储油罐的变位识别与罐容表标定高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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1、2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置

2、报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2010 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘 要加油站都有地下储油罐，一般是通过查看罐容表得知储油罐的剩余油量。由于地基变形等原因，储油罐会发生变位，从而

3、导致罐容表的改变。因此研究储油罐的变位识别与罐容表重新标定具有重要意义。问题一，首先，把求平底椭圆柱储油罐的储油量的问题转化为求体积积分的问题，做三重积分时，利用了平行于椭圆柱母线的截面微元，并利用Maple软件，求出储油量关于油位高度和倾斜角的关系表达式；然后通过分析理论值和实验值的相对误差，利用的实验数据对该表达式进行了误差系数补偿，得到了储油量与罐内油位高度及倾斜角的关系的数学模型，利用的实验数据对补偿后的模型进行了检验，平均相对误差由补偿前的5%变为不到2%；在分析变位后对罐容表的影响时取定不同油位高度,研究储油量关于倾斜角的变化关系，得到了当油位高度较高、较低及在一定中间范围时不同的

4、变化规律。然后基于此模型得到了变位后油位高度间隔为1的罐容表标定值（见14、15页）； 问题二，研究了主体为圆柱、两端为球冠的储油罐变位后的罐容问题。首先将该问题转化为球冠和圆柱所含油的体积积分问题。圆柱所含油的体积可利用问题一中的模型求解（其中油位高度要经过一定转化）；球冠部分利用三重积分直接运算很难计算；而后我们通过分析球冠采用了近似积分算法，得到了储油量关于显示油位高度、两个变为参数（横向偏转角及纵向倾斜角）的一般关系式；为求，基于此一般关系式，建立了目标为理论出油量和实际出油量之差的平方和最小的优化模型，利用附表二中的出油量的前半部分数据，并利用逐步减小区间的搜索算法，同时逐次以为步长

5、，用Matlab进行了三次搜索，求得；然后利用附表二中显示油高和显示储油量两组数据，与取为时显示油高对应的理论出油量进行比较，得到的相对误差的数量级为(见24页图)；并利用附表二中出油量后半部分数据，与时所得出的理论出油量进行比较，得到平均相对误差为0.57%，从而检验了模型的正确性与方法的可靠性。最后利用此模型得到了变位后油位高度间隔为10的储容表标定值（见23页）。 关键词：储油罐 油位高度 储油量 纵向倾斜角 横向偏转角一、 问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的

6、罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.

7、10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。二基本假设1、 注油管、出油管及浮杆所占的体积忽略不计2、 问题一中所给

8、的是油桶内径的尺寸（即忽略壁厚对结果的影响）3、 问题二中储油罐在没有变位时的罐容表准确无误4、假设在所研究的时间段内纵向倾斜角度a和横向偏转角度b保持不变三、符号说明符号符号说明测得油浮子高度纵向倾斜角横向倾斜角油浮子距离油罐左端距离油浮子距离油罐右端距离椭圆截面半长轴椭圆截面半短轴柱状罐体左端面油面高度柱状罐体右端面油面高度油罐柱状体长度相对误差储油量球冠头所在球面的半径油罐柱状部分截面半径四、问题的分析4.1概论该题主要是解决解决储油罐的变位识别与罐容表标定两个问题，而核心问题是求储油量关于显示油位高度、储油罐两个方向的转角的关系表达式。求此表达式的思路是先求油所占的体积关于参量(参量为

9、和油高相关的参量)及两角度的关系式，进而利用参量和显示油高的关系式求得最终表达式；由于问题二中的圆筒具有旋转对称性（旋转时所要积分的体积形状不改变），故问题一和问题二中储油量关于和油高相关的参量的表达式的求法(实际为三重积分)在本质上是一样的，而区别仅在于参量和显示油高的的关系表达式。4.2问题一对于问题一，可通过三重积分和Maple软件先求解储油量关于参量和倾斜角的一般表达式，然后找到参量和显示油高的关系，代入表达式可得到储油量关于显示油高和倾斜角的表达式；然后将理论值与实验值对比，参阅资料得出误差修正方法，利用倾角为时的数据进行修正，并利用倾角为的数据对修正后的表达式进行检验，得到了较理想

10、的模型。然后基于此模型求出当倾斜角变化时对罐容表的影响，并得到时的罐容表标定值。4.3问题二对于问题二，同问题一一样，也需找到储油量关于参量和两方向倾角的一般表达式，由于积分过程很复杂，有必要对此积分进行近似求解，得到一般表达式后，再找到参量和显示油高的关系式，代入即可得到储油量关于参量和两倾角的一般关系。然后利用附表二中出油量和显示油高，基于一般关系式，确立优化目标为理论出油量和实验出油量的误差平方和最小，变量为两偏角的优化模型，利用逐步逼近的搜索算法，得到了两偏角的值。变位后的罐容表很自然的可利用一般表达式得到。最后利用附表二中的显示油高和显示油量（实际为无偏角时的油高关于油量的精确对应关

11、系），对模型的准确性验证；利用实验出油量和理论出油量的对比，对模型的可靠性进行验证。五、模型的建立与求解5.1问题一-两端平头的椭圆柱体5.1.1数据预处理 根据附件1，在无变位的情况下，我们根据进油过程和出油过程分别作出储油量随变化的图，图1无变位进出油过程储油量与高度的关系对比 由上图可以看出，在无变位的情况下，用进油数据求得的变化曲线几乎与用出油数据求得的变化曲线相同。 此外，在有倾角的时候，同理作出下图。图2有倾角进出油过程储油量与高度的关系对比 同样可以得到上述结论。这就意味着，进油过程和出油过程地位是相等的（基本是相同的），如果我们可以对所有的进油量和出油量求其对应的储油量，即可增

12、加样本容量，减小误差。 因此，在后文的计算过程中，我们会将所有的进油量值和出油量值当做求储油量的样本点。5.1.2倾斜角为时计算储油量的一般模型1)状态分析 讨论先过哪个点：当一定时，桶内油量不同，对应的储油量计算公式不同。根据储油量的多少，可以将此问题分为5个状态。如下图图3油罐液面5种状态图状态序号状态名称油量特少油量较少油量中等油量较多油量特多表1另一方面，不同的倾斜角所对应的5种状态有所不同，液面直线可能先过，或者先过点。临界条件如下图所示：图4临界条件示意图根据上图，我们可以求出此临界状态下的倾斜角，即只要小于这个角，当储油量增加时，液面直线必定先过点。而在此题中，储油罐的倾角是由于

13、地基变形等原因引起的，角度不可能太大。在此问题中，我们认为，不会大于临界值，即液面直线必定先过点。因此，图4所表示的状态即为桶内油量的所有状态。讨论先求那种状态：通过分析可知，在油罐倾斜的时候，如果运用积分的方法，不同的油位高度，储油量的求解公式也不同。故求出的储油量的公式应当为关于的分段函数。2)储油量的计算-油量特少和油量特多在油量特少的情况下，油面高度一直保持为零。即无法通过的变化，求得储油量。即在此情况下无法计算。同理，对于油量特多的情况， 无法计算。3)储油量的计算-油量较少根据已知条件，我们以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，示意如下：图5油量较少立体示意图在图5的基础上，我们设定

14、相关参数，得下图图6油罐面截面图在上图中，截取在区间内的体积元。然后将在面的截面图，如下:图7油罐面的截面图参考图5后，体积元为长方体。若以面为底面，其面积为，根据图6中的各个参数，可以求得此矩形底面的长和宽。长：在图6中，有如下等量关系：(1)(2)(3)据几何关系得，(4)(5)宽：(6) 底面面积：(7)体积元体积：(8) 积分区间：求储油量须从到点对积分，积分区间为，其中由(9)式得。 积分模型：储油量满足(9) 化简结果： 用Maple求解(15)式，化简后得到 (10)其中，。 由已知条件得，。因此(10)式中，只是间接变量，最终唯有是自变量，即(11)4)储油量的计算-油量中等参

15、考图3，延长液面直线，得到油量中等状态的示意图如下：图8油量中等状态示意图由图中几何关系可得(12)(13)根据上图，并联系(16)、(17)式，得到此情况下储油量满足(14)解(20)式得此情况下储油量为(15)5)储油量的计算-油量较多图9油量较多状态示意图 由图中几何关系求得(16) 根据圆柱体积公式得(17) 故可以利用公式(16)、(17)，求得此情况下的储油量(18)6)问题一误差修正前模型参考图3，由几何关系易得各条临界线所对应的油位高度：(19)综上，倾斜角为时储油量可以分段表示为：当一直保持0时，无法计算；当时，其中，当时，其中，当时，其中当一直保持0是，无法计算5.1.3倾

16、斜角为时计算储油量的模型由于在的分段表达式，总会存在出现在分母上，故，即无变位的储油量需要单独计算依据题意，在已知参数、的前提下，根据微积分的思想，在面截取一个体积元，厚度为。如图：图10积分微元面示意图由图可知，体积元为长方体，该长方体的底面矩形的长为。并且(20)然后令=0，只观察平面(纵截面)（该椭圆柱体的纵截面为下图），如图11：图11储油罐纵截面图从而得到上图的椭圆方程为(21)可得，从而宽、底面面积均可求出(22)(23)根据(20)、(23)两式求得，体积元的表达式(24)由于此时油罐无变位，故液面高度即为油位探针所测得的油位高度。用(9)式对从点到点积分，积分区间为，进而求得罐

17、体无变位时储油量关于探针所测油位高度的函数关系(25)5.1.4油罐储油量的表示(26)5.1.5误差补偿-修正后模型对于附件1中所给定的4个表：“无变位进油”、“无变位出油”、“有变位进油”、“有变位出油”。我们用前两个表进行误差补偿，用后两个表进行检验。l 补偿前文已经提到，将进出油数据一起考虑。故我们可以根据前两个表，求得第次采集油位高度的储油量实验值，利用公式(26)又可以求得，从而能够求得每一次采集的绝对误差和相对误差补偿的方法有两种：1）修正前的理论公式加上绝对误差；2）修正前的理论公式乘以。下面绘出无变位时，储油量理论值与实验值的相对误差：图12无变位相对误差随变化图观察上图，可

18、得无变位时相对误差相当稳定，并且通过查阅参考文献1，得知储油量的误差与环境温度和油量的使用温度有关，修正公式如下：(27)其中为修正前的储油量，为一系数。由此公式，我们联想到此问题的误差可能是由温度导致的。故选用第二种误差补偿的方法。补偿系数：由图12可以看出平均相对误差为3.37%，则。所以对(26)式乘以补偿系数96.63%进行修正。l 修正后模型 l 检验修正后，根据有变位的进出油数据，得到第次采集油位高度的储油量实验值，再将代入修正后的理论公式，得到，比较和的值后，作出用补偿法修正后，理论储油量与实验值随油标高度变化的曲线图，并与修正前的图进行对比。图13修正后图14修正前观察上图，修

19、正前的最大相对误差为5.5%，而修正后的相对误差基本上不超过2%。从而证明我们的修正后的理论公式的准确性。5.1.6变位对罐容表的影响取不同的,可得在不同时关于的变化，下面取了典型的四个图：图15当一定时，关于的变化曲线分析不同时关于的变化，可得到如下规律：当较小时，关于的变化率随角度减小，而且会出现对应的随倾角增大而减小的现象；当较大时，关于的变化率随角度增大；当的值居中时，关于的变化率基本不变，即关于基本为线性关系。5.1.7倾斜角时的罐容表v(L)01.6231608.9103621821.60933082.6013.4132643.1507631863.52943119.8126.05

20、33677.8842641905.48953156.6339.6434713.0892651947.45963193.06414.2635748.745661989.44973229.08519.9936784.8318672031.43983264.66626.9237821.3306682073.40993299.78735.0938858.22692115.351003334.43844.5939895.49702157.261013368.58955.4640933.12712199.131023402.221067.7641971.09722240.931033435.311181.

21、55421009.38732282.661043467.831296.88431047.99742324.311053499.7513113.78441086.89752365.861063531.0514132.31451126.06762407.301073561.7015152.50461165.51772448.621083591.6616174.18471205.20782489.811093620.8917197.12481245.13792530.851103649.3618221.19491285.29802571.731113677.0319246.30501325.6581

22、2612.441123703.8420272.36511366.21822652.971133729.7421299.32521406.95832693.301143754.6722327.13531447.86842733.411153778.5523355.74541488.92852773.301163801.2924385.10551530.14862812.951173822.7425415.18561571.48872852.351183842.6426445.94571612.94882891.481193860.8927477.35581654.51892930.3312038

23、77.5228509.38591696.17902968.8929542.00601737.91913007.1330575.19611779.73923045.04表25.2问题二-实际储油罐5.2.1横、纵方向偏转时计算储油量 的一般模型1)积分求体积l 状态分析并引入参量 讨论此一般模型先过哪个点： 与问题一同理，参考图4求得临界角为， 故液面也是先过图4中点。类似地得到5种状态，其中“油量中等”状态的示意图如下：图16油量中等的示意图在上图中，我们将油的体积分割成5个部分：，并且引入参量根据几何关系，可以求得5种状态对应的储油量的计算公式，如下表所示：状态储油量计算公式油量特少油量较少

24、油量中等油量较多，其中油量特多表3为了简化，我们在此不考虑油量特少和油量特多的情况l 的计算 图17球缺截面立体图 在上图中，我们在区间取体积元，为底面为弓形，高度为的球缺。体积元体积满足(28)下面求的表达式：在图17中，设体积元所在平面的半径为，、均为所在球的半径，为题目已知的长度，设为。再根据所建所标系得的长度为。即、 在中，据勾股定理，求得(29)据几何关系(30)(31)绘出体积元在平面上的截面，如下图所示：图18球缺平面截面图图中，(32)则(33)(34)进而求得，的面积满足(35)那么弓形的面积(36)下面确定积分区间：图19油罐平面截面图在图19中，我们是对从到积分。由已知条

25、件得，设其为。然后通过分析可知，的长度相当于问题一中的参量，为了区别，我们设=。再根据所建坐标系得积分区间为。 综上可得(37)由于用Maple对上式积分，结果极其复杂，难以用于下文的参数估计，所以我们引用参考文献1得到的具体计算公式(38)其中仔细分析(38)式，可知仅仅跟有关，即(39)l 的计算通过实际计算，我们发现此部分的积分公式极其复杂，结果不可取。故采用近似的方法计算。即将此部分的体积近似为一个三角锥的体积（如图20）。我们只需要求得此三角锥的底面面积和高度，即可求得图20三角锥近似示意图先求高度：在图19中，根据各几何关系，以点位圆心，为半径的圆方程如下：(40)易得点坐标为，即

26、液面直线的截距为，故液面直线方程为：(41)两式联立可求得的坐标，其大小即为(42)其中那么(43)下面求底面面积在这种近似计算法中，我们把底面弓形近似成下图所示的三角形，为弧的中点。图21 三角锥底面俯视图根据计算过程中(31)式，得到(44)由于点在此截面上，截面平行于轴，则。代入上式得(45) 同理参照(34)式得到，(46) 则底面面积为(47)下面求(48)其中，l 的计算图19中标出了的长度，此可代入问题一中的模型进行运算，将看作5.1.2中的。则(49)l 的计算 由图16分析得出，的计算公式应与一致，只是代入参数不同。即(50)l 的计算 的计算方法与基本相同，计算过程在此不再

27、敖述。最终求得(51)其中。2)问题二模型根据上文所算出的，参考表3的计算公式即可求得各个状态的最终计算公式(52)3)、与的关系 根据问题一中(18)、(19)式，易得(53)(54)4)与的关系 图22油罐纵截面图 通过实际计算，我们发现液面高于或低于圆心最后得到的一样，解法也类似。故以上图为例计算。 图22中油面的偏转相当于液面中点绕圆心做圆周运动，设此圆的半径为。根据相关几何关系，易得(55)5)的一般关系 将(55)代入(53)、(54)中可以得到、。再将其带入，即可求得的一般关系。5.2.2参数估计1)参数估计优化模型为了确定参数，我们可以利用第次的显示油高，根据5.2.1所确定的

28、的关系，求得其理论的油量容积。再用第+1次的与作差，即可求得理论的第+1次的出油量(56)再用它与实验的出油值相减，即可求得每次出油量的绝对误差。(57)根据最小二乘法理论，将每段的绝对误差平方后相加后得总误差 (58)其中。因为我们将附件2中的603组数据分为两半，利用前302组数据进行参数估计，后301组数据用来检验此算法的可靠性。然后对(58)式，求最小值。能使最小的参数即为所求。2)模型的求解-定步长搜索 在此模型中，可以为负角度。图23算法流程图第一次搜索：取步长，在matlab中对进行搜索，求得使(58)式最小的参数为。再令第二次搜索：取步长，即左右各波动。照搬第一次搜索的方法，求

29、得使(58)式最小的参数为，再令第三次搜索：依此类推，可得任意精度的参数 最终，我得到的参数5.2.3罐容表的标定图24变位后罐容表曲线046.4316033056.9310355.217035867.09201064.4418038658.03302219.1919041414.29403696.9420044120.12505425.4321046759.31607363.0122049314.98709478.5923051769.318011746.6524054103.29014145.0425056295.710016653.8526058323.111019254.6727060

30、157.3912021930.2428061763.0313024664.0329063087.9814027440.0930064021.315030242.84表45.2.4检验模型的正确性通过分析附件2中的数据，依据题意，我们得知显示油高所对应的显示油量容积是时所对应的油量容积，即。(59)我们将附近2中603组数据的显示油高代入(56)式，求得每组数据的理论油量容积，与实验值作差即可求得油量容积的绝对误差和相对误差。下面绘出各显示油高所对应的绝对误差图和相对误差图图25无变位时理论计算值与真实值的绝对误差图26无变位时理论计算值与真实值的相对误差理论值与实验值非常吻合，说明模型是比较准

31、确的，精度可达到数量级5.2.5检验方法的可靠性 在用前302组数据求得参数后，我们用后301组数据作为实验值，按照(56)、(57)、(58)式可求得理论值，两者作差再对实际出油量做商即可求得各显示油高所对应的相对误差图。图27理论储油量与实际出油量的相对误差图从此图可看出，相对误差的变化范围为，平均相对误差为0.57% ，故可说明模型比较可靠。七、模型的评价本题的模型主要应用精确积分的思想，得到油位高度和储油量之间确定的函数表达式来标定罐容表，保证了结果的可靠性与正确性。第一问到模型建立工程中，精确积分是完全可行的，我们得到了油罐中储油量与油位高度的函数式，并利用无变位的实际数据对所得函数

32、式进行了修正，利用该模型计算出的发生倾斜时的罐容表与实际数据吻合的很好。第二问，考虑到问题的复杂度和个别模块体积较小，对其进行近似计算不会对计算结果产生大的影响，我们采用了一定的近似，并得到了基于所诉近似的函数表达式。通过题目所给数据进行验证，得到了相当好的结果。并较为准确的确定了油罐的变位参数。本模型的缺点在于所得函数表达式较为复杂，给工程应用造成不便，实际应用性不够强。而且第二问确定参数时应用的逐步细化搜索方法，有一定的可能性漏掉全局最优解，趋向局部最优解。八、参考文献1孙发金，卧式油罐容积检定计算疑难点的讨论，石油商技，2000,18(5):232程继元，浅谈影响油罐标定与计量的因素及其修正方法，石油商技，2004,22(2),333王绵森，马知恩，工科数学分析基础，北京：高等教育出版社，200627