2017学年湖南省衡阳市衡阳四中高三上学期10月月考数学试卷（文科）（解析版）

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1、2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳四中高三（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设i是虚数单位，则i的虚部为（）ABCD2已知集合M=0，1，集合N=x|x2+x=0，则集合MN=（）A0BC0D1，0，13已知向量=（x1，2），=（2，1），则的充要条件是（）Ax=Bx=1Cx=5Dx=04命题“存在x0R，2x00”的否定是（）A不存在x0R，2x00B存在x0R，2x00C对任意的xR，2x0D对任意的xR，2x05已知函数f（x）=3ax2+bx5a+b是偶函数，且其定义域为6a1，

2、a，则a+b=（）AB1C1D76执行如图的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是（）A4B13C16D287f（x）=在（）A（，1）（1，+）上是增函数B（，1）（1，+）上是减函数C（，1），（1，+）分别是增函数D（，1），（1，+）分别是减函数8已知sin（）=，则cos（+）=（）ABCD9已知y=loga（2ax）是0，1上的减函数，则a的取值范围为（）A（0，1）B（1，2）C（0，2）D（2，+）10函数f（x）=loga|x|+1（0a1）的图象大致为（）ABCD11设奇函数f（x）在（0，+）上为增函数，且f（1）=0，则不等式0的解集为（）A（1，0）（1，+）

3、B（，1）（0，1）C（，1）（1，+）D（1，0）（0，1）12如果函数y=f（x）在区间I上是增函数，而函数y=在区间I上是减函数，那么称函数y=f（x）是区间I上“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”，若函数f（x）=是区间I上“缓增函数”，则“缓增区间”I为（）A1，+）BC0，1D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知幂函数f（x）=x的图象过点（，），则=14已知=（2，1），=（3，4），则3+4=15已知0a1，k0，函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）k有两个零点，则实数k的取值范围是16设f（x）是（，+）上的奇函数，f（x+2）=f（x），当0x1时

4、，f（x）=x当4x4时，f（x）的图象与x轴所围成图形的面积是三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知数列an满足：a3=13，an=an1+4（n1，nN）（1）求a1，a2及通项an；（2）设Sn为数列an的前n项和，则数列S1，S2，S3，中哪一项最小？18函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（0）=0，当x0时，f（x）=logx（）求函数f（x）的解析式；（）解不等式f（x21）219已知函数f（x）=2sinxcosx2sin2x，xR（1）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（2）求函数f（x）在0，上的最大值与最小值20某企业为

5、了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为40，50，50，60，80，90，90，100（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在40，60的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在40，50的概率21已知函数f（x）=x21，g（x）=a|x1|（1）若当xR时，不等式f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间0，2上的最大值22在极坐标系中，已知曲线C：=sin（），P为曲线C上的动

6、点，定点Q（1，）（）将曲线C的方程化成直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（）求P、Q两点的最短距离2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳四中高三（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设i是虚数单位，则i的虚部为（）ABCD【考点】复数的基本概念【分析】直接由复数的基本概念得答案【解答】解：复数i的虚部为：故选：A2已知集合M=0，1，集合N=x|x2+x=0，则集合MN=（）A0BC0D1，0，1【考点】交集及其运算【分析】求出N中方程的解得到x的值，确定出N，求出M与N的交集

7、即可【解答】解：由N中方程变形得：x（x+1）=0，解得：x=0或x=1，即N=1，0，M=0，1，MN=0，故选：C3已知向量=（x1，2），=（2，1），则的充要条件是（）Ax=Bx=1Cx=5Dx=0【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】直接利用向量垂直的充要条件，通过坐标运算求出x的值即可【解答】解：因为向量=（x1，2），=（2，1），所以2（x1）+2=0，解得x=0故选D4命题“存在x0R，2x00”的否定是（）A不存在x0R，2x00B存在x0R，2x00C对任意的xR，2x0D对任意的xR，2x0【考点】命题的否定【分析】根据含有

8、量词的命题的否定即可得到结论【解答】解：命题“存在x0R，2x00”的否定是对任意的xR，2x0，故选：D5已知函数f（x）=3ax2+bx5a+b是偶函数，且其定义域为6a1，a，则a+b=（）AB1C1D7【考点】偶函数；函数的定义域及其求法【分析】利用偶函数的定义域关于原点对称，区间的端点值互为相反数求得a值，再利用偶函数的定义f（x）=f（x）求出b值，可求a+b的结果【解答】解：函数f（x）=3ax2+bx5a+b是偶函数，且其定义域为6a1，a，定义域关于原点对称，6a1+a=0，a=，f（x）=x2+bx+b，再由偶函数的定义f（x）=f（x）得，b=0，故 a+b=，故选 A6

9、执行如图的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是（）A4B13C16D28【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出得到的x，y的值，当x=2时不满足条件x2，计算并输出y的值为13【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=1满足条件x2，x=2不满足条件x2，y=13输出y的值为13故选：B7f（x）=在（）A（，1）（1，+）上是增函数B（，1）（1，+）上是减函数C（，1），（1，+）分别是增函数D（，1），（1，+）分别是减函数【考点】函数单调性的判断与证明【分析】将f（x）变量分离得f（x）=1，将y=的图象向右平移1个单位，可得y=的图象，再向下平移1个单位，即可得到f

10、（x）的图象，则有f（x）在x1，x1上均为增函数，即可得到结论【解答】解：f（x）=1，由函数y=在x0，x0均为增函数，则将y=的图象向右平移1个单位，可得y=的图象，再向下平移1个单位，即可得到f（x）的图象，则有f（x）在x1，x1上均为增函数，则有函数f（x）的增区间为（，1），（1，+）无减区间故选C8已知sin（）=，则cos（+）=（）ABCD【考点】运用诱导公式化简求值【分析】利用诱导公式把转化成sin（），进而利用题设中的条件求得答案【解答】解： =sin（）=sin（）=故选D9已知y=loga（2ax）是0，1上的减函数，则a的取值范围为（）A（0，1）B（1，2）C（

11、0，2）D（2，+）【考点】对数函数的单调区间【分析】本题必须保证：使loga（2ax）有意义，即a0且a1，2ax0使loga（2ax）在0，1上是x的减函数由于所给函数可分解为y=logau，u=2ax，其中u=2ax在a0时为减函数，所以必须a1；0，1必须是y=loga（2ax）定义域的子集【解答】解：f（x）=loga（2ax）在0，1上是x的减函数，f（0）f（1），即loga2loga（2a），1a2故答案为：B10函数f（x）=loga|x|+1（0a1）的图象大致为（）ABCD【考点】函数的图象【分析】函数是偶函数，图象关于y轴对称，x0时，单调递减；x0时，单调递增，且图象

12、过（1，1）、（1，1），由此得出结论【解答】解：由于函数f（x）=loga|x|+1（0a1）是偶函数，图象关于y轴对称当x0时，f（x）=loga x+1，是减函数当x0时，f（x）=loga （x ）+1，是增函数再由图象过（1，1）、（1，1）可得，应选A，故选A11设奇函数f（x）在（0，+）上为增函数，且f（1）=0，则不等式0的解集为（）A（1，0）（1，+）B（，1）（0，1）C（，1）（1，+）D（1，0）（0，1）【考点】奇函数【分析】首先利用奇函数定义与得出x与f（x）异号，然后由奇函数定义求出f（1）=f（1）=0，最后结合f（x）的单调性解出答案【解答】解：由奇函数f

13、（x）可知，即x与f（x）异号，而f（1）=0，则f（1）=f（1）=0，又f（x）在（0，+）上为增函数，则奇函数f（x）在（，0）上也为增函数，当0x1时，f（x）f（1）=0，得0，满足；当x1时，f（x）f（1）=0，得0，不满足，舍去；当1x0时，f（x）f（1）=0，得0，满足；当x1时，f（x）f（1）=0，得0，不满足，舍去；所以x的取值范围是1x0或0x1故选D12如果函数y=f（x）在区间I上是增函数，而函数y=在区间I上是减函数，那么称函数y=f（x）是区间I上“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”，若函数f（x）=是区间I上“缓增函数”，则“缓增区间”I为（）A1，+）B

14、C0，1D【考点】函数单调性的判断与证明【分析】由题意，求f（x）=的增区间，再求y=x1+的减函数，从而求缓增区间【解答】解：f（x）=在区间1，+）上是增函数，y=x1+，y=；故y=x1+在，上是减函数，故“缓增区间”I为1，；故选D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知幂函数f（x）=x的图象过点（，），则=【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】利用点在函数的图象上，列出方程求解即可【解答】解：幂函数f（x）=x的图象过点（，），可得=，解得故答案为：14已知=（2，1），=（3，4），则3+4=（6，19）【考点】平面向量的坐标运算【分析】由=（2，1

15、），=（3，4），能够推导出3+4=（6，3）+（12，16）=（6，19）【解答】解：=（2，1），=（3，4），3+4=（6，3）+（12，16）=（6，19）故答案为：（6，19）15已知0a1，k0，函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）k有两个零点，则实数k的取值范围是（0，1）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】画出分段函数的图象，数形结合得答案【解答】解：由分段函数f（x）=，由y=f（x）k=0，得f（x）=k令y=k与y=f（x），作出函数y=k与y=f（x）的图象如图：由图可知，函数y=f（x）k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是（0，1）故答案为：（0，1）16

16、设f（x）是（，+）上的奇函数，f（x+2）=f（x），当0x1时，f（x）=x当4x4时，f（x）的图象与x轴所围成图形的面积是4【考点】函数的图象【分析】由f（x）是奇函数且f（x+2）=f（x），知函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称由此能够求出当4x4时，设f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S【解答】解：由f（x）是奇函数且f（x+2）=f（x），得f（x1）+2=f（x1）=f（x1），即f（1+x）=f（1x），故知函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称又0x1时，f（x）=x，且f（x）的图象关于原点成中心对称，则f（x）的图象如图所示当4x4时，设f（x）的图象与x轴围

17、成的图形面积为S，则S=421=4故答案为：4三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知数列an满足：a3=13，an=an1+4（n1，nN）（1）求a1，a2及通项an；（2）设Sn为数列an的前n项和，则数列S1，S2，S3，中哪一项最小？【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性；等差数列的通项公式【分析】（1）由题意可得数列an为等差数列且公差为4，易得a1，a2及通项an；（2）由an0可得数列an的前6项为负值，从第7项开始为正数，可得结论【解答】解：（1）数列an满足：a3=13，an=an1+4，anan1=4，即数列an为等差数列且

18、公差为d=4，a2=a3d=134=17，a1=a2d=174=21，通项an=a1+（n1）d=21+4（n1）=4n25（2）令an=4n250可解得n，数列an的前6项为负值，从第7项开始为正数，数列S1，S2，S3，中S6最小18函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（0）=0，当x0时，f（x）=logx（）求函数f（x）的解析式；（）解不等式f（x21）2【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法；绝对值不等式的解法【分析】（）由已知可以设x0，然后利用函数的奇偶性转化到x0，利用已知求出x0时的解析式即可用x代换x，然后写出整个定义域上的函数的解析式（）根据f（x）=在（

19、，0上为增函数，结合奇偶性得出f（x）在（0，+）上为减函数，将f（a1）1=f（1）转化成绝对值不等式|a1|1，解之即得【解答】解：（）当x0时，f（x）=logx，当x0时，则x0，f（x）=，函数是偶函数，f（x）=f（x）f（x）=，x0又f（0）=0，f（x）=（）f（4）=，函数f（x）是偶函数，不等式转化为f（|x21|）f（4）又f（x）在（0，+）上是减函数，|x21|4，解得：不等式的解集为（）19已知函数f（x）=2sinxcosx2sin2x，xR（1）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（2）求函数f（x）在0，上的最大值与最小值【考点】三角函数中的恒等变换应用

20、；三角函数的周期性及其求法【分析】（）先化简函数可得f（x）=，即可求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（）由定义域根据正弦函数的单调性即可求出函数f（x）在上的最大值与最小值【解答】解： =（）f（x）的最小正周期为令，解得，所以函数f（x）的单调增区间为（）因为，所以，所以，于是，所以0f（x）1当且仅当x=0时，f（x）取最小值f（x）min=f（0）=0当且仅当，即时最大值20某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为40，50，50，60，80，90，90，100（1）求

21、频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在40，60的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在40，50的概率【考点】频率分布直方图【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；（2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；（3）求出评分在40，60的受访职工和评分都在40，50的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.0222+0.028）10=1，解得a=0.006；（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不

22、低于80的频率为（0.022+0.018）10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在50，60）的有：500.00610=3（人），记为A1，A2，A3；受访职工评分在40，50）的有：500.00410=2（人），记为B1，B2从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2，又因为所抽取2人的评分都在40，50）的结果有1种，即B1，B2，故所求的概率为P=21已知函数f（x）=x21，g（x）=a|x1

23、|（1）若当xR时，不等式f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间0，2上的最大值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）根据自变量的取值范围进行分类讨论求参数的范围即可，然后取交集求得实数a的取值范围；（2）将所给的函数写成分段函数的形式，在每一段上对函数的最值进行讨论，求出最大值，再比较两段上的最值得到函数的最大值【解答】解：（1）不等式f（x）g（x）对xR恒成立，即x21a|x1|对xR恒成立，当x=1时，不等式显然成立，此时aR；当x1时，不等式可变形为a，令（x）=当x1时，（x）2，当x1时，（x）2，（x）2，故此

24、时a2综合，得所求实数a的取值范围是a2（2）h（x）=|f（x）|+g（x）=|x21|+a|x1|=当，即a0时，可知h（x）在0，1上递减，在1，2上递增，且h（0）=a+1，h（2）=a+3，经比较，此时h（x）在0，2上的最大值为a+3当10，即2a0时，可知h（x）在，1上递减，在0，1，2上递增，且h（）=+a+1，经比较，知此时h（x）在0，2上的最大值为a+3当，即a=2时，可知h（x）在0，1，1，2上递增，h（x）在0，2上的最大值为a+3当1，即3a2时，可知h（x）在1，上递减，在0，1，2上递增，此时h（x）在0，2上的最大值为a+3当，即a3时，可知h（x）在0，

25、1上递减，在1，2上递增，故此时h（x）在0，2上的最大值为h（1）=0综上所述，a3时，h（x）在0，2上的最大值为a+3；当a3时，h（x）在0，2上的最大值为022在极坐标系中，已知曲线C：=sin（），P为曲线C上的动点，定点Q（1，）（）将曲线C的方程化成直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（）求P、Q两点的最短距离【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（）运用两角差的正弦公式和极坐标与直角坐标的关系：x=cos，y=sin，x2+y2=2，化简即可得到所求方程及轨迹；（）求得Q的直角坐标，以及Q到圆心的距离，由最小值dr，即可得到所求值【解答】解：（）曲线C：=sin（）=2（sincos）=2sin2cos，即有2=2sin2cos，由x=cos，y=sin，x2+y2=2，可得曲线C：x2+y2+2x2y=0，即为以（1，1）为圆心，为半径的圆；（）Q（1，），即为Q（cos，sin），即Q（，），Q到圆心的距离为d=，即有PQ的最短距离为dr=2016年12月21日