待定系数法求数列通项公式

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1、待定系数法求数列通项公式例題匚在数列务中，兔八碍十1,试求其通项公式.分帕 且然，这不是等差或等比数列，唱妇果在孔“忑+1的两丈同对R上b鑿理 为珈+1打此时，把心十1和码十1看作一个整体，或者换元 令卜=%十1， 那么吒.+1,即 = % 皤商斗1 = 因此,数列他十1或临就是以2为首项, 以2为公二匕旳等比数列- + 1=2或者切=严进一步求出= 2K -1 -启示*在这个问懸札 容易看出在左右两边加上1就构成了新的等比数列g+1,那 不易看出在左右两边该加几后构成新的等比数列时.该怎么办呢？其实，已知=加”十1,可变形为l + A = 2（-Z）的形式，然后展幵括号、移 项后再与二妆亠】

2、拒比较.利冃持定MSW22-A=L1 = L t遡亜 对于形如“wg （其中严彳为需蠟 且pqZE、的逵推数列，先变为心:+ 2一戶9产刃曲形式，贋开“移匝 利甬行定.系数注百P-1菲3-七*宀p-1p-1则数列騒+一）莒项为口厂旦抡比为卩的韦比数亂pljP-1二（助因此，形如 =P久“这一类军药数列.都可以利用待疋惑1法来求禅:那么若g变为畑g 是关于加非零多项式时：该怎么办呢？是否也自绻冃待定系数法呢了二色二鬥3目=0：巨戶1）型例题Z在数列他孔 卩=1,心F厲斗知+1,试求其通项公式.分析技照境题1的思路，在两达軀切上某一常数同时也寒加上n的倍数，才能使新的数列有一致的号式匸先变为g十7

3、-亠如十1,曼开比软得2=3.即i+ 3（片 + 1）何+3 町+4进一歩取_1 + 3（“ + 1+ 4 二 2（ 3 + 4）则数列就十死一是迅十 活顼为他和xl十4Y公比为2的等尤取刃，所以同幣 韦如说_+-冬口+纠卄的违淮数刃，设+x（K 1） +v - pan - xn + ）展开、移项藥理.比较洽应系数胡寻.做出方匕(P-l)t = ?(p-l)y-x = r解得尸-1工十尸y p-p-負十二勺Wp -1 (p - 1J P -1则数列9 “9 ,4 P-1(P-1) P-1.是以呵+ 9 + q .+ r为首项，以卩为公比 P-1 9一】）P L的尊比数列，干是就可以洗一步求出%

4、的通瓦:K咅巴,亠厂輕厂八5_山：足厂丁二4：三工+三刃主3工壬：工防一制用待定系数法求出其通项口比如当_/的=叶严时，可设叶：一工（叶+ 1广卄一= p（cfl十yiT +，招_呂）展开根据对应系数分别相等求堺方程即可.几町为II的三次、匹次=五次等多项式比也能弓同样的忌路和方送进存求解口而如果当/5）是n的指数式*即时，递推公式又将如何变形呢？二化点=砂广十旷十型(pqv 0. Bp * ?舌LpwQ例题乱在数列务中.珂=1：备=3, + 2试求其通项耳分析b由于 = 3%十丁与例题1的区别在于2*是带数比 可以冃上面的思蹺进行变形，在两边冋时初二耳才变为J十2 = 3各典严即昭严2i =

5、 3(4 2乍则数列仇+2”是首项为3,公比为3的等比散列心”=外 则分析缶如果埒弟数式先交为韦数，曲边司除2一应ian L 3%1-= + = * -I ” T：就回到了我们的类型一.逬一步也可求出 = r_2B.例題生在数列%中.a =3, % = 3gr+5 2n -4.试求何的通顷务*分析；若按例琶住的岳路2.在右边同时除以站虽然产生了竺.企.但是R增加 了吕.与原式并没有大的变化.听以只能运用在两边同吋加上W2整瑾口4以 匸:(口十弘厂进一步+ 5x2-hi-3(,+5x22町数列；心+ 5 r + 2是苕项为10,公比为3釣等比数歹+5k2+2-15x31-5x3fi即aH =5(

6、3-2*)-2启示1己知数列耳的首项.码严l十曙十夙幽？ * 0且卩*1旳*M1)牛=o,即尸叫十呵1由例题3轨 有两种恩路诳行变為 利用待定系数法构造 誉顷和公土己知遵可求的尊比数列。思路一*在两边同时除Elgz.将不含点和的朮变为常数.即P 5丄$ q q1 qr为前面的类型一，再用类型一的持定系数法思想可得数興h电十沽，最终求解出% 1Q的通项- 思路二*在两边I弓旺加上的倍数F昜终能交形为Ch+i + Xff= p(au + xK)对应系數用等得(p-nh = r+即x= PTs十一厂=讥务+* p_qpg求岀数列*厶空 的通项，坯一歩求出他的通项. 、p_q :2)当石 hOE寸*

7、S ar;. =-s由洌4可知只能芒选荐思侶二.两边旣妾扣于的倍數，也妾幻蒔黄.最终龍变形为 应I十笛小y = p(暫-呵J刃比较得心y的方程组 rX 即 P7(p-ly = si 二占,-1于是?3 + = pCjg15*)p-qp -Ip_ q P _1求出数列1耳+ 一.旷+丄的通项”进一步求岀尙的通项I P_Q P-J0= 口“ =西-L孙*何型已知其中于何可以为常熱n的多项式或指数式 以只时丸为例口删翹5.在数列%中.a =卫;=2耳：=上仏:+-an.试求他的通项3a斤 这杲二顼之间递推数列，根据前面的思跖 可以把心:看瓦常数过行处生 可变 为严-；（也-耳）先求岀数列s血7的通项

8、然后刑用累加法即可壬一步求出厲的通项牛对于形如金7=丹41十叫的遢推数列*可以&件：十珂.1 = /3”1十呜1）畏开*利用对应系数相学 列方程二是敦列.4厂和讣就是以叫-秤 沏首国.y为公比的等比数列.不难求出临.1十5 ：的渥项 一步利冃梧关即可求出叫-同理* a2 = pa+90, + /（n）当/（町为非零多项式或者是指数式时.也可结合前 闻的思路进行处理.问题的关键在于先变形7 十X。-】=ylo_】十3片）+才0）然.仔拦件严耳看做一个整体就变为了前面的类型。五；口十1 = p盘：（尸壬1且戸L肛FH（V工1）型* %为正项数列WS6.在数列毎中.殆*% =2山试求其通项分析！此苞

9、和前面射几詰粪型没育相同之处，左边是一淡式，而右过是二K弍，关縫左 于通过变形，使两边次数相同，由于务丸，所以可联想到对数的相关性质，对呻,=2 两边取对数，即lg%i = lg 2+ 诲此=*lga -+1g-就是前面的类型一了*即Iaa1-lg2-2（ltti7rt + lg2）lg-g2=(lf2)x2L变形得厲7对于类似p心(厂1且* 兀Hl)的递推数列.由于两边次数不一歎，又是正项数列.所以可以利用对数性质.两边同时取对埶 得览叫田=1gPV； = Fg斗+1音P然后就是类型一了.就可以利用待定系数法进一步构适疑列2加口+弊为己 知首项和公比的等比数列了 C求出|lg J亠甞最终就可

10、以得出%的通项同样|如果将孤丄* 叫0*】fip0 r Osr * 1)中的p换为指数式矿时,同样可以和用栢冋为方法却环；(7 = fj17 n/(7两边取对数lg.；=】貳g a： i =尸*氐十汨gg变为类型二1+x(M + l) + jj-= r(lg an +xn + v)即可进一步得出%的通攻BU是些整或型的通推数列通项公式的求解接下耒再看看比较复杂的分式型谨 推数列乜六； - “15中占 5 *0)叫+g7. &数宛何中.幻=1卫心=占二，试求其通项丐口+ -分析：这是一个分式型如h如杲去分厚变为2也-心一 0后就无法进行昙理J两边同时取倒，数就是前团的类型一了. 丄斗彳丄+ J应

11、一 T(1.所以数列+ 是苴项为丄十3= 4,公比为2的等比数列，不难求岀例题&在数列毎中，厂L%产电2,试求其通项兔. 3% +2分析：此题比例题亍的区別名了當数氐葫边取倒IT-1左右两边丄与并不一致”但可以对照例题7的思虽 取倒数之后分母会具老一J 毎4 2致的结构.根掲等式和分式的性质，我们可在商边同时加上某一常数整理*、(3a - 2占时十丸- 十工 此时如果.那么递推式左边和左边分母就一致了。解方程得3v+1更二此时可选择其中一牛递拒武按照例迦丁的方武进行处至 这里选择】十1 = 丝士 込十2稲i取傷回到了类型一13113=(占以+ 1 -4牛+1 5根捱类型一的方法易求岀4（-4厂

12、：十1心壮冥（_4严一1现在我们将两式相比丰1則数列彳上2是我己知等顶世公比的等比数外 进一歩化简求岀叫.卜叫通过以上两个拥題可知.形如粘产燮1二乞（芦#0）这一类型的递推数列.对学生的探台SLtg求较頁.:、如具右边分子缺常皈项，那么直按对两边取惻数即可得1 g 1 P二q+初 r an r此时若2 = 1那型是我门熟悉的等差数列.若宜工1那就是前血的类型用待rr2.若“0 就需要先变略 使左边和右边分子结构一St两边同时加上某一蒂敷g然后令仝竺解出兀的值n r + px而另一种思路是直接设心变毛二巨A）pg+q-$（4+幼口好i十丫二叫亠q然后聂开，很捋对应坂系数相等得二元方程组求出A V

13、 c两种思路都是孵x豹一元二次方程，设其解为斗心FiWr如）p（%+g）比4 7p（叫 r）若珂:时，那就只能利用俺题了的方法.两边取倒数，部分分式整理即可转变为类至一，1P（ + gp（兀片儿）_戸也-心） p（Q - ij 1 p=4-口和：+旳旳（氐十紀）H氐*可）i口” +航 H最络求岀an.当兀八:时.可以戈择茸占的一个按照上面的方式进行求解.但是此时计算最0）型P兀+Q例题2脊数列Q中，q =王讥严竺二丄.试求臭通项.2%十2分析|本題厲于分式菲践性逼推式孑与类型五又有相似之处孑所以我们可以结合类塑壬、六的思路，进行变按：两边同时扣上某个常瓶 设最终变为；与原式比较，耻应系数相筈，零蒔方程得耳=-L.x: = 3即有*吋2也亠验+ 2对单个式子进行处理,无从下手，两式相比得%十？何十打Q 1 1d _ 1R-0g +总尸设万理为两悵为心孔更有毎一二两弍相比得两边取衬魏得怙】+筍 2ka+ * Ji求岀数列J壇电土斗是首项为仗电f公比为2的等比数列. 广陽切a: + x2；葩通项再整理一下就得岀了 牛的通项，问题就得以解决了 O本文例题的深度层层深入，前面的类型是后面的基础，特别是第一种类型，是学习其他几种类型的充分依据，其他的类型最终都会转变为第一种类型之后再进行求解。