七、集合问题

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1、七、集合问题同学们，在我们以前遇到的求和问题时，只要直接相加就可以得出答案。但是有的求和问题却不能直接相加，这样的问题有什么特点？应如何解决呢？下面带着这些问题开始今天的研究。例1 有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长4厘米的正方形，如右图放在桌面上(阴影是两图形重叠部分)你能求出这两个图形盖住桌面的面积吗？请你们分组讨论一下小红和小力的方法谁的对呢？从中不难看出，图中阴影部分是两个图形的重叠部分。如果直接用864464(平方厘米)，那么阴影部分就多算了一次，所以要将这块面积减掉。所以这两个图形盖住桌面的面积应该是：86442260(平方厘米)通过上面这个例子，不难看出这类问题特点是两部分有重复

2、(交叉)，这时在计算总数时可以把两部分求和，然后再减去重叠部分。练一练：1用两块圆形磁片镶嵌成一个图案(如下图)。请你计算出这个图案的面积？(单位：平方厘米)2四(1)班的全体同学参加音乐和美术小组。参加音乐小组的18人，美术小组24人，两个小组都参加的有12人，四(1)班共有学生多少人？例2 四(1)班有35人参加了音乐和美术小组，参加音乐小组的20人，美术小组的26人，两个小组都参加的有多少人？我们可以用图来表示(如下图)。同学们，你们知道中间阴影部分表示什么呢？两圆相交的部分(即阴影部分)表示两个小组都参加的人数。如果把20和26相加，那么阴影部分所包含的人数就被加了两次，结果比35人多

3、出来的人数正好是两个小组都参加的人数，即：两个小组都参加的人数(参加音乐小组人数参加美术小组人数)参加两个小组总人数：(2620)3511(人)答：两个小组都参加的有11人。练一练：1在秋游中，有28人玩了过山车、海盗船两种游戏，其中玩过山车的有14人，玩海盗船的20人，两种游戏都玩的有多少人？2有100位游客，其中10人既不懂英语，又不懂俄语，有75人懂英语，85人懂俄语，既懂英语又懂俄语的有几人？例3四年级一班有学生40人，期末语文成绩评优的有17人，数学成绩评优的有13人，两科都评优的有8人，两科都没评优的有多少人？在全班40人中，有语文一科评优的；有数学一科评优的；有语文、数学两科都评

4、优的；有两科都没评优的。你能用图形表示出它们的关系吗？下图为表示这些关系的集合图。看图小组讨论：1语文评优、数学评优、双科评优的人数之间有什么关系？2双科都没评优的人数与全班人数、语文、数学评优、双科评优的人数之间有什么关系？上面的关系也可以用线段图表示：解1：只语文一科评优的：1789(人)只数学一科评优的：1385(人)双科评优的：8(人)双科都没评优的：4059818(人)综合列式：答：两科都没评优的有18人。在小组讨论中，同学们还出现了以下几种不同思路的解法：解2：4013(178)18(人)解3：4017(138)18(人)解4：40(1317)818(人)结合图一、图二，你能讲出这

5、三种解法的推理吗？像这类题，在一个整体中的几个部分具有交叉关系，我们可以画一个集合图(如图一)，把个部分之间的关系明确清楚地表示出来，也就是应用集合思想的解题思路来分析解答比较方便。练一练：1一个班有48人，班主任在班上问：做完语文作业的请举手，有37人举手；又问：做完数学作业的请举手，有42人举手。再问：两种作业都完成得举手，35人举手。请问：这个班语文、数学作业都没做完的有多少人？2某班有45名同学，其中20人参加了数学比赛，10人参加了作文比赛，已知全班只有1人既参加了数学比赛又参加了作文比赛。两种比赛都没有参加的有多少人？例4 在1到100的自然数中，4的倍数和3的倍数共有多少个？分析

6、：在1到100的自然数，4的倍数有25个，3的倍数有33个，但是应该发现像12，24，36这样的数既是4的倍数，又是3的倍数，如果把4的倍数的个数和3的倍数的个数相加，其中就发生了重复，因此就应该把重复的排除。正确的解题方法是：(1)求出4的倍数的个数：100425(2)求出3的倍数的个数：1003331(3)求出既是4的倍数又是3的倍数的个数：找到最小一个既是3又是4的倍数的数：121001284(4)4的倍数个数3的倍数个数既是3又是4的倍数的个数，即2533850个思考：计算4的倍数或3的倍数的个数还可以用什么方法？练一练：11200的自然数中5的倍数和6的倍数共有几个？250400的自

7、然数中6的倍数和10的倍数共有几个？练习：1五一中队全体同学都订了报纸，订阅中国少年报的有32人；订阅作文报的有27人，两种报纸都订了的又18人。五一中队共有学生多少人？2学校田径队有30人。有18人是参如径赛的，23人是参加田赛的。其中有两项比赛都参加的有多少人？3实验小学六(1)班有学生54名，第一次参加学校环保活动的有46人，第二次参加的有49名，两次都没有参加的有4名。两次活动都参加的有几人？4某班有40名同学，在假期中有20人选择了旅游，10人选择了课外学习，已知全班只有3人既选择了旅游又选择了课外学习。选择这两项之外活动的学生有多少人？51到1000的自然数中20和30的倍数共有多少个？