高等数学ch12第六节课件

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1、高等数学ch12第六节一、泰勒级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数三、函数的幂级数展开式的应用三、函数的幂级数展开式的应用高等数学ch12第六节一、泰勒级数一、泰勒级数上节例题上节例题)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在幂级数在其收敛存在幂级数在其收敛域内以域内以f(x)为和函数为和函数问题问题: 1.如果能展开如果能展开, 是什么是什么?na2.展开式是否唯一展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?高等数学ch12第六节证明证明即即内内收收敛敛于于在在),()()(000 xfxuxxannn

2、 nnxxaxxaaxf)()()(0010定理定理 1 1 如果函数如果函数)(xf在在)(0 xU 内具有任意阶导内具有任意阶导数数, , 且在且在)(0 xU 内内能能展开成展开成)(0 xx 的幂级数的幂级数, ,即即 nnnxxaxf)()(00 则其系数则其系数 ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且展开式是唯一的且展开式是唯一的. .高等数学ch12第六节 )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即即得得令令,0 xx ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann泰勒系数是唯一的泰勒系数是唯一的,.)(的展开式是唯一的的展开式是唯一的x

3、f 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf逐项求导任意次逐项求导任意次,得得泰勒系数泰勒系数高等数学ch12第六节 如如果果)(xf在在点点0 x处处任任意意阶阶可可导导, ,则则幂幂级级数数nnnxxnxf)(!)(000)( 称称为为)(xf在在点点0 x的的泰泰勒勒级级数数. .nnnxnf 0)(!)0(称称为为)(xf在在点点00 x的的麦麦克克劳劳林林级级数数. .问题问题nnnxxnxfxf)(!)(?)(000)( 定义定义泰勒级数在收敛区间是否收敛于泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定不一定.高等数学ch12第六节 0, 00,)(21xxexfx例例如如

4、), 2 , 1 , 0(0)0()( nfn且且 00)(nnxxf的的麦麦氏氏级级数数为为. 0)(),( xs内和函数内和函数该级数在该级数在可见可见).()(,0 xfxfs于于的麦氏级数处处不收敛的麦氏级数处处不收敛外外除除 在在x=0点任意可导点任意可导,高等数学ch12第六节定定理理 2 2 )(xf在在点点0 x的的泰泰勒勒级级数数, ,在在)(0 xU 内内收收敛敛于于)(xf在在)(0 xU 内内0)(lim xRnn. .证明证明必要性必要性)()(!)()(000)(xRxxixfxfninii ),()()(1xsxfxRnn ,)(能展开为泰勒级数能展开为泰勒级数设

5、设xf)()(lim1xfxsnn )(limxRnn)()(lim1xsxfnn ;0 高等数学ch12第六节充分性充分性),()()(1xRxsxfnn )()(lim1xsxfnn )(limxRnn , 0 ),()(lim1xfxsnn 即即).()(xfxf的泰勒级数收敛于的泰勒级数收敛于定定理理 3 3 设设)(xf在在)(0 xU上上有有定定义义, ,0 M, ,对对),(00RxRxx , ,恒恒有有 Mxfn )()(), 2 , 1 , 0( n, ,则则)(xf在在),(00RxRx 内内可可展展开开成成点点0 x的的泰泰勒勒级级数数. .高等数学ch12第六节证明证明

6、10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ,)!1(10 nxxMn),(00RxRxx ,),()!1(010收收敛敛在在 nnnxx, 0)!1(lim10 nxxnn, 0)(lim xRnn故故.0的泰勒级数的泰勒级数可展成点可展成点x),(00RxRxx 高等数学ch12第六节二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数1.1.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或讨讨论论).(xf敛敛于于则则级级数数在在收收敛敛区区间间内内收收高等数学ch12第六节例例1解解.)(展展开开成成幂

7、幂级级数数将将xexf ,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn nxxnxxe!1! 2112, 0 M上上在在,MM xnexf )()(Me ), 2 , 1 , 0( n nxxnxxe!1! 2112由于由于M的任意性的任意性,即得即得),(!1! 2112 xxnxxenx高等数学ch12第六节例例2.sin)(的的幂幂级级数数展展开开成成将将xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )()(xfn且且)2sin( nx1 ),(

8、x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x高等数学ch12第六节例例3.)()1()(的的幂幂级级数数展展开开成成将将xRxxf 解解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()( nfn), 2 , 1 , 0( n nxnnxx!)1()1(! 2)1(12nnnaa1lim 1 nn, 1 , 1 R高等数学ch12第六节若若内内在在,)1 , 1( nxnnxxs!)1()1(1)( 1)!1()1()1()1()(nxnnxxs nxnnxxxsx)!1()1()1()1()(2 !)1()1(!)()1()!1()1()1(nn

9、mmmnnmmnnmm 利利用用高等数学ch12第六节)()1(xsx 1222!)1()1(! 2)1(nxnnxx)(xs ,1)()(xxsxs . 1)0( s且且两边积分两边积分,1)()(00dxxdxxsxsxx )1 , 1( x得得),1ln()0(ln)(lnxsxs 高等数学ch12第六节即即,)1ln()(ln xxs,)1()( xxs )1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2)1 , 1( x牛顿二项式展开式牛顿二项式展开式注意注意: :.1的取值有关的取值有关处收敛性与处收敛性与在在 x);1 , 1(1 收收敛敛区区间间为为;1 ,

10、 1(11 收收敛敛区区间间为为.1 , 11 收收敛敛区区间间为为高等数学ch12第六节有有时时当当,21, 1 )1 , 1()1(11132 nnxxxxx 1 , 1!)!2(!)!32()1(64231421211132 nnxnnxxxx 1 , 1!)!2(!)!12()1(64253142312111132 nnxnnxxxx双阶乘双阶乘高等数学ch12第六节2.2.间接法间接法根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过通过变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积分逐项积分等方等方法法,求展开式求展开式.例如例如)

11、(sincos xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn高等数学ch12第六节 xxdxx021arctan 12)1(51311253nxxxxnn1 , 1 x xxdxx01)1ln( nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x高等数学ch12第六节例例4处处展展开开成成泰泰勒勒级级数数在在将将141)( xxxxf解解).1()1()(nfx并并求求的的幂幂级级数数展展开开成成 )1(3141 xx,)311(31 x)31()31(311 312 nxxx31 x高等数学ch1

12、2第六节xxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(31332231 x!)1()(nfn于是于是.3!)1()(nnnf 故故,31n 高等数学ch12第六节三、函数的幂级数展开式的应用三、函数的幂级数展开式的应用,21 naaaA,21naaaA .21 nnnaar误误差差两类问题两类问题: :1.给定项数给定项数,求近似值并估计精度求近似值并估计精度;2.给出精度给出精度,确定项数确定项数.关健关健: :通过估计余项通过估计余项,确定精度或项数确定精度或项数.1 1、近似计算、近似计算高等数学ch12第六节常用方法常用方法:1.若余项是交错级数若余项是交错级数,

13、则可用余和的首项来解决则可用余和的首项来解决;2.若不是交错级数若不是交错级数,则放大余和中的各项则放大余和中的各项,使之成使之成为等比级数或其它易求和的级数为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和从而求出其和.例例1 1.10,5 使其误差不超过使其误差不超过的近似值的近似值计算计算e解解,!1! 2112 nxxnxxe, 1 x令令,!1! 2111ne 得得高等数学ch12第六节余和余和: )!2(1)!1(1nnrn)211()!1(1 nn)1(1111()!1(12 nnn!1nn ,105 nr欲欲使使,10!15 nn只只要要,10!5 nn即即,10322560!885

14、而而! 81! 31! 2111 e71828. 2 高等数学ch12第六节例例2 2.,9sin! 3sin03并并估估计计误误差差的的近近似似值值计计算算利利用用xxx 解解20sin9sin0 ,)20(61203 52)20(!51 r5)2 . 0(1201 3000001 ,105 000646. 0157079. 09sin0 156433. 0 其误差不超过其误差不超过 .510 高等数学ch12第六节2 2、计算定积分、计算定积分.,ln1,sin,2难难以以计计算算其其定定积积分分函函数数表表示示原原函函数数不不能能用用初初等等例例如如函函数数xxxex 解法解法逐项积分逐

15、项积分展开成幂级数展开成幂级数定积分的近似值定积分的近似值被积函数被积函数高等数学ch12第六节第四项第四项30001!771 ,104 取前三项作为积分的近似值取前三项作为积分的近似值,得得! 551! 3311sin10 dxxx9461. 0 例例3 3.10,sin410 精精确确到到的的近近似似值值计计算算dxxx 642!71! 51! 311sinxxxxx解解),( x !771! 551! 3311sin10dxxx收敛的交错级数收敛的交错级数高等数学ch12第六节3 3、求数项级数的和、求数项级数的和1.1.利用级数和的定义求和利用级数和的定义求和: :(1)直接法直接法;

16、(2)拆项法拆项法;(3)递推法递推法.例例4 4.21arctan12的的和和求求 nn解解,21arctan1 s81arctan21arctan2 s812118121arctan ,32arctan 高等数学ch12第六节181arctan32arctan 181arctan23 ss,43arctan 1arctan1arctan nnsn)(4 n.421arctan12 nn故故,1arctan1kksk 假设假设221arctan1arctankkksk ,1arctan kk高等数学ch12第六节2.2.阿贝尔法阿贝尔法( (构造幂级数法构造幂级数法):):,lim010nn

17、nxnnxaa ,)(0nnnxaxs 求得求得).(lim10 xsaxnn (逐项积分、逐项求导逐项积分、逐项求导)例例4 4.2121的的和和求求 nnn解解,212)(221 nnnxnxs令令)2, 2( 高等数学ch12第六节 1022)212()(nxnndxxnxs 112)2(nnnx)2(1(12 nnxx)21(22 xxx)2(2 xx,)2(2222xx 2221)2(2limxxx )(lim1xsx , 3 . 32121 nnn故故高等数学ch12第六节例例5 5.2!12的的和和求求 nnnn解解,!)(12nnxnnxs 令令),(nnxnnnnxs 1!)

18、1()(nnnnxnxnnn 11)!1(1!)1( 012!)!(nnnnnxxnxxxxxeex )1(2,)1(xxex 122 !nnnn)21( s 21)121(21 e.43e 高等数学ch12第六节3 3、欧拉公式、欧拉公式复数项级数复数项级数: )()()(2211nnjvujvujvu.), 3 , 2 , 1(,为为实实常常数数或或实实函函数数其其中中 nvunn若若 1nnuu, 1nnvv,则则称称级级数数 1)(nnnivu收收敛敛, , 且且其其和和为为 ivu . .高等数学ch12第六节若若 2222222121nnvuvuvu收敛收敛, ,则则 1nnu,

19、, 1nnv绝对收敛绝对收敛, ,称复数项级数绝对收敛称复数项级数绝对收敛. .复数项级数绝对收敛的概念复数项级数绝对收敛的概念三个基本展开式三个基本展开式,! 212 nxxxenx,)!12()1(! 5! 3sin12153 nxxxxxnn,)!2()1(! 4! 21cos242 nxxxxnn)( x)( x)( x高等数学ch12第六节的的幂幂级级数数展展开开式式由由xe njxjxnjxjxe)(!1)(! 2112)!12()1(! 31()!2()1(! 211(12322 nxxxjnxxnnnnxjxsincos xcosxsin高等数学ch12第六节xjxejxsin

20、cos jeexeexjxjxjxjx2sin2cosxjxejxsincos 又又 揭示了三角函数和复变量指数函数之间的揭示了三角函数和复变量指数函数之间的一种关系一种关系. .欧拉公式欧拉公式)sin(cosyjyeexjyx 高等数学ch12第六节三、小结三、小结1.如何求函数的泰勒级数如何求函数的泰勒级数;2.泰勒级数收敛于函数的条件泰勒级数收敛于函数的条件;3.函数展开成泰勒级数的方法函数展开成泰勒级数的方法.高等数学ch12第六节小结小结、近似计算、近似计算,求不可积类函数的定积分，求不可积类函数的定积分，、微分方程的幂级数的解法、微分方程的幂级数的解法(第十二节介绍第十二节介绍)

21、求数项级数的和，欧拉公式的证明；求数项级数的和，欧拉公式的证明；高等数学ch12第六节思考题思考题什么叫幂级数的间接展开法？什么叫幂级数的间接展开法？高等数学ch12第六节思考题解答思考题解答 从已知的展开式出发从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数求出给定函数展开式的方法称之展开式的方法称之.高等数学ch12第六节思考题思考题利用幂级数展开式利用幂级数展开式, 求极限求极限.sinarcsinlim30 xxxx 高等数学ch12第六节思考题解答思考题解答,54231321arcsin53 xxxx

22、,! 533! 33341sin55333 xxx)1( x)( x,sinarcsinlim30 xxxx 将上两式代入将上两式代入高等数学ch12第六节 54231321lim530 xxxxx 5533! 533! 33341xx原式原式=)()(61lim33330 xoxxoxx .61 高等数学ch12第六节一一、 将将下下列列函函数数展展开开成成x的的幂幂级级数数, ,并并求求展展开开式式成成立立的的区区间间: : 1 1、xa； 2 2、)1ln()1(xx ; ; 3 3、xarcsin； 4 4、3)1(1xx . .二二、 将将函函数数3)(xxf 展展开开成成)1( x

23、的的幂幂级级数数, ,并并求求展展开开式式成成立立的的区区间间 . .三三、 将将 函函 数数231)(2 xxxf展展 开开 成成)4( x的的 幂幂 级级数数 . .四四、 将将级级数数 11211)!12(2)1(nnnnnx的的和和函函数数展展开开成成)1( x的的幂幂级级数数 . .练练 习习 题题高等数学ch12第六节练习题答案练习题答案一、一、1 1、)(!)(ln0 xxnannn； 2 2、)11()1()1(111 xxnnxnnn； 3 3、)11()2()12() !()!2(21122 xxnnnxnn； 4 4、)1 , 1(112 nnxn. .二、二、 )1(231x 022)21(2)2)(1(3) !()!2()1(nnnnxnnnn)20( x. .高等数学ch12第六节三三、)2, 6()4)(3121(011 nnnnx. .四四、 02)1()!12(2)1(21sin2nnnnxn ),()1()!12(2)1(21cos012 nnnnxn. .