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1、构造几何图形 巧解代数问题 在数学教学中，数和形是两个最重要的研究对象.对于一类代数问题，假设能转化为图形性质的问题，往往会使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而获得简洁的解决方案. 一、整式乘法法那么的探究 例1 探究乘法法那么: . 解 如图1，构造长、宽为和的矩形，再将其分割为四个小矩形，通过“总体分割的两种方法计算矩形的面积，易得.评析 此法那么的探究过程也可通过连续利用乘法分配律来得到，即 . 但构造的图形更直观、更简洁，更利于激发学生的探求欲，开阔学生的视野. 二、恒不等式的证明 例2 假设，且、均为正数，那么.证明 如图2，构造面积分别为、的正方形()，那么其边长分别为、，易得,
2、. 评析 此式为学生刚接触平方根知识的一个结论，用文字可表达为：被开方数越小，那么其算术平方根越小.基于学生的现有知识储藏还很有限，直接代数证明方法比拟困难.构造的几何图形，有效的呈现了被开方数和算术平方根的问题，有利于学生的理解. 例3 : ，求证: . 解 如图3，在中，弦直径,垂足为.设，那么由相交弦定理和垂径定理，可得. 直径是圆中最长的弦，,即. 例4 ，求证: . 解 如图4，分别以在,和,为直角边构造Rt和Rt.,.而, . 评析 此不等式直接证明，难度较大、较繁琐.而注意到，那么可以构造共边的直角三角形来解决.三、求函数最值 例5 求的最小值. 解 如图5, ，垂足为，垂足为是上的动点.设，那么 ， 因而，所求的最小值即为线段的最小值. 作点关于的对称点，将平移至，连接，那么即为的最小值. 在Rt中，,即的最小值是. 评析 将所求代数式转化为线段的和，在最值的探求过程中，发现实际上就是初中几何里典型的“将军饮马模型，陌生问题熟悉化，转化思想略见一斑.总之，适当地将一些代数问题几何化，能提高解题的效率，拓宽解题的思路，渗透数学思想、提升数学素养!
2021年苏州市中考《构造几何图形、巧解代数问题》复习指导
