十字相乘法+分组分解法教案【详细+配套练习】2

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1、* 教案 2012.4.03让学习成为一种习惯!7教师姓名数学学生姓名年 级上课日期2012 年 4 月 3 日初一教材版本苏教版课程名称因式分解一十字相乘法、分组分解法课时计划第(1-2)课时共(4 )课时上课时间8:30-10:5521 使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax +bx+c的二次三项式因式分解;2 .进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性。重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式因式分解。难点：灵活运用十字相乘法因分解式。一十字相乘法1.二次三项式多项式ax2 bx c，称为字母x的二次三项式，其中ax2称为二次项，bx为一次项，2 2 c为常数项例如，x

2、-2x-3和x 5x 6都是关于x的二次三项式.在多项式x2-6xy，8y2中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把 x看作常数，就是关于 y的二次三项式.在多项式2a2b7ab 3中，把ab看作一个整体，即2(ab)2-7(ab) 3，就是关 于ab的二次三项式同样，多项式 (x y)2 7(x y) 12，把x+ y看作一个整体，就 是关于x+ y的二次三项式.十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法教学过程2 十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax+ b)(cx+ d)竖式乘法法则它的一般规律是：(1) 对于二次项系数为 1的二次三项式 x2

3、+(a+b)x + ab = (x + a)(x + b)方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号 与一次项系数的符号相同.(2) 对于二次项系数不是 1的二次三项式2 2ax +bx+c=a!a2x +(a1cHa2cl)Hc1c (aHc1)(a2Hc2)它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项;常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解

4、为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组 与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证 交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母.3 因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相 乘法，最后考虑分组分解法.对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复 进行以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”【典型热点考题】例1 把2x2-7x+3因式分解。分析：先分解二次

5、项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分 别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次 项系数。分解二次项系数(只取正因数)：分解常数项：教学过程3=1 X 3=3 X 1 =(-3)X(-1)=(-1 )X( -3 )。用画十字交叉线万法表示卜列四种情况:1 1131-11-32 X 32 X 12X-32 X -11 X 3+2 X 11 X 1+2 X 31 X(-3)+2 X( -1)1 X (-1) +2 X (-3)=5=7=-5=-72=1 X 2=2 X 1；经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系

6、数-7。解2x2-7x+3= ( x-3 ) ( 2x-1 )。一般地，对于二次三项式 aX+bx+c (0),如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=C1C2，把印，a?,q排列如下：a1C1a2 x C2a1 C2 + a2C1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1C2+a2C1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1C2+a2C1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1X+C1与a+c2之积，即2ax +bx+c= (a1X+C1) (a2x+C2)像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式

7、的方法，通常叫做十字相乘法。例2 把6x2-7x-5分解因式。分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式。2解 6x -7x-5=( 2x+1)( 3x-5 )。指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式。对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何 把常数项分解因数。例3 把5x2+6xy-8y 2分解因式。分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把

8、-8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组解5x2+6xy-8y2=( x+2y)( 5x-4y )。指出：原式分解为两个关于x，y的一次式。例4 把(x-y)( 2x-2y-3)-2分解因式。分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先化简，进行多项式教学过程的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解。问：两个乘积的式子有什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便？答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2,就变为2( x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为

9、关于( x-y)的二次 三项式，就可以用址字相乘法分解因式了。解 (x-y)( 2x-2y-3)-2=(x-y): 2 (x-y) -3: -21-22=2 (x-y)-3 (x-y) -22 X +1=(x-y) -2: :2 (x-y) +1:1 X 1+2 X( -2) =-3=(x-y-2 ) ( 2x-2y+1 )。指出：把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法。二、分组分解法.1.分组后能直接提公因式例1、分解因式： am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含

10、有a,后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式=(am+a n)+(bm+b n)=a(m n) b(m n)* 每组之间还有公因式！=(m n )(a b)例 2、分解因式：2ax 10ay + 5bybx解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式=(2ax10ay)+(5bybx)原式= (2ax bx)+(10ay+5by)=2a(x 5y) _b(x 5y)=x(2a _b) _5y(2a _b)=(x-5y)(2a-b)=(2a-b)(x _5y)2练习：分解因式 1、a

11、 ab+acbc2、xy x y+12.分组后能直接运用公式2 2例3、分解因式：x - y +ax + ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后 就能继续分解，所以只能另外分组。2 2解：原式=(x -y )+(ax + ay)= (x + y)(x-y)+a(x + y)= (x + y)(x-y+a)例4、分解因式：a2 2ab +b2 c22 2 2解：原式=(a -2ab + b ) -c= (a_b) -c=(a _b _c)(a b + c)22222练习：分解因式 3、x x9y 3y4、x y z 2yz十字相乘法综合练习一、选择题21

12、. 如果 x 一 px+q -(x+a)(x+b)，那么 p 等于()A. abB. a+ bC. abD(a + b)2 22. 如果 x +(a+b) x + 5b = x -x-30，贝U b 为()A. 5B . 6C. 5D . 63. 多项式x23x + a可分解为(x 5)(x b),贝V a, b的值分别为()A . 10 和一2B. 10和 2C . 10 和2D . 10 和一24. 不能用十字相乘法分解的是()A . x2+x-2B . 3x210x2+3x* 教案 2012.4.03让学习成为一种习惯!25.随堂练习6.D. 5x2-6xy-8y2分解结果等于(x+ y

13、-4)(2x+ 2y- 5)的多项式是2(x y)2 -13(x y) 202(x y)2 13(x y) 20将下述多项式分解后，有相同因式 x2 7x 6 ；4x x 23x2 15x2 -23x 8 ；B. 3个C. 4个B. (2x 2y)2 13(x y) 202D. 2(x y) -9(x y) 20x- 1的多项式有2x -1 ；2 4x2 5x9 ；A. 2个二、填空题27. x 3x -10 =2& m 5m -6 =(m+ a)(m+ b).a =, b =.29. 2x 5x - 3 = (x 3)().10. 当k=时，多项式3x2+7xk有一个因式为(11. 若 x

14、y= 6, xy 二17，则代数式 x3y-2x2y2 xy3 的值为362 x 5x -6 ； x411x2 -12D. 5个.).三、解答题12.把下列各式分解因式:(1) x4 -7x26 ；42(2) x -5x -36 ；(3) 4x4 -65x2y2 16y4；(4) a6-7a3b3-8b6 ；43,2(5) 6a -5a -4a ；(6) 4a6 -37a4b2 9a2b4.13.把下列各式分解因式:9* 教案 2012.4.03让学习成为一种习惯!12随堂练习(1)(X2 -3)2 -4x2(2) X2(x_2)2 -9 ；(3) (3x2 2x 1)2 _(2x2 3x 3

15、)2(4) (x2 x)2 -17(x2 x) 60；3214已知2x -7x -19x 60有因式2x-5,把它分解因式.3315.已知 x+ y = 2, xy= a+ 4, x y =26，求 a 的值.分组分解法综合练习：22322(1) x x y - xy - y(2) ax - bx bx - ax a - b(3) x2 6xy 9y2 - 16a2 8a -1(4) a2 - 6ab 12b 9b2 - 4a(5) a4_2a3+a2_9(6) 4a2x_4a2y_b2x + b2y2 2 2 2(7) x 2xyxz+yz + y( 8) a 2a + b 2b + 2ab+1课后作业课堂后记本节课教学计划兀成情况：照常兀成口提前兀成口 延后兀成，原因学生接受程度：完全能接受口部分能接受口 不能接受，原因学生课堂表现：很积极口比较积极口 一般口 不积极，原因学生上次作业完成情况：存在问题备注