84分式的乘除

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1、8.4分式的乘除学习目标导航重点：掌握分式的乘法及分式的混合运算与化简求值.难点：分子、分母为多项式的分式乘除法运算.考点：分式的化简求值.重点难点透视教材知识点详解详解点一分式的乘法重点与我们学过的分数乘法法那么类似，分式的乘法法那么为：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用分式表示为:acJbd详解重点1分式的乘法可以类比分数的乘法.2分子与分母是多项式时，必须对各个因式先分解因式，确定公因式，再约分，使结 果是最简分式或整式.3分式乘法的一般步骤是：一是运用分式乘法的法那么，用分子之积作为新分子， 用分母之积作为新分母；二是确定分子与分母的公因式；三是约

2、分.24x y+， x 1 x x【例1】计算：1 一，二3 ； 2 2021 曲靖改编+二.3y 2xx- 6 x - 36分析：按照分式的乘法法那么进行运算.解：14x y _ 4x y _ 23y 2x3 - 3y 2x3 - 3x22原式=x 1 - x 6 x-6xx-6 x x 1解题技巧：第1题假设直接地进行约分，也可很快得出结果，要注意运算结果应化为 最简分式或整式.第2题分式中有多项式，先把分子分母中的多项式先因式分解，然后再 约去相同的因式； 详解点二分式的除法分式的除法法那么是：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘用分式表不为:详解重点：a a d a

3、db d b c bc分式的除法运算的法那么告诉我们， 分式的除法运算最终是转化为分式的乘法运算， 其实 质是分式的约分.值得注意的是，在进行分式的除法运算时， 假设被除式或除式是整式， 应将 这个整式看作是分母是 1的式子，再按照分式除法的法那么进行计算.【例2】计算:ab . a2 -.34 ，c c(2)2_.，x -2x 1 _x _ 12-2x 7 x x分析：根据分式的除法法那么，即分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.然后把分子分母分别分解因式进行约分化简解：ab2a4cab c4bcax22x+1 x -1x2-2x+1x-1(x-12j(x+1)r o =

4、 5= = * =xx1x x x-1x x x 1 x -1 x -1解题技巧：分式的除法运算，抓住“一变一倒，即变除法为乘法，把除式的分子、分母的位置颠倒，如果除式是整式时，应把它的分母看做“1分式乘方要把分子、分母分别乘方.用字母表示为:fa)n3详解点三分式的乘方难点na-(n为正整数，bw0). bn难点突破：1分式的乘方必须使分式的分子与分母同时乘方，不能只对分子或分母单一乘方.这里还应特别强调 bw0,即分式的分母不等于 0,从而保证分式有意义.2在分式乘方时，假设遇到分式本身的符号是“-的，这时“-也要同时乘方，分式 的分子或分母是多项式时，应将其视为整体.分析：分式乘方与乘法

5、的混合运算，应先算乘方再算乘除.f 2 -2 A 4. d解：-1 =32 4 4 = 6 .b J lab b a b b方法归纳：分式的乘方与乘除运算有本质的区别，注意类比分数的乘方，保证分子与分母同时乘方，并特别小心符号问题.详解点四 分式的乘、除混合运算重点类比分数的乘、除混合运算可以统一为乘法运算，分式的乘、除混合运算也可以统一为乘法运算，然后再约分，把结果整理为一个最简分式或整式.【例4】计算:23分析：1是分式的乘、除混合运算，先把的分子、分母颠倒与 2xy-x 2相x yx 2xy y乘，把分式的除法运算转化为乘法运算，再约分、化简. 2式中有括号，应先算括号 内的，再算括号外

6、的.二 K?二 * 二二.工 十 h口口一26,?口一独_-. 2,bg b _f 6口一2bab-bab aa - 2b,名师点睛：通常情况下，计算得到的最后的结果要使分子和分母第一项的符号都为正号，运算过程中要注意符号的变化及运算的顺序、括号的运算等详解点五 分式的加、减、乘、除混合运算重点、难点进行分式的混合运算必须遵循混合运算的法那么，其法那么是：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的.可见，分式的混合运算类似分数的混合运算法那么.难点突破：在进行分式的混合运算过程时，要能灵活运用运算律、因式分解等.特别是分式的加减运算与加法的交换律、结合律相结合，辅之必要的因式分

7、解和约分，会使运算过程简捷.另外，分式的乘除运算、 加减运算以及其混合运算的结果是一个分式或整式，所 以运算的结果一定要化为最简分式或整式.【例5】计算:a 一1a2 -11 a a 2a分析：此题中含有多种运算：分式的除法和分式的减法.按照运算律，先做除法，然 后再做减法.在做除法时，要把最后一个分式的分子、分母进行因式分解，与前一分式相 乘，约分后再与前一分式相减，可得结果.a-1_._ a2-1 a-1 a a 2 a 2 a 1 - a 2用牛：1 - 1 - 1 -=a a 2a a a 1 a-1a 1 a 11 .a 1方法归纳：分式四那么运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符

8、号须变乘；乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；加减分母需同，分母化积关键；找出最简公分母，通分不是很难；变号必须两处，结果要求最简方法规律聚焦类型一分式的化简求值分式的求值主要是“化简、“代入和“计算三个步骤.在具体代入时，一定要“对号入座，让其恢复原来的面目，代数式中原来的运算符号和具体数字都要保持不变；当字 母的取值是分数或负数的乘方运算时，都要添加必要的括号；代数式中原来省略的乘号等符号，在具体数字代入时一定要恢复原型._ ra+22 1 a【例6】2021 宁夏先化简，再求代数式的值：a 2 - a a ，其中a = 2 .11a a+1j 1 -a分析：先运算括号

9、内的，同时除要转化为乘a 2解：原式=(-1 - a22、1-a a+22 1-a)=一a+1 a、(1+a)(1a) a+1J aa 22(1 -a) 3a(a 1) a(a 1) a 1， 一,一， 3当a=2时，原式=，_ =1.2 1方法归纳；分式化简求值的一般步骤是：先将分式化简，再将有关字母的值代入求值., ，八 一一，一a 1a2 41【例7】先化简再求值：g=a - 2,其中a满足aa 2 a2 -2a 1 a2 -12a= 0.分析：利用分式的乘除运算先化简，通过化简我们会发现其结果中含有 可以利用整体代入求值了 .a2- a,这样就解:a -1a2 -4.1Z _2-7 2

10、 -a 2 a -2 a 1 a 7a -1 (a 2)(a -2) (a 1)(a -1) 2- = (a -2)(a+1) =aa 2 (a -1)1a 2.当 a2 a= 0 时，原式=0 2= 2.名师点睛：分式的化简求值与整式中的代数式求值一样, 式里的字母，并按照代数式指明的运算过程和顺序计算出结果就是用数值代替化简后的代数.代数式求值时一定注意代数式的值由代数式里的字母的值确定，同一个代数式的字母假设取值不同，所求的代数式的值一般也不同；要注意去括号与添括号的法那么的运用.在此题中，还运用了整体代入求值 .类型二说理题2_2,， x -2x 丁 1 x x 1【例8】y = x

11、21 - x一x -1 +1 ,试说明在等式右边的代数式有意义的条x -1 x 1 x件下，不管x为何值，y的值不变.分析：对等式的右边进行化简，得出的结果是一个常量，从而解决问题.解：因为22. 2x -2x 1 , x -x 1 .x-1x 11 .y =2 一 一 1 二1x -1 x 1 x x 1 x -1 x x -1 x1一一 1二1.所以在等式右边的代数式有意义的条件下，不管x为何值，y的值不变.名师点睛：此题设计新颖.以分式的混合运算为背景，既考查了同学们对分式的计算 能力，又考察了分析解决问题的能力综合应用探究类型三开放题【例9】先化简代数式22a - b a -b22a

12、2b a 4ab 4b-1,然后选择一个你喜欢且使原式有意义的a、b值代入求值.分析：这类题原本是化简求值题，但一改往常形式，给了我们“自主的空间，解它时，一是按常规先化简， 二是在取值时既要注意使运算更简，同时又要考虑到“隐含条件的约束aw b2. 22a -ba -b_ a -b (a 2b) a 2b a b- 22 -1=1 =a 2b a 4ab 4b a 2b (a b)(a - b) a b a ba 2b -a -b b11=,当a = b = 1时，原式=一a b a b112名师点睛：这种题型答案不唯一，主要考查的知识有分式的意义、分式的加减、分式的乘除等，对字母自主取值表

13、达了对考生的人文关心，又考查了学生思维的缜密性. 常见思维误区警示易错点一违反运算顺序1【例10 计算：a + 取.错解：原式=a +1 = a .纠错秘方：此题错在先算乘法后算除法，属于运算顺序错误 运算，应从左往右依次计算，或将除法转化为乘法后，再依次计算.对于不含括号的乘除混合正解：原式=a阳阳=a3.易错点二结果不是最简分式2x1【例11】计算：一2+ I1- x -1x 12x1错斛：2 . 1 x -1 x 12x x 1 -12xx-= +x 1 x-1 x 1 x 1 x -1 x 12x x 1 2x 2xX =3x 1 x-1x x -x纠错秘方：由于在倒数第二步缺乏深入细

14、致的分析，所以对公因式x(x+1)视而不看,无视了约分，致使该式计算的结果不是最简分式.分式的运算结果可能是一个分式，也有能是一个整式，如果是分式，必须通过化简，使之成为最简分式2x x 1 T 2xx-= +x 1 x-1 x 1 x 1 x-1 x 12x x 12X =.x 1 x-1 x x-1丁的 2x1正斛：=+ . 1 x -1 x 1易错点三误用分配律 一 111【例12】计算：2 I 2 + (+)x - y x y x - y错解：原式1,1,11,1 2x+ - = + 2222x y x - y x-y x - y x y x - y纠错秘方：错解的原因是把乘法分配律a

15、 (m + n) = am + an套用到除法运算中去正解：原式1. 2x 1x2 -y2x2 -y2 2x易错点四化简再求值忽略分式有意义的条件【例13】实数a满足a2 -16=0 ,先化简再求值:1 a 4a 1 a2 -1a2 - 2a 1(a 4)(a 1)22错解:1 a 4 a -2a 1 _ 1 a 4 (a -1)-=-.22a 1 a -1 a 5a 4 a 1 (a 1)(a -1) (a 4)(a 1)_ 1 a -12-aa 1 a 1a 1因为 a2 16 = 0 , a1=4, a2=-4 2当a1 =4时，原式=；当a2 = 4时，原式二-2.5纠错秘方：上述错误

16、表现在两个方面：一是分式的乘除加减运算中由于粗心而致错; 是对于确定分式的值时，仍未能考虑分母是否为零的情况正解:21 a 4 a2 - 2a 11-=2a 1 a -1 (a 4)(a 1) a 12a 4 (a -1)2(a 1)(a -1) (a 4)(a 1)1 a -1 a 1 a -12=-=一二2222a 1 (a 1) (a 1) (a 1) (a 1)因为 a2 -16 =0 , 所以 a1 =4, a2 = -4 .2当a1 =4时，分母a+1, a1, a+4均不为零，原式=；25当a2 = 乂时，a+4=0,应舍去.知识方法归纳知识点概念定义关键分式的乘除bd bd b

17、d bc bc a c ac a c a d ad将除法转化为乘法分式的混合运算加减运算顺序与有理数的混合运算顺序一致符号化简，结果最简快乐测试经典根底题能力拓展题练习题123456789101112对应知知知知知知知知知知知学科学科识点或识识识识识识识识识识内综间综例题点点点点点点点点点点合题合题例例例例例例例例例例经典根底题x 一 y2.A. 1【C点拨:2 n-3 mxyxx 一yx-2 xm2A. n2 m3 n-n【D点拨:2,n-3m22-2n m n2 n n =-nm3.使分式2 x2a x2_ y2-a yax ay )2的值等于5x y的a的值是-5D.-【C点拨：原式=5

18、x y x - y a x y _122_a x -y x y a，1 一 人，=5,所以a=.应选C.】54. 2021 泉州计算:【1点拨：根据分式加法法那么，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，易得其 结果为1.】6.1-x .1二的结果x - x一，1点拨：一一x x - x xa-ba-b =1121.2 = 一呼x -x ) = -gx(1 -x )=1 -x .22_2_a -b 2a -2ab a b2aa b2a a -b a -b 2a -=7.计算:(1)(2)x2 -2x (1)g1 +_x+1 、 x J(3)2、 x(4) (2021,广安)( x -22 -x

19、12x分析：有括号的先做括号里面的1 2.2a b a -ba b a -b(2)原式=x x -2 x 1 g-ab a bab-a b=x 2 ；(3) 3aa 2aa-2j2aa2 -43a a-2 -a a 2 a 2 a-2z z g za 2 a-22a2a2-8a2a=a 4；2(4) (六1x2 2xx2 -4x - 2 x(x 2)(x 2)(x-2)x-21x(x 2)进行通分与约分两种根本运算,点拨：分式的混合运算是在确定运算顺序的前提下，通分、约分常常需要先对分式的分子与分母进行因式分解。_124 -x .8. (2021 莱芜)先化简，再求值：(x2 )= ，其中x

20、= 4 +，3x 2 x 2解：原式=(x-2)(x 2)-12 一匕2_x -16 x 2K x 24 f(x 4)(x 4)x 2=-x -4()x -4原式= _(4 + V3) -4 = 4-3-4=-43 .能力拓展题9. (2021 百色)将下面的代数式化简，再选择你喜欢且有意义的数代入求值十a -b) +ab + a - 1 a b a2-b2解：原式:(axyu+a-i2 ,=一+ a 1b取 a=1, b=22，原式=-+ 1-1 = 12点拨：答案不唯一，只要符合题意即可.其中不能取a = b, a=b .b=adbct10. 二阶行列式中的分式计算：阅读理解：符号“称为二阶行列式,规定它的运算法那么为 c a3 5,3 5例如】的计算方法为=3X4 5X2 = 2一 2 4匚 4a - 1请根据阅读理解化简F面的二阶行列式* _j_1 121【原式=a 1-(a -1 ) = a+(a+1) (a-1)=a+a+1=2a+1.1 -aa -1参考答案与点拨：