全国版2017版高考数学一轮复习第七章立体几何7.7.1利用空间向量证明空间中的位置关系课件理

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1、第七节立体几何中的向量方法 第一课时利用空间向量证明空间中的位置关系,【知识梳理】 1.直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所 在直线与直线l_或_,则称此向量a为直线l的方 向向量.,平行,重合,(2)平面的法向量:直线l,取直线l的_向量a,则 向量a叫做平面的法向量.,方向,2.空间位置关系的向量表示,n1=n2,n1n2=0,nm=0,n=m,n=m,nm=0,【特别提醒】 1.直线的方向向量的确定 l是空间一直线,A,B是l上任意两点,则 及与 平行的非零向量均为直线l的方向向量.,2.平面的法向量的确定 设a,b是平面内两不共线向量,n为

2、平面的法向量,则求法向量的方程组为,【小题快练】 链接教材练一练 1.(选修2-1P104练习T2改编)设 ,v分别是平面, 的法向量, =(-2,2,5),当v=(3,-2,2)时,与的位 置关系为;当v=(4,-4,-10)时,与的位置 关系为.,【解析】当v=(3,-2,2)时,v=-23+2(-2)+52=0, 所以, 当v=(4,-4,-10)时,v=-2 ,所以. 答案:,2.(选修2-1P111练习T3改编)如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D 的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是.,【解析】以D为坐标原点

3、,DA,DC,DD1所在直线分别为 x,y,z轴建立空间直角坐标系,设DA=2,则A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2), 所以 =(-2,0,1), =(1,0,2), =-2+0+2=0, 所以AMON. 答案:垂直,感悟考题试一试 3.(2016广州模拟)若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面的一个法向量为n=(-2,0,-4),则() A.lB.l C.lD.l与相交,【解析】选B.因为n=-2a,所以na,从而l.,4.(2016洛阳模拟)若A ,B ,C 是平面内的三点,设平面的一个法向量a=(x,y,z), 则xyz=() A.23(-4)B

4、.111 C.- 11 D.324,【解析】,5.(2016桂林模拟)已知平面内有一点M(1,-1,2),平面的一个法向量为n=(6,-3,6),则下列点P中,在平面内的是() A.P(2,3,3)B.P(-2,0,1) C.P(-4,4,0)D.P(3,-3,4),【解析】选A.由题意知,点P在平面内,只需 n,即 n=0即可,逐一验证知选A.,【变式训练】如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是 边长为1的菱形,ABC= ,OA底面ABCD,OA=2,M 为OA的中点,N为BC的中 点.利用向量方法证明: 直线MN平面OCD.,【解题导引】以点A为坐标原点建立空间直角坐标系, 求平面O

5、CD的法向量及直线MN的方向向量.,【规范解答】作APCD于点P,连接OP,如图,分别以 AB,AP,AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐 标系, 则 O(0，0，2)，M(0，0，1)，,设平面OCD的一个法向量为n=(x,y,z), 则 即,取z= ，解得n=(0,4, ). 因为 且MN平面OCD，所以MN平面OCD.,【易错警示】解答本题有一点容易出错:只证明 n,而忽视MN平面OCD的情况就下结论 MN平面OCD,而造成步骤不规范的失误.,【规律方法】用向量法证平行问题的类型及常用方法,易错提醒:用向量结论还原几何结论时,要注意书写规范,说明定理的条件.,【变式训练】如图,已

6、知AC,BD是圆O的两条互相垂直的 直径,直角梯形ABEF所在平面与圆所在平面互相垂直, 其中FAB=EBA=90,BE=2,AF=6,AC=4 ,点N为线段 EF的中点.,(1)求证:直线NO平面EBC. (2)若点M在线段AC上,且点M在平面CEF上的射影为线段NC的中点,请求出线段AM的长.,【解析】(1)由题设知AFAB,且由平面ABEF平面ABCD,可知AF平面ABCD. 又BD是圆的直径,则ABAD, 因此以点A为原点可建立空 间直角坐标系,如图.由于 AC,BD是圆O的两条互相垂直的直径,且AC=4 ,所以四,边形ABCD是边长为4的正方形,则B(4,0,0),C(4,4,0),

7、 O(2,2,0),E(4,0,2),F(0,0,6),N(2,0,4). 因为ABEB,ABBC, 所以 =(4,0,0)是平面EBC的一个法向量. 因为 =(0,2,-4), =(4,0,0)(0,2,-4)=0, 且NO不在平面EBC内,所以直线NO平面EBC.,(2)点M在线段AC上,可设 = =(4,4,0) =(4,4,0),NC的中点为Q(3,2,2), =(3-4, 2-4,2). 由题设有MQ平面CEF,因为 =(-4,0,4), =(0,4,-2),【加固训练】 1.如图在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四边形,E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C

8、1的中点.用向量方法证明平面EFG平面AB1C.,【证明】设 可知 因为 无公共点，所以EGAC， 因为AC平面AB1C，所以EG 平面AB1C. 所以EG平面AB1C.,又因为 =a+c， 因为 无公共点，所以FGAB1， 因为AB1平面AB1C，所以FG平面AB1C. 又因为FGEG=G，所以平面EFG平面AB1C.,2.如图所示,平面PAD平面ABCD,ABCD为正方形,PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点. 求证:PB平面EFG.,【证明】因为平面PAD平面ABCD且ABCD为正方形, 所以AB,AP,AD两两垂直,以A为坐标原点, 建立如图

9、所示的空间 直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2), E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0). =(2,0,-2),(0,1,0)， (1,1，1)， 设 即(2,0，2)s(0，1,0)t(1,1，1)， 所以 解得st2.所以 又因为 与 不共线，所以 与 共面 因为PB平面EFG，所以PB平面EFG.,考向二利用空间向量证明垂直问题 【典例2】(2016开封模拟)如图,已知AB平面ACD,DE平面ACD,ACD为等边三角形,AD=DE=2AB. 求证:平面BCE平面CDE.,【解题导引】以点A为坐标原点

10、建立空间直角坐标系,分别求出平面BCE与平面CDE的法向量,根据法向量垂直来证明面面垂直.,【规范解答】设AD=DE=2AB=2a,建立如图所示的空间直 角坐标系Axyz,则A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a), D(a, a,0),E(a, a,2a). 所以 =(a, a,a), =(2a,0,-a), =(-a, a,0), =(0,0,-2a). 设平面BCE的法向量为n1=(x1,y1,z1),【母题变式】 1.若本例中条件不变,点F是CE的中点,证明DF平面BCE. 【证明】,2.若本例中条件不变,点M是CD的中点,证明AM平面BCE. 【证明】,【规律方法】利用

11、向量法证垂直问题的类型及常用方法,【变式训练】(2016承德模拟)如图,在三棱锥P-ABC 中,AB=AC,D为BC的中点,PO平面ABC,垂足O落在线段 AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2. (1)证明:APBC. (2)若点M是线段AP上一点, 且AM=3.试证明平面AMC平面BMC.,【解析】如图所示,以O为坐标原点,以射线OP为z轴的正半轴,以射线OD为y轴正半轴建立空间直角坐标系. (1)O(0,0,0),A(0,-3,0), B(4,2,0),C(-4,2,0), P(0,0,4).,于是 =(0,3,4), =(-8,0,0), 所以 =(0,3,4)(-8,0,

12、0)=0, 所以 ,即APBC.,(2)由(1)知AP=5, 又AM=3,且点M在线段AP上,又根据(1)的结论知APBC,BCBM=B, 所以AP平面BMC,于是AM平面BMC. 又AM平面AMC,故平面AMC平面BCM.,【加固训练】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2BC,E,F,E1分别是棱AA1,BB1,A1B1的中点.(1)求证:CE平面C1E1F.(2)求证:平面C1E1F平面CEF.,【证明】以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴, y轴,z轴建立空间直角坐标系,设BC=1,则C(0,1,0),E(1,0,1),C1(0,1,2),F(1,1,

13、1),E1 (1)设平面C1E1F的法向量为n=(x,y,z).因为 =(-1,0,1),所以 令x=1,得n=(1,2,1). 因为 =(1,-1,1), n =1-2+1=0,所以 n. 又因为CE平面C1E1F, 所以CE平面C1E1F.,即,(2)设平面EFC的法向量为m=(a,b,c),由 =(0,1,0), =(-1,0,-1),所以 即 令a=-1,得m=(-1,0,1).因为mn=1(-1)+20+11=-1+1=0,所以平面C1E1F平面CEF.,考向三利用向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:线面平行的探索性问题 【典例3】(201

14、6昆明模拟)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点. (1)求证:B1EAD1.,(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.,【解题导引】建立空间直角坐标系, (1)证明 =0, (2)假设存在点P(0,0,z0),根据DP平面B1AE构建方程,求解并判断.,【规范解答】以A为原点, 的方向分别为x 轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 设AB=a. (1)A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1), E ,B1(a,0,1),(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0)

15、, 使得DP平面B1AE,此时 =(0,-1,z0), 再设平面B1AE的一个法向量为n=(x,y,z), 因为n平面B1AE, 所以n ,n ,得,取x=1,则y=- ,z=-a,得平面B1AE的一个法向量 n= 要使DP平面B1AE,只要n ,有 -az0=0, 解得z0= . 又DP平面B1AE,所以存在点P,满足DP平面B1AE,此时AP= .,命题方向2:线面垂直的探索性问题 【典例4】(2016怀化模拟)如图是某直三棱柱被削去 上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图,在直观图 中,点M是BD的中点,AE= CD,侧视图是直角梯形,俯视 图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.,(1)

16、求证:EM平面ABC. (2)求出该几何体的体积. (3)试问在棱CD上是否存在 一点N,使MN平面BDE?若 存在,确定点N的位置;若 不存在,请说明理由.,【解题导引】(1)取BC的中点证明. (2)先证明AB平面ACDE,再求体积. (3)建立空间直角坐标系,设出点N的坐标,利用NMDB, NMDE求解.,【规范解答】(1)因为M为DB的中点,取BC中点G,连接MG,AG, 所以MGDC,且MG= DC. 所以MGAE且MG=AE,所以四边形AGME为平行四边形,所以EMAG.又AG平面ABC,ME平面ABC,所以EM平面ABC.,(2)由题意知,EA平面ABC,DC平面ABC,AEDC

17、,AE=2,DC=4,ABAC,且AB=AC=2,因为EA 平面ABC,所以EAAB.又ABAC,EAAC=A,所以AB平 面ACDE,所以四棱锥B-ACDE的高h=AB=2,梯形ACDE的面 积S=6,所以VB-ACDE= Sh=4,即所求几何体的体积为4.,(3)以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),D(-2,0,4), E(0,0,2),M(-1,1,2), 假设在DC上存在一点N满足题意,【技法感悟】 向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思维流程 (1)根据题设条件中的垂直关系,建立适当的空间直角坐标系,将相关点、相关向

18、量用坐标表示.,(2)假设所求的点或参数存在,并用相关参数表示相关点,根据线、面满足的垂直、平行关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围,则存在,否则不存在.,【题组通关】 1.(2016兰州模拟)如图所示,四棱锥S-ABCD的底面是 正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 倍,点P为侧棱 SD上的点.,(1)求证:ACSD. (2)若SD平面PAC,则侧棱SC上是否存在一点E,使得 BE平面PAC.若存在,求SEEC的值;若不存在,试说明 理由.,【解析】(1)连接BD,设AC交BD于点O,则ACBD.连接SO, 由题意知SO平面ABCD.以O为坐标原点, 所 在直线分别为x

19、轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图.,设底面边长为a，则高 于是 则 故OCSD,从而ACSD.,(2)棱SC上存在一点E使BE平面PAC. 理由如下： 由已知条件知 是平面PAC的一个法向量， 且 设 ,则,而 =0 t= . 即当SEEC=21时， 而BE不在平面PAC内， 故BE平面PAC.,2.(2016开封模拟)如图,四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,PB与底面所成的角为45,底面ABCD为直角梯形,ABC=BAD=90,PA=BC= AD=1.,(1)求证:平面PAC平面PCD. (2)在棱PD上是否存在一点E,使CE平面PAB?若存在,请确定E点的位置;若不存在,请说

20、明理由.,【解析】(1)因为PA平面ABCD, 所以PB与平面ABCD所成的角为PBA=45. 所以AB=1.由ABC=BAD=90, 易得CD=AC= ,由勾股定理逆定理得ACCD. 又因为PACD,PAAC=A, 所以CD平面PAC,又因为CD平面PCD, 所以平面PAC平面PCD.,(2)分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.,所以P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),设E(0,y,z), =(0,y,z-1), =(0,2,-1), 因为 ,所以y(-1)-2(z-1)=0 因为 =(0,2,0)是平面PAB的一个法向量, 又 =(-1,y-1,z),CE平面PAB,所以 . 所以(-1,y-1,z)(0,2,0)=0,所以y=1.,将y=1代入,得z= ,所以E是PD的中点,所以存在E点使CE平面PAB,此时E为PD的中点.,