易拉罐形状和尺寸的最优设计毕业论文

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1、淮 海 工 学 院毕 业 论 文题 目： 易拉罐形状和尺寸的最优设计 系 (院)： 数 理 科 学 系 专业班级： 信息与计算科学032 毕业论文（设计）诚信声明本人声明：所呈交的毕业论文（设计）是在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果，论文中引用他人的文献、数据、图表、资料均已作明确标注，论文中的结论和成果为本人独立完成，真实可靠，不包含他人成果及已获得青岛农业大学或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。论文（设计）作者签名： 日期： 2013 年 3月 10 日 毕业论文（设计）版权使用授权书本毕业论文（设

2、计）作者同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文（设计）的复印件和电子版，允许论文（设计）被查阅和借阅。本人授权青岛农业大学可以将本毕业论文（设计）全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本毕业论文（设计）。本人离校后发表或使用该毕业论文（设计）或与该论文（设计）直接相关的学术论文或成果时，单位署名为青岛农业大学。论文（设计）作者签名： 日期： 2013 年 3 月 10 日指 导 教 师 签 名： 日期： 年 月 日毕业论文中文摘要易拉罐形状和尺寸的最优设计摘 要：我国政府现在把节约能源作为一项基本国策，而近年来铝制易拉罐的生产量逐年增大，因此对于

3、优化设计易拉罐以节约成本就显得更为重要。本文主要研究易拉罐的优化设计问题。首先对市场上多种易拉罐的形状和尺寸进行调查，通过实物测量和网上搜索得到数据（结果见正文），得出针对不同标准的易拉罐基本设计方案。然后对目前市场上流行的采用“两片式”工艺生产的易拉罐重点调研，以355ml的可口可乐易拉罐为样本多次测量，将所得的数值进行平均处理，得到了如图一的数据。接着，将易拉罐看成一个圆柱体，建立了模型一，用Lagrange乘子法进行求解，得出：。而实测盖顶与其它部分厚度的比值为， ，模型一中易拉罐的设计方案与实际情况基本吻合，但有差距。进一步，考虑易拉罐上部是一个正圆台，下部是一个正圆柱体，建立了模型二

4、，由于增加两个变量而成为了多元非线性函数求最优解的问题，借助Lingo数学软件得到：侧面内径 ，缩颈内经，正圆柱高度 。而实测，所测的数据与最佳设计值相接近，因此模型二比模型一更合理。最后，结合实际中对易拉罐生产，运输等情况下所受到的压力和各种制约以及GB/T91062001规范的罐体物理性能（见表2）建立了模型三，用Lingo数学软件得出：侧面内径，缩颈内经 ，罐高，。模型三所得结论与实测值相当接近，该方案对易拉罐优化设计具有一定的参考价值。关键词：二元函数 多元非线性优化 Lingo Lagrange乘子法*注：（本注释不是中文摘要的部分，只是本式样的说明解释）1. 中文摘要标题为四号黑体

5、居中，缩放、间距、位置标准，无首行缩进，无左右缩进，且前空（四号）1行，段前、段后各0.5行间距，行间距为1.25倍多倍行距；3. “摘 要”两字为黑体小四号，在标题下空一行顶格；4. 摘要及关键字的正文为小四宋号，不加粗，缩放、间距、位置标准，无左右缩进，无首行缩进，无悬挂式缩进，段前、段后间距无，行间距为1.25倍多倍行距； 5. “关键字”3字为黑体小四号，在标题下空一行顶格；各关键字之间空一个汉字空格，尾部无标点。毕业论文文摘要Cans of the shape and size of the optimal designAbstract: My government is now c

6、onserving energy as a basic national policy in recent years and the aluminum pop can increase production volume of 662, So for optimizing the design of a pop can to save costs becomes even more important. This paper studies the pop can optimize the design.First to market with many cans of the shape

7、and size of investigation through in-kind measurement and data searching online (see results of the body), a different standard of the basic design. Then right now popular on the market 2 production process of a pop can focus on research, to 355 ml cans of Coca-Cola samples measured repeatedly to th

8、e numerical average for the processing, been a figure of data. , Will be followed by a pop can as a cylinder, an established model, using Lagrange method to solve the problem, and come : ，And measured for the roofs and other parts of the thickness ratio of， .Further, the upper is considered a pop ca

9、n ROUNDNESS Taiwan, the lower part is a cylinder is, a model of two, due to the increase from two to multi - variable nonlinear function for the optimal solution to the problem, Lingo use mathematics software to be :Side diameter ,Necking Side diameter, Are cylindrical Height .Finally, in light of t

10、he actual production of a pop can. Transport of cases under the pressure and constraints and GB/T9106-2001 standardized physical tank performance (see table 2) Establishment of the three models, using mathematical software, Lingo :Side diameter , Necking Side diameter , tankHeight,Model 3 concluded

11、with the measured values very close to the program to optimize the design of a pop can have some reference value.Key words : dual function nonlinear optimization Lingo Lagrange Multiplier Method 目 录1 引言 111易拉罐的发展和前景 112 实际调研 21.3基本设计方案 22可口可乐易拉罐的优化设计 321模型的假设 422数据测量 42.3符号说明 524 模型的建立与求解 5241 模型一的建

12、立与求解 5242 模型二的建立与求解 7243 模型三的建立与求解 925 模型的评价与推广 11结论 13致谢 14参考文献 15图1 罐体主要尺寸图 4图2 圆柱罐体剖面图 5图3 柱台罐体剖面图 7图4 罐体受压性能图 10表1 罐体主要尺寸 4表2 罐体物理性能 10淮海工学院二七届毕业论文 第16页 共16页1 引言11易拉罐的发展和前景铝质易拉罐具有许多优点，如重量轻、密闭性好、不易破碎等，被大量用作啤酒、碳酸类饮料、果汁等食品的包装材料。1963 年，易拉罐在美国得以发明，它继承了以往罐形的造型设计特点，在顶部设计了易拉环。这是一次开启方式的革命，给人们带来了极大的方便和享受，

13、因而很快得到普遍应用。到了1980年，欧美市场基本上全都采用了这种铝罐作为啤酒和碳酸饮料的包装形式。经过30多年来的发展已在全球形成庞大的生产规模，供求关系已出现严重的失衡。即使是易拉罐技术发展最快，消费水平最高的美国，近年来罐厂生产能力的提高比消费需求增长快，生产能力年增2%，而需求量年增1%，同样出现年生产能力超过需求10亿只的局面。随着设计和生产技术的进步，铝罐趋向轻量化，从最初的60克降到了1970年的2115克左右。国内的易拉罐业始于80年代，当时年产仅24亿只，随着原罐厂进行重大技术改造的完成以及国外罐业投资者的资本输入，到目前全国易拉罐年生产能力超过100亿只。近年来，我国铝质易

14、拉罐产量逐年增长，年消耗量约为6070亿只。据业内专家预测，到2010年，全国易拉罐用铝将达到29万吨。据中国饮料协会预测，到2010年，碳酸饮料产量将达到800万吨，如果罐装率按20计算，易拉罐用量将达到124亿只。尽管国内易拉罐需求量逐年上升，但供求关系严重失衡已是不可回避的事实。 为了生存，罐厂每年都出现“内耗”式的压价销售，这一方面导致罐厂本身处于亏损运营状态，另一方面阻碍了中国罐业向前发展。竞争的结果，表面上看饮料、啤酒厂是受益者，但从长远看包装品制造商因无力进行技改大幅度降低成本，而作为使用包装品的饮料、啤酒业也难以使自己产品的包装成本降低下来因而阻碍了消费，最终也是受害者。国外罐

15、业者在降低成本方面主要有二条途径，一是规模经济。国外罐业经过三十多年的发展，生产已形成集团化，具有相当大规模，在这样的基础上不断增置设备或提高生产速度再扩大规模是轻而易举的事。而国内罐厂的规模与国外相比都较小，又由于近年来大多数罐厂处于亏损运营，因而再花费一大笔资金去再引进技术和设备扩大规模是较为困难。此外在目前这种供求严重失衡的状况再扩大规模，无疑将需求关系进一步恶化。显然，靠这一途径降低成本不适合国内现状。其次是降低原辅材料的成本。依靠科技进步降成本可以达到事半功倍。罐业是集冶金、化工、机械、电子等行业科技于一体，降低原辅材料成本就是依靠这些行业的科技进步。（1）减薄铝板材厚度。（2）改变

16、罐形。根据国外某材料厂家报告，在美国的罐厂用铝板材料厚度每减薄0.01mm，每千罐可节省约0.22美元，易开盖口颈从404规格缩小至401规格可节省材料12.5%，罐从206口颈缩为204全套可节约材料用量6.7%，再降至202又可节约13.6%，最好水平到19.4%。为了确保罐原有的各项性能指标要求，相应采用许多新工艺，诸如采用罐底二次成型技术，可使罐底耐压力提高26%。在国外有许多罐业服务的专业性厂家，从铝板材、模具、电子化工设备等制造行业形成一条龙，每当罐业提出某一降低成本的课题，这些行业都积极进行研究开发，或由于行业内的市场竞争需要自身不断研究开发装备，为罐业降成本提供选择。现代社会易

17、拉罐受到不少厂家的青睐和消费者的欢迎，不少饮料，酒类产品都使用易拉罐来进行包装。如：我们现在常见的可口可乐，青岛啤酒等。因此我们就有必要对易拉罐的形状和尺寸进行优化设计。当然对于生产少量的易拉罐来说节省的钱有限，但是对于大批量的生产易拉罐，便可以节省一笔很客观的资金。因为厂家和商家所需要设计的易拉罐的容积是一定的（通常有250ml,245ml,330ml,355ml,500ml）,目的就是要确定容器的长度，宽度和半径等。使之优化达到用料最少的目的。12 实际调研由上分析可知，首先需广泛地取样调查，用适合的测量工具对身边的实体模型的相关数据进行测量，获取大量不同种类易拉罐的一些必要参数。在易拉罐

18、的众多品种中，选取一些典型的，按照日常生产的不同需要和标准，归纳性的做一些研究分析。 由上面实际测量并计算得到的数据，可以看出，这些不同牌子的易拉罐形状和尺寸各不相同，是什么导致上面情况发生的呢？1.3基本设计方案对易拉罐的设计，经营者总是考虑让成本最低。如：设计一个体积固定为的圆柱形易拉罐，原料厚度一定，什么样的设计方案最优？下面从几种不同的标准来考虑设计方案。第一种标准：根据制造过程中消耗原料的多少来判别优劣，即易拉罐最优设计方案应使易拉罐具有的最小表面。分析 设易拉罐的高为，底面半径为。由圆柱的体积公式，得。又易拉罐的表面积 (1)将代入（1）式得 (2)由设计要求知，体积是常数，半径是

19、变量，表面积是的函数。故设计方案转化为数学问题：当取何值时，函数取最小值？则，当且仅当，即时，易拉罐具有的表面积，此时易拉罐的高，也就是说，设计成等边圆柱时，消耗原料最少。比如旺仔牛奶易拉罐的设计应符合这一标准。但是在实际生活中，我们所看到的易拉罐为何不全是等边圆柱形的呢？第二种标准：考虑到做上、下底面和侧面所用材料的价格不同，易拉罐最优设计方案应使易拉罐具有最小的用材价格。若设上、下底面单位面积的造价为，侧面的价格为（），则做一个易拉罐所需材料的价格为 。要使其具有最少的价格，则，当且仅当，即时价格最少。若，则王子啤酒易拉罐、健力宝易拉罐的设计应符合这一标准。第三种标准是：根据制造过程中焊接

20、口的工作量的多少判别优劣，即易拉罐最优设计方案应该使焊缝长度最短。分析 焊缝长度函数，当且仅当，即，取得最小值是，此时易拉罐的高。比如椰子汁易拉罐、露露饮料易拉罐的设计应符合这一标准。因此在不同的优化标准下，设计方案是不同的。对于生产工艺较为简单的情形，我们可以采用上述基本设计方案来实现，但对于生产工艺高科技含量较大的情形，仅用上述基本设计方案考虑问题远远不够！事实上，饮料的包装设计牵涉面非常广泛，而目前市场上出现了“两片式易拉罐”，与传统的易拉罐相比，“两片式易拉罐”的特点和优势是：传统的易拉罐是“三片式”，即由罐底、罐身、罐盖三部分组成，而且罐身上还有一条焊缝，而“两片式”的罐身则是一个整

21、体，再加上一个盖子就行了。因为它没有焊缝，因此不怕泄漏，更有利于饮料的保质；“两片式”的制造技术更先进，生产速度更快，产量更高，比如一条“三片式”的生产线，年产量只有5千万至1亿罐，而“两片式”则高达5亿至6亿罐，于是制造成本将更低。本文将着重研究此类易拉罐的最优化设计（以可口可乐易拉罐为例），它更具有现实意义。2可口可乐易拉罐的优化设计首先，用适合的测量工具对可口可乐易拉罐进行进一步测量，得到充分的相关数据。其次，把可口可乐易拉罐看成一个圆柱体来进行设计，这样可以将其转化为二元函数求极值问题，用Lagrange乘子法来解决。再次，将可口可乐易拉罐形状想象成上部为圆台，下部为圆柱，这更接近可口

22、可乐易拉罐的实际形状，但比仅将可口可乐易拉罐看成一个圆柱体来进行设计多了两个变量（缩颈的高度和其水平方向的夹角）。该模型属于多元非线性规划问题，可借助于Lingo数学软件来解决。最后通过对可口可乐易拉罐的受压和本身材料的抗轴向承压力和压强，底部弯曲形状等方面进行综合考虑。21模型的假设下面就先对所要做模型做一些必要的假设：（1）可口可乐易拉罐采用“两片式”流程生产。（2）易拉罐侧面的厚度均匀分布，处处相等。易拉罐各部分的材料，性能都是相同的。（3）在模型一的设计中不考虑易拉罐侧面和上底面衔接出的材料计量。（4）在模型一、模型二的设计中不考虑上下凸凹面带来的影响。（5）不考虑易拉罐内部气压对形状

23、和尺寸产生的影响。（6）对易拉罐测量时产生的误差较小，可以忽略不计，且测量数据精确到小数点后两位。22数据测量以355毫升的可口可乐为例，先用精确度为0.02mm的游标卡尺测量罐体的高度，以及D和D。再将其剖析测出顶，底，侧面的厚度。如图1所示：图1 罐体主要尺寸图具体数据如表1所示：名称符号公称尺寸（单位：mm）罐体高度122.52罐体外径66.02缩颈内经57.40翻边宽度2.22侧底铝皮厚度0.14顶盖铝皮厚度0.40缩颈坡角到底的高度111.32表1 罐体主要尺寸23符号说明产家或产商要求所设计易拉罐的容积易拉罐侧面内半径的设计值易拉罐缩颈内半经的设计值易拉罐总高度的设计值易拉罐正圆柱

24、的高度易拉罐缩颈部的水平倾角易拉罐缩颈坡度的斜率易拉罐侧面壁的厚度易拉罐顶盖的厚度与其他厚度的比值易拉罐存放和运输产生的轴向承压力24 模型的建立与求解241 模型一的建立与求解首先将易拉罐看成一个圆柱体，如图2所示：图 2圆柱罐体剖面图最优化设计要求易拉罐体积一定时，确立它的设计内径和高度，使制作材料最少。通过观察分析，顶盖的厚度较大。除顶盖外其他厚度为，顶盖为（有人测量过，顶盖厚度大约是其他部分材料的3倍）。因此，建立数学模型如下：设易拉罐半径为，则直径为，罐高为，罐内体积为，为除盖顶外的材料的厚度， ，其中是自变量，所用材料的体积是因变量，而是固定参数，是待定参数。注意易拉罐侧面的体积为

25、：（bR，故可忽略 ）则 ， 令设g，表示变量和间的一种隐函数关系，假设存在隐函数，则可以写成，由隐函数的求导法则，有：因此是的临界点的必要条件。假设是的临界点，则有： 于是，在处因此，引入那么，就有：把问题转化为求三元函数的无条件极值问题。函数称为函数Langrange，具体为本模型，得出如下结果引入参数，令求临界点从第式解得：代入式得：观察结果得到与的比值满足这样的一种关系：当满足这样的关系时，易拉罐的材料用量才能得到最优化。下面对所测易拉罐的数据进行检验：罐体的高度，罐体的外径,侧底铝皮厚度，顶盖铝皮厚度，所以,则，由此可说明模型一中易拉罐的设计方案与实际情况基本吻合，但有差距。242

26、模型二的建立与求解设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体时，现在对易拉罐的尺寸来进行最优设计。图3柱台罐体剖面图设计的容积也是一定的，而此方案中易拉罐进行了缩颈，因此要确立其形状就必须增加变量，圆柱内径为，缩颈的斜率为，缩颈内径为，正圆柱的高度为。是自变量，所用材料的体积为因变量，而是固定参数。易拉罐用料最省的目标函数为:,约束条件函数为：此方案的目的是为了求：其中。将此种易拉罐用料分两部分来考虑，即一部分为正圆台侧面，另一部分为上盖和正圆柱的侧面及底面。影响第一部分材料用量的变量为，用表示所用材料；而影响第二部分材料用量的变量为，用表示所用材料。将两部

27、分独立起来看和这两个变量没有直接的关系，必须通过和把它们联系起来去寻求。从模型一中得到最优化设，而现在上盖的半径为，厚度为，保证用量不变，把它转化为上盖半径为，厚度为，则这种模型与模型一相同，得出的优化设计为：从模型一中得大部分易拉罐为3。因此这种比例的确定是满足易拉罐特性的一个要求，取 得出： 从而：于是得出了第一个约束条件： 另外一个约束条件为：即：得出： 目标函数：将代入目标函数中得出从而转化为了求二元函数的极值问题。下面按容积为355ml的可口可乐易拉罐为例，因为是定值，所以只需求：将容积为355ml的易拉罐和代入进行演算得到：对这个函数用Lingo数学软件进行求解：程序编写如下： 求

28、得结果如下：由此可以看出最佳的设计值为： 而所测的数据为： 所测的数据与最佳设计值相接近，因此模型二比模型一更合理。243 模型三的建立与求解模型一、模型二是理想化的一种模型，仅仅考虑了尺寸限制。其实在现实生活中对于易拉罐的设计还存在着好多制约条件，如需考虑易拉罐存放与运输时的外加压力，还须考虑生态环境的保护，便于携带等因素，为进一步研究本方案，将易拉罐存放与运输时的外加压力作为一个限制条件，对易拉罐的受压和本身材料的抗轴向承压力和压强，底部弯曲形状等方面进行考虑。在外界压力的作用下，由于缩颈的存在，力将会沿着颈传力，这样起到减小和分散外力的作用，如图4所示：图 4 罐体受压性能图当然对材料的

29、强度是有严格要求的，具体规范见表2。项目性能指标钢罐铝罐轴向承压力/耐力强度/内涂膜完整性啤酒罐体单个25，平均3单个75，平均50软饮料罐体单个25，平均3单个30，平均8GB/T9106-2001罐体物理性能 表2将问题转化为多元函数优化求极值的问题。以材料的用量为目标函数，而对于材料最省的目标函数：Min S.T.用Lingo优化工具编程如下：可得：由此数据可得：实际测量数据：因为3.763.71，所以此优化模型与实际测量数据很接近，具有一定的推广价值。另外有些易拉罐的底部是上凸的，这是为什么呢？其实不难想到关于这些凸的易拉罐内部都存在好大的气压。这种凸的设计必然是起到缓压的作用。可是这

30、种凸的曲面是什么性质的呢？是球面好还是抛物面呢？现在进行一下研究，分别分球面和抛物面两种情况来比较。其实要想达到减压的目的就是要增加内部接触的面积，所以只要知道在单位高度和一样的底面直径情况下它们的面积大小即可。经计算得，当,时，抛物面的面积比球面的要小，所以还是球面的缓压的效果比较好。25模型的评价与推广一、在对模型优化的时候，考虑到了材料的用量问题。得到了它的尺寸要求按一定的比值进行生产，才能节省材料。但是会不会还有其它因素？通过直径和高的比例发现，它们的比值非常接近黄金分割点比0.618。因此可以认为在设计尺寸时，还要考虑人们的视觉效果和美观效果。二、在我们的社会产品中，易拉罐的形式多种

31、多样。假如设计椭圆形易拉罐，又该如何考虑？运用这种数学模型，可知道一些椭圆形易拉罐的条件。如容积，厚度等条件。运用多元函数的模型，求出长轴A和短轴B，使它的材料得到优化。 三、这种多元函数的极值的模型不仅仅涉及到易拉罐问题，还关系到许多的容器产品。比如说电冰箱，橱柜等。通过对这些产品相关尺寸的计算，都可以节省一定的材料。这种对国家和公司来说都是很有益的。四、新型易拉罐涌现市场 铝质易拉罐的原材料需大量进口，且价格昂贵，加上污染环境等因素，国家已不再批准新建铝质易拉罐生产线。能否找到代替铝质易拉罐的新包装容器已成为业界关心的问题。武汉开发出一种新型易拉罐，整体采用可回收的纸板制成。这是国内首次出

32、现的环保型纸质食品包装容器。纸质易拉罐每只售价在025元左右，价格仅为铝质易拉罐的14，是软包装的一半。与不易降解的塑料包装相比，纸制易拉罐采用全纸板材料，属于环保型包装容器。这种纸制易拉罐适用于饮料、果汁类饮品、鲜奶、酸奶等包装。因该产品采用了双纸板热压封口，防水防油，用其包装的产品可长途运输。结 论本文着重研究了按“两片式”流程生产的易拉罐的优化设计问题，并以可口可乐易拉罐为例，通过建立模型一、模型二、模型三，很好地验证了可口可乐易拉罐的实际尺寸是基于它的优化设计。在本次论文的前期准备工作中，有选择的，有目的的，测量收集了充分的数据，为后面的进一步工作打下了基础，并对市场以及易拉罐的发展和

33、前景都做了调查。经过专业老师的亲临指导，使用科学有效的计算方法数学建模，由简入繁建立了一系列的模型。通过使用数学Lagrange乘子法，借助MATLAB软件，并用Lingo数学软件来求解多元非线性规划的最优解问题，最终得到了与实际测量的数据非常接近的数据。从这些数据中可以明显的看出，所做的一系列的工作都是很有意义的，并且具有一定的价值，这些方法和数据对指导实际的生产都能起到了很大的作用。致 谢在此向所有直接帮助过我和间接帮助过我完成本次毕业论文的老师和同学们致谢。毕业论文即将完成，在这次富有意义的活动中，从一开始就得到谭飞老师的亲自指导，而且论文在以后一步步走向完成的道路上，谭老师兢兢业业，诲

34、人不倦，对我所提出的问题详加解释，尽最大的努力让我理解透彻。并且，谭老师的知识广博，对本次论文所涉及的一些相关信息都充分把握。他思维缜密，考虑周全，在组织论文整体构架的时候，给与了我很大的帮助。谭老师的创造性思维也带来了本篇论文画龙点睛的妙处，至关重要的是，谭老师的平易近人，让我在本次论文的撰写过程中可以和他自由地探讨，从而让论文非常顺利的完成。在此向他致以衷心的感谢。在此还要向徐宁老师致谢，她在这充满意义的时间段里，也给与了我极大的帮助。她的帮助给我论文的完成起到了肯定性的推动作用。还要向谭老师指导的其他几名同学致谢，他们是：廖飞，丁碧莹，袁吕奇，绍丽丽，他们都给与了我热切的帮助。参 考 文

35、 献1 刘国钧，陈绍业，王凤翥.图书馆目录.第1版.北京：高等教育出版社，1957.2 傅承义，陈运泰，祁贵中.地球物理学基础.北京：科学出版社，1985，447.3 华罗庚，王元.论一致分布与近似分析.中国科学，1973：339357.4 张筑生.微分半动力系统的不变集研究：学位论文，北京：数学系统学研究所，1983.5 Borko H, Bernier C L.Indexing concepts and methods .New York:Academic Pr,1978.6 数学建模方法 朱建青 张国梁 郑州大学出版社2003.8 7 最优化模型与实验 朱德通 同济大学出版社 2003.4 8 赵静等编著 数学建模与数学实验 北京 高等教育出版社 2003 9 王学辉 张明辉等编著 MATLAB6.1 北京 中国水利水电出版社 200210 谢兆鸿 范正森 王银远 数学建模技术北京 中国水利水电出版社 2003 11 宋来忠 忘志明 数学建模与实验 北京 科学出版社 2005 12 叶其孝大学生数学建模竞赛辅导教材湖南教育出版社2002 13 吴炯圻，数学专业英语，北京，高等教育出版社，2005.4