函数近似计算的插值法Neton插值学习教案

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1、会计学1函数近似计算的插值法函数近似计算的插值法Neton插值插值第一页，编辑于星期一：三点 分。 均差（也称为差商）是数值方法中的一个重要均差（也称为差商）是数值方法中的一个重要概念，它可以反映出列表函数的性质，并能对概念，它可以反映出列表函数的性质，并能对Lagrange插值公式给出新的表达形式，这就是插值公式给出新的表达形式，这就是Newton插值插值 。 5.3 Newton插值法插值法第1页/共27页第二页，编辑于星期一：三点 分。)(xljnjiiijixxxx0)()(nj,2 , 1 ,0我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也

2、很多由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成, 1,0 xx ),)(10 xxxx)()(110nxxxxxx,共n+1个多项式的线性组合那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？引入差商和差分的目的引入差商和差分的目的第2页/共27页第三页，编辑于星期一：三点 分。, 1,0 xx ),)(10 xxxx)()(110nxxxxxx,显然，多项式组线性无关，因此，可以作为插值基函数,ix设插值节点为nifi, 1 , 0,函数值为1,2 , 1 , 0,1nixxhiiiiihhmaxnifxPii, 1 , 0,)(插值条件为)()()()()(110102010nn

3、xxxxxxaxxxxaxxaaxP具有如下形式设插值多项式)(xP第3页/共27页第四页，编辑于星期一：三点 分。nifxPxPii, 1 , 0,)()(应满足插值条件000)(afxP有)()(011011xxaafxP00fa 01011xxffa)()()(12022021022xxxxaxxaafxP12010102022xxxxffxxffa再继续下去待定系数的形式将更复杂为此引入差商和差分的概念第4页/共27页第五页，编辑于星期一：三点 分。一、差商一、差商(均差均差)定义定义1.nifxxfii, 1 , 0,)(处的函数值为在互异的节点设称)(,jixxffxxfjijij

4、i( ),()();ijf xxx为关于节点一阶差商 均差 平均变化率)(,kjixxxxfxxfxxxfjkjikikji( ),ijkf xx xx为关于的二阶差商(均差), 它是由1阶均差再作一次差商所得;依此类推第5页/共27页第六页，编辑于星期一：三点 分。,110kkiiiixxxxf阶差商的关于节点为kxxxxxfkkiiii,)(110,110kkxxxxf差商具有如下性质差商具有如下性质(请同学们自证请同学们自证)：且的线性组合表示可由函数值阶差商的,)(,),(),(,)()1(10110kkkxfxfxfxxxxfkxf显然kkkkkiiiiiiiiixxxxxxfxxx

5、f1210110,kkkkkxxxxxxfxxxf1210110,第6页/共27页第七页，编辑于星期一：三点 分。,110kkxxxxfkikiiiiiiixxxxxxxxxf0110)()()()(2) 差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变,210 xxxf,120 xxxf,012xxxf如01011(3) ,1 ,1kkkf x x xxxmf x x xxxxm若是的次多项式 则其 阶均差是的次多项式.第7页/共27页第八页，编辑于星期一：三点 分。)()()()()()(4433221100 xfxxfxxfxxfxxfxxfxkk四阶差商三阶差商二阶差商一阶差商差商的

6、计算方法差商的计算方法(表格法表格法):,10 xxf,21xxf,32xxf,43xxf,210 xxxf,321xxxf,432xxxf,3210 xxxxf,4321xxxxf,410 xxxf规定函数值为规定函数值为零阶差商零阶差商差商表第8页/共27页第九页，编辑于星期一：三点 分。二、二、Newton基本插值公式基本插值公式)()()()()(110102010nnxxxxxxaxxxxaxxaaxP设插值多项式满足插值条件nifxPii, 1 , 0,)(则待定系数为00fa ,101xxfa ,2102xxxfa ,10nnxxxfa第9页/共27页第十页，编辑于星期一：三点

7、分。)()()()()(110102010nnnxxxxxxaxxxxaxxaaxNnkkjjkxxxxxff110100)(,称( )if xxnNewton为关于节点的 次基本插值多项式.定义定义3.)()()(xNxfxRnn)()!1()(1)1(xnfnn由插值多项式的唯一性, Newton基本插值公式的余项余项为nkkkxxxxff1100)(,10)(kjjxx)(xk为k次多项式第10页/共27页第十一页，编辑于星期一：三点 分。,10kxxxxf,110kxxxxf则视为一个节点若将,), 1 , 0( ,nixxi因此可得)(,)(000 xxxxffxf)(,(01101

8、00 xxxxxxxfxxff)(,)(,10100100 xxxxxxxfxxxxffnjjnnkkjjkxxxxxxfxxxxxff010110100)(,)(,kkkxxxxxfxxxxf,10110)(,1010kkkxxxxxxfxxxf第11页/共27页第十二页，编辑于星期一：三点 分。)(xRn)()!1()(1)1(xnfnn)(,110 xxxxxfnnnjjnnxxxxxxfxN010)(,)()()(xRxNnn因此)!1()()1(nfn,10nxxxxf!)()(kfk,10kxxxf)(xRk)(,1110 xxxxfkknk 一般Newton插值估计误差的重要公式

9、另外第12页/共27页第十三页，编辑于星期一：三点 分。00,( ),0,;,niiiknf xa xnknf xxakn于是, 可以证明: 若 是一个次多项式 则当时当时. n1001N, nnnNewtonxNxf xxxxxxNewtonLagrange由插值表达式，我们可以看出这样，每增加一个节点，插值多项式只增加一项，克服了插值的缺点。第13页/共27页第十四页，编辑于星期一：三点 分。 所谓等距节点，是指所谓等距节点，是指 中，相邻两点之间中，相邻两点之间的距离都相等。这个相等的间距称为步长，记为的距离都相等。这个相等的间距称为步长，记为h，即，即： nxxx,10), 1 , 0

10、(0niihxxi 如果插值节点是等距的，那么整个插值公式将会出现新如果插值节点是等距的，那么整个插值公式将会出现新的规律，毫无疑问会更加简单。的规律，毫无疑问会更加简单。 本节研究等距点的插值多项式。本节研究等距点的插值多项式。第14页/共27页第十五页，编辑于星期一：三点 分。设等距节点设等距节点 ), 1 , 0(0niihxxi 相应的函数值是相应的函数值是 ), 1 , 0()()(0niihxfxffii iiifff 1( )(0,1,2, )if xxin为在处的一阶向前差分；称称 2ifxx称为在处的阶向前差分。iiifff 12而而向向 前前 差差 分分第15页/共27页第

11、十六页，编辑于星期一：三点 分。( )if xxk为在处的阶向前差分。 一般，可定义一般，可定义iiff 0), 2 , 1 , 0;, 2 , 1(111kninkfffikikik 向向 前前 差差 分分1 iiifff f x同样可以定义的向后差分： 1if xx称为在处的 阶向后差分；向向 后后 差差 分分第16页/共27页第十七页，编辑于星期一：三点 分。向向 后后 差差 分分iiff 0 ifxxk称为在处的阶向后差分。一般地一般地 ),1, ; ,1,2,( 111nkkinkfffikikik 向前差分与向后差分有关式 k1 kkii kff kkii kff 关联公式关联公式

12、第17页/共27页第十八页，编辑于星期一：三点 分。4433221100fxfxfxfxfxfxkk四阶差分三阶差分二阶差分一阶差分0f1f2f3f02f12f22f03f13f04f差分表差分表4f3f2f1f42f32f22f43f33f44f第18页/共27页第十九页，编辑于星期一：三点 分。在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系,1iixxfhfi,21iiixxxf212hffii222hfihfi 12212hffii2222hfi,321iiiixxxxf312223hffii33! 3 hfiiiiixxff112211,iiiiiixxxxfxxf332121,iiiiii

13、iixxxxxfxxxf第19页/共27页第二十页，编辑于星期一：三点 分。3322223hfxfii333! 3 hfi,1miiixxxf依此类推mimhmf!mmimhmf!,10kxxxfkkhkf!0kkkhkf!第20页/共27页第二十一页，编辑于星期一：三点 分。即是等距节点如果节点,10nxxxnabhnkkhxxk, 1 ,0,0,10kxxxfkkhkf!0由差商与向前差分的关系)(xNnnkkkxxxxff1100)(,Newton插值基本公式为如果假设thxx02. Newton向前向前(差分差分)插值公式插值公式第21页/共27页第二十二页，编辑于星期一：三点 分。1

14、0)(kjjxx)(xk1000)(kjjhxthx10)(kjhjt0!kkfk hnkf1010()kjtj h0!kfknkf1010()kjtj)(xNnnkkkxxxxff1100)(,)(0thxNn)(xRn)()!1()(1)1(xnfnn则插值公式化为其余项)(0thxRn)!1()()1(nfnnjnjth01)(化为第22页/共27页第二十三页，编辑于星期一：三点 分。)(0thxRn)!1()()1(nfnnjnjth01)(!0kfknkf10 )(10kjjt)(0thxNn称为Newton向前插值公式插值余项为第23页/共27页第二十四页，编辑于星期一：三点 分。

15、!kfnknknf1 )(10kjjt( )nNx)(thxRnn)!1()()1(nfnnjnjth01)(插值余项为根据向前差分和向后差分的关系mkmkmff如果假设thxxn)0( t可得Newton向后插值公式3. Newton向后向后(差分差分)插值公式插值公式第24页/共27页第二十五页，编辑于星期一：三点 分。四、Newton基本插值公式的算法设计Newton插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时,计算只要增加一项,这是Lagrange插值无法比的.另外,Newton插值多项式 需要除法 次, 及2n-1次乘法, 大约比Lagrange公式节省3到4倍工作量 . （略）( )nNx212ninnk第25页/共27页第二十六页，编辑于星期一：三点 分。计算方法计算方法：复习题复习题5（5.3、5.7除外）；除外）；例题例题 5.1、5.6 ；习题习题 5.2、5.3、5.4、5.5、5.13 应用数值分析应用数值分析：例题例题 2.2.1、2.3.2 ；习题习题 2.1、2.2、2.10、2.11、2.22、2.28 第26页/共27页第二十七页，编辑于星期一：三点 分。