数值分析试卷及答案

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1、模 拟 试 卷（一）一、填空题（每小题3分，共30分）1有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的.2设，则= .，= _.3已知y=f(x)的均差（差商），, 那么均差= .4已知n=4时NewtonCotes求积公式的系数分别是：则 .5解初始值问题的改进的Euler方法是 阶方法；6求解线性代数方程组的高斯塞德尔迭代公式为 ， 若取, 则 .7求方程根的牛顿迭代格式是 .8是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则9解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是 .10设，则的三次牛顿插值多项式为 ，其误差估计式为 .二、综合题（每题10分，共60分）1求一次数不超过4次的多项式满足：

2、，2构造代数精度最高的形式为的求积公式，并求出其代数精度. 3用Newton法求方程在区间内的根, 要求.4用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：1925303819.032.349.073.35用矩阵的直接三角分解法解方程组6 试用数值积分法建立求解初值问题的如下数值求解公式其中.三、证明题（10分）设对任意的，函数的导数都存在且,对于满足的任意，迭代格式均收敛于的根.参考答案一、填空题15； 2. 8, 9 ; 3. ； 4. ； 5. 二； 6. , (0.02，0.22，0.1543)7. ; 8. ; 9. ; 10. 二、综合题1差商表：11122151515575720204

3、272152230781其他方法：设令，求出a和b.2取，令公式准确成立，得：时，公式左右；时，公式左, 公式右 公式的代数精度.3此方程在区间内只有一个根，而且在区间（2，4）内。设则， ，Newton法迭代公式为取，得。4 ，.解方程组，其中 ， 解得： 所以， . 5解 设由矩阵乘法可求出和解下三角方程组 有，.再解上三角方程组 得原方程组的解为，.6 解 初值问题等价于如下形式，取，有，利用辛卜森求积公式可得.三、证明题证明 将写成，由于 ，所以所以迭代格式均收敛于的根.模 拟 试 卷（二）一、填空题（每小题3分，共30分）1分别用2.718281和2.718282作数的近似值，则其有

4、效位数分别有 位和 位 ；2 设，则= _，= .3对于方程组, Jacobi迭代法的迭代矩阵是=_.4设，则差商=_，=_.5已知, 则条件数_.6为使两点的数值求积公式具有最高的代数精确度，则其求积基点应为=_， =_7解初始值问题近似解的梯形公式是 8求方程根的弦截法迭代公式是 9. 计算积分，取4位有效数字，用梯形公式计算求得的近似值是 ， 用辛卜生公式计算的结果是 10任一非奇异矩阵的条件数 ，其一定大于等于 二、综合题（每题10分，共60分）1 证明方程在区间有且只有一个根，若利用二分法求其误差不超过近似解，问要迭代多少次？2 已知常微分方程的初值问题：试用改进的Euler方法计算

5、的近似值，取步长.3 用矩阵的分解法解方程组 .4 用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据拟合.x1.01.41.82.22.6y0.9310.4730.2970.2240.1685 设方程组，试考察解此方程组的雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法的收敛性。6 按幂法求矩阵的按模最大特征值的近似值，取初始向量，迭代两步求得近似值即可.三、证明题（10分）已知求的迭代公式为：证明：对一切 ， 且序列是单调递减的，从而迭代过程收敛.参考答案一、填空题16， 7； 2. 9, ; 3 . ; 4. 1, 0; 5. 9; 6. , ; 7. ;8. ； 9. 0.4268, 0.4309; 10

6、. , 1二、综合题1 解 令，则，且 故在区间内仅有一个根. 利用二分法求它的误差不超过的近似解，则 解此不等式可得 所以迭代14次即可.2、解：3 解 设 利用矩阵乘法可求得解方程组 得，再解方程组 得.4 解 令，则容易得出正规方程组，解得 .故所求经验公式为 . 5 解 （1）由于所以在内有根且，故利用雅可比迭代法不收敛.（2）由于所以，故利用高斯赛德尔迭代法收敛.6 解 因为，故，且，.从而得三、证明题 证明: 由于 故对一切，又所以 ，即序列是单调递减有下界，从而迭代过程收敛.模 拟 试 卷（三）一、填空题（每小题3分，共30分）1设是真值的近似值，则有 位有效位数，相对误差限为

7、；2 若用二分法求方程在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 次。3有n个节点的高斯求积公式的代数精度为 次.4设，要使迭代格式局部收敛到，则的取值范围是 5设线性方程组有唯一解，在不考虑系数矩阵扰动的情况下，若方程组右端项的扰动相对误差 ，就一定能保证解的相对误差；6给定线性方程组，则解此线性方程组的Jacobi迭代公式是 ，Gauss-Seidel迭代公式是 7插值型求积公式的求积系数之和是 8数值求解初值问题的龙格-库塔公式的局部截断误差是 9. 已知函数，用此函数表作牛顿插值多项式，那么插值多项式的系数是 10 设，为使可分解为，其中是对角线元素为正的下三角矩阵，则的取值

8、范围是 。二、综合题（每题10分，共60分）1用Newton法求方程在区间内的根, 要求.2设有方程组，其中，已知它有解， 如果右端有小扰动，试估计由此引起的解的相对误差。3试用Simpson公式计算积分的近似值, 并估计截断误差.4设函数在区间0,3上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法求一个次数不高于3的多项式，使其满足，并写出误差估计式。5，给出用古典Jacobi方法求的特征值的第一次迭代运算。 6用梯形方法解初值问题，证明其近似解为，并证明当时，它收敛于原初值问题的准确解。 三、证明题（10分）若有个不同的实根，证明 .参考答案一、填空题1. 3, ; 2. 10; 3. ; 4. ;

9、 5. ; 6. , 7. ; 8. ; 9. 2.4; 10 . 二、综合题1此方程在区间内只有一个根，而且在区间（2，4）内。设则， Newton法迭代公式为 取，得。 2解 ，由公式，有3 ， ， 截断误差为4由所给条件可用插值法确定多项式， (由题意可设为确定待定函数，作辅助函数：,则在上存在四阶导数且在上至少有5个零点（为二重零点），反复应用罗尔定理，知至少有一个零点，使，从而得。故误差估计式为，。5首先取，因，故有，于是， 6. 梯形公式为，由，得，所以，用上述梯形公式以步长经步计算得到，所以有，所以三、证明题证明 由于有个不同的实根，故,于是记 ，则，再由差商与导数的关系知.模

10、拟 试 卷（四）一、填空题（每小题3分，共30分）1 为了减少运算次数，应将算式改写为 ，为减少舍入误差的影响，应将算式改写为 。2， ， 。3设在的根 附近有连续的二阶导数，且，则当 时迭代过程是线性收敛的，则当 时迭代过程是平方收敛的。4设，则当满足 时，有5用列主元消去法解线性方程组时，在第k1步消元时，在增广矩阵的第k列取主元，使得 。6已知函数，则= ，= ，的二次牛顿插值多项式 7求解方程，若可以表成，则用简单迭代法求根，那么 满足 ，近似根序列一定收敛。8点插值型数值积分公式的代数精度至少是 次，最高不超过 次。9.写出初值问题 在上欧拉计算格式 10解初始值问题的梯形方法是 阶

11、方法二、综合题（每题10分，共60分）1证明方程在区间1，2内有唯一根x*，用牛顿迭代法求x*(精确至3位小数)。2用列主元消去法解线性方程组;3给定数据x=0,1,2,3，对应函数值分别为y=1,3,2,4，求三次拉格朗日或牛顿插值多项式。4设有矩阵 用“规范化”的方法求其按模最大的特征值和对应的特征向量（注：求迭代4次即可）5用改进的Euler方法求初值问题 , . 6给定数据，求一次最小二乘拟合多项式。三、证明题（10分）设线性方程组为，（1） 证明用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法解此方程组要么同时收敛，要么同时发散；（2） 当同时收敛时，比较它们的收敛速度。参考答案一、填空题1. ,

12、 ; 2. 6, 6; 3. , ; 4. ; 5. ; 6. 2, 1, ; 7. ; 8. ，; 9. 10. 二二、综合题1. 由牛顿迭代公式 ，取x0=1.2，得 或取，, 所以.2 , 故. 3. 或 4取，由乘幂法得，5改进的Euler方法取，经计算得 ：;，经计算得 ： ，经计算得 ：;，经计算得 ：;，经计算得 ：; ，经计算得 ：6设所求一次拟合多项式为 或基函数为 与,做最小二乘拟合：,得正规方程组 , 解得，故 .三、证明题证明：系数矩阵，记（1）雅可比迭代矩阵的特征方程为，即，或。当时，；当时，；当时，。所以。高斯-塞德尔迭代矩阵的特征方程为，即，或，解得，所以。所以，当时，；当时，因而两种迭代法要么同时收敛，要么同时发散.（2）当时，同时收敛，且，所以高斯-塞德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快。