数，则它 的展开式必的展开式必唯一，即为唯一，即为Maclaurin级数级数特别当特别当:00 xnnnxnf 0)(!)0(1.1.直接法直接法(Taylor(Taylor级数法级数法).)(0处处各各阶阶导导数数是是否否存存在在在在首首先先检检查查xxxf 第一步第一步;),(,),(),(),(0)(000的的值值计计算算xfxfxfxfn 第二步第二步形形式式地地写写出出一一个个幂幂级级数数 nnnnnxxnxfxxxfxfxxnxf)(!)()()()(!)(00)(000000)(;R并求出其收敛半径并求出其收敛半径,的的幂幂级级数数则则不不能能展展开开成成若若不不存存在在x若存在步骤如下：若存在步骤如下：函数展开成幂级数函数展开成幂级数.)(Lagrange,),(00的的极极限限为为零零成成立立余余项项是是否否内内分分析析在在区区间间xRRxRxn 第三步第三步则则由由定定理理的的结结论论可可得得如如果果条条件件成成立立,);,()(!)()(00000)(RxRxxxxnxfxfnnn 第四步第四步.,00处处的的收收敛敛性性幂幂级级数数在在区区间间端端点点检检查查所所求求得得的的时时当当RxxR .)(,),()(,)(000000也也成成立立展展开开式式对对的的连连续续性性那那么么根根据据幂幂级级数数和和函函数数续续处处右右连连在在处处左左连连续续在在且且处处收收敛敛如如果果幂幂级级数数在在端端点点RxxRxxRxxRxxxfRxxRxx 2.2.间接法间接法根据唯一性根据唯一性,利用常见展开式利用常见展开式,通过变量通过变量代换、代换、四则运算、恒等变形、四则运算、恒等变形、逐项求导、逐项求导、逐项积分等方法，求展开式逐项积分等方法，求展开式.常见的基本初等函数的常见的基本初等函数的Maclaurin展开式展开式),(,!10 xxnennx),()!12()1(!51!31sin1253 xnxxxxxnn),()!2()1(!41!211cos242 xnxxxxnn).11(1)1(432)1ln(1432 xnxxxxxxnn)1,1(!)1()1(!2)1(1)1(2 xxnnxxxn 1,1,!)!2(!)!32()1(211121 xxnnxxnnn 1,1(,!)!2(!)!12()1(211112 xxnnxxnnn)1,1(,)1(110 xxxnnn1,1.12)1(arctan012 xxnxnnn.arctan)(的的幂幂函函数数展展开开为为将将函函数数xxxf.2cossin)(的幂级数的幂级数展开成展开成将将xxxxf.)1ln()(2的的幂幂级级数数展展开开成成将将xxxxf .)4(sin的幂级数的幂级数展开成展开成将函数将函数 xx的的幂幂级级数数。展展开开成成将将函函数数1341)(2 xxxxf.)321ln()(2的的幂幂级级数数展展开开成成将将xxxxf .11)(2的的幂幂函函数数展展开开为为将将函函数数 xxxf例例 6例例 9例例 8例例 7例例 11例例 10.1lnarctan)(2的幂级数的幂级数成成展开展开将将xxxxxf .11arctan)(的的幂幂级级数数展展开开成成将将xxxxf 例例 12例例 13).,3,2,1(.2,12)1(,12,0)0(),()(,.0,10,sin)()(kknkknfxfxxxxxfkn并并且且内内有有各各阶阶导导数数在在利利用用幂幂级级数数的的性性质质证证明明设设函函数数例例 14。收敛，并求该级数的和收敛，并求该级数的和证明证明处的幂级数展开式为处的幂级数展开式为在在设设 12112,)(011)(nnnnnnnaaaxaxfxxxxf。的的收收敛敛域域，并并求求和和函函数数求求幂幂级级数数 1112)1(nnnnxn。的的收收敛敛域域，并并求求和和函函数数求求幂幂级级数数 121)1(nnxnn。）并并求求的的收收敛敛域域与与和和函函数数求求幂幂级级数数 222221(1,1nnnnnnx 2112()1(nnnn）求求和和