函数近似计算的插值法Neton插值学习教案

会计学1函数近似计算的插值法函数近似计算的插值法Neton插值插值第一页，编辑于星期一：三点 分。 均差（也称为差商）是数值方法中的一个重要均差（也称为差商）是数值方法中的一个重要概念，它可以反映出列表函数的性质，并能对概念，它可以反映出列表函数的性质，并能对Lagrange插值公式给出新的表达形式，这就是插值公式给出新的表达形式，这就是Newton插值插值 。 5.3 Newton插值法插值法第1页/共27页第二页，编辑于星期一：三点 分。)(xljnjiiijixxxx0)()(nj,2 , 1 ,0我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成, 1,0 xx ),)(10 xxxx)()(110nxxxxxx,共n+1个多项式的线性组合那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？引入差商和差分的目的引入差商和差分的目的第2页/共27页第三页，编辑于星期一：三点 分。, 1,0 xx ),)(10 xxxx)()(110nxxxxxx,显然，多项式组线性无关，因此，可以作为插值基函数,ix设插值节点为nifi, 1 , 0,函数值为1,2 , 1 , 0,1nixxhiiiiihhmaxnifxPii, 1 , 0,)(插值条件为)()()()()(110102010nnxxxxxxaxxxxaxxaaxP具有如下形式设插值多项式)(xP第3页/共27页第四页，编辑于星期一：三点 分。nifxPxPii, 1 , 0,)()(应满足插值条件000)(afxP有)()(011011xxaafxP00fa 01011xxffa)()()(12022021022xxxxaxxaafxP12010102022xxxxffxxffa再继续下去待定系数的形式将更复杂为此引入差商和差分的概念第4页/共27页第五页，编辑于星期一：三点 分。一、差商一、差商(均差均差)定义定义1.nifxxfii, 1 , 0,)(处的函数值为在互异的节点设称)(,jixxffxxfjijiji( ),()();ijf xxx为关于节点一阶差商 均差 平均变化率)(,kjixxxxfxxfxxxfjkjikikji( ),ijkf xx xx为关于的二阶差商(均差), 它是由1阶均差再作一次差商所得;依此类推第5页/共27页第六页，编辑于星期一：三点 分。,110kkiiiixxxxf阶差商的关于节点为kxxxxxfkkiiii,)(110,110kkxxxxf差商具有如下性质差商具有如下性质(请同学们自证请同学们自证)：且的线性组合表示可由函数值阶差商的,)(,),(),(,)()1(10110kkkxfxfxfxxxxfkxf显然kkkkkiiiiiiiiixxxxxxfxxxf1210110,kkkkkxxxxxxfxxxf1210110,第6页/共27页第七页，编辑于星期一：三点 分。,110kkxxxxfkikiiiiiiixxxxxxxxxf0110)()()()(2) 差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变,210 xxxf,120 xxxf,012xxxf如01011(3) ,1 ,1kkkf x x xxxmf x x xxxxm若是的次多项式 则其 阶均差是的次多项式.第7页/共27页第八页，编辑于星期一：三点 分。)()()()()()(4433221100 xfxxfxxfxxfxxfxxfxkk四阶差商三阶差商二阶差商一阶差商差商的计算方法差商的计算方法(表格法表格法):,10 xxf,21xxf,32xxf,43xxf,210 xxxf,321xxxf,432xxxf,3210 xxxxf,4321xxxxf,410 xxxf规定函数值为规定函数值为零阶差商零阶差商差商表第8页/共27页第九页，编辑于星期一：三点 分。二、二、Newton基本插值公式基本插值公式)()()()()(110102010nnxxxxxxaxxxxaxxaaxP设插值多项式满足插值条件nifxPii, 1 , 0,)(则待定系数为00fa ,101xxfa ,2102xxxfa ,10nnxxxfa第9页/共27页第十页，编辑于星期一：三点 分。)()()()()(110102010nnnxxxxxxaxxxxaxxaaxNnkkjjkxxxxxff110100)(,称( )if xxnNewton为关于节点的 次基本插值多项式.定义定义3.)()()(xNxfxRnn)()!1()(1)1(xnfnn由插值多项式的唯一性, Newton基本插值公式的余项余项为nkkkxxxxff1100)(,10)(kjjxx)(xk为k次多项式第10页/共27页第十一页，编辑于星期一：三点 分。,10kxxxxf,110kxxxxf则视为一个节点若将,), 1 , 0( ,nixxi因此可得)(,)(000 xxxxffxf)(,(0110100 xxxxxxxfxxff)(,)(,10100100 xxxxxxxfxxxxffnjjnnkkjjkxxxxxxfxxxxxff010110100)(,)(,kkkxxxxxfxxxxf,10110)(,1010kkkxxxxxxfxxxf第11页/共27页第十二页，编辑于星期一：三点 分。)(xRn)()!1()(1)1(xnfnn)(,110 xxxxxfnnnjjnnxxxxxxfxN010)(,)()()(xRxNnn因此)!1()()1(nfn,10nxxxxf!)()(kfk,10kxxxf)(xRk)(,1110 xxxxfkknk 一般Newton插值估计误差的重要公式另外第12页/共27页第十三页，编辑于星期一：三点 分。00,( ),0,;,niiiknf xa xnknf xxakn于是, 可以证明: 若 是一个次多项式 则当时当时. n1001N, nnnNewtonxNxf xxxxxxNewtonLagrange由插值表达式，我们可以看出这样，每增加一个节点，插值多项式只增加一项，克服了插值的缺点。第13页/共27页第十四页，编辑于星期一：三点 分。 所谓等距节点，是指所谓等距节点，是指 中，相邻两点之间中，相邻两点之间的距离都相等。这个相等的间距称为步长，记为的距离都相等。这个相等的间距称为步长，记为h，即，即： nxxx,10), 1 , 0(0niihxxi 如果插值节点是等距的，那么整个插值公式将会出现新如果插值节点是等距的，那么整个插值公式将会出现新的规律，毫无疑问会更加简单。的规律，毫无疑问会更加简单。 本节研究等距点的插值多项式。本节研究等距点的插值多项式。第14页/共27页第十五页，编辑于星期一：三点 分。设等距节点设等距节点 ), 1 , 0(0niihxxi 相应的函数值是相应的函数值是 ), 1 , 0()()(0niihxfxffii iiifff 1( )(0,1,2, )if xxin为在处的一阶向前差分；称称 2ifxx称为在处的阶向前差分。iiifff 12而而向向 前前 差差 分分第15页/共27页第十六页，编辑于星期一：三点 分。( )if xxk为在处的阶向前差分。 一般，可定义一般，可定义iiff 0), 2 , 1 , 0;, 2 , 1(111kninkfffikikik 向向 前前 差差 分分1 iiifff f x同样可以定义的向后差分： 1if xx称为在处的 阶向后差分；向向 后后 差差 分分第16页/共27页第十七页，编辑于星期一：三点 分。向向 后后 差差 分分iiff 0 ifxxk称为在处的阶向后差分。一般地一般地 ),1, ; ,1,2,( 111nkkinkfffikikik 向前差分与向后差分有关式 k1 kkii kff kkii kff 关联公式关联公式第17页/共27页第十八页，编辑于星期一：三点 分。4433221100fxfxfxfxfxfxkk四阶差分三阶差分二阶差分一阶差分0f1f2f3f02f12f22f03f13f04f差分表差分表4f3f2f1f42f32f22f43f33f44f第18页/共27页第十九页，编辑于星期一：三点 分。在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系,1iixxfhfi,21iiixxxf212hffii222hfihfi 12212hffii2222hfi,321iiiixxxxf312223hffii33! 3 hfiiiiixxff112211,iiiiiixxxxfxxf332121,iiiiiiiixxxxxfxxxf第19页/共27页第二十页，编辑于星期一：三点 分。3322223hfxfii333! 3 hfi,1miiixxxf依此类推mimhmf!mmimhmf!,10kxxxfkkhkf!0kkkhkf!第20页/共27页第二十一页，编辑于星期一：三点 分。即是等距节点如果节点,10nxxxnabhnkkhxxk, 1 ,0,0,10kxxxfkkhkf!0由差商与向前差分的关系)(xNnnkkkxxxxff1100)(,Newton插值基本公式为如果假设thxx02. Newton向前向前(差分差分)插值公式插值公式第21页/共27页第二十二页，编辑于星期一：三点 分。10)(kjjxx)(xk1000)(kjjhxthx10)(kjhjt0!kkfk hnkf1010()kjtj h0!kfknkf1010()kjtj)(xNnnkkkxxxxff1100)(,)(0thxNn)(xRn)()!1()(1)1(xnfnn则插值公式化为其余项)(0thxRn)!1()()1(nfnnjnjth01)(化为第22页/共27页第二十三页，编辑于星期一：三点 分。)(0thxRn)!1()()1(nfnnjnjth01)(!0kfknkf10 )(10kjjt)(0thxNn称为Newton向前插值公式插值余项为第23页/共27页第二十四页，编辑于星期一：三点 分。!kfnknknf1 )(10kjjt( )nNx)(thxRnn)!1()()1(nfnnjnjth01)(插值余项为根据向前差分和向后差分的关系mkmkmff如果假设thxxn)0( t可得Newton向后插值公式3. Newton向后向后(差分差分)插值公式插值公式第24页/共27页第二十五页，编辑于星期一：三点 分。四、Newton基本插值公式的算法设计Newton插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时,计算只要增加一项,这是Lagrange插值无法比的.另外,Newton插值多项式 需要除法 次, 及2n-1次乘法, 大约比Lagrange公式节省3到4倍工作量 . （略）( )nNx212ninnk第25页/共27页第二十六页，编辑于星期一：三点 分。计算方法计算方法：复习题复习题5（5.3、5.7除外）；除外）；例题例题 5.1、5.6 ；习题习题 5.2、5.3、5.4、5.5、5.13 应用数值分析应用数值分析：例题例题 2.2.1、2.3.2 ；习题习题 2.1、2.2、2.10、2.11、2.22、2.28 第26页/共27页第二十七页，编辑于星期一：三点 分。