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1、第12章 重积分内容提要（一）二重积分概念和性质1二重积分定义：设二元函数定义在有界闭区域上。将任意划分成除公共边界外没有其它公共部分的个子区域（），在每个中任取一点（），作和式。令表示各子区域直径的最大值，若极限存在，且极限值和区域的分割方式以及各子区域中点的取法无关，则称函数在区域上可积，并称此极限为在区域上的二重积分，记作，即 其中，称为被积函数，为被积表达式，为面积元素，、是积分变量，是积分区域，并称为积分和式。2二重积分的几何意义：设在区域上连续，当时，二重积分表示以曲面为顶，底面区域是的曲顶柱体的体积。3性质（1）线性性质若，在上可积，和为任意常数，则在上可积，且。（2）积分区域可
2、加性质若，且和除边界外没有公共部分，则在上可积的充要条件是在和上都可积，且。（3）不等式性质设，在上可积，则（i）若，则，特别有 。（ii）若，是的面积，则有。（4）积分中值定理设为有界闭区域上的连续函数，则存在，使得，其中是的面积。（5）对称区域上奇偶函数的积分性质设在有界闭区域上可积，（i）若关于轴对称，则，其中。（ii）若关于轴对称，则，其中。（二）二重积分的计算1利用直角坐标系计算二重积分设在平面有界闭区域上连续：（i）若，其中、在上连续。区域的特点是：穿过内与轴平行的直线与的边界相交不多于两点，称为型区域。则。（ii）若，其中、在上连续。区域的特点是：穿过内与轴平行的直线与的边界相交
3、不多于两点，称为型区域。则。如果区域不满足以上条件，可以将区域分成若干个部分区域，使每个部分区域满足以上条件，再利用积分关于区域的可加性来计算。2利用极坐标系计算二重积分极坐标与直角坐标的关系为，极坐标系中的面积元素为。在极坐标系下，二重积分可变为（i）极点在区域外。区域在极坐标下可表示为，其中函数、在区间上连续，则（ii）极点在区域边界上。区域在极坐标下可表示为，其中函数在区间上连续，则（iii）极点在区域内。区域在极坐标下可表示为，其中在区间上连续，从而有（三）二重积分的应用1曲面面积：设曲面是由方程给出，在平面上的投影区域为，且函数在上有连续的偏导数。则曲面的面积为2物理应用：设平面薄片
4、在平面上所占的区域为，其面密度为。（1） 薄片质量：。（2） 一阶矩：薄片关于、轴的一阶矩、分别为，（3） 薄片质心：，。（4） 薄片关于、轴和原点的转动惯量分别为：，（四）三重积分的定义设为空间闭区域上的有界函数，将任意分成个子域，以表示第个子域的体积。在每一个子域上任取一点，作和式，如果当所有子域直径中的最大值趋于零时，这和式的极限存在，则称此极限值为函数在区域上的三重积分，记作，即(五) 三重积分的性质（1）线性性质，其中在上可积，为常数。（2）分域性质，其中在上可积，且无公共内点。（3）若在上可积且，则有（4）估值公式设在有界闭区域上的连续函数，其最大值为，最小值，则上式中表示闭区域的
5、体积。（5）中值定理设在有界连通闭区域上的连续函数，则，使（六）三重积分的计算（1）在直角坐标系中的计算方法（a）先单后重法若先对积分，则将积分区域向平面投影，记投影区域为，可表示为，则类似可以先对y积分或先对x积分。（b）先重后单法将积分区域向子轴投影得，再用垂直于轴的平面去截积分区域，得，则有（2）在柱面坐标系中的算法设若，则（3）在球坐标系中的方法设，若则一（七）三重积分的应用（1）体积（2）物体的质量若物体所占空间区域为，密度函数为，则质量（3）质心坐标（4）转动惯量复习指导：第12章 重积分学习指导1 掌握二重积分的概念。2 会用联立不等式表示平面区域。3 熟练掌握直角坐标系下二重积
6、分的计算。能按照积分区域的特征将二重积分转化为二次积分，也能由二次积分的积分限确定二重积分的积分区域，并进一步变换二次积分的次序。4 会将直角坐标系中简单曲线的方程改写为极坐标系下的方程，会确定极坐标系中积分区域的参数变化范围，会在极坐标系下计算简单区域的二重积分。5 掌握二重积分的几何意义，能用二重积分计算平面区域的面积和空间中简单立体的体积。6 会用二重积分计算质量、质心、一阶矩和转动惯量等。7 掌握第一型曲面积分的概念，会确定曲面在坐标平面上的投影区域，会计算简单曲面上的第一型曲面积分。8对三重积分可以理解为密度函数为的所占的区域为的物体的质量。理解这一点对三重积分的许多性质的理解有极大
7、的帮助。还应将三重积分和以前各类积分比较，一方面可以加强理解，另一方面也使同学不易忘记和混淆。三重积分变密度三维空间立体的质量定积分dx变密度一维直刚丝的质量第一型曲线积分变密度弯曲刚丝的质量二重积分变密度二维平面薄片的质量第一型曲面积分变密度空间曲面薄片的质量9对称性 当积分区域关于面对称时，若被积函数关于为偶函数，即，则 其中为在面之上方的部分 若被积函数关于为奇函数, ，即，则 当关于其他坐标面对称时有类似结论。10各类坐标系的选择（1）当积分区域是圆柱形或圆锥形区域，或在某坐标面上的投影是圆域，被积函数具有的形式，常采用柱坐标系。（2）当积分区域是与球相关的区域，而被积函数具有的形式时，常采用球坐标。（3）其他如平面或抛物面构成的区域，可选用直角坐标系。9 / 9文档可自由编辑打印
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