第四章函数的连续性

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1、第四章 函数的连续性1 连续性概念 （第73-74 页）1按定义证明下列函数在其定义域内连续：（1） ； （2）证明 （1）的定义域为，对其定义域上任一点，有，故在连续，由的任意性知，在其定义域内连续 （2）的定义域为 对其定义域上任一点，取，当时，有，故，从而在连续，由的任意性知，在其定义域内连续 2指出下列函数的间断点并说明其类型：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）；（6）；（7）解 （1） 在处间断，因为不存在，所以是的第二类间断点 （2） 在间断，因为，故是的跳跃间断点 （3） 因为，所以在间断 由于，从而是的可去间断点 （4） 因为，所以在间断 由于，从而是的可去间断点 （5

2、）因为，所以在间断 由于， ， ，故是的跳跃间断点 （6） 在间断 当时，极限不存在，故是的第二类间断点 （7） 因为，不存在，故是的第二类间断点 又，故是的跳跃间断点 3延拓下列函数，使其在 R 上连续：（1）； （2）；（3）解 （1） 因为在无定义，且，于是，延拓为函数，在 R 上连续 （2） 在无定义，于是，延拓为函数，在 R 上连续 （3） 在无定义，于是延拓为函数，在 R 上连续 4证明：若在点连续，则与也在点连续 又问：若与在点连续，那么在点是否必连续？证明 设在点续，即，使得当时，有 这时，有，故也在点连续 因为在点连续，于是在极限存在，从而由极限的局部有界性知，存在及，使得当

3、时，有 现在取，当时，有 所以在点连续若与在点连续，在点不一定连续 例如，设 则，在点处连续，但在不连续5设当时，而 证明：与两者中至多有一个在连续证明 因为，所以，假设与两个都在连续，则 与题设矛盾，所以与两者中至多有一个在连续6设为区间I上的单调函数 证明：若为的间断点，则必是的第一类间断点证明 由本章定理310及第三章第3节习题5，知和都存在，所以是的第一类间断点7设函数只有可去间断点，定义 证明为连续函数证明 任取函数定义域内的一点，对，由知，当时，有而由知，使，且，当时，有取，则当，有故有，即，由的任意性知，为连续函数8设为R 上的单调函数，定义证明在R上每一点右连续 证明 不妨设为

4、R 上的单调增函数，任取R，对，由存在知，当时，有由为R 上的单调增函数，知对任意的R ，且对满足条件的，有，即有 ，从而，故，在上右连续9举出定义在 0, 1 上分别符合下述要求的函数：（1）只在，和三点不连续的函数；（2）只在，和三点连续的函数；（3）只在 （）上间断的函数；（4）只在右连续，而在其他点都不连续的函数解 （1）函数只在，和三点不连续（2）令，其中为Dirichlet函数，则，只在，和三点连续（3）函数，只在 （）上间断（4）设为Dirichlet函数，则函数只在右连续2 连续函数的性质 （第80-82 页）1讨论复合函数与的连续性，设（1）； （2）解 （1）因为，所以，处

5、处连续 又，所以，除外，处处连续，是跳跃间断点 （2），故是的跳跃间断点 ，处处连续 2设，在点连续，证明：（1）若，则存在，使在其内有；（2）若在某内有，则证明 因为，在点连续，故， （1）由于，故由第三章第2节习题7（2），知存在，使在其内有从而在内，有（2）设在内，有 因为，所以，分别存在，使得当时，有，当时有 令，则当时，有，从而 由的任意性，可得3设，在区间上连续，记，证明和也都在上连续 证明 由第一章总练习题1，有，因为，在区间上连续，所以在上连续，再由第四章第1节习题4，知在上连续，从而由连续函数的四则运算定理4.4，和都在上连续4设为R上连续函数，常数，记，证明 F 在 R 上

6、连续 证明 因为，于是由第3题，知F 在R上连续 5设，证明：复合函数在连续，但在不连续 证明 ，处处连续 因为，在的左、右极限不相等，故在的极限不存在，从而在不连续 6设在上连续，且存在，证明：在上有界 又问在上必有最大值或最小值吗？证明 因为存在，所以由函数极限的局部有界性知，存在，使得在上有界 又因为在上连续，于是由闭区间上连续函数的有界性知，在上有界，从而在上有界 在上不一定有最大值或最小值 例如函数在上连续，但没有最小值；函数在上连续，但没有最大值 7若对任何充分小的，在上连续，能否由此推出在内连续 证明 能推出在内连续 证明如下：，取，于是，由题设，在上连续，从而在连续 由的任意性

7、知，在内连续 8求极限：（1）；（2）解 （1）由函数的连续性，（2）由函数的连续性，9证明：若在上连续，且对任何，则在上恒正或恒负 证明 （用反证法）假设在上不是恒正或恒负 则存在，使得， 不妨设，则在上连续，且与异号，由根的存在定理知，存在，使得，这与题设“对任何，”矛盾 10证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根 证明 设实系数奇次方程为， 因为，故存在，使得， 在上连续，于是由根的存在定理，存在，使得，即是方程的实根 11试用一致连续的定义证明：若，都在区间上一致连续，则也在上一致连续 证明 因为，都在区间上一致连续，所以，分别存在，使得，当时有，当时有 取，则，当时有，所以也在上一致

8、连续 12证明在上一致连续 证明 令，由P78例6知在上连续，从而在上一致连续 下面证明：在上一致连续 ，取，当时有，所以在上一致连续 再由P80例10知，在上一致连续 13证明在上一致连续，但在上不一致连续 证明 （1）设，取，当时有，所以在上一致连续 （2）在上，取，取，这时有，但 故在上不一致连续 14设函数在区间上满足 Lipschitz 条件，即存在常数L0，使得对上任意两点都有，证明在上一致连续 证明 ，取，当时有，所以在上一致连续 15证明在上一致连续 证明 ，取，当时有，所以在上一致连续 16设在上连续，且存在，证明：在上一致连续证明 设 于是对任给的，存在，当时，有 因在上连

9、续，故在上一致连续 从而存在，使得当且时，有 下面说明，当且时，必有 事实上，若，则由 式 知有成立；若，则由式, 可得 ，所以在上一致连续17设在上连续，且 证明：存在点，使得证明 令，则在上连续 又由知与符号相反，所以由根的存在定理知，存在点，使得18设为上的增函数，其值域为 证明在上连续证明 用反证法 若有间断点，则由教材P55习题5，知与都存在，且 又因为上的增函数，所以有于是且区间只含的值域中的一个点，这与的值域为矛盾19设在上连续，证明：存在，使得证明 若，则取；否则，设，则由介值定理，知存在，使得20证明在上一致连续证明 因为 当，有，即在满足Lipschitz条件，由本章第2节

10、习题14，知在上一致连续又因为在上连续，从而在上一致连续 所以由本章第2节例10，可知在上一致连续3 初等函数的连续性 （第84 页）1求下列极限（1）； （2）；（3）；（4）； （5） 解 （1）；（2） ；（3）； （4）； （5）2设，证明证明 总 练 习 题（第84-86 页）1设函数在连续，且与为有限值 证明：（1）在内有界；（2）若存在，使得，则在内能取到最大值 证明 （1）定义，则在内连续，从而在内有界，当然也在内有界 而在内，于是在内有界 （2）因为在内连续，从而在内有最大值 又由题设，存在，使得，即，因此的最大值在内达到 所以在内能取到最大值 2设函数在连续，且 证明在内能

11、取到最小值 证明 因为，所以对，分别存在，使得当时，有；当时，有 因为在闭区间连续，于是在上有最小值，由于，故，从而也是在内的最小值 类似地可证：设函数在连续，且 则在内能取到最大值 3设函数在区间上连续，证明：（1）若对任何有理数有，则在上；（2） 若对任意两个有理数，有，则在上严格增证明 （1）对任何无理数，取有理点列，使（），则由的连续性以及得 所以在上（2） ，要证 取有理数， 由在点的连续性，对，存在正数，使得当有理数，有；当有理数，有 注意到以及在有理点集上的严格递增性，可得，所以在上严格增4设，为正数，证明：方程，在区间（）与（）内各有一个根提示：考虑证明 令，只需证明方程在（）

12、与（）内各有一个根即可由于是一元二次方程，据代数基本定理方程 至多有二个实根，而，由根的存在定理即得所求5设在上连续，且对任何, 存在, 使得证明： 存在, 使得证明 由在上连续，有在上连续，于是在有最小值, 设在取得最小值, 即 若, 则已得证 假设, 则由题设，存在, 使得; 因是在的最小值, 所以 矛盾 结论得证另解 反证法 假设对任何，都有，于是恒正或恒负，否则由介值定理，必有零点 不妨设， 因为在上连续，所以有最小值，设， 由题设，存在, 使得，这与是在上的最小值矛盾 结论得证6设在上连续，另有一组正数满足 证明：存在一点，使得证明 若，则取；否则，设在上的最大值、最小值分别为，则由

13、介值定理，知存在，使得7设在上连续，满足， 设， 证明：（1）为收敛数列； （2）设，则有；（3）若条件改为，则证明 （1） 因为，所以，即递减有下界0，故收敛（2） 设，由在上连续，则在上连续，从而（3）因为，所以 若，则由题设：，必有 这与中的结论矛盾 故8设在上连续， 证明：对任何正整数 n, 存在, 使得证明 当时, 取 当时, 令, , 则有，由第6题知, 存在, 使得, 从而 9设在连续，且对任何x, yR有 证明：（1）在R上连续； （2） 提示：（1）易见；（2）对整数，（），有，有理数有结论证明 （1） 以代入，可得 由在连续，得 ，由，有所以在连续（2） 对正整数，有对正整数，有于是 以代入, 可知为奇函数 因此知道对一切整数都有等式，成立从而对任何有理数，有 对任何实数x, 取有理数列，使得（），则由的连续性得10设定义在R上的函数在0，1两点连续，且对任何x, yR有 证明为常量函数证明 由，知为偶函数 对任何，有 因在连续，故，从而得对任何，有 再由在连续，得17