2018-2019学年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式 1 不等式的基本性质讲义(含解析)新人教A版选修4-5.doc
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1不等式的基本性质1实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应,可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小在数轴上,右边的数总比左边的数大 (2)如果ab0,则ab;如果ab0,则ab;如果ab0,则ab.(3)比较两个实数a与b的大小,归结为判断它们的差ab的符号;比较两个代数式的大小,实际上是比较它们的值的大小,而这又归结为判断它们的差的符号2不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实,可以得到不等式的一些基本性质:(1)如果ab,那么ba;如果ba,那么ab.即abba.(2)如果ab,bc,那么ac.即ab,bcac.(3)如果ab,那么acbc.(4)如果ab,c0,那么acbc;如果ab,c0,那么acb0,那么anbn(nN,n2)(6)如果ab0,那么(nN,n2)3对上述不等式的理解使用不等式的性质时,一定要清楚它们成立的前提条件,不可强化或弱化它们成立的条件,盲目套用,例如:(1)等式两边同乘以一个数仍为等式,但不等式两边同乘以同一个数c(或代数式)结果有三种:c0时得同向不等式;c0时得等式;cbd,即两个同向不等式可以相加,但不可以相减;而ab0,cd0acbd,即已知的两个不等式同向且两边为正值时,可以相乘,但不可以相除(3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值,并且nN,n2,否则结论不成立而当n取正奇数时可放宽条件,abanbn(n2k1,kN),ab(n2k1,kN)(4)在不等式的基本性质中,条件和结论的逻辑关系有两种:“”与“”,即推出关系和等价关系,或者说“不可逆关系”与“可逆关系”这要求必须熟记与区别不同性质的条件如ab,ab0,而反之不成立数、式大小的比较例1已知p,q为正数且pq1,比较(pxqy)2与px2qy2的大小思路点拨利用作差法比较两数的大小,并注意等号成立的条件解(pxqy)2(px2qy2)p2x22pqxyq2y2px2qy2p(p1)x2q(q1)y22pqxy.因为pq1,所以p1q,q1p.所以(pxqy)2(px2qy2)pq(x2y22xy)pq(xy)2.因为p,q为正数,所以pq(xy)20.所以(pxqy)2px2qy2.当且仅当xy时,不等式中等号成立比较两个数(式子)的大不,一般用作差法,其步骤是:作差变形判断差的符号结论,其中“变形”是关键,常用的方法是分解因式、配方等1已知a,bR,比较a4b4与a3bab3的大小解:因为(a4b4)(a3bab3)a3(ab)b3(ba)(ab)(a3b3)(ab)2(a2abb2)(ab)20,(当且仅当ab时,取“”号)所以a4b4a3bab3.2已知x,y均为正数,设m,n,试比较m与n的大小解:mn,x,y均为正数,x0,y0,xy0,xy0,(xy)20,mn0,即mn,当且仅当xy时取等号不等式的证明例2已知ab0,cd0,e.思路点拨可以作差比较,也可用不等式的性质直接证明证明法一:,ab0,cd0,ba0,cd0.bacd0,c0.同理bd0,(ac)(bd)0.e0.即.法二:.进行简单的不等式的证明,一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上,如果不能直接由不等式的性质得到,可以先分析需要证明的不等式的结构,利用不等式的性质进行逆推,寻找使其成立的充分条件3设ab0,求证:.证明:法一:0,原不等式成立法二:ab0,故a2b20.故左边0,右边0.11.原不等式成立4已知ab0,dc0,求证:.证明:因为dc0,所以0.又因为ab0,所以ab,即.利用不等式的性质求范围例3已知30x42,16y24,求xy,x2y,的取值范围思路点拨根据题目提供的条件,结合不等式的性质进行求解解30x42,16y24,46xy66.16y24,482y32,18x2y10.16y24,.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面,严格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础,在使用不等式的性质中,如果是由两个变量的范围求其差的范围,一定不能直接作差,而要转化为同向不等式后作和5已知,求的取值范围解:,且.,且0.0.即的取值范围为,0)6已知14,21,求2的取值范围解:设2m()n(),解得又14,21,2.2的取值范围为.1已知数轴上两点A,B对应的实数分别为x,y,若xy0,则|x|与|y|对应的点P,Q的位置关系是()AP在Q的左边BP在Q的右边CP,Q两点重合 D不能确定解析:选Bxy|y|0.故P在Q的右边2已知a,b,cR,且ab0,则下面推理中正确的是()Aabam2bm2 B.abCa3b3b2ab解析:选C对于A,若m0,则不成立;对于B,若c0(ab)(a2abb2)0,a2abb22b20恒成立,ab0,ab.又ab0,b2(ab)(ab)0,不能说ab.3已知a,b,c(0,),若,则()Acab BbcaCabc Dcba解析:选A由,可得111,即,又a,b,c(0,),所以abbcca.由abbc可得ac;由bcca可得ba,于是有cab.4若a,b为实数,则“0ab1”是“a”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析:选A对于0ab0,则b0,a成立,如果a0,则b成立,因此“0ab1”是“a”的充分条件;反之,若a1,b2,结论“a”成立,但条件0ab1不成立,因此“0ab1”不是“a”的必要条件,即“0ab1”是“a”的充分不必要条件5若f(x)3x2x1,g(x)2x2x1,则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)_g(x)解析:f(x)g(x)(3x2x1)(2x2x1)x22x2(x1)2110,f(x)g(x)答案:6下列命题:cab;a0b;0ab; 1)ab.其中真命题是_(填序号)解析:cacbab.a0b0,0.0,有或即或不正确,中无论n为奇数或偶数,均可由1)ay,则实数a,b应满足的条件为_解析:xy,xya2b252aba24a(ab1)2(a2)20.ab10或a20.即ab1或a2.答案:ab1或a28若a0,b0,求证:ab.证明:ab(ab),(ab)20恒成立,且已知a0,b0,ab0,ab0.0.ab.9若f(x)ax2bx,且1f(1)2,2f(1)4,求f(2)的取值范围解:f(1)ab,f(1)ab,令f(2)4a2bAf(1)Bf(1),则f(2)3f(1)f(1)1f(1)2,2f(1)4,33f(1)6,5f(1)3f(1)10,5f(2)10.故f(2)的取值范围为5,1010已知a0,a1.(1)比较下列各组大小a21与aa;a31与a2a;a51与a3a2.(2)探讨在m,nN条件下,amn1与aman的大小关系,并加以证明解:(1)a0,a1,a21(aa)a212a(a1)20.a21aa.a31(a2a)a2(a1)(a1)(a1)(a1)20,a31a2a,a51(a3a2)a3(a21)(a21)(a21)(a31)当a1时,a31,a21,(a21)(a31)0.当0a1时,0a31,0a20.即a51a3a2.(2)根据(1)可探讨,得amn1aman.证明如下:amn1(aman)am(an1)(1an)(am1)(an1)当a1时,am1,an1,(am1)(an1)0.当0a1时,0am1,0an0.综上(am1)(an1)0,即amn1aman.- 配套讲稿:
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