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1、Chapter 3(1),线性方程组的解的结构,教学要求：,理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及 非齐次线性方程组有解的充要条件;,2. 理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空 间的概念;,3. 理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念.,形如,的方程组,称为n个未知数m个方程的线性方程组.,系数矩阵,增广矩阵,常数项向量,解向量是列向量,方程组的矩阵形式：,方程组的向量形式：,若方程组有解，则称方程组相容；,若方程组无解，则称方程组不相容；,若方程组有唯一解，则称方程组为确定方程组；,若方程组多于一个解，则称方程组为不定方程组.,方程组的矩阵形式：,方程组的向量形式：,1. 齐次线性方程
2、组总有零解,所以齐次线性方程组总是相容的.,2. 齐次线性方程组AxO有非零解的条件,定理1.,推论.,3. 齐次线性方程组AxO解的结构,注意:,(1) 由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 的解空间,若AxO有非零解, 则有无穷多个解, 这无穷多个 解作为向量必线性相关, 从而一定有最大无关组, 即 为解空间的基, 这里又称为基础解系. AxO的通解为 这基础解系的线性组合.,(3) 基础解系的定义,定理2.,结论1.,结论2.,结论3.,结论4.,Proof.,Proof.,注意:,Axb
3、的两个解的线性组合一般不是Axb的解.,其中 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特 解.,所以，非齐次线性方程组Ax=b的通解为,四. 齐次线性方程组AxO的基础解系的求法,现对 取下列 组数：,依次得,从而求得原方程组的 个解：,下面证明 是齐次线性方程组的基 础解系,由线性无关的定义即可证明.,而前r个分量都由后n r个分量决定.,注意:,(1) 基础解系不是唯一的;,定理3.,The end,定理1.,Proof.,从而A与B可互相线性表示,即A与B等价.,page413ex35,page488ex6,page476-50,Proof.,则存在可逆矩阵 P,Q, 使,Proof.,Proof.,The end,
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