(完整word版)复变函数试题.doc

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1、第1页/共 7 页湖南大学复变函数复习试题/2（cos 王+isin 匹）i（孑骨巾1.复数 z=1 + i 的三角表示为44一，指数表示为 J2e_CCCi2.复数 z=cos +1+ i sin用三角表示为2cos (cosisin ),指数表示为222：二i亏2cos e1 2 322、耙芟数 l-cosa-b/sin,0ajr化为二弭表示式与指数衷示式，并求的轲角主值。（可参照例题 4）解:(解法一)r - yj( -cos a)2+ s in2a = J4 sin = 2sin -；因九当 0空 0 , J -cosa 0 , WiJ argz= arctanSlfl g= arct

2、an(cot )2 一 cosa2n -a3耗 _a n a .#aaarctan (tan 所以 1 -cosi2!+ Zsina = 2 sin (cos十聞宁*2呵刖厂即叫十沁“2血扌r.AM-o以第2页/共 7 页a=n时也成立解法二)利用二角公式，l-costz + / sintz = 2sin2十 2 冉油纟cos 2 2=2sin (sin +2/cos)=2 sin (cos 十 f 蓉 in ).二角 表示式222 2 2 2Ln(-1)的实部为0_ 虚部为Qk+I)71_.Ln(-1)=1 n(-1)+2k 二 i=ln|-1|+iarg(-1)+2k 二 i=(2k+1)

3、二 i.z 1 -j -将 z=-i ,0,i 依次映射为 w=1, i ,-1 的分式线性映射为 w=_z3.4.幕函数二(z-1)nn =1的收敛半径为1_ 收敛域为|z-1|1_.P775.z=1 是的本性奇点.P966.-f （zz2在 z=i 处的旋转角为伸缩率为_27.1第3页/共 7 页2 止向与圆周|对=1 负向组成时.根据复合闭跻的定义，可知圆周崗=2 正向与圆周同=1 的负向构成个复合闭路，根据闭路变形公式得;J?当 C 为圆周胡=2 正向与岡周胡=】圧向组成时，出 f 被枳审救的奇点“0 位倾周|=2 正向与圆周同三 1 内，则丄竺也=2j 竺业=伽。Z布八12.2+i

4、关于圆周 C: |z-2|=4 的对称点为 2 十 16 .2|z2Zo|Z2Zo|=RF俾尸怦务Fourier 变换F f (t)14.将函数f(z(z-1)(z-2)在下列解析区域上展开成洛朗级数(1)圆 |z|1 ;圆环 2|z|+- .P938.1i函数F(0)的 Fourier 的逆变换为f (t)e-0t9.，则f(t)二10.设函数 =f ( z)二D 内解析，下列等式中错误的是11.f(z) =cu丄.cv十iB.f(z) =cvx. cv+iexdxcyex解：当 q 为圆周 k13.设的)乂，则A.C.设 C：|z|=1 JzJ ds Q 为圆周|对=2 正向与岡周间=1

5、组成的I第4页/共 7 页在圆|Z|V1 内，因O08 .将下列K臥数汗扌忖定 ITJ IMI 环域|Aj 展虑罗朗级数豈3三厂丄+（丄+三打亠5 z十F 55 z- 211孑32111,121-r I (- /- -r-( 一I一/)-捡1_二1O于E1 +1255_ZZ2=o+(DO C | - 1| 1 r 1 z-2| (2)_FT 2-MFi匚Q_I)_MT召(爲_1解:可分解为如下部分分式1f丄Z12n2=-Hn =02znn：1z -1-zn=0在圆环 2|z|v+：内，因z21 1*-z 1二zzn =02nz -11z1一丄zzn Z0I1 1:2n二1n 1z_1n=0zn

6、=0zn=0z=11二2nJ-1(1)(P+6(7-2)1 | 2;3),2W：(z2+1)(- 2)2 z-/ IO第5页/共 7 页0 |卍一1| ) = -/-(X-1)2+ C.于是，/(刃二20l)y+Q+X才01)勺又/(2) = -/,解戈得C=0,故/二“+加二-讹1几解2=由题意及口&条件有 2y. - = - =-2(-1).所以dr drdy33.= -bi= 2j-2/XJT-1) = -2；Xz-1),釈分得drox/F+Q2 为口常数八 又由于/(2) = -/解之得C=0 .故/二 /+/=-/(z-1)15求积分而 R 严之似直中圜周I解：仃)当 0 兰尸兰 1

7、 时，f(z)=-在 C 及苴内部解析，从而由高阶导数公式有:( (2+i)(z- 2)16.设 C 为圆周|z|=2,求积分I叩-z.Lz(z+1)答案:I=0 .第7页/共 7 页J：.。=-)=禎 *44当 12时，作圆周 G：| 对二* 正向，C2:|+1|= 向及 G：忑一 2|二?从而有/ =(丄-6、；+$.ti-r(Z+l)(Z-2)(+l)(z-2)% (Z+l)(Z-2)十 /(+0(Z-2)d 由知也 Z3(+lX-2)故 / =-兀iKI= 0.12 12第8页/共 7 页第9页/共 7 页9、求积分（ * ；： *占厂的值,其中曲线 u 为正向圆周同=1 且|Hi臥根

8、磁意，可知被酣数在 X 两个奇馭一 2%砚分别以疋二-白、农=必为風心，充分小打、E为半径，件正向圆周 J掩定理”侖阶导数公式得= 2ffi(-n)(-n-1) - (-2/7+ 2)(z+)；X十(磁 + 川)二罗1=0.17.设 C 为圆周|z|=2 正向,求积分1=口18.求将上半平面lm（ z） 0映射成单位圆| T 1(2 ) Or g i (=2的分式线性映射.P151由条件-（2i）=o,设二e（2汁士JI8 =2从而所求映射为z 2i二i Iz 2i19.用留数定理计算实积分I二:x222dx.；(x 4)( x 9)答案:5P121六、（本题 12 分）利用留数计算积分。产后

9、）dx,且满足条件因为arg i( 2 )所以ear g第10页/共 7 页解：设f(z)22，则 f在上半平面内有两个奇点(Z +1)(Z +9)z= i, z= 3i，均为一级极点I = -22d x -iResf (z), i h；Resf (z),3i L2 -(x1)( x29)“i1=一丄壬(z+i)(z2+9)(z+3i)(z2+1)*iJ16i48i丿2420.求解微分方程y 4y =0,y(0) = -2,y(0) =4.P219解 设Ly(t)二Y(s),对方程两边取 Laplace 变换，并考虑到初值条件，则得Ly” 4y =0-sy(0) -y(0) 4Y(s) =0于

10、是，得到关于像函数丫(s)的代数方程为s2Y(s) 2s-4 4Y(s) -0两边取 Lap lace 逆变换，得-i21 sy(t)二L Y(s) =2L二 -2L二 = 2sin 2t -2cos2ts+4s+4六、(本题12分)用Laplace变换法解以下常微分方程初值问题+ 4/ = 5/畑=0丿(0)=1解：令r( (jr) )= z xz) )l则-1 + 4r( (jr) )=-,心分J+1=、巴+E=三丄+丄， 10分)(j- + 4)(J+ I)J2+41= -Z = sin 2/ - cos2/ 4- e_/(12分)21.证明 Fourier 变换微分性质，设|tlim f (t0，则Ff (t) = r -F f(t).证 由分部积分法“；、i tFf t()f t eC )dtY(s戶4- 2ss2- 44s24第11页/共 7 页二 f (t)e4 1J；i . _f t(ejldt =r F f t ()0=zZ - 1n z0