圆锥曲线的性质及推广应用

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1、圆锥曲线的性质及推广应用江西省抚州一中：张志恒目录1引言32圆锥曲线的分类，性质及应用 42.1圆锥曲线的分类42.2圆锥曲线的性质52.3圆锥曲线在生活中的应用83圆锥曲线性质的推广应用113.1直线与圆锥曲线的位置关系的实际应用.113.2数学问题在圆锥曲线中的推广 13总结15参考文献：15致谢15圆锥曲线的性质及推广应用摘要：本文在简单介绍圆锥曲线的基础上，对圆锥曲线在中学数学的一些 定义及其相关性质的讲解分析，即椭圆、双曲线、抛物线的性质，并在其 基础上对圆锥曲线的几个性质在实际生活中进行推广应用。天体的运行时 的轨迹经常用圆锥曲线来描 述，圆锥曲线在日常生活中也很常见，并且人 们在

2、现实生活中也广泛运用到圆锥曲线的一些光学性质。并利用一些常 见的题型对其光学性质在生活中的推广应用进行分析，讲解。关键词：圆锥曲线；性质；推广；应用AbstractBased on the simple introduction of conic curve,on conic curve in the analysis on some definition and properties of middle school mathematics.namely the properties of elliptic,hyperbolic,parabolic,and on the basis of s

3、everal properties of conic curves in real life to be.Conic curve is often used to describe the orbit of the curve,the curve is very common also in daily life ,optical properties and conic curve is also widely used in real life.And the application of its optical properties in life are analyzed by mea

4、ns of some common questions explan.Keywords: conic;classification;properties;application圆锥曲线的性质及推广应用 引言圆锥曲线是解析几何的重要内容，是用代数方法来研究几何问题， 它处于代数与几何的交汇处。圆锥曲线的性质及推广是其中的热点问题 之一。古希腊亚历山大时期的数学家阿波罗尼奥斯，利用平面截取一个对 顶的圆锥，就根据在平面的不同位置，可分别得出双曲线，椭圆和抛物 线；当两个底面都与平 面相交的时候，在圆锥的侧面就可得到双曲 线；当底面和平面都没有相交的时候（就是与所有的母线都相 交），在圆锥的侧面得到

5、的就是椭圆，特殊的时候就是与对顶圆锥底 面平行的时候得到的就是圆；而当平面与对顶圆锥的一个底面相交的时 候，在 圆锥的侧面得到的就是抛物线了。本文在此基础上简单的概括了 圆锥曲线的定义及其性质，结合生活实际介绍了圆锥曲线在生活中的运 用，并利用实际例题进行分析、见解。我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系 其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上。如果这些行星运行速 度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行。人类发射人造地 球卫星或人造行星就要遵照这个原理。相对于一个物体，按万有引力定 律受它吸引的另一物体的运 动，不可能有任何其他的轨道了。因而，圆 锥曲线在这种意

6、义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式。本文通过探讨圆锥曲线在解析几何下的分类及其性质，重点研究圆 锥曲线的性质及推广应用。2圆锥曲线的分类，性质及应用2.1.圆锥曲线的分类在（平面）直角坐标系中，设二次曲线的方程为22a x 2a xy a y 2a x 2a y a 0111222132333a11a 12K1a 22i2a 21a 22a11a13a13a3322232333则我们称I1,I2,I3是二次曲线的不变量， 不变量给出二次曲线的分类：I为二次曲线的半不变量。由椭圆型：I 20 椭圆 I/， I1I30 虚椭圆（无轨迹） 点 I2 0，双曲型：双曲线120，一对相交直线III抛物型

7、：III20I1I30I30I2I30J，I 20I30 20，30抛物线120，一对平行直线一对虚平行直线（无轨迹）I一对重合直线I 2 0， I 30的情形时，称二次曲线是退化的。的符号判别了曲线的类型，而I30或I30就判别了曲线的非退化或退化的情形。椭圆，双曲线和抛物线这三种曲线统称为圆锥曲线。2.2.圆锥曲线的性质2-2-1圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：椭圆：由x,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程30K1 0I30，K 0K10当二次方程的图形是一点或直线 因此从上述二次曲线的分类可知，I 2 2221表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取

8、值范围是_(答:2),B(x 2,y 2)两点，则22定理3设椭圆x yX ym12m(,1) (1, 3)2(2) 双曲线：由X2, y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上;(3) 抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。2.2.2椭圆的性质定义1平面内与两定点七、的距离的和等于常数2a(2a| F1F2 |)的动 点P的轨迹叫做椭圆。即：|PF | + |PF2| =2a。定义2椭圆的第二定义，准线方程及离心率。2动点M(x,y)与定点F(-c,0)的距离和它到定直线L: x=- a的距离的比是 常数cc，(ac0)时,M点的轨迹即为椭圆。即到定点距离与到定直线

9、的距离的比等a于定值e (0e1)的点的轨迹叫椭圆。我们把定值e= c (0ec0） c时，M点的轨迹即为双曲线。即到定点距离与到定直线的距离的比等于定值e （0e的点的轨迹叫双曲线。我们把定值弥星（0e1），叫做椭圆的离心率。定 直线为准a- 一2线，方程为X= ac定理1渐近线是双曲线特有的性质，即无限接近但不可以相交，当焦点在x轴上时，双曲线渐近线的方程是y= b x ;当焦点在y轴上时，双曲线渐 近线的方程是 aay= x。b定理2当半实轴长=半虚轴长（即a=b,）时，双曲线称为等轴双曲线， 渐近线方程为y= x,其标准方程为x2-y2=C，其中CN0；离心率e= 22.2.4抛物线的

10、性质定义1平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线焦点，直线 叫做抛物线准线。定义2。定点不在定直线 上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值 离心率e不同，当e= 1时为抛物线，当0e1时为双 曲线。标准方程有四种形式，参数 的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同 形式方程的几何性质（如下表）：其中为抛物线上定理1抛物线的过焦点的所有弦中，以抛物线的通经为最短。定理2设AB是抛物线y ax2(a )的长为m的动弦，则当口1单径长)时，入日的中点M到x轴的距离的最小值为4a(2)当m 1 (通径长)时，七aAB的中点M到轴的距离的最小值为x定理3抛物线焦点 X

11、,y2),B(x2,y2)两点，直线OA与OB的斜率分别为弦：设过抛物线 的焦k ,ka，则有其为AB1-c源。点的直线与抛物线交于A，直线l的倾斜角为例1. （1）已知一抛物线的标准方程是y2 12x，则求此抛物线的准线方程及它的焦点坐标（2）已知抛物线的焦点坐标是F 0, 4，求它的标准方程。解：（1）因为p 6，所以准线方程是x 3.焦点坐标是3,0，（2）由题可知所求抛物线的焦点在y轴负半轴上，且4，p 8， p2则所求的抛物 线的标准方程就为X2 16y2.3.圆锥曲线在生活中的应用圆锥曲线是描述各大星系围绕运行 的曲线，也是现实当中随处可见 的曲线，再者圆锥曲线的光学性质在日常 生

12、活当中运用甚多。例2、如图，我国1970年4月24日发射的第一颗人造地球卫星一一“东 方红” 1号，是以地心七为一个焦点的椭圆。已知人造地球卫星的近地 点A （距地面最为近的点）与地面之间的距离为439km ,远地点B （距地 面的距离最近的点）与地面之间的距离为2384km，且F2、A、B都在同 一直线上，地球半径大约是6371km，求卫星运行的轨道方程（精确到 1km）.解：如图1建立直角坐标系，让点A、B、吗在x轴上，且为椭圆的 右焦点（则记F为左焦点）。图1由于椭圆的焦点在x轴上，则假设它的标准方程为:22x2 y2 1(a b 0)ab则 a c OA OF2 F2A 6371 43

13、9 6810,a c OB OF2 F2B 6371 2384 8755.解：a 7782.5 ， c 972.5 .所以b a2 c2 (a c)(a c)8755 681022用计算器求得b 7722，因此，卫星的轨道方程是x 2 y 2 1 77832 77222 圆锥曲线的光学性质和应用一只灯泡散出的光，会以灯光为点形成球形射出，然而，灯泡装在手 电筒里以后适当的调节，就能射出一束比较强的平行光线，这到底由什 么原理组成的呢？其实在电筒离得小灯泡的身后就有一面反光镜，这面镜反光镜的镜面的形状是一个由我们如上所述抛物线的原理，即绕着它的轴旋转而得到0 的一个曲面【8】（如图2所示）这个面

14、就被称为抛物面。经证明，抛物 线有 一重要的性质即从焦点射发出的光线，在经抛物面反射后，其反射光线图2同样的道理我们运用抛物线的这个性质理论，都可让一束抛物线的 轴的光线且是平行与抛物线的，它在经抛物面的反射候会集中于它的焦 点 上。在生活中这个原理也被人们应用来设计了一种可以为食物加热的 太阳 灶。就是在太阳灶上面安装了一个形如旋转抛物面的一面反光镜，在太阳 光和这面反光镜的轴平行的时候，经过反射的太阳光会集中于它的焦点 出，此时这个位置的温度就会逐渐变得很高。双曲线和椭圆的光学性质与抛物线的光学性质之间是有一些不同的。 由双曲线的一个焦点所发出的光线在经其反射过后，其反射光线一定是散 开的

15、，就好似从另外的一个焦点射出来的那样（如图3所示）。然而由 椭圆上一焦点所散出的光线，在经其反射之后，反射的光线会交于椭圆 的另外一个焦点上（如图4所示），当然双曲线以及椭圆的光学性质 也各种设计以及生活当中被人们广泛地运用。例3、生活中、探照灯上的反射镜的轴截面是属于抛物线范畴（如图5 所示），探照灯的光源即抛物线的焦点，已知灯口圆的半径是30厘米，且灯深为40厘米，求抛物线的焦点所处位置及抛物线的标准方程图5图6解：如上图6所示，我们可以看见在探照灯的轴的截面所处的平面上建 立一个平面直角坐标系，使得反光镜的顶点(也是抛物线的顶点)与原点 重合，并且x轴是垂直于灯口直径的。假设所求的抛物线

16、的标准方程是y2 2px(p 0)。由题可知点A的坐 标是40,30，代入方程，可得30 30 2P 40,454p所以所求抛物的标准方程为：y2 45 x，焦点坐标为：(45,0)3.圆锥曲线的性质及推广应用3.1直线与圆锥曲线的位置关系 的实际应用例4过原点且斜率为正值的直线交椭圆y2 1 于 E,F 两点，设 A (2,0), 4B(0,1),求四边形AEBF面积S的最大值。 分析：由图形的对称性可知，当且仅当 椭圆弧AB上的点F到直线AB 的 距离最大时，四边形AEBF的面积取最大值，不难发现此 时的点F恰是 椭圆平行于AB的切线与椭圆的共共点11解 设直线lL是与直线AB平行的椭圆的

17、两条切线，则当E,F分别与两切点重合时，四边形AEBF面积S取最大值。设切线的方程为x2y t，代入椭圆方程可得2x2 2tx t2 4 0，令4t28 t2 4 0得t 2 2，即两切线的方程42为x 2y 2 2 0，它们的距离为d，而AB 5，故K 42 2 2。Sm a x522xy2例5已知A(1,1椭为95 1内一点，F为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点。求PF PA的最大值和最小值。解已知a 3,b 5,c 2，左焦点F 2,0，右焦点F 2,0。由椭圆的定义1PF1 2a PF2 6 PF2PF1 PA 6 PF2 PA 6 PA PF2 由PA PF2 AF22 1 2 0 1

18、2 2 知2 PA PF22 (当P在A%延长线上P2处时，取右“二”，当P的反向延长线的P处时，取左“二”)的即PA PF2的最大值、最小值分别为2， 2,于是PF1 PA的最大值为 6 2，最小值为6 2。反思：利用三角形两边之和大于第三边的性质求得最值。图例6求二元函数f(u,v) (u v)2 ( 2 U2 9)2的最v小值分析：如图所示，f(u,v)的表达式是两点P(u, 2U2)、Q(v, 9)之间距离的平方，且U2 ( 2 U2)2 2,v 9所以，P、Q分别是圆 v22x2 y2 2与双曲线xy 9上的一点。12定理1：如图2，有心圆锥曲线的内切圆锥曲线.分别与BC、AB、 点

19、 G，(x0, y0)，点 D 坐标为(x1? y1)J1可知过点A的两 xj yj 1)( x2 y2 1)x x y y 1切线方程为：(x0x切点弦EF的方程为x0x y0 y 1 由图像可知直线DO方程为y y1 x 可得直线AG方程x0x1y0y1 x0x1y0 y1x02x1y02x y0 y1 y12 x0y1 x1y0x02x1联立可得交点H的横坐标H 2xxC ，设点B、C的横坐标为 联立可得关于xx0 y0y1xHx x0B、x02x1x0 y0 y1 x1x0 y0y12 x21 y202x 2x 2 2y 2 y 2 1x101xxy yC的中0点横坐标为x中的一元二次

20、方程：2x2 y2x2 y 2 y 2 y 22x 2)x2 2( x y y x y 201110 010 1x02 1 02(2 2 x0x1y0y1 sxjx.x02 y12 2y02 y12 2 y0y1由韦达定理可得xB xCB C 2 xxyy 2x 2x 2 2V 2V2 1010101012( x0 x1 x0y0y1 2 2x1x20 y1 2 2x02x1 x)x1 y0 y1 2x02x1 x1)x易知 PQmin8，所以 f (u, v) min 8小结：由于平面解析几何本身是数形结合的产物，所以借助图形的几何性质 也 是 破解圆锥曲线问题的重要对策，而且往往能收到事半

21、功倍的效果。3.2 数学问题在圆锥曲线中的推广x2 y2 1(0,0或、异号)是左ABCAC相切于点D、E、F，DO的延长线交EF于AG的延长线交BC于点H，则有| BH | |CH |.证明：设点A的坐标为过点D的切线方程为：由引理 y y1)2(联立可得点G坐标(1 , 1 )x xx 2x x y y x y y x y 2 xB C0 1 。 1 0 1 。 1 1中2 2 x x y y 2x2x2 2 y 2 y 2 1点、与B、廿中点横坐标相等，1又都在切线方程上，它们的纵坐标也相 等，即两点重合为一点，所以H为线段BC的中点，所以|BH | |CH |.在有 心圆锥曲线x y2

22、 1(0,0或、异号)中，当0,0且 时，方程表示圆；当0,0且时，方程表示椭圆；当、异号时，方程表示双曲线定理1对圆、椭圆、双曲线三种情况做了统 一的证明定理2：如图3,抛物线y2 2px (p 0)是ABC的内切抛物线，分别与BC、AB、AC相切于点D、E、F,过点D作x轴的平行线与EF交于点万孙G,直线 AG交BC于点H,则有|BH | |CH |. 气，/证明：设点A坐标为(x0, y0)，点D坐标为(X】，图3y1),则有y12 2px1 ,过点D的切线方程 为：y1y p(x1 x) 由引理2可知过点A的两切线方程为y0y p(x0x)2 (y02 2 px0)( y2 2px)切

23、点弦EF的方程为y0y p(x0 x)联立yy1可求得点G坐标为：(y0y1 x0,y1),y0 y p(x0 x) p进而可得直线AG方程为：p,y0 y1) px0yO pg诂 y2px0 y0 y12px0 y0y1联立可得点H的横坐标：2x0x1y0y12px0x1联立可得/ 2 2 2 2 2 2 2y1 ) 2y0y1 x p( x0 yp(y 2px 2y y )x 4 p x x 2p(x y y x y y x10 010 10J 0J1 101 0 1 0 12 2 2 2px0 y0 y1 px0y1 y0 y1 2p x0x1 px1 y0 y12p2x0 2py0 y

24、1 py.2 2 2 2px y y px y 2 y 2 y 2 2p2x x px y yp 0y 0 y 1 p 0y 1 y0 y 1 p 0 1 p 1y 0y 1222p2x0 2p2x1 2py0 y1设点B、C的横坐标为xB、xC, B、C的中点横坐标为x中 关于x的一元二次方程：2(px y y px y 2 px y y y 2 y 2 2p2x x )p 0y0y1p 0y1 p 1y0y1 y0 y1 p 0 /222p2x0 2 py0 y1 py12一 0，0，1一0 J L1J0J/0 y12 2p2x0x122p2x 2py y py 2与B、C中点横坐标相等，

25、0 1又都在切线方程上，则它们的纵坐标也相 这两点是同一点，所以H为线段BC的中点，故|BH | |CH |.2 2 2 2xB xC px0 y0y1 px0 y12 px1y0 y1 y02即x中x点H等， 定理1和定理2是证明这一类与三角形内切圆和旁切圆问题的方法14总结 本篇文章在介绍圆锥曲线的图形的简单形 成之后，利用了数形结合 的思想，函数与方程的思想，简单的概括的圆锥曲线 的图像函数，并根据一些简单的例子巩固了圆锥曲线的概念。再者，又利用了 分类讨论的思想；对椭圆、双曲线、抛物线的几个相同的性质及不同的性质进行 分析，最后归纳总结。且在了解了圆锥曲线的几个基本性质之后再对其在生活

26、 中的推广应用进行一个简单的讲解与分析。在一些例题的分析之后，也让我们了 解到天体在宇宙运行的轨迹以及圆锥曲线在生活中被广 泛应用的奥秘。参考文献:1 郑崇友.几何学引论（第二版）.北京.高等教育出版社，2005年2 俞亚华.求解圆锥曲线最值问题的基本策略.宁波大学学报，2004年，02 期3 张荣昌.巧用圆锥曲线的定义求最值.河南教育学院学报，2004年，03期4 宋贵聪.圆锥曲线中一类最值问题的解法.咸宁学院学报，2009年，06 期5 王成喜.圆锥曲线中最值问题的类型与解法.科技信息，2009年，35期6 王绍学.普通高中课程标准实验教科书（选修21）数学A版.北 京.人民教育出版社.7 钟山、张安学.高考工具书辽宁.辽宁教育出版社.2010年3月第1 版.8 刘汉丽。高中几何教材研究。北京。人民教育出版社。2009-9第一 版9 圆锥曲线M,北京教育科学研究院基础教育研究中心，北京：首都师范 大学出 版社，2006._10 Cockshott （英）.Walters （英），几何圆锥曲线论M,北京：商务印书 馆,1937特此感谢抚州一中数学组老师对我论文的细心指导与鼓励15