2018版高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系课件(打包10套)新人教A版.zip
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2 1 2空间中直线与直线之间的位置关系 目标定位1 理解异面直线的定义 并能正确画出两条异面直线 2 会用反证法证明两条直线是异面直线 会求两异面直线所成的角 3 理解公理4和等角定理 1 空间两条直线的位置关系 自主预习 空间两条直线的位置关系有且只有三种 1 若从公共点的数目分 可以分为 只有一个公共点 相交 平行 异面 2 异面直线 相交 平行 异面 1 定义 的两条直线 2 异面直线的画法 不同在任何一个平面内 3 平行公理 公理4 文字表述 平行于同一条直线的两条直线互相 这一性质叫做空间 平行 平行线的传递性 a c 4 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应 那么这两个角 或 平行 相等 互补 5 异面直线所成的角 1 定义 已知两条异面直线a b 经过空间任一点O作直线a a b b 我们把a 与b 所成的 或 叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 2 异面直线所成的角 的取值范围 3 当 时 a与b互相垂直 记作a b 锐角 直角 0 90 90 即时自测 1 判断题 1 若两条直线无公共点 则这两条直线平行 2 若两直线不是异面直线 则必相交或平行 3 过平面外一点与平面内一点的直线 与平面内的任意一条直线均构成异面直线 4 和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线 提示 1 空间两直线无公共点 则这两条直线可能平行 也可能异面 3 过平面外一点与平面内一点的直线 和平面内过该点的直线是相交直线 4 和两条异面直线都相交的两直线有可能是相交直线也有可能是异面直线 2 若空间两条直线a和b没有公共点 则a与b的位置关系是 A 共面B 平行C 异面D 平行或异面 解析若直线a和b共面 则由题意可知a b 若a和b不共面 则由题意可知a与b是异面直线 答案D 3 两个三角形不在同一平面内 它们的边两两对应平行 那么这两个三角形 A 全等B 不相似C 仅有一个角相等D 相似 解析由等角定理知 这两个三角形的三个角分别对应相等 故应选D 答案D 4 如图在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F G H分别为AA1 AB BB1 B1C1的中点 则异面直线EF与GH所成的角等于 解析取A1B1的中点M 连接GM HM 因为在正方体ABCD A1B1C1D1中 M H G为A1B1 B1C1 B1B的中点 所以 GMH为正三角形 MGH为EF与GH所成的角 所以 MGH 60 答案60 类型一空间两条直线位置关系的判断 例1 如图 长方体ABCD A1B1C1D1中 判断下列直线的位置关系 直线A1B与直线D1C的位置关系是 直线A1B与直线B1C的位置关系是 直线D1D与直线D1C的位置关系是 直线AB与直线B1C的位置关系是 解析直线D1D与直线D1C显然相交于D1点 所以 应该填 相交 直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中 且没有交点 则两直线 平行 所以 应该填 平行 点A1 B B1在一个平面A1BB1内 而C不在平面A1BB1内 且B1 A1B 则直线A1B与直线B1C 异面 同理 直线AB与直线B1C 异面 所以 都应该填 异面 答案 平行 异面 相交 异面 规律方法1 判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断 而两条直线平行也可以用公理4判断 2 判定两条直线是异面直线有定义法和排除法 由于使用定义判断不方便 故常用排除法 即说明这两条直线不平行 不相交 则它们异面 训练1 1 若a b是异面直线 b c是异面直线 则 A a cB a c是异面直线C a c相交D a c平行或相交或异面 2 若直线a b c满足a b a c异面 则b与c A 一定是异面直线B 一定是相交直线C 不可能是平行直线D 不可能是相交直线 解析 1 若a b是异面直线 b c是异面直线 那么a c可以平行 可以相交 可以异面 2 若a b a c是异面直线 那么b与c不可能平行 否则由公理4知a c 答案 1 D 2 C 类型二公理4 等角定理的应用 例2 在如图所示的正方体ABCD A1B1C1D1中 E F E1 F1分别是棱AB AD B1C1 C1D1的中点 求证 1 EF綉E1F1 2 EA1F E1CF1 证明 1 连接BD B1D1 在 ABD中 因为E F分别为AB AD的中点 则BM A1E 因此 CF1 A1E 同理可证A1F CE1 因为 EA1F与 E1CF1的两边分别对应平行 且方向都相反 所以 EA1F E1CF1 规律方法 1 空间两条直线平行的证明 一是定义法 即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点 二是利用平面图形的有关平行的性质 如三角形中位线 梯形中位线 平行四边形等关于平行的性质 三是利用公理4 找到一条直线 使所证的直线都与这条直线平行 2 求证角相等 一是用等角定理 二是用三角形全等或相似 训练2 如图 已知E F G H分别是空间四边形ABCD的边AB BC CD DA的中点 1 求证 E F G H四点共面 2 若四边形EFGH是矩形 求证 AC BD 证明 1 在 ABD中 E H分别是AB AD的中点 EH BD 同理FG BD 则EH FG 故E F G H四点共面 2 由 1 知EH BD 同理AC GH 又 四边形EFGH是矩形 EH GH 故AC BD 类型三求异面直线所成的角 互动探究 思路探究 探究点一异面直线所成的角的范围是多少 提示 0 90 探究点二求异面直线所成的角分哪三步 三角形的中位线有什么作用 提示求异面直线所成的角分三步 作 证 求 三角形的中位线是立体几何中常用到的线段 是解决立体几何问题最重要的辅助线 三角形中位线的性质是求两条异面直线所成角的基础 解如图 取BD的中点M 连接EM FM 规律方法1 异面直线一般依附于某几何体 所以在求异面直线所成的角时 首先将异面直线平移成相交直线 而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点 2 求异面直线所成的角的一般步骤为 1 作角 平移成相交直线 2 证明 用定义证明前一步的角为所求 3 计算 在三角形中求角的大小 但要注意异面直线所成的角的范围 训练3 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 1 AC和DD1所成的角是 2 AC和D1C1所成的角是 3 AC和B1D1所成的角是 4 AC和A1B所成的角是 解析 1 根据正方体的性质可得AC和DD1所成的角是90 2 D1C1 DC 所以 ACD即为AC和D1C1所成的角 由正方体的性质得 ACD 45 3 BD B1D1 BD AC B1D1 AC 即AC和B1D1所成的角是90 4 A1B D1C ACD1是等边三角形 所以AC和A1B所成的角是60 答案 1 90 2 45 3 90 4 60 课堂小结 1 判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行 相交 异面的定义 很多情况下 定义就是一种常用的判定方法 2 在研究异面直线所成角的大小时 通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角 将空间问题向平面问题转化 这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径 需要强调的是 两条异面直线所成角为 且0 90 解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小 1 一条直线与两条异面直线中的一条平行 则它和另一条的位置关系是 A 平行或异面B 相交或异面C 异面D 相交 解析如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 AA1与BC是异面直线 又AA1 BB1 AA1 DD1 显然BB1 BC B DD1与BC是异面直线 故选B 答案B 2 设P是直线l外一定点 过点P且与l成30 角的异面直线 A 有无数条B 有两条C 至多有两条D 有一条 解析我们现在研究的平台是锥空间 如图所示 过点P作直线l l 以l 为轴 与l 成30 角的圆锥面的所有母线都与l成30 角 答案A 3 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E为C1D1的中点 则异面直线AE与A1B1所成的角的余弦值为 4 已知正方体ABCD A1B1C1D1 E F分别为棱AA1 CC1的中点 求证 BF ED1 证明如图 取棱BB1的中点G 连接GC1 GE F为棱CC1的中点 BG C1F 且BG C1F 四边形BGC1F为平行四边形 BF GC1 且BF GC1 同理 可得EG A1B1 且EG A1B1 又A1B1 C1D1 且A1B1 C1D1 EG C1D1 且EG C1D1 四边形EGC1D1为平行四边形 ED1 GC1 BF ED1 目标定位1 掌握直线与平面之间的三种位置关系 会用图形语言和符号语言表示 2 掌握平面与平面之间的两种位置关系 会用图形语言和符号语言表示 1 直线与平面的位置关系 自主预习 有无数个公共点 a 有且只有一个公共点 a A 没有公共点 a 2 两个平面的位置关系 A l 即时自测 1 判断题 1 若直线a在平面 外 则直线a 2 若平面 内存在直线与平面 无交点 则 3 若平面 内的任意直线与平面 均无交点 则 4 与两相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面 提示 1 直线a在平面 外 则直线a 或a与 相交 2 与 可能平行 也可能相交 4 若 b 且a b 则有a 且a 或a 或a 2 若直线l与平面 不平行 则 A l与 相交B l C l与 相交或l D 以上结论都不对 解析若l与 不平行 则l与 相交或l 答案C 3 若两个平面互相平行 则其中一个平面内的一条直线与另一个平面的位置关系是 A 线面平行B 线面相交C 线在面内D 无法确定 解析两面平行时 两个平面没有公共点 在一个平面的直线与另一个平面也没有公共点 所以它们平行 答案A 4 两条直线不相交 则两条直线可能平行或者异面 如果两个平面不相交 则两个平面 解析两个平面之间的位置关系有且只有两种 平行或相交 答案平行 类型一直线与平面的位置关系 互动探究 例1 以下命题 其中a b表示直线 表示平面 若a b b 则a 若a b 则a b 若a b b 则a 若a b 则a b 其中正确命题的个数是 A 0B 1C 2D 3 思路探究 探究点一空间中直线与平面的位置关系有哪几种 提示空间中直线与平面只有三种位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 探究点二判断直线与平面的位置关系的策略是什么 提示判断直线与平面的位置关系时可借助几何模型判断 通过特例排除错误命题 对于正确命题 根据线 面位置关系的定义或反证法进行判断 要注意多种可能情形 解析如图所示在长方体ABCD A B C D 中 AB CD AB 平面ABCD 但CD 平面ABCD 故 错误 A B 平面ABCD B C 平面ABCD 但A B 与B C 相交 故 错误 AB A B A B 平面ABCD 但AB 平面ABCD 故 错误 A B 平面ABCD BC 平面ABCD 但A B 与BC异面 故 错误 答案A 规律方法1 本题在求解时 常受思维定势影响 误以为直线在平面外就是直线与平面平行 2 判断直线与平面位置关系的问题 其解决方式除了定义法外 还可以借助模型 如长方体 和举反例两种行之有效的方法 训练1 下列命题 若直线l平行于平面 内的无数条直线 则l 若直线a在平面 外 则a 若直线a b 直线b 则a 若直线a b 直线b 那么直线a就平行于平面 内的无数条直线其中假命题的序号是 解析对于 直线l虽与平面 内无数条直线平行 但l有可能在平面 内 l不一定平行于 是假命题 对于 直线a在平面 外包括两种情况 a 和a与 相交 a和 不一定平行 是假命题 对于 直线a b b 则只能说明a和b无公共点 但a可能在平面 内 a不一定平行于 是假命题 对于 a b b 那么a 或a 所以a可以与平面 内的无数条直线平行 是真命题 答案 类型二平面与平面的位置关系 例2 给出的下列四个命题中 其中正确命题的个数是 平面 内有两条直线和平面 平行 那么这两个平面平行 平面 内有无数条直线和平面 平行 则 与 平行 平面 内 ABC的三个顶点到平面 的距离相等 则 与 平行 若两个平面有无数个公共点 则这两个平面的位置关系是相交或重合 A 0B 1C 3D 4 解析如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 对于 在平面A1D1DA中 AD 平面A1B1C1D1 分别取AA1 DD1的中点E F 连接EF 则知EF 平面A1B1C1D1 但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的 交线为A1D1 故命题 错 对于 在正方体ABCD A1B1C1D1的面AA1D1D中 与A1D1平行的直线有无数条 但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行 而是相交于直线A1D1 故 是错误的 对于 在正方体ABCD A1B1C1D1中 分别取AA1 DD1 BB1 CC1的中点E F G H A1 B C到平面EFHG的距离相等 而 A1BC与平面EFHG相交 故 是错误的 对于 两平面位置关系中不存在重合 若重合则为一个平面 故命题 错 答案A 规律方法 1 判断两平面的位置关系或两平面内的线线 线面关系 我们常根据定义 借助实物模型 百宝箱 长方体 或正方体 进行判断 2 反证法也用于相关问题的证明 训练2 如果在两个平面内分别有一条直线 这两条直线互相平行 那么两个平面的位置关系一定是 A 平行B 相交C 平行或相交D 不能确定 解析如图所示 由图可知C正确 答案C 1 如果直线a 平面 那么直线a与平面 内的 A 一条直线不相交B 两条直线不相交C 无数条直线不相交D 任意一条直线不相交 解析直线a 平面 则a与 无公共点 与 内的直线当然均无公共点 答案D 2 若M 平面 M 平面 则 与 的位置关系是 A 平行B 相交C 异面D 不确定 解析 M 平面 M 平面 与 相交于过点M的一条直线 答案B 3 下列命题 两个平面有无数个公共点 则这两个平面重合 若l m是异面直线 l m 则 其中错误命题的序号为 解析对于 两个平面相交 则有一条交线 也有无数多个公共点 故 错误 对于 借助于正方体ABCD A1B1C1D1 AB 平面DCC1D1 B1C1 平面AA1D1D 又AB与B1C1异面 而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交 故 错误 答案 4 如图所示 平面ABC与三棱柱ABC A1B1C1的其他面之间有什么位置关系 解 平面ABC与平面A1B1C1无公共点 平面ABC与平面A1B1C1平行 平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB 平面ABC与平面ABB1A1相交 同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交 2 2直线 平面平行的判定及其性质2 2 1直线与平面平行的判定2 2 2平面与平面平行的判定 目标定位1 通过直观感知 操作确认 归纳出直线与平面 平面与平面平行的判定定理 2 会用图形语言 文字语言 符号语言准确描述直线与平面平行 平面与平面平行的判定定理 并知道其地位和作用 3 能运用直线与平面平行的判定定理 平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题 1 直线与平面平行的判定定理 自主预习 平面外的 平面内 平行 b a b 2 平面与平面平行的判定定理 两条相交直线 a b A 即时自测 1 判断题 1 直线l平行于平面 内的无数条直线 则l 2 若直线a b b 那么直线a就平行于平面 内的无数条直线 3 如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面 那么这两个平面平行 4 如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 提示 1 直线l可以在平面 内 3 如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面 则这两个平面平行 2 三棱台ABC A1B1C1中 直线AB与平面A1B1C1的位置关系是 A 相交B 平行C 在平面内D 不确定 解析AB A1B1 AB 平面A1B1C1 A1B1 平面A1B1C1 AB 平面A1B1C1 答案B 3 点P是平面 外一点 过P作直线a 过P作直线b 且直线a b确定一个平面 则 A B 与 相交C 与 异面D 与 的位置关系不确定 解析a b P a b b a 答案A 4 平面 内任意一条直线均平行于平面 则平面 与平面 的位置关系是 解析平面 内任意一条直线均平行于平面 所以平面 与平面 无公共点 所以平面 与平面 平行 答案平行 类型一线面平行判定定理的应用 例1 如图 空间四边形ABCD中 E F G H分别是AB BC CD DA的中点 求证 1 EH 平面BCD 2 BD 平面EFGH 证明 1 EH为 ABD的中位线 EH BD EH 平面BCD BD 平面BCD EH 平面BCD 2 BD EH BD 平面EFGH EH 平面EFGH BD 平面EFGH 规律方法1 利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行 关键是寻找平面内与已知直线平行的直线 2 证线线平行的方法常用三角形中位线定理 平行四边形性质 平行线分线段成比例定理 平行公理等 训练1 如图 四边形ABCD是平行四边形 S是平面ABCD外一点 M为SC的中点 求证 SA 平面MDB 证明连接AC交BD于点O 连接OM M为SC的中点 O为AC的中点 OM SA OM 平面MDB SA 平面MDB SA 平面MDB 类型二面面平行判定定理的应用 例2 如图所示 在三棱柱ABC A1B1C1中 点D E分别是BC与B1C1的中点 求证 平面A1EB 平面ADC1 证明由棱柱性质知 B1C1 BC B1C1 BC 又D E分别为BC B1C1的中点 所以C1E綉DB 则四边形C1DBE为平行四边形 因此EB C1D 又C1D 平面ADC1 EB 平面ADC1 所以EB 平面ADC1 连接DE 同理 EB1綉BD 所以四边形EDBB1为平行四边形 则ED綉B1B 因为B1B A1A B1B A1A 棱柱的性质 所以ED綉A1A 则四边形EDAA1为平行四边形 所以A1E AD 又A1E 平面ADC1 AD 平面ADC1 所以A1E 平面ADC1 由A1E 平面ADC1 EB 平面ADC1 A1E 平面A1EB EB 平面A1EB 且A1E EB E 所以平面A1EB 平面ADC1 规律方法1 要证明两平面平行 只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面 2 判定两个平面平行与判定线面平行一样 应遵循先找后作的原则 即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线 若找不到再作辅助线 训练2 如图 三棱锥P ABC中 E F G分别是AB AC AP的中点 证明平面GFE 平面PCB 证明因为E F G分别是AB AC AP的中点 所以EF BC GF CP 因为EF GF 平面PCB BC CP 面PCB 所以EF 平面PCB GF 平面PCB 又EF GF F 所以平面GFE 平面PCB 类型三线面平行 面面平行判定定理的综合应用 互动探究 例3 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 S是B1D1的中点 E F G分别是BC DC和SC的中点 求证 1 直线EG 平面BDD1B1 2 平面EFG 平面BDD1B1 思路探究 探究点一判定线面平行与面面平行的思路原则是什么 提示判定线面平行与面面平行的思路原则是找作一条直线与平面平行或在一个面内找作两条与另一个平面平行的相交直线 应遵循先找后作的原则 若找不到再作辅助线 探究点二如何判定 2 中平面EFG 平面BDD1B1 提示根据面面平行的判定定理 结合 1 的结论 故在平面EFG内找到另一条直线与平面BDD1B1平行即可 证明 1 如图 连接SB E G分别是BC SC的中点 EG SB 又 SB 平面BDD1B1 EG 平面BDD1B1 EG 平面BDD1B1 2 连接SD F G分别是DC SC的中点 FG SD 又 SD 平面BDD1B1 FG 平面BDD1B1 FG 平面BDD1B1 又EG 平面BDD1B1 且EG 平面EFG FG 平面EFG EG FG G 平面EFG 平面BDD1B1 规律方法要证明面面平行 由面面平行的判定定理知需在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线 要证明线面平行 又需根据线面平行的判定定理 在平面内找与已知直线平行的直线 即 课堂小结 1 直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行 即要证直线和平面平行 先证直线和直线平行 即由立体向平面转化 由高维向低维转化 2 证明面面平行的一般思路 线线平行 线面平行 面面平行 3 准确把握线面平行及面面平行两个判定定理 是对线面关系及面面关系作出正确推断的关键 1 能保证直线a与平面 平行的条件是 A b a bB b c a b a cC b A B a C D b 且AC BDD a b a b 解析A错误 若b a b 则a 或a B错误 若b c a b a c 则a 或a C错误 若满足此条件 则a 或a 或a与 相交 D正确 答案D 2 在正方体EFGH E1F1G1H1中 下列四对截面彼此平行的一对是 A 平面E1FG1与平面EGH1B 平面FHG1与平面F1H1GC 平面F1H1H与平面FHE1D 平面E1HG1与平面EH1G 解析如图 EG E1G1 EG 平面E1FG1 E1G1 平面E1FG1 EG 平面E1FG1 又G1F H1E 同理可证H1E 平面E1FG1 又H1E EG E 平面E1FG1 平面EGH1 答案A 3 梯形ABCD中 AB CD AB 平面 CD 平面 则直线CD与平面 的位置关系是 解析因为AB CD AB 平面 CD 平面 由线面平行的判定定理可得CD 答案CD 4 如图所示 E F分别为三棱锥A BCD的棱BC BA上的点 且BE BC BF A 1 3 求证 EF 平面ACD 证明在 BEF和 BCA中 BE BC BF BA 1 3 EF AC 又EF 平面ACD AC 平面ACD EF 平面ACD 2 2 3直线与平面平行的性质2 2 4平面与平面平行的性质 目标定位1 证明并掌握直线与平面平行 平面与平面平行的性质定理 2 能应用文字语言 符号语言 图形语言准确描述直线与平面平行 两平面平行的性质定理 3 能用两个性质定理 证明一些空间线面平行关系的简单问题 2 3直线 平面垂直的判定及其性质2 3 1直线与平面垂直的判定 目标定位1 理解直线与平面垂直的定义 2 掌握直线与平面垂直的判定定理 3 理解直线与平面所成的角的概念 并能解决简单的线面角问题 1 直线与平面垂直的有关概念 自主预习 1 定义 如果直线l与平面 内的 一条直线都垂直 我们就说直线l与平面 互相垂直 记作 2 相关概念 若直线l与平面 垂直 其中直线l叫做平面 的 平面 叫做直线l的 直线与平面垂直时 它们唯一的公共点P叫做 任意 l 垂线 垂足 垂面 3 图形语言 画直线与平面垂直时 通常把直线画成与平面的平行四边形的一边垂直 如图所示 4 符号语言 任意a 都有l a l 其中 任意直线 等同于 所有直线 2 直线和平面垂直的判定定理 1 文字语言 一条直线与一个平面内的两条 直线都垂直 则该直线与此平面垂直 2 图形语言 如图所示 相交 3 符号语言 a b a b A l a l b l 3 直线和平面所成的角 平面的一条 和它在平面上的射影所成的 叫做这条直线和这个平面所成的角 一条直线垂直于平面 我们说它们所成的角是90 一条直线和平面平行 或在平面内 我们说它们所成的角是 综上 直线与平面所成的角的范围 斜线 锐角 0 0 90 即时自测 1 判断题 1 若直线l与平面 内的无数条直线垂直 则l 2 若直线l与平面 内任意一条直线垂直 则l 3 若直线l不垂直于平面 则 内没有与l垂直的直线 4 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条 提示 1 当直线l与平面 内的无数条平行直线垂直时 l与 不一定垂直 3 当l与 不垂直时 l可能与 内的无数条平行直线垂直 2 长方体ABCD A1B1C1D1中 下列不是平面ABCD的垂线的是 A AA1B BB1C CC1D AD1 解析由长方体的性质可知AD1不垂直于平面ABCD 答案D 3 下列条件中 能判定直线l 平面 的是 A l与平面 内的两条直线垂直B l与平面 内的无数条直线垂直C l与平面 内的某一条直线垂直D l与平面 内的任意一条直线垂直 解析根据线面垂直的定义 可知l垂直于 内的所有直线时 l 答案D 4 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 直线AB1与平面ABCD所成的角等于 解析BB1 平面ABCD BAB1即为直线AB1与平面ABCD所成的角 且 BAB1 45 答案45 类型一直线和平面垂直的定义 例1 下列命题中 正确的序号是 若直线l与平面 内的一条直线垂直 则l 若直线l不垂直于平面 则 内没有与l垂直的直线 若直线l不垂直于平面 则 内也可以有无数条直线与l垂直 若平面 内有一条直线与直线l不垂直 则直线l与平面 不垂直 解析当l与 内的一条直线垂直时 不能保证l与平面 垂直 所以 不正确 当l与 不垂直时 l可能与 内的无数条平行直线垂直 所以 不正确 正确 根据线面垂直的定义 若l 则l与 的所有直线都垂直 所以 正确 答案 规律方法1 直线和平面垂直的定义是描述性定义 对直线的任意性要注意理解 实际上 任何一条 与 所有 表达相同的含义 当直线与平面垂直时 该直线就垂直于这个平面内的任何直线 由此可知 如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直 那么这条直线就一定不与这个平面垂直 2 由定义可得线面垂直 线线垂直 即若a b 则a b 训练1 设l m是两条不同的直线 是一个平面 则下列命题正确的是 A 若l m m l B 若l l m 则m C 若l m 则l mD 若l m 则l m 解析对于A 直线l m m并不代表平面 内任意一条直线 所以不能判定线面垂直 对于B 因l 则l垂直 内任意一条直线 又l m 由异面直线所成角的定义知 m与平面 内任意一条直线所成的角都是90 即m 故B正确 对于C 也有可能是l m异面 对于D l m还可能相交或异面 答案B 类型二线面垂直的判定 例2 如图所示 在三棱柱ABC A1B1C1中 侧棱AA1 底面ABC AB AC 1 AA1 2 B1A1C1 90 D为BB1的中点 求证 AD 平面A1DC1 A1C1 平面AA1B1B AD 平面AA1B1B A1C1 AD 由已知计算得AD A1D AA1 2 AD2 A1D2 AA A1D AD A1C1 A1D A1 AD 平面A1DC1 证明 AA1 底面ABC 平面A1B1C1 平面ABC AA1 平面A1B1C1 显然A1C1 平面A1B1C1 A1C1 AA1 又 B1A1C1 90 A1C1 A1B1而A1B1 AA1 A1 规律方法证线面垂直的方法有三类 1 线线垂直证明线面垂直 定义法 不常用 但由线面垂直可得出线线垂直 判定定理最常用 要着力寻找平面内哪两条相交直线 有时作辅助线 结合平面图形的性质 如勾股定理逆定理 等腰三角形底边中线等 及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直 2 平行转化法 利用推论 a b a b a a 训练2 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是棱AB BC的中点 O是底面ABCD的中心 求证 EF 平面BB1O 证明 ABCD为正方形 AC BO 又 BB1 平面ABCD AC 平面ABCD AC BB1 又 BO BB1 B AC 平面BB1O 又EF是 ABC的中位线 EF AC EF 平面BB1O 类型三直线与平面所成的角 互动探究 例3 如图所示 三棱锥A SBC中 BSC 90 ASB ASC 60 SA SB SC 求直线AS与平面SBC所成的角 思路探究 探究点一直线与平面所成角的范围是什么 提示直线和平面垂直时 直线与平面所成的角是直角 为90 直线与平面平行或直线在平面内时 直线与平面所成角为0 直线是平面的斜线时 直线与平面所成的角是锐角 范围 0 90 所以直线与平面所成角的范围是 0 90 探究点二求斜线与平面所成角的步骤是什么 提示求斜线与平面所成角的步骤 一作 找出射影 作出角 二证 证明作出的角即为所求 三算 在三角形中求角 四答 作答 解因为 ASB ASC 60 SA SB SC 所以 ASB与 SAC都是等边三角形 因此AB AC 如图所示 取BC的中点D 规律方法1 求直线和平面所成角的步骤 1 寻找过斜线上一点与平面垂直的直线 2 连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影 斜线与其射影所成的锐角即为所求的角 3 把该角归结在某个三角形中 通过解三角形 求出该角 2 在上述步骤中 作角是关键 而确定斜线在平面内的射影是作角的关键 几何图形的特征是找射影的依据 图形中的特殊点是突破口 训练3 如图所示 Rt BMC中 斜边BM 5 它在平面ABC上的射影AB长为4 MBC 60 求MC与平面CAB所成角的正弦值 解由题意知 A是M在平面ABC内的射影 MA 平面ABC MC在平面CAB内的射影为AC MCA即为直线MC与平面CAB所成的角 又 在Rt MBC中 BM 5 MBC 60 课堂小结 1 直线和平面垂直的判定方法 1 利用线面垂直的定义 2 利用线面垂直的判定定理 3 利用下面两个结论 若a b a 则b 若 a 则a 2 线线垂直的判定方法 1 异面直线所成的角是90 2 线面垂直 则线线垂直 3 求线面角的常用方法 1 直接法 一作 或找 二证 或说 三计算 2 转移法 找过点与面平行的线或面 3 等积法 三棱锥变换顶点 属间接求法 1 一条直线和三角形的两边同时垂直 则这条直线和三角形的第三边的位置关系是 A 平行B 垂直C 相交不垂直D 不确定 解析由题意可知 该直线垂直于三角形所确定的平面 故这条直线和三角形的第三边也垂直 答案B 2 如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况 能保证该直线与平面垂直的是 三角形的两边 梯形的两边 圆的两条直径 正六边形的两条边 A B C D 解析由线面垂直的判定定理知 直线垂直于 图形所在的平面 对于 图形中的两边不一定是相交直线 所以该直线与它们所在的平面不一定垂直 答案A 答案30 4 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求证 AC 平面BDD1B1 证明 在正方体ABCD A1B1C1D1中 BB1 平面AC 又AC 平面AC BB1 AC 四边形ABCD是正方形 BD AC BD 平面BDD1B1 BB1 平面BDD1B1 BB1 BD B AC 平面BDD1B1 2 3 2平面与平面垂直的判定 目标定位1 了解二面角及其平面角的概念 会求简单的二面角的大小 2 通过直观感知 操作确认 归纳平面与平面垂直的判定定理 3 能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题 1 二面角 自主预习 1 二面角 从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 叫做二面角的棱 这 叫做二面角的面 如图 1 可记作 或 或 两个半平面 这条直线 两个半平面 二面角 l P AB Q P l Q 如图 2 对二面角 l 若有 O l OA OB OA l OB l 则 AOB就叫做二面角 l 的平面角 2 平面与平面的垂直 1 定义 如果两个平面相交 且它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 2 画法 直二面角 记作 3 面面垂直的判定定理文字语言 一个平面过另一个平面的 则这两个平面垂直 图形语言 如图所示 垂线 a 即时自测 1 判断题 1 若 a b a b 则 2 若直线l 平面 l 平面 则 与 相交且垂直 提示 1 当b 时 才能推出 2 已知l 则过l与 垂直的平面 A 有1个B 有2个C 有无数个D 不存在 解析由面面垂直的判定定理知 凡过l的平面都垂直于平面 这样的平面有无数个 答案C 3 从空间一点P向二面角 l 的两个面 分别作垂线PE PF E F为垂足 若 EPF 60 则二面角的平面角的大小是 A 60 B 120 C 60 或120 D 不确定 解析若点P在二面角内 则二面角的平面角为120 若点P在二面角外 则二面角的平面角为60 答案C 4 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1 AB C的大小为 解析 AB BC AB BC1 C1BC为二面角C1 AB C的平面角 其大小为45 答案45 类型一二面角及其平面角的概念 例1 下列命题中 两个相交平面组成的图形叫做二面角 异面直线a b分别和一个二面角的两个面垂直 则a b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补 二面角的平面角是从棱上一点出发 分别在两个面内作射线所成的角的最小角 二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 其中正确的是 A B C D 解析由二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 所以 不对 实质上它共有四个二面角 由a b分别垂直于两个面 则a b都垂直于二面角的棱 故 正确 中所作的射线不一定垂直于二面角的棱 故 不对 由定义知 正确 故选B 答案B 规律方法 1 要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致 2 要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面上的角的联系与区别 3 可利用实物模型 作图帮助判断 训练1 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面 那么这两个二面角 A 相等B 互补C 相等或互补D 关系无法确定 解析如图所示 平面EFDG 平面ABC 当平面HDG绕DG转动时 平面HDG始终与平面BCD垂直 所以两个二面角的大小关系不确定 故二面角H DG F的大小不确定 答案D 类型二面面垂直的判定与证明 例2 如图 AB是 O的直径 PA垂直于 O所在的平面 C是圆周上异于A B的任意一点 求证 平面PAC 平面PBC 证明连接AC BC 因为C是圆周上异于A B的任一点 且AB是 O直径 则BC AC 又PA 平面ABC BC 平面ABC PA BC 而PA AC A BC 平面PAC 又BC 平面PBC 平面PAC 面PBC 规律方法面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法 即要证面面垂直 只需转证线面垂直 关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直 训练2 如图 四棱锥P ABCD的底面是正方形 PD 底面ABCD 点E在棱PB上 求证 平面AEC 平面PDB 证明 ABCD是正方形 AC BD 又PD 平面ABCD AC 平面ABCD PD AC 又PD BD为平面PDB内两条相交直线 AC 平面PDB 又 AC 平面AEC 平面AEC 平面PDB 类型三二面角 互动探究 例3 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求二面角B A1C1 B1的正切值 思路探究 探究点一求二面角的大小关键是什么 提示求二面角的大小关键是要找出或作出平面角 探究点二二面角的两种常见求法是什么 提示1 定义法 在二面角的棱上找一点 在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线 2 垂面法 过棱上一点作与棱垂直的平面 该平面与二面角的两个半平面形成交线 这两条射线 交线 所成的角 即为二面角的平面角 解取A1C1的中点O 连接B1O BO 由题意知B1O A1C1 规律方法1 求二面角的大小关键是要找出或作出平面角 再把平面角放在三角形中 利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值 其步骤为作角 证明 计算 2 为在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点 如是否为等腰三角形等 课堂小结 1 证明两个平面垂直的主要途径 1 利用面面垂直的定义 2 面面垂直的判定定理 即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 2 证明两个平面垂直 通常是通过证明线线垂直 线面垂直 面面垂直来实现的 因此 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直 线面垂直 面面垂直的相互转化 每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直 最终达到目的 3 下面的结论 有助于判断面面垂直 1 m n m n 2 m n m n 3 1 对于直线m n和平面 能得出 的一个条件是 A m n m n B m n m n C m n n m D m n m n 解析 n m n m 又m 由面面垂直的判定定理 答案C 2 空间四边形ABCD中 若AD BC BD AD 那么有 A 平面ABC 平面ADCB 平面ABC 平面ADBC 平面ABC 平面DBCD 平面ADC 平面DBC 解析 AD BC AD BD BC BD B AD 平面BCD 又 AD 平面ADC 平面ADC 平面DBC 答案D 3 如图 三棱锥P ABC中 PA 平面ABC BAC 90 则二面角B PA C的大小为 解析PA 平面ABC BAC即为二面角B PA C的平面角 又 BAC 90 二面角B PA C的大小为90 答案90 4 2016 江苏 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 D E分别为AB BC的中点 点F在侧棱B1B上 且B1D A1F A1C1 A1B1 求证 1 直线DE 平面A1C1F 2 平面B1DE 平面A1C1F
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2018版高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系课件(打包10套)新人教A版.zip,2018,高中数学,第二,直线,平面,之间,位置,关系,课件,打包,10,新人
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