教育专题：暑假专题——相似三角形

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1、暑假专题相似三角形重点、难点： 1. 通过探索两个三角形相似的识别方法，加强合情推理能力的培养，感受发现的乐趣，逐步掌握说理的基本方法。 2. 通过相似三角形性质复习，丰富与角、面积等相关的知识方法，开阔研究角、面积等问题的视野。【知识纵横】 1. 相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形（similar triangles）。 议一议： （1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？ （2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？ （3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？ 2. 相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比。 说明：相似比要注意顺序：如

2、ABCABC的相似比，而ABCABC的相似比，这时。 3. 相似三角形的识别 （1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。 （2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 （3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。【典型例题】 例1. 如图，123，图中相似三角形有（ ）对。 答：4对 例2. 如图，已知：ABC、DEF，其中A50，B60，C70，D40，E60，F80，能否分别将两个三角形分割成两个小三角形，使ABC所分成的每个三角形与DEF所分成的每个三角形

3、分别对应相似？ 如果可能，请设计一种分割方案；若不能，说明理由。 解： 例3. （2004广东省）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连结CF交AD于点E。 （1）求证：CDEFAE； （2）当E是AD的中点，且BC2CD时，求证：FBCF。 命题意图：相似三角形的识别、特征在解题中的应用。 解析：由ABDC得：FDCE，EAFD CDEFAE ，又E为AD中点 DEAE，从而CDFA，结合已知条件，易证 BFBC，FBCF 解：（1）四边形ABCD是平行四边形 ABCD FDCE，EAFD CDEFAE （2）E是AD中点，DEAE 由（1）得： CDAF 四边形AB

4、CD是平行四边形 ABCD ABCDAF BF2CD，又BC2CD BCBF FBCF 思路探究：平行往往是证两个三角形相似的重要条件，利用比例线段也可证明两线段相等。 例4. 在梯形ABCD中，A90，ADBC，点P在线段AB上从A向B运动， （1）是否存在一个时刻使ADPBCP； （2）若AD4，BC6，AB10，使ADPBCP，则AP的长度为多少？ 解：（1）存在 （2）若ADPBCP，则 设 或 或 或 AP长度为4或6 例5. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则（ ） A. 4：10：25B. 4：9：25

5、C. 2：3：5D. 2：5：25（2001年黑龙江省中考题） 思路点拨：运用与面积相关知识，把面积比转化为线段比。 选A 例6. 如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知C90，AB5cm，BC3cm，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长。 思路点拨：要在三角形内裁出面积最大的正方形，那么这正方形所有顶点应落在ABC的边上，先画出不同方案，把每种方案中的正方形边长求出。 解：如图甲，设正方形EFGH边长为x，则AC4 而CDABACBC，得 又CEHCAB，得 于是，解得： 如图乙，设正方形CFGH的边长为y cm 由GH

6、AC，得： 即，解得： 即应如图乙那样裁剪，这时正方形面积达最大，它的边长为 例7. 如图，已知直角梯形ABCD中，AB90，设，作DEDC，DE交AB于点E，连结EC。 （1）试判断DCE与ADE、DCE与BCE是否分别一定相似？若相似，请加以证明。 （2）如果不一定相似，请指出a、b满足什么关系时，它们就能相似？ 解：（1）DCE与ADE一定相似，DCE与BCE不一定相似，分别延长BA、CD交于F点 由FADFBC，得： 于是FDDC，从而可证FEDCED 得AEDDEC 所以DECAED （2）作CGAD交AD延长线于G， 由AEDGDC，有，得 要使DCE与BCE相似，那么一定成立 即

7、，得 也就是当时，DCE与BCE一定相似。【模拟试题】（答题时间：40分钟） 1. 如图，已知DEBC，CD和BE相交于O，若，则AD：DB_。 2. 如图，ABC中，CE：EB1：2，DEAC，若ABC的面积为S，则ADE的面积为_。 3. 若正方形的4个顶点分别在直角三角形的3条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm，则此正方形的边长为_。（2000年武汉市中考题） 4. 阅读下面的短文，并解答下列问题： 我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体。 如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等

8、于相似比：，设分别表示这两个正方体的表面积，则，又设分别表示这两个正方体的体积，则。 （1）下列几何体中，一定属于相似体的是（ ） A. 两个球体B. 两个圆锥体 C. 两个圆柱体D. 两个长方体 （2）请归纳出相似体的3条主要性质： 相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于_； 相似体表面积的比等于_； 相似体体积的比等于_。（2001年江苏省泰州市中考题） 5. 如图，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m，当短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高（ ） A. 11.25 mB. 6.6 mC. 8 mD. 10.5 m 6. 如图，D为ABC的边AC上的一点，DBCA，已知，BCD与AB

9、C的面积的比是2：3，则CD的长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AEBE，则有（ ） A. AEDBEDB. AEDCBD C. AEDABDD. BADBCD（2001年杭州市中考题） 8. 如图，已知ABC中，DEFGBC，且AD：FD：FB1：2：3，则等于（ ） A. 1：9：36B. 1：4：9 C. 1：8：27D. 1：8：36 9. 如图，已知梯形ABCD中，ADBC，ACDB，求证： 10. 如图，ABC中，D是BC边上的中点，且ADAC，DEBC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F。 （1）求证：ABC

10、FCD； （2）若，求DE的长。（2000年河北省中考题） 11. 阅读并解答问题。 在给定的锐角ABC中，求作一个正方形DEFG，使D、E落在BC上，F、G分别落在AC、AB边上，作法如下： 第一步：画一个有3个顶点落在ABC两边上的正方形DEFG。 第二步：连结BF，并延长交AC于点F； 第三步：过F点作FEBC于E； 第四步：过F点作FGBC交AB于点G； 第五步：过G点作GDBC于点D。 四边形DEFG即为所求作的四边形DEFG，为正方形。 问题： （1）证明上述所求作的四边形DEFG为正方形； （2）在ABC中，如果，BAC75，求上述正方形DEFG的边长。（江苏省扬州市中考题） 1

11、2. 如图，在ABC中，在BC上有100个不同的点，过这100个点分别作ABC的内接矩形，设每个内接矩形的周长分别为，则_。（安徽省竞赛题） 13. 如图，在ABC中，DEFGBC，GIEFAB，若ADE、EFG、GIC的面积分别为，则ABC的面积为_。 14. 如图，一个边长为3、4、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是_厘米2。（第11届“希望杯”邀请赛试题） 15. 如图，将一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比为（ ） A. 2：1B. C. D.

12、 1：1 16. 如图，梯形ABCD中，ABCD，且CD3AB，EFCD，EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分，则AE：ED等于（ ） A. 2B. C. D. 【试题答案】 1. 3：1 2. 3. 或 4. （1）A；（2）相似比；相似比的平方；相似比的立方 5. C6. C7. B8. C 9. 由ABCDCA，得 10. （1）略 （2）过A作AMBC于M 由ABCFCD，得： 又，得 DEAM， ，得 11. （1）易证明四边形EFGD为矩形，由，而，得EFGF，故四边形EFGD为正方形。 （2）过A作AQBC于Q交GF于P，且AQBQ，BCA60，QAC30，又 即，解得 由，得 12. 400 提示：从内接一个矩形入手，探求内接ABC中任一矩形的长与宽的关系。 13. 提示： 14. 解：设，则 由BCEEDF，得 又，即 15. C 16. C 提示：延长DA、CB相交于G， 设，则 即